ในทางคณิตศาสตร์การฝังตัว (หรือการฝังตัว^{[ 1 ]} ) คือตัวอย่างหนึ่งของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ บางอย่าง ที่บรรจุอยู่ภายในตัวอย่างอื่น เช่นกลุ่มที่เป็นกลุ่ม ย่อย

เมื่อ กล่าวว่าวัตถุหนึ่ง ถูกฝังอยู่ในวัตถุอื่น การฝังนั้นจะเกิดขึ้นจาก แผนที่แบบหนึ่ง ต่อ หนึ่ง และรักษาโครงสร้างไว้ความหมายที่แท้จริงของ "รักษาโครงสร้าง" ขึ้นอยู่กับชนิดของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่วัตถุนั้นและวัตถุอื่นเป็นตัวอย่าง ในศัพท์เฉพาะของทฤษฎีหมวดหมู่แผนที่ที่รักษาโครงสร้างไว้เรียกว่ามอร์ฟิซึม ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าแผนที่เป็นการฝังตัวมักจะระบุโดยการใช้ "ลูกศรโค้ง" ( U+ 21AA ↪ ลูกศรขวาโค้ง ); ^{[ 2 ]}ดังนี้: (ในทางกลับกัน บางครั้งสัญลักษณ์นี้สงวนไว้สำหรับแผนที่การรวม ) ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

เมื่อกำหนดและ แล้ว การฝังตัวของ ใน อาจเป็นไปได้ หลายแบบในหลายกรณีที่น่าสนใจ จะมีการฝังตัวแบบมาตรฐาน (หรือ "แบบแผน") เช่น การฝังตัวของจำนวนธรรมชาติในจำนวนเต็มการฝังตัวของจำนวนเต็มในจำนวนตรรกยะการฝังตัวของจำนวนตรรกยะในจำนวนจริงและการฝังตัวของจำนวนจริงในจำนวนเชิงซ้อน ในกรณีเช่นนี้ มักจะระบุโดเมนของกับภาพ ของมัน ที่อยู่ในดังนั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\subseteq Y}$

ในโทโพโลยีทั่วไปการฝังตัวคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังภาพของมัน^{[ 3 ]}กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้นแผนที่ต่อเนื่องแบบ ฉีด ระหว่างปริภูมิโทโพโลยีและเป็นการฝังตัวทางโทโพโลยีหากให้ผลลัพธ์เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างและ(โดยที่มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจาก) ดังนั้นโดยสัญชาตญาณ การฝังตัวทำให้เราสามารถพิจารณาเป็นปริภูมิย่อยของการฝังตัวทุกแบบเป็นการฉีดและต่อเนื่องแผนที่ทุกแบบที่เป็นการฉีด ต่อเนื่อง และเป็นเซต เปิดหรือเซตปิดเป็นการฝังตัว อย่างไรก็ตาม ยังมีการฝังตัวที่ไม่ใช่ทั้งเซตเปิดและเซตปิด กรณีหลังเกิดขึ้นหากภาพไม่ใช่ทั้งเซตเปิดและเซตปิดใน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$

สำหรับปริภูมิที่กำหนดการมีอยู่ของการฝังตัวเป็น ค่าคง ที่ทางโทโพโลยีของปริภูมินั้น ซึ่งทำให้สามารถแยกแยะปริภูมิสองปริภูมิได้ หากปริภูมิหนึ่งสามารถฝังตัวในปริภูมิอื่นได้ ในขณะที่อีกปริภูมิหนึ่งไม่สามารถฝังตัวได้ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันนั้นจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชัน เชิงทอพอโลยี${\displaystyle f:X\to Y}$ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จะมีค่าเท่ากับจำนวนบริเวณใกล้เคียง ของจุดนั้นที่การจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันหนึ่ง${\displaystyle U}$${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่ (locally injective)ถ้าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่รอบทุกจุดในโดเมนของมัน ในทำนองเดียวกันการฝังตัวแบบเฉพาะที่ (เชิงโทโพโลยี หรือแบบเรียบ)คือฟังก์ชันที่ทุกจุดในโดเมนของฟังก์ชันนั้นมีบริเวณใกล้เคียงบางบริเวณที่การจำกัดขอบเขตของจุดนั้นสามารถฝังตัวได้ (เชิงโทโพโลยี หรือแบบเรียบ)

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่ใช่ ฟังก์ชัน ดิฟเฟอโอเมอร์ฟิ ซึมเฉพาะที่ ฟังก์ชันโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ และ การฝังตัวแบบเรียบ ล้วน เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่งเสมอไป ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องที่จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่ (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) ไฟเบอร์ ทุกตัว ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเฉพาะที่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของโดเมน ของมัน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X.}$

ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ : ให้และเป็นแมนิโฟลด์ เรียบ และเป็นแผนที่เรียบเรียกว่าการฝังตัวถ้าอนุพันธ์ ของมัน เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทุกที่การฝังตัวหรือการฝังตัวเรียบถูกกำหนดให้เป็นการฝังตัวที่เป็นการฝังตัวในความหมายทางโทโพโลยีที่กล่าวถึงข้างต้น (เช่นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังภาพของมัน) ^{[ 4 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของการฝังตัวจะมีลักษณะสมมาตรเชิงอนุพันธ์กับภาพของมัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภาพของการฝังตัวจะต้องเป็นซับแมนิโฟลด์ การจุ่มลงบนพื้นผิว (immersion) คือการฝังตัวเฉพาะที่ (local embedding) อย่างแม่นยำ กล่าว คือ สำหรับจุดใดๆจะมีบริเวณใกล้เคียง (neighborhood ) ที่ทำให้เป็นการฝังตัว ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle x\in U\subset M}$${\displaystyle f:U\to N}$

เมื่อโดเมนแมนิโฟลด์เป็นแบบกระชับ แนวคิดของการฝังแบบเรียบจะเทียบเท่ากับแนวคิดของการฝังแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

กรณีสำคัญคือความสนใจในที่นี้อยู่ที่ว่าต้องมีขนาดใหญ่เท่าใดสำหรับการฝังตัว ในแง่ของมิติของทฤษฎีบทการฝังตัวของ Whitney ^{[ 5 ]}ระบุว่าเพียงพอแล้ว และเป็นขอบเขตเชิงเส้นที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้ ตัวอย่างเช่นพื้นที่โปรเจคทีฟจริงที่มีมิติโดยที่เป็นกำลังของสอง ต้องการสำหรับการฝังตัว อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับการฝังตัว ตัวอย่างเช่นสามารถฝังตัวใน ได้ดังที่แสดงไว้อย่างชัดเจนโดยพื้นผิวของ Boyซึ่งมีการตัดกันเองพื้นผิวโรมันไม่สามารถเป็นการฝังตัวได้เนื่องจากมีcross- caps ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

การฝังตัวที่เหมาะสมจะต้องมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับขอบเขต กล่าวคือ จำเป็นต้องมีแผนที่ที่เข้าข่ายเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, และ
• ${\displaystyle f(X)}$ตั้งฉากกับณ จุดใดๆของ${\displaystyle \partial Y}$${\displaystyle f(\partial X)}$

เงื่อนไขแรกเทียบเท่ากับการมีและเงื่อนไขที่สองโดยคร่าวๆ กล่าวว่าไม่สัมผัสกับขอบเขตของ ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$

ในเรขาคณิตแบบรีมันน์และเรขาคณิตแบบซูโดรีมันน์: ให้และเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์หรือโดยทั่วไปแล้ว เป็น แมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์การฝังแบบไอโซเมตริกคือการฝังแบบเรียบที่รักษาเมตริก (ซูโดเมตริก) ในแง่ที่ว่าเท่ากับพูลแบ็กของโดย นั่นคือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเวกเตอร์สัมผัสสองตัวใดๆเราจะมี ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (N,h)}$${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{*}h}$${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

ในทำนองเดียวกันการจุ่มแบบไอโซเมตริกคือการจุ่มระหว่างแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์ที่รักษาเมตริกแบบ (เสมือน) รีมันน์ไว้

ในทำนองเดียวกัน ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ การฝังแบบไอโซเมตริก (การฝัง) คือการฝังแบบเรียบ (การฝัง) ที่รักษาความยาวของเส้นโค้ง (ดูทฤษฎีบทการฝังของแนช ) ^{[ 6 ]}

โดยทั่วไป สำหรับหมวดหมู่พีชคณิต การฝังตัวระหว่างโครงสร้างพีชคณิต 2 โครงสร้าง คือมอร์ฟิซึมที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle e:X\rightarrow Y}$

ในทฤษฎีฟิลด์การฝังฟิลด์ หนึ่งลงในอีกฟิลด์หนึ่งเรียกว่า โฮโมมอร์ฟิ ซึม ของริง${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$

เคอร์เนลของคือไอเดียลของซึ่งไม่สามารถเป็นฟิลด์ทั้งหมดได้เนื่องจากเงื่อนไขนอกจากนี้ ฟิลด์ใดๆ ก็มีไอเดียลได้เพียงไอเดียลศูนย์และฟิลด์ทั้งหมดเท่านั้น (เพราะถ้ามีสมาชิกฟิลด์ที่ไม่เป็นศูนย์อยู่ในไอเดียลใดๆ ไอเดียลนั้นก็จะสามารถผกผันได้ ซึ่งแสดงว่าไอเดียลนั้นคือฟิลด์ทั้งหมด) ดังนั้น เคอร์เนลคือดังนั้นการฝังตัวของฟิลด์ใดๆ ก็เป็นโมโนมอร์ฟิซึมดังนั้น จึงสมisomorphicกับซับฟิลด์ของนี่เป็นการยืนยันชื่อ " การฝังตัว " สำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของฟิลด์ใดๆ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma (E)}$${\displaystyle F}$

ถ้าเป็นลายเซ็นและเป็นโครงสร้าง - (เรียกอีกอย่างว่า-พีชคณิต ในพีชคณิตสากลหรือ แบบจำลอง ในทฤษฎีแบบจำลอง ) แล้ว แผนที่จะเป็นการฝังตัว - ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง: ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h:A\to B}$${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle h}$เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
• สำหรับสัญลักษณ์ฟังก์ชัน -ary ทุกตัว และเรามี,${\displaystyle n}$${\displaystyle f\in \sigma }$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• สำหรับสัญลักษณ์ความสัมพันธ์แบบ -ary ทุกตัว และเรามีเงื่อนไขว่า${\displaystyle n}$${\displaystyle R\in \sigma }$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

นี่คือสัญลักษณ์ทางทฤษฎีแบบจำลองที่เทียบเท่ากับในทฤษฎีแบบจำลองยังมีแนวคิดที่แข็งแกร่งกว่าอย่างการฝังตัวขั้นพื้นฐานอีก ด้วย${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

ในทฤษฎีลำดับการฝังตัวของเซตที่มีลำดับบางส่วนคือ ฟังก์ชันระหว่างเซตที่มีลำดับบางส่วนและโดยที่ ${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

ความเป็นหนึ่งเดียวของฟังก์ชันนั้น สามารถอนุมานได้อย่างรวดเร็วจากนิยามนี้ ในทฤษฎีโดเมนข้อกำหนดเพิ่มเติมคือ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$ได้รับการกำกับไว้

การแมปของปริภูมิเมตริกเรียกว่าการฝังตัว (โดยมีการบิดเบือน ) ถ้า ${\displaystyle \phi :X\to Y}$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

สำหรับทุกๆและค่าคงที่บางค่า ${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle L>0}$

กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีของปริภูมิบรรทัดฐานในกรณีนี้ การพิจารณาการฝังเชิงเส้นจึงเป็นเรื่องที่เหมาะสม

หนึ่งในคำถามพื้นฐานที่สามารถถามได้เกี่ยวกับปริภูมิ บรรทัดฐานที่มีมิติจำกัด คือมิติสูงสุดที่สามารถฝังปริภูมิฮิลเบิร์ต เข้าไปได้แบบเชิงเส้น โดยมีการบิดเบือนคงที่ คืออะไร${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$${\displaystyle X}$

คำตอบนั้นได้มาจากทฤษฎีบทของดโวเรตสกี

ในทฤษฎีหมวดหมู่ไม่มีนิยามที่น่าพอใจและเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของฝังตัว (embeddings) ที่สามารถนำไปใช้ได้ในทุกประเภทหมวดหมู่ โดยทั่วไปแล้ว เราคาดหวังว่าไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดและการประกอบของฝังตัวทั้งหมดจะเป็นฝังตัว และฝังตัวทั้งหมดจะเป็นโมโนมอร์ฟิซึม ข้อกำหนดทั่วไปอื่นๆ ได้แก่โมโนมอร์ฟิซึมสุดขั้ว ใดๆ ก็เป็นฝังตัว และฝังตัวมีความเสถียรภายใต้พูลแบ็ก (pullbacks )

ตามหลักการแล้ว กลุ่มของวัตถุย่อย ที่ฝังตัวอยู่ ภายในวัตถุที่กำหนดทั้งหมด โดยพิจารณาถึงความเหมือนกันทุกประการ ควรมีขนาดเล็กและเป็นเซตที่มีลำดับในกรณีนี้ หมวดหมู่ดังกล่าวจะกล่าวได้ว่ามีกำลังเพียงพอเมื่อเทียบกับกลุ่มของการฝังตัว ซึ่งจะช่วยให้สามารถกำหนดโครงสร้างเฉพาะที่ใหม่ในหมวดหมู่ได้ (เช่นตัวดำเนินการปิด )

ในหมวดหมู่ที่เป็นรูปธรรมการฝังตัว (embedding)คือมอร์ฟิซึมที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) จากเซตพื้นฐานของไปยังเซตพื้นฐานของและยังเป็นมอร์ฟิซึมเริ่มต้น (initial morphism)ในความหมายต่อไปนี้: ถ้าเป็นฟังก์ชันจากเซตพื้นฐานของวัตถุไปยังเซตพื้นฐานของและถ้าการประกอบกันของเป็นมอร์ฟิ ซึม แล้วตัวมันเองก็เป็นมอร์ฟิซึม ด้วย${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle fg:C\rightarrow B}$${\displaystyle g}$

ระบบการแยกตัวประกอบสำหรับหมวดหมู่หนึ่งๆ ยังก่อให้เกิดแนวคิดเรื่องการฝังตัว (embedding) ด้วย ถ้าเป็นระบบการแยกตัวประกอบแล้ว มอร์ฟิซึมในอาจถือได้ว่าเป็นการฝังตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อหมวดหมู่นั้นมีกำลังมากเมื่อเทียบกับทฤษฎีรูปธรรมมักมีระบบการแยกตัวประกอบซึ่งประกอบด้วยการฝังตัวในความหมายก่อนหน้านี้ ซึ่งเป็นกรณีของตัวอย่างส่วนใหญ่ที่กล่าวถึงในบทความนี้ ${\displaystyle (E,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

เช่นเดียวกับทฤษฎีหมวดหมู่ทั่วไป มี แนวคิด คู่ตรงข้ามที่เรียกว่า ผลหาร คุณสมบัติทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นสามารถแปลงเป็นคู่ตรงข้ามได้

คำว่า "embedding" ยังอาจหมายถึง " embedding functor"ได้ อีกด้วย

• การฝังข้อมูล (การเรียนรู้ของเครื่อง)
• พื้นที่โดยรอบ
• การแช่แบบปิด
• ปิดบัง
• การลดมิติ
• แบน (เรขาคณิต)
• การจุ่ม
• ทฤษฎีบทเสริมของจอห์นสัน-ลินเดนสเตราส์
• ท่อร่วมย่อย
• พื้นที่ย่อย
• พื้นที่สากล

• อดาเม็ก, จิริ; ฮอร์สต์ แฮร์ลิช; จอร์จ สเตรกเกอร์ (2006) หมวดหมู่นามธรรมและคอนกรีต (ความสุขของแมว )
• การฝังตัวของแมนิโฟลด์เก็บถาวรเมื่อวันที่ 18 เมษายน 2559 ที่Wayback Machineบน Manifold Atlas

บทความดัชนีชุด นี้ประกอบด้วยรายการของรายการที่เกี่ยวข้องซึ่งมีชื่อเดียวกัน (หรือชื่อที่คล้ายกัน) หากลิงก์ภายในนำคุณมาที่นี่โดยไม่ถูกต้อง คุณอาจต้องการเปลี่ยนลิงก์เพื่อให้ชี้ไปยังบทความที่ต้องการโดยตรง