ในทางเรขาคณิต พื้นผิวของบอย ( Boy's surface)คือการฝังตัวของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง (real projective plane ) ในปริภูมิสามมิติ พื้นผิว นี้ถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1901 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเวอร์เนอร์ บอย (Werner Boy ) ซึ่งได้รับมอบหมายจากอาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาเดวิด ฮิลเบิร์ต (David Hilbert)ให้พิสูจน์ว่าระนาบเชิงโปรเจกทีฟไม่สามารถฝังตัวในปริภูมิสามมิติได้

พื้นผิวของบอยได้รับการกำหนดพารามิเตอร์อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรกโดยเบอร์นาร์ด โมรินในปี 1978 ^{[ 1 ]}การกำหนดพารามิเตอร์อีกแบบหนึ่งถูกค้นพบโดยร็อบ คุสเนอร์และโรเบิร์ต ไบรอันท์ [ ^{2 ] พื้น}ผิวของบอยเป็นหนึ่งในสองการฝังที่เป็นไปได้ของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริงซึ่งมีจุดสามจุดเพียงจุดเดียว^{[ 3 ]}

แตกต่างจากพื้นผิวโรมันและส่วนยอดกางเขน พื้นผิวนี้ไม่มีจุดเอกลักษณ์ อื่นใด นอกจากจุดตัดกันเอง (กล่าวคือ ไม่มีจุดบีบตัว )

พื้นผิวของบอยสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้หลายวิธี การกำหนดพารามิเตอร์วิธีหนึ่งที่ค้นพบโดย Rob Kusner และ^Robert Bryant [ ^{4 ]}คือดังต่อไปนี้: กำหนดจำนวนเชิงซ้อนwที่มีขนาดน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง (${\displaystyle \|w\|\leq 1}$), อนุญาต $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$$

แล้วจึงตั้งค่า $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$$

จากนั้นเราจะได้พิกัดคาร์ทีเซียนx , yและz ของจุดบนพื้นผิวของเด็กชาย

หากทำการผกผันการกำหนดพารามิเตอร์นี้โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดสามจุด จะได้พื้นผิวขั้นต่ำที่ สมบูรณ์ซึ่งมี ปลายสาม ด้าน (นี่คือวิธีที่การกำหนดพารามิเตอร์นี้ถูกค้นพบโดยธรรมชาติ) ซึ่งหมายความว่าการกำหนดพารามิเตอร์ของ Bryant–Kusner สำหรับพื้นผิวของ Boy นั้น "เหมาะสมที่สุด" ในแง่ที่ว่าเป็นระนาบเชิงฉาย ที่ "โค้งงอน้อยที่สุด" ในการฝังลง ในปริภูมิสามมิติ

คุณสมบัติของการกำหนดพารามิเตอร์แบบ Bryant–Kusner

วิกิบุ๊กเรื่องทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: พื้นผิวของเด็กผู้ชาย

ถ้าwถูกแทนที่ด้วยส่วนกลับเชิงลบของคู่สังยุคเชิงซ้อน ของ มัน${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$จากนั้นฟังก์ชันg , g และg ของwจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

โดยการแทนที่wด้วยส่วนจริงและส่วนจินตนาการw = s + itและขยายการกำหนดพารามิเตอร์ที่ได้ เราอาจได้การกำหนดพารามิเตอร์ของพื้นผิวของบอยในรูปของฟังก์ชันตรรกยะของsและtซึ่งแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวของบอยไม่เพียงแต่เป็นพื้นผิวพีชคณิต เท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นผิวตรรกยะ อีก ด้วย ข้อสังเกตในย่อหน้าก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าไฟเบอร์ทั่วไปของการกำหนดพารามิเตอร์นี้ประกอบด้วยสองจุด (นั่นคือเกือบทุกจุดของพื้นผิวของบอยสามารถหาได้จากค่าพารามิเตอร์สองค่า)

พื้นผิวของบอยมี สมมาตรแบบ 3 เท่าหมายความว่ามันมีแกนสมมาตรแบบหมุนได้: การหมุน 120° รอบแกนนี้จะทำให้พื้นผิวมีลักษณะเหมือนเดิมทุกประการ พื้นผิวของบอยสามารถตัดออกเป็นสามชิ้นที่เท่า กันทุกประการได้

พื้นผิวของบอยสามารถใช้ในการพลิกทรงกลมเป็นแบบจำลองครึ่งทางได้แบบจำลองครึ่งทางคือการฝังทรงกลมที่มีคุณสมบัติว่าการหมุนจะสลับตำแหน่งภายในและภายนอก ดังนั้นจึงสามารถใช้ในการพลิกทรงกลม (กลับด้านในออก) ได้ พื้นผิวของบอย (กรณี p  =  3) และ พื้นผิว ของโมริน (กรณี p  =  2) เป็นจุดเริ่มต้นของลำดับแบบจำลองครึ่งทางที่มีสมมาตรสูงกว่า ซึ่งเสนอโดยจอร์จ ฟรานซิสเป็นครั้งแรก โดยมีดัชนีเป็นจำนวนเต็มคู่ 2p (สำหรับ p ที่เป็นจำนวนคี่ การฝังเหล่านี้สามารถแยกตัวประกอบได้ผ่านระนาบเชิงฉาย) การกำหนดพารามิเตอร์ของคุสเนอร์ให้ผลลัพธ์ทั้งหมดนี้

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ พื้น ผิวของเด็กชาย

• ส่วนแสดงข้อมูลพื้นผิวสำหรับเด็กผู้ชายที่ MathCurve ประกอบด้วยภาพแสดงข้อมูลต่างๆ สมการต่างๆ ลิงก์ที่เป็นประโยชน์ และเอกสารอ้างอิง
• การคลี่พื้นผิวของเด็กชายออกเป็นระนาบ – แอปเพล็ตจากนิตยสาร Plus
• แหล่งข้อมูลพื้นผิวของบอยรวมถึงบทความต้นฉบับและการฝังตัวของนักทอพอโลยีในพื้นผิวของบอยแห่งโอเบอร์โวล์ฟาค
• พื้นผิวของเด็กชายเลโก้
• แบบจำลองกระดาษของพื้นผิวของเด็กผู้ชาย – แบบและคำแนะนำ
• แบบจำลองพื้นผิวของเด็กผู้ชายในเรขาคณิตทรงสามมิติเชิงสร้างสรรค์พร้อมคำแนะนำในการประกอบ
• วิดีโอการสร้างภาพ พื้นผิวของเด็กชายจากสถาบันคณิตศาสตร์แห่งราชบัณฑิตยสถานศิลปะและวิทยาศาสตร์แห่งเซอร์เบีย
• วัตถุชิ้นนี้ไม่น่าจะสร้างขึ้นได้เลยอดัม ซาเวจ กำลังทำแท่นวางพิพิธภัณฑ์สำหรับแบบจำลองพื้นผิวที่ทำจากแก้ว