ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโปรแกรมแบบจำลองขั้นต่ำเป็นส่วนหนึ่งของการจำแนกประเภทแบบไบราชันนัลของวาไรตี้เชิงพีชคณิตเป้าหมายคือการสร้างแบบจำลองไบราชันนัลของ วา ไรตี้เชิงโปรเจกที ฟที่ซับซ้อนใดๆ ให้เรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ หัวข้อนี้มีต้นกำเนิดมาจากเรขาคณิตแบบไบราชันนัล คลาสสิก ของพื้นผิวที่ศึกษาโดยสำนักอิตาลีและปัจจุบันเป็นพื้นที่วิจัยที่กำลังได้รับความสนใจอย่างมากในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีนี้คือการทำให้การจำแนกประเภทแบบไบราชันนัลของวาไรตี้ง่ายขึ้น โดยการค้นหาวาไรตี้ที่ "เรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้" ในแต่ละชั้นสมมูลแบบ ไบราชัน นัล ความหมายที่แท้จริงของวลีนี้ได้พัฒนาไปพร้อมกับการพัฒนาของวิชา เดิมทีสำหรับพื้นผิว มันหมายถึงการค้นหาวาไรตี้เรียบซึ่งการแปลงแบบไบ ราชันนัลใดๆ กับพื้นผิวเรียบนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X\to X'}$${\displaystyle X'}$

ในการกำหนดรูปแบบสมัยใหม่ เป้าหมายของทฤษฎีมีดังนี้ สมมติว่าเราได้รับวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟ^ซึ่งเพื่อความเรียบง่ายถือว่าไม่เอกฐาน มีสองกรณีโดยพิจารณาจากมิติโคไดระ ของมัน : [ ^{1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa (X)}$

• ${\displaystyle \kappa (X)=-\infty .}$เราต้องการค้นหาวาไรตี้ที่เป็นไบราชันนัลกับและมอร์ฟิซึมไปยังวาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟโดยที่คลาสแอนติแคนอนิกของไฟเบอร์ทั่วไปเป็น แอมเพิล มอร์ ฟิซึมดังกล่าวเรียกว่าปริภูมิไฟเบอร์ฟาโน${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\colon X'\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \dim Y<\dim X',}$${\displaystyle -K_{F}}$${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle \kappa (X)\geqslant 0.}$เราต้องการหาค่าไบราชันนัลสำหรับโดยมีคลาสแคนอนิกnefในกรณีนี้เป็นแบบจำลองขั้นต่ำสำหรับ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{X^{\prime }}}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$

คำถามที่ว่าความหลากหลายที่ปรากฏข้างต้นนั้นไม่ใช่เอกลักษณ์หรือไม่ เป็นคำถามที่สำคัญ ดูเหมือนเป็นเรื่องปกติที่จะหวังว่าหากเราเริ่มต้นด้วยความเรียบเราจะสามารถหาแบบจำลองขั้นต่ำหรือปริภูมิไฟเบอร์ของฟาโนภายในหมวดหมู่ของความหลากหลายที่เรียบได้เสมอ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ความจริง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาความหลากหลายที่มีเอกลักษณ์ด้วย เอกลักษณ์ที่ปรากฏเรียกว่าเอกลักษณ์ ปลายทาง${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

เส้นโค้งพีชคณิตเชิงซ้อนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกเส้นโค้งล้วนเป็นเส้นโค้งเชิงโปรเจกทีฟเรียบที่ไม่ซ้ำกันเพียงเส้นโค้งเดียว ดังนั้นทฤษฎีสำหรับเส้นโค้งจึงเป็นเรื่องง่าย กรณีของพื้นผิวได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยนักเรขาคณิตจากสำนักอิตาลีราวปี 1900 ทฤษฎีบทการหดตัวของGuido Castelnuovoอธิบายกระบวนการสร้างแบบจำลองขั้นต่ำของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบใดๆ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า การแปลงแบบไบราชันนัลที่ไม่ธรรมดาใดๆจะต้องหดตัวเส้นโค้ง −1 ไปยังจุดเรียบ และในทางกลับกัน เส้นโค้งดังกล่าวใดๆ ก็สามารถหดตัวได้อย่างเรียบ ในที่นี้ เส้นโค้ง −1 คือเส้นโค้งเชิงตรรกะเรียบCที่มีการตัดกันเองเส้นโค้งดังกล่าวใดๆ จะต้องมีซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าคลาสมาตรฐานคือ nef แล้ว พื้นผิวนั้นจะไม่มีเส้นโค้ง −1 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle C\cdot C=-1.}$${\displaystyle K\cdot C=-1}$

ทฤษฎีบทของ Castelnuovo บ่งชี้ว่า ในการสร้างแบบจำลองขั้นต่ำสำหรับพื้นผิวเรียบ เราเพียงแค่ยุบเส้นโค้ง −1 ทั้งหมดบนพื้นผิว และวาไรตี้Y ที่ได้ จะเป็นแบบจำลองขั้นต่ำ (ที่ไม่ซ้ำกัน) ที่มีK nef หรือพื้นผิวแบบเส้นตรง (ซึ่งเหมือนกับปริภูมิไฟเบอร์ Fano 2 มิติ และเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟหรือพื้นผิวแบบเส้นตรงเหนือเส้นโค้ง) ในกรณีที่สอง พื้นผิวแบบเส้นตรงที่เป็น birational กับXนั้นไม่ซ้ำกัน แม้ว่าจะมีพื้นผิวแบบเส้นตรงที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสมมาตรกับผลคูณของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟและเส้นโค้ง ประเด็นที่ค่อนข้างละเอียดอ่อนคือ แม้ว่าพื้นผิวอาจมีเส้นโค้ง −1 จำนวนอนันต์ แต่เราจำเป็นต้องยุบเส้นโค้งเหล่านั้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นเพื่อให้ได้พื้นผิวที่ไม่มีเส้นโค้ง −1

ในมิติที่มากกว่า 2 ทฤษฎีจะซับซ้อนมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวาไรตี้เรียบ ที่ไม่เป็นไบราชันนัลกับ วาไรตี้เรียบใดๆ ที่มี คลาสแคนอนิก nefความก้าวหน้าทางแนวคิดที่สำคัญในช่วงทศวรรษ 1970 และต้นทศวรรษ 1980 คือการสร้างแบบจำลองขั้นต่ำยังคงเป็นไปได้ ตราบใดที่ระมัดระวังเกี่ยวกับประเภทของเอกฐานที่เกิดขึ้น (ตัวอย่างเช่น เราต้องการตัดสินใจว่าเป็น nef หรือไม่ ดังนั้นจำนวนจุดตัดจะต้องถูกกำหนด ดังนั้นอย่างน้อยที่สุด วาไรตี้ของเราจะต้องเป็นตัวหารคาร์เทียร์สำหรับจำนวนเต็มบวกบางตัว) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle K_{X'}}$${\displaystyle K_{X'}\cdot C}$${\displaystyle nK_{X'}}$${\displaystyle n}$

ผลลัพธ์สำคัญประการแรกคือทฤษฎีบทกรวยของชิเกฟุมิ โมริซึ่งอธิบายโครงสร้างของกรวยของเส้นโค้งของโดยสรุป ทฤษฎีบทนี้แสดงให้เห็นว่า เมื่อเริ่มต้นด้วยเราสามารถสร้างลำดับของวาไรตี้ ได้โดยวิธีอุปนัยซึ่งแต่ละวาไรตี้จะ "ใกล้" กับค่าnef มากกว่าวาไรตี้ก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม กระบวนการนี้อาจพบกับความยากลำบาก: ณ จุดหนึ่ง วาไรตี้อาจ "มีความเป็นเอกลักษณ์มากเกินไป" วิธีแก้ปัญหาที่คาดการณ์ไว้คือการพลิก (flip) ซึ่งเป็นการผ่าตัดแบบ codimension-2 บนยังไม่ชัดเจนว่าการพลิกที่ต้องการมีอยู่จริงหรือไม่ หรือว่าการพลิกนั้นจะสิ้นสุดลงเสมอ (นั่นคือ การเข้าถึงแบบจำลองขั้นต่ำในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด) โมริ (1988)แสดงให้เห็นว่าการพลิกมีอยู่จริงในกรณี 3 มิติ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K_{X_{i}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X'}$

การมีอยู่ของการพลิกกลับของลอการิทึมทั่วไปได้รับการพิสูจน์โดยVyacheslav Shokurovในมิติสามและสี่ ต่อมาได้รับการขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นโดยCaucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher HaconและJames McKernanโดยอาศัยงานก่อนหน้าของ Shokurov, Hacon และ McKernan พวกเขายังพิสูจน์ปัญหาอื่นๆ อีกหลายปัญหา รวมถึงการสร้างวงแหวนลอการิทึมแบบจำกัด และการมีอยู่ของแบบจำลองขั้นต่ำสำหรับวาไรตี้ประเภทลอการิทึมทั่วไป

ปัญหาการยุติการพลิกล็อกในมิติที่สูงขึ้นยังคงเป็นหัวข้อของการวิจัยอย่างต่อเนื่อง

• การคาดเดาความอุดมสมบูรณ์
• พื้นผิวเชิงเหตุผลขั้นต่ำ