ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต บันเดิลเส้นบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเรียกว่าเนฟ(nef)ถ้ามีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในวาไรตีนั้น ชั้นของบันเดิลเส้นเนฟอธิบายได้ด้วยกรวยนูนและการหดตัวที่เป็นไปได้ของวาไรตีสอดคล้องกับหน้าบางส่วนของกรวยเนฟ เมื่อพิจารณาถึงความสอดคล้องกันระหว่างบันเดิลเส้นและตัวหาร (ที่สร้างจาก วาไรตีย่อยที่ มีมิติร่วม -1) จึงมีแนวคิดที่เทียบเท่ากันของตัวหารเนฟ

โดยทั่วไปแล้ว บันเดิลเส้นLบนแผนผังที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์kเรียกว่าเป็นnefถ้ามีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้ง (ปิดที่ไม่สามารถลดรูปได้ ) ในX [ ^{1 ] (}ดีกรีของบันเดิลเส้นLบนเส้นโค้งที่เหมาะสมCเหนือkคือดีกรีของตัวหาร ( s ) ของส่วนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ sใดๆของL ) บันเดิลเส้นอาจเรียกว่าชีฟ ผกผัน ได้เช่นกัน

คำว่า "nef" ได้รับการแนะนำโดยMiles Reidเพื่อใช้แทนคำเดิมคือ "arithmetically effective" ( Zariski 1962 , นิยาม 7.6) และ "numerically effective" รวมถึงวลี "numerically eventually free" ^{[ 2 ]}คำเดิมนั้นทำให้เข้าใจผิด เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างด้าน ล่าง

บันเดิลเส้นL ทุกอัน บนเส้นโค้งที่เหมาะสมCเหนือkซึ่งมีส่วนตัดทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์จะมีดีกรีไม่เป็นลบ ส่งผลให้ บันเดิลเส้น ที่ไม่มีจุดฐานบนโครงร่างที่เหมาะสมXเหนือkมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้งในXนั่นคือเป็น nef ^{[ 3 ]}โดยทั่วไป บันเดิลเส้นLเรียกว่ากึ่งแอมเพิล หาก กำลังเทนเซอร์ บวกบางตัวไม่มีจุดฐาน บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลจึงเป็น nef บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลสามารถถือได้ว่าเป็นแหล่งที่มาทางเรขาคณิตหลักของบันเดิลเส้น nef แม้ว่าแนวคิดทั้งสองจะไม่เทียบเท่ากัน ดูตัวอย่างด้านล่าง ${\displaystyle L^{\otimes a}}$

ตัวหารคาร์เทียร์Dบนโครงร่างที่เหมาะสมXเหนือฟิลด์ จะเรียกว่าเป็น nef ถ้ากลุ่มเส้นตรงที่เกี่ยวข้องO ( D ) เป็น nef บนXหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งDเป็น nef ถ้าจำนวนจุดตัด เป็นค่าที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกเส้นโค้ง CในX${\displaystyle D\cdot C}$

เพื่อย้อนกลับจากมัดเส้นไปสู่ตัวหารชั้น Chern แรกคือไอโซมอร์ฟิซึมจากกลุ่ม Picardของมัดเส้นบนวาไรตี้Xไปยังกลุ่มตัวหาร Cartier โมดูลความสมมูลเชิงเส้นกล่าวคือ ชั้น Chern แรกคือตัวหาร ( s ) ของส่วนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์s ใด ^ๆของL [ ^{4 ]}${\displaystyle c_{1}(L)}$

ในการทำงานกับอสมการ การพิจารณาR -divisors ซึ่งหมายถึงการรวมเชิงเส้น จำกัด ของ Cartier divisors ที่มีสัมประสิทธิ์จริงนั้น สะดวกกว่า R -divisors modulo numerical equivalence ก่อให้เกิด ปริภูมิเวกเตอร์ จริงที่มีมิติจำกัด ซึ่งก็ คือกลุ่ม Néron–Severi ที่ถูกเทนเซอร์ด้วยจำนวนจริง^{[ 5 ]} (กล่าวอย่างชัดเจน: R -divisors สองตัวจะถือว่าเทียบเท่ากันทางตัวเลขหากมีจำนวนจุดตัดเดียวกันกับเส้นโค้งทั้งหมดในX ) R -divisor เรียกว่า nef หากมีดีกรีไม่เป็นลบในทุกเส้นโค้ง R -divisors nef ก่อให้เกิดกรวยนูนปิดใน ซึ่งก็คือกรวย nef Nef( X ) ${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

กรวยของเส้นโค้งถูกกำหนดให้เป็นกรวยนูนของการรวมเชิงเส้นของเส้นโค้งที่มีสัมประสิทธิ์จริงที่ไม่เป็นลบในปริภูมิเวกเตอร์จริงของวัฏจักร 1 โมดูลความสมมูลเชิงตัวเลข ปริภูมิเวกเตอร์และเป็นคู่กันโดยการจับคู่จุดตัด และกรวย nef เป็น (ตามคำนิยาม) กรวยคู่ของกรวยของเส้นโค้ง^{[ 6 ]}${\displaystyle N_{1}(X)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle N_{1}(X)}$

ปัญหาสำคัญในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือการวิเคราะห์ว่าบันเดิลเส้นใดเป็นแอมเพิลเนื่องจากนั่นหมายถึงการอธิบายวิธีการต่างๆ ที่วาไรตี้สามารถฝังลงในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟได้ คำตอบหนึ่งคือเกณฑ์ของไคลแมน (1966): สำหรับโครงร่างเชิงโปรเจกทีฟ Xเหนือฟิลด์ บันเดิลเส้น (หรือ ตัวหาร R ) เป็นแอมเพิลก็ต่อเมื่อคลาสของมันในอยู่ในส่วนภายในของกรวยเนฟ^{[ 7 ]} ( ตัวหาร Rเรียกว่าแอมเพิลถ้าสามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นบวกของตัวหารคาร์เทียร์แอมเพิล) จากเกณฑ์ของไคลแมน สำหรับX เชิงโปรเจกทีฟ ตัวหาร R เนฟ ทุกตัวบนXเป็นลิมิตของตัว หาร Rแอมเพิลในอันที่จริง สำหรับDเนฟและAแอมเพิลD + cAเป็นแอมเพิลสำหรับจำนวนจริงc > 0 ทั้งหมด${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

ให้Xเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนขนาดกะทัดรัด ที่มี เมตริกเฮอร์มิเชียนคงที่ซึ่งมองได้ว่าเป็นรูปแบบบวก (1,1) ตามJean-Pierre Demailly , Thomas Peternell และ Michael Schneider บันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกLบนXเรียกว่าเป็นnefถ้าสำหรับทุกๆมีเมตริกเฮอร์มิเชียนเรียบบนLซึ่งความโค้งเป็นไปตาม เมื่อXเป็นโปรเจคทีฟเหนือCสิ่งนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความก่อนหน้านี้ (ที่Lมีดีกรีไม่เป็นลบบนเส้นโค้งทั้งหมดในX ) ^{[ 8 ]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle h_{\epsilon }}$${\displaystyle \Theta _{h_{\epsilon }}(L)\geq -\epsilon \omega }$

แม้แต่สำหรับXที่ฉายภาพเหนือCบันเดิลเส้นเนฟLไม่จำเป็นต้องมีเมตริกเฮอร์มิเชียนhที่มีความโค้งซึ่งอธิบายคำจำกัดความที่ซับซ้อนกว่าที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 9 ]}${\displaystyle \ทีต้า _{h}(L)\geq 0}$

• ถ้าXเป็นพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบ และCเป็นเส้นโค้ง (ที่ไม่สามารถลดรูปได้) ในXที่มีจำนวนจุดตัดตัวเองเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ แล้วCเป็นเส้นโค้งที่มีประสิทธิภาพ (nef) บนX เพราะเส้นโค้ง ที่แตกต่างกันสองเส้นใดๆบนพื้นผิวจะมีจำนวนจุดตัดตัวเองเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ถ้าแล้วCเป็นเส้นโค้งที่มีประสิทธิภาพ (effective) แต่ไม่ใช่เส้นโค้งที่มีประสิทธิภาพ (nef) บนXตัวอย่างเช่น ถ้าXเป็นการขยาย (blow-up)ของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบYที่จุดหนึ่ง แล้วเส้นโค้งพิเศษEของการขยายจะมีค่าที่ไม่เป็น ลบ${\displaystyle C^{2}\geq 0}$${\displaystyle C^{2}<0}$${\displaystyle \pi \colon X\to Y}$${\displaystyle E^{2}=-1}$
• ตัวหารที่มีประสิทธิภาพทุกตัวบนแมนิโฟลด์ธงหรือวาไรตี้อาเบเลียนคือ nef โดยใช้ว่าวาไรตี้เหล่านี้มีการกระทำแบบทรานซิทีฟของกลุ่มพีชคณิต ที่เชื่อมต่อ กัน^{[ 10 ]}
• บันเดิลเส้นตรง Lทุกตัวที่มีดีกรี 0 บนเส้นโค้งเชิงซ้อนเรียบX นั้นเป็นเนฟ (nef) แต่L นั้น เป็นเซมิ-แอมเพิล (semi-ample) ก็ต่อเมื่อLเป็นทอร์ชั่น (torsion) ในกลุ่มพิคาร์ด (Picard group) ของX เท่านั้น สำหรับXที่มีจีนัสgอย่างน้อย 1 บันเดิลเส้นตรงส่วนใหญ่ที่มีดีกรี 0 นั้นไม่ใช่ทอร์ชั่น โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าจา โคเบียน ( Jacobian)ของXเป็นวาไรตี้อาเบเลียน (abelian variety) ที่มีมิติg
• บันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลทุกอันเป็น nef แต่ไม่ใช่ว่าบันเดิลเส้น nef ทุกอันจะเทียบเท่ากับบันเดิลเส้นกึ่งแอมเพิลในเชิงตัวเลข ตัวอย่างเช่นDavid Mumfordสร้างบันเดิลเส้นLบนพื้นผิวเส้น ตรง X ที่เหมาะสม โดยที่Lมีดีกรีบวกบนเส้นโค้งทั้งหมด แต่จำนวนจุดตัดเป็นศูนย์^{[ 11 ]}เป็นผลให้Lเป็น nef แต่ไม่มีผลคูณบวกใดๆ ที่เทียบเท่ากับตัวหารที่มีประสิทธิภาพในเชิง ตัวเลขโดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่ของส่วนตัดทั่วโลกเป็นศูนย์สำหรับจำนวนเต็มบวกa ทั้งหมด${\displaystyle c_{1}(L)^{2}}$${\displaystyle c_{1}(L)}$${\displaystyle H^{0}(X,L^{\otimes a})}$

การหดตัวของวา ไร ตี้เชิงโปรเจกที ฟ ปกติXเหนือฟิลด์kคือมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึงโดยที่Y เป็นวาไร ตี้เชิงโปรเจกทีฟปกติเหนือkซึ่ง. (เงื่อนไขหลังนี้หมายความว่าfมี ไฟเบอร์ ที่เชื่อมต่อกันและเทียบเท่ากับfมีไฟเบอร์ที่เชื่อมต่อกันหากkมีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์^{[ 12 ]} ) การหดตัวเรียกว่าไฟเบรชันถ้า dim( Y ) < dim( X ) การหดตัวที่มี dim( Y ) = dim( X ) จะเป็นมอร์ฟิซึมแบบไบราชันแนลโดย อัตโนมัติ ^{[ 13 ]} (ตัวอย่างเช่นXอาจเป็นการเป่าขึ้นของพื้นผิวเชิงโปรเจกทีฟเรียบYที่จุดหนึ่ง) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Y}}$

หน้าF ของกรวยนูนNหมายถึงกรวยย่อยนูนซึ่งจุดสองจุดใดๆ ของNที่ผลรวมอยู่ในFจะต้องอยู่ในF ด้วยเช่นกัน การหดตัวของXกำหนดหน้าFของกรวย nef ของX กล่าวคือ จุดตัดของ Nef( X ) กับpullbackในทางกลับกัน เมื่อกำหนดวาไรตี้Xหน้าFของกรวย nef จะกำหนดการหดตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม อันที่จริง มีมัดเส้นกึ่งแอมเพิลLบนXซึ่งคลาสในอยู่ในส่วนภายในของF (ตัวอย่างเช่น ให้Lเป็น pullback ไปยังXของมัดเส้นแอมเพิลใดๆ บนY ) มัดเส้นดังกล่าวใดๆ กำหนดYโดยการสร้าง Proj : ^{[ 14 ]}${\displaystyle f^{*}(N^{1}(Y))\subset N^{1}(X)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

${\displaystyle Y={\text{Proj }}\bigoplus _{a\geq 0}H^{0}(X,L^{\otimes a}).}$

เพื่ออธิบายYในเชิงเรขาคณิต: เส้นโค้งCในXจะแมปไปยังจุดในYก็ต่อเมื่อLมีดีกรีเป็นศูนย์บนCเท่านั้น

ด้วยเหตุนี้ จึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการหดตัวของXและบางหน้าของกรวยเนฟของX ^{[ 15 ]} (การจับคู่นี้สามารถกำหนดได้แบบคู่ขนานเช่นกัน ในแง่ของหน้าของกรวยของเส้นโค้ง) การรู้ว่ามัดเส้นเนฟใดเป็นกึ่งแอมเพิลจะช่วยกำหนดว่าหน้าใดสอดคล้องกับการหดตัวทฤษฎีบทกรวยอธิบายถึงชั้นของหน้าที่สำคัญที่สอดคล้องกับการหดตัว และการคาดการณ์ความอุดมสมบูรณ์จะให้ข้อมูลเพิ่มเติม

ตัวอย่าง: ให้Xเป็นการระเบิดของระนาบเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟที่จุดpให้Hเป็นการดึงกลับไปยังXของเส้นบนและให้Eเป็นเส้นโค้งพิเศษของการระเบิดจากนั้นXมีจำนวน Picard เท่ากับ 2 ซึ่งหมายความว่าปริภูมิเวกเตอร์จริงมีมิติ 2 ตามเรขาคณิตของกรวยนูนที่มีมิติ 2 กรวย nef จะต้องถูกสร้างขึ้นโดยรังสีสองเส้น กล่าวคือ รังสีเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นโดยHและH − E ^{[ 16} ] ในตัวอย่างนี้ รังสีทั้งสองสอดคล้องกับการหดตัวของX : Hให้มอร์ฟิซึมแบบไบราชันนัลและH − Eให้ไฟเบอร์เรชันที่มีไฟเบอร์ที่สมมาตรกับ(สอดคล้องกับเส้นในที่ผ่านจุดp ) เนื่องจากกรวย nef ของX ไม่มี ^หน้าอื่นที่ไม่ใช่หน้าธรรมดา นี่จึงเป็นการหดตัวที่ไม่ใช่หน้าธรรมดาเพียงอย่างเดียวของXซึ่งจะมองเห็นได้ยากขึ้นหากไม่มีความสัมพันธ์กับกรวยนูน ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle \pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle N^{1}(X)}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$