ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวพีชคณิตคือวาไรตี้พีชคณิตที่มีมิติสอง ดังนั้น พื้นผิวพีชคณิตจึงเป็นคำตอบของชุดสมการพหุนาม ซึ่งมีทิศทางอิสระสองทิศทางที่ทุกจุด ตัวอย่างของพื้นผิวพีชคณิตคือทรงกลมซึ่งกำหนดโดยสมการพหุนามเดียว การศึกษาเรขาคณิตภายในของพื้นผิวพีชคณิตเป็นหัวข้อสำคัญในเรขาคณิตพีชคณิตทฤษฎีมีความซับซ้อนมากกว่าเส้นโค้งพีชคณิต (กรณีหนึ่งมิติ) และได้รับการพัฒนาอย่างมากโดยสำนักเรขาคณิตพีชคณิตของอิตาลีในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 ปัจจุบันยังคงเป็นสาขาการวิจัยที่คึกคัก ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.}$

ในกรณีที่ง่ายที่สุด พื้นผิวพีชคณิตจะถูกศึกษาในฐานะวาไรตี้พีชคณิตบนจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่เราคุ้นเคย (สำหรับจำนวนจริง ) จะกลายเป็น พื้นผิวควอดริกเชิงซ้อน ( เชิงเส้น ) ซึ่งรวมเอาทรงกลมและไฮเปอร์โบโลอิดที่มีหนึ่งและสองระนาบเข้าไว้ด้วยกัน และสิ่งนี้ช่วยให้สามารถเลื่อนความซับซ้อนบางอย่าง (เช่นโทโพโลยี : ไม่ว่าพื้นผิวจะเชื่อมต่อกันหรือเชื่อมต่อกันอย่างง่าย ) ออกไปได้บ้าง พื้นผิวที่มี ดีกรี สูงกว่า ได้แก่พื้นผิว Kummerเป็นต้น การจำแนกประเภทของพื้นผิวพีชคณิตนั้นซับซ้อนกว่าการจำแนกประเภทของเส้นโค้งพีชคณิตซึ่งมีมิติหนึ่ง และก็ซับซ้อนมากอยู่แล้ว ${\displaystyle x,y,z}$

พื้นผิวเชิงพีชคณิต เช่นเดียวกับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต อาจมีจุดเอกฐาน ซึ่งเป็นจุดที่ไม่มีระนาบสัมผัสจุดเอกฐานอาจเป็นจุดตัดตัวเอง หรือจุดที่จำนวนมิติ "อิสระ" อาจลดลง เช่น ที่จุดยอดแหลมทฤษฎีหายนะมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับการจำแนกประเภทของจุดเอกฐานบนพื้นผิว ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวเชิงพีชคณิตอาจถูกกำหนดขึ้นบนฟิลด์ อื่น ที่ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อน บทความนี้มุ่งเน้นไปที่กรณีของจำนวนเชิงซ้อนเป็นหลัก

ในกรณีมิติที่หนึ่ง วาไรตี้จะถูกจำแนกโดยใช้เพียงจีนัสทางโทโพโลยี เท่านั้น แต่ในมิติที่สอง จำเป็นต้องแยกแยะจีนัสทางเลขคณิต และจีนัสทางเรขาคณิตเนื่องจากไม่สามารถแยกแยะจีนัสทางโทโพโลยีได้โดยใช้เพียงจีนัสทางไบราชันนัลเท่านั้น จากนั้นจึง มีการนำ ความไม่สม่ำเสมอมาใช้ในการจำแนกวาไรตี้ สรุปผลลัพธ์ (โดยละเอียด สำหรับพื้นผิวแต่ละชนิดจะอ้างอิงถึงการเปลี่ยนทิศทางแต่ละครั้ง) มีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle p_{a}}$${\displaystyle p_{g}}$

ตัวอย่างของพื้นผิวเชิงพีชคณิต ได้แก่ (κ คือมิติโคไดระ ):

• κ = −∞: ระนาบเชิงโปรเจกทีฟ , ควอดริกในP ³ , พื้นผิวลูกบาศก์ , พื้นผิวเวโรเนเซ , พื้นผิวเดล เปซโซ , พื้นผิวเส้นตรง
• κ = 0 : พื้นผิว K3 , พื้นผิวอาเบเลียน , พื้นผิวเอนริเกส , พื้นผิวไฮเปอร์อิลิปติก
• κ = 1: พื้นผิววงรี
• κ = 2: พื้นผิวประเภททั่วไป

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดูรายการพื้นผิวเชิงพีชคณิต

ตัวอย่างห้าข้อแรก นั้น สมมูลกันในเชิงไบราชันนัลกล่าวคือ ตัวอย่างเช่น พื้นผิวลูกบาศก์มีฟิลด์ฟังก์ชัน ที่สมมาตร กับฟิลด์ฟังก์ชันของระนาบเชิงโปรเจกทีฟโดยที่ฟังก์ชันตรรกยะ อยู่ ในตัวแปรสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเส้นโค้งสองเส้นก็เป็นตัวอย่างเช่นกัน

เรขาคณิตแบบไบราชันนัลของพื้นผิวพีชคณิตนั้นอุดมสมบูรณ์ เนื่องจากปรากฏการณ์การเป่าขึ้น (หรือที่เรียกว่าการแปลงแบบโมโนอิดัล ) ซึ่งจุดจะถูกแทนที่ด้วยเส้นโค้งของทิศทางสัมผัสจำกัดทั้งหมดที่เข้ามายังจุดนั้น ( เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟ ) เส้นโค้งบางเส้นอาจถูกเป่าลง ได้เช่นกัน แต่มีข้อจำกัด (จำนวนจุดตัดตัวเองต้องเป็น −1)

หนึ่งในทฤษฎีบทพื้นฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงไบราชันนัลของพื้นผิวคือทฤษฎีบทของคาสเตลนูโอโวซึ่งกล่าวว่าแผนที่เชิงไบราชันนัลใดๆ ระหว่างพื้นผิวพีชคณิตนั้นกำหนดโดยลำดับจำกัดของการพองตัวและการยุบตัว

เกณฑ์ของ นากาอิก ล่าวว่า:

ตัวหารDบนพื้นผิวSถือว่าเพียงพอ ก็ต่อเมื่อD ² > 0และสำหรับเส้นโค้งC ที่ไม่สามารถลดรูปได้ทั้งหมด บนS นั้นD•C > 0

ตัวหารแอมเพิลมีคุณสมบัติที่ดีอย่างหนึ่งคือ เป็นการดึงกลับของบันเดิลระนาบไฮเปอร์บางกลุ่มในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งคุณสมบัติของมันเป็นที่รู้จักกันดี ให้ S เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่ประกอบด้วยตัวหารทั้งหมดบนSแล้วเนื่องจากทฤษฎีบทการตัดกัน${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}$

ถือว่าเป็นรูปแบบกำลังสองให้

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{สำหรับทุก }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

จากนั้นจึงกลายเป็นกลุ่มชั้นที่เทียบเท่าเชิงตัวเลขของSและ ${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

นอกจากนี้ ยังกลายเป็นรูปแบบกำลังสองบนโดยที่คือภาพของตัวหารDบนS (ในตัวอย่างด้านล่าง ภาพนี้ย่อด้วยD ) ${\displaystyle Num(S)}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$

สำหรับกลุ่มเส้นตรงที่กว้างขวางHบนSนิยาม

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

ใช้ในทฤษฎีบทดัชนี Hodge เวอร์ชันพื้นผิว :

สำหรับ นั่นคือ การจำกัดรูปแบบการตัดกันให้เป็นรูปแบบกำลังสองที่มีค่าลบแน่นอน${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยใช้เกณฑ์ของ Nakai และทฤษฎีบท Riemann-Roch สำหรับพื้นผิว ทฤษฎีบทดัชนี Hodge ถูกนำมาใช้ในการพิสูจน์ข้อสันนิษฐานของ Weil โดย Deligne

ผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับพื้นผิวพีชคณิต ได้แก่ทฤษฎีบทดัชนีของ Hodgeและการแบ่งออกเป็นห้ากลุ่มของชั้นสมมูลแบบไบราชันนัลที่เรียกว่าการจำแนกประเภทของพื้นผิวพีชคณิต ชั้น ประเภททั่วไปซึ่งมีมิติ Kodaira เท่ากับ 2 นั้นมีขนาดใหญ่มาก (เช่น พื้นผิวที่ไม่เอกฐานในP ³ ที่มีดีกรี 5 หรือมากกว่านั้น จะอยู่ในชั้นนี้)

พื้นผิวหนึ่งๆ จะมีค่าคงที่ของจำนวนฮอดจ์ที่สำคัญอยู่สามค่า ในจำนวนนั้นh 1,0 ในทางคลาสสิกเรียกว่าความไม่สม่ำเสมอและใช้สัญลักษณ์ q ส่วน h 2,0 เรียกว่าจีนัสทางเรขาคณิต p g ค่าคงที่ตัวที่สามh 1,1 ไม่ใช่^ค่าคงที่แบบไบราชันนั^ลเพราะการเป่า_ขึ้นสามารถ^{เพิ่ม}เส้นโค้งทั้งหมดได้โดยมีคลาสอยู่ในH ^1,1เป็นที่ทราบกันว่าวัฏจักรฮอดจ์เป็นพีชคณิต และความสมมูลทางพีชคณิตสอดคล้องกับความสมมูลทางโฮโมโล จี ดังนั้นh ^1,1จึงเป็นขอบเขตบนสำหรับ ρ ซึ่งเป็นอันดับของกลุ่มเนรอน-เซเวรี จีนัสทางเลขคณิตp _aคือผลต่าง

สกุลทางเรขาคณิต − ความไม่สม่ำเสมอ

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมความผิดปกตินี้จึงได้รับชื่อนั้น ในฐานะ "เทอมความคลาดเคลื่อน" ประเภทหนึ่ง

ทฤษฎีบทรีมันน์-รอคสำหรับพื้นผิวได้รับการกำหนดขึ้นครั้งแรกโดยแม็กซ์ เนอเธอร์ในแง่หนึ่ง ตระกูลของเส้นโค้งบนพื้นผิวสามารถจำแนกได้ และก่อให้เกิดเรขาคณิตที่น่าสนใจมากมาย

• โปรแกรมโมเดลขั้นต่ำ

• โปรแกรม SURFER ฟรีสำหรับแสดงภาพพื้นผิวพีชคณิตแบบเรียลไทม์ พร้อมแกลเลอรีของผู้ใช้
• SingSurfคือโปรแกรมดูภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบสำหรับพื้นผิวเชิงพีชคณิต
• หน้าเว็บเกี่ยวกับพื้นผิวเชิงพีชคณิต เริ่มต้นในปี 2008
• ภาพรวมและแนวคิดเกี่ยวกับการออกแบบพื้นผิวเชิงพีชคณิต