ในทางคณิตศาสตร์บันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกคือ บันเดิลเวกเตอร์เชิงซ้อนบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนXโดยที่ปริภูมิทั้งหมดEเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน และแผนที่การฉายภาพπ : E → Xเป็น แผนที่ โฮโลมอร์ฟิกตัวอย่างพื้นฐานได้แก่บันเดิลแทนเจนต์โฮโลมอร์ฟิกของแมนิโฟลด์เชิงซ้อน และบันเดิลโคแทนเจนต์โฮโลมอ ร์ฟิก ซึ่งเป็นบันเดิลคู่ของมัน บันเดิลเส้นโฮโลมอร์ฟิกคือบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิกอันดับหนึ่ง

ตามทฤษฎี GAGA ของ Serre หมวด หมู่ของเวกเตอร์บันเดิลโฮโลมอร์ฟิกบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนเรียบX (ซึ่งมองว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อน) เทียบเท่ากับหมวดหมู่ของเวกเตอร์บันเดิลพีชคณิต (กล่าวคือชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับจำกัด) บนX

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำเป็นต้องมีแผนที่การทำให้เป็นเรื่องเล็กน้อย

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

เป็นแผนที่แบบไบโฮโลมอร์ฟิกซึ่งเทียบเท่ากับการกำหนดให้ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

เป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิก โครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกบนบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนได้รับการรับประกันโดยข้อสังเกตที่ว่าอนุพันธ์ (ในความหมายที่เหมาะสม) ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีค่าเป็นเวกเตอร์นั้นเป็นโฮโลมอร์ฟิกด้วยตัวมันเอง

ให้Eเป็นเวクターบันเดิลเชิงโฮโลมอร์ฟิก ส่วนตัดเฉพาะที่s  : U → E | _Uกล่าวได้ว่าเป็น ส่วนตัดเชิงโฮโลม อร์ฟิกถ้าในบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุดในUส่วนตัดนั้นเป็นเชิงโฮโลมอร์ฟิกในการทำให้เป็นกลางแบบใดแบบหนึ่ง (หรือเทียบเท่ากับแบบใดก็ได้)

เงื่อนไขนี้เป็นแบบเฉพาะที่ หมายความว่าส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิกก่อตัวเป็นชีฟบนXชีฟนี้บางครั้งใช้สัญลักษณ์หรือเรียกอย่างไม่เป็นทางการว่าEชีฟดังกล่าวเป็นอิสระเฉพาะที่เสมอและมีอันดับเท่ากับอันดับของบันเดิลเวกเตอร์ ถ้าEเป็นบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญชีฟ นี้จะตรงกับชีฟโครงสร้างของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนX${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

มีบันเดิลเส้นตรงซึ่งส่วนตัดทั่วโลกของมันสอดคล้องกับพหุนามเอกพันธุ์ดีกรี(สำหรับจำนวนเต็มบวก) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสอดคล้องกับบันเดิลเส้นตรง ที่ไม่สำคัญ ถ้าเราพิจารณาการคลุมด้วยเซตเปิดแล้ว เราจะพบแผนภูมิที่กำหนดโดย${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

เราสามารถสร้างฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านที่กำหนดโดย${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

ทีนี้ ถ้าเราพิจารณาบันเดิลที่ไม่สำคัญเราสามารถสร้างฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านแบบเหนี่ยวนำได้ถ้าเราใช้พิกัดบนไฟเบอร์ เราก็สามารถสร้างฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านได้${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$${\displaystyle \psi _{i,j}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

สำหรับจำนวนเต็มใดๆแต่ละจำนวนเหล่านี้จะเกี่ยวข้องกับบันเดิลเส้นตรงเนื่องจากบันเดิลเวกเตอร์จำเป็นต้องดึงกลับ ดังนั้นส่วนย่อยโฮโลมอร์ฟิกใดๆ ก็มีบันเดิลเส้นตรงที่เกี่ยวข้องซึ่งบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$

สมมติว่าEเป็นเวクターบันเดิลโฮโลมอร์ฟิก จากนั้นจะมีตัวดำเนินการที่โดดเด่นซึ่งกำหนดไว้ดังต่อไปนี้ ในการทำให้ E เป็นแบบธรรมดาในระดับท้องถิ่นโดยมีกรอบท้องถิ่นส่วนใดๆ ก็สามารถเขียนได้สำหรับฟังก์ชันเรียบบางฟังก์ชันกำหนดตัวดำเนินการในระดับท้องถิ่นโดย ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

โดยที่ ตัวดำเนินการ Cauchy–Riemannปกติ ของแมนิโฟลด์ฐานคือ อะไร ตัวดำเนินการนี้ถูกกำหนดไว้อย่างดีบน Eทั้งหมดเพราะบนการทับซ้อนของการทำให้เป็นศูนย์สองครั้งด้วยฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านแบบโฮโลมอร์ฟิกถ้าโดยที่เป็นเฟรมท้องถิ่นสำหรับEบนแล้วและดังนั้น ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{\beta }}$${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

เนื่องจากฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความต่อไปนี้: ตัวดำเนินการดอลโบต์บนกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนเรียบคือตัวดำเนินการเชิงเส้น ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

โดยที่

• (เงื่อนไขโคชี-รีมันน์ )${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$
• (กฎของไลบ์นิซ)สำหรับส่วนและฟังก์ชัน ใดๆ บนหนึ่งจะมี${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Newlander–Nirenbergจะได้ผลลัพธ์ตรงกันข้ามกับการสร้างตัวดำเนินการ Dolbeault ของบันเดิลโฮโลมอร์ฟิก: ^{[ 1 ]}

ทฤษฎีบท:เมื่อกำหนดตัวดำเนินการดอลโบต์บนกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนเรียบจะมีโครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่ซ้ำกันบนกลุ่ม เวกเตอร์เชิงซ้อนเรียบ โดย ที่เป็นตัวดำเนินการดอลโบต์ที่เกี่ยวข้องตามที่สร้างขึ้นข้างต้น${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

ในส่วนที่เกี่ยวกับโครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกที่เกิดจากตัวดำเนินการดอลโบต์ส่วนเรียบจะเป็นโฮโลมอร์ฟิกก็ต่อเมื่อซึ่งคล้ายคลึงกับนิยามของแมนิโฟลด์เรียบหรือแมนิโฟลด์เชิงซ้อนในฐานะปริภูมิวงแหวนกล่าวคือ เพียงแค่ระบุว่าฟังก์ชันใดบน แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี เป็นฟังก์ชันเรียบหรือฟังก์ชันเชิงซ้อน ก็เพียงพอที่จะทำให้แมนิโฟลด์นั้นมีโครงสร้างเรียบหรือโครงสร้างเชิงซ้อน ได้${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$

ตัวดำเนินการ Dolbeault มีตัวผกผันเฉพาะที่ในแง่ของตัวดำเนินการโฮโมโทปี^{[ 2 ]}

ถ้าแทนชีฟของ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ C ^∞ประเภท( p , q )แล้ว ชีฟของรูปแบบประเภท( p , q )ที่มีค่าในEสามารถนิยามได้ว่าเป็นผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

ชีฟเหล่านี้ดีหมายความว่าพวกมันยอมรับการแบ่งส่วนของเอกภาพ ความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเวกเตอร์บันเดิลเรียบและเวกเตอร์บันเดิลโฮโลมอร์ฟิกคือ ในกรณีหลังจะมีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ แบบแคนอนิก ซึ่งกำหนดโดยตัวดำเนินการดอลโบต์ที่นิยามไว้ข้างต้น:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

ถ้าEเป็นเวクターบันเดิลเชิงโฮโลมอร์ฟิก โคฮอโมโลยีของEจะถูกกำหนดให้เป็นโคฮอโมโลยีชีฟของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

พื้นที่ของส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิกทั่วโลกของEนอกจากนี้เรายังมีพารามิเตอร์ที่กำหนดกลุ่มของส่วนขยายของบันเดิลเส้นตรงที่ไม่สำคัญของX โดย E นั่นคือลำดับที่แน่นอนของบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก0 → E → F → X × C → 0 สำหรับโครงสร้างของกลุ่ม โปรดดู ผลรวมของแบร์และส่วนขยายชีฟด้วย${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$

ตามทฤษฎีบทของ Dolbeaultโคฮอโมโลยีชีฟนี้สามารถอธิบายได้อีกทางหนึ่งว่าเป็นโคฮอโมโลยีของคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ที่กำหนดโดยชีฟของฟอร์มที่มีค่าอยู่ในบันเดิลโฮโลมอร์ฟิกกล่าวคือ เรามี ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

ในบริบทของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่ ซับซ้อน กลุ่ม Picard Pic( X )ของแมนิโฟลด์เชิงซ้อนXคือกลุ่มของชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเส้นตรงโฮโลมอร์ฟิกที่มีกฎกลุ่มกำหนดโดยผลคูณเทนเซอร์และการผกผันกำหนดโดยการคู่ขนาน สามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นกลุ่มโคฮอโมโลยีแรกของชีฟของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$

ให้Eเป็นเวクターบันเดิลเชิงโฮโลมอร์ฟิกบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนMและสมมติว่ามีเมตริกเฮอร์มิเชียนบนEนั่นคือ ไฟเบอร์E _xมีผลคูณภายใน <·,·> ที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่น แล้วจะมีคอนเน็กชัน ∇ ที่ไม่ซ้ำกันบนEซึ่งเข้ากันได้กับทั้งโครงสร้างเชิงซ้อนและโครงสร้างเมตริก เรียกว่าคอนเน็กชันเชิร์นนั่นคือ ∇ เป็นคอนเน็กชันที่ทำให้

(1) สำหรับส่วนเรียบใดๆsของEโดยที่π _0,1 จะ ใช้ส่วนประกอบ (0, 1) ของฟอร์ม 1 ที่มีค่าเป็นE${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$

(2) สำหรับส่วนเรียบs , t ใด ๆ ของEและสนามเวกเตอร์XบนM

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

โดยที่เราเขียนถึงการหดตัวของโดยX (ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่าการขนส่งแบบขนานโดย ∇ รักษาเมตริก <·,·> ไว้)${\displaystyle \nabla _{X}s}$${\displaystyle \nabla s}$

อันที่จริง ถ้าu = ( e ₁ , …, e _n ) เป็นเฟรมโฮโลมอร์ฟิกแล้ว ให้กำหนด ω _uโดยสมการซึ่งเราเขียนให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้: ${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

ถ้าu' = ugเป็นเฟรมอื่นที่มีการเปลี่ยนแปลงฐานโฮโลมอร์ฟิกgแล้ว

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

ดังนั้น ω จึงเป็นรูปแบบการเชื่อมต่อ อย่างแท้จริง ซึ่งก่อให้เกิด ∇ โดย ∇ s = ds + ω · sทีนี้ เนื่องจาก, ${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

นั่นคือ ∇ เข้ากันได้กับโครงสร้างเมตริก สุดท้าย เนื่องจาก ω เป็นฟอร์ม (1, 0) ดังนั้นส่วนประกอบ (0, 1) ของ คือ${\displaystyle \nabla s}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$

ให้เป็นรูปแบบความโค้งของ ∇ เนื่องจากกำลังสองเป็นศูนย์ตามนิยามของตัวดำเนินการ Dolbeault ดังนั้น Ω จึงไม่มีส่วนประกอบ (0, 2) และเนื่องจาก Ω สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าเป็น skew-hermitian ^{[ 3 ]}จึงไม่มีส่วนประกอบ (2, 0) ด้วยเช่นกัน ดังนั้น Ω จึงเป็นรูปแบบ (1, 1) ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

ความโค้ง Ω ปรากฏอย่างเด่นชัดในทฤษฎีบทการหายไปของโคฮอโมโลยีระดับสูงของบันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก เช่นทฤษฎีบทการหายไปของโคไดระและทฤษฎีบทการหายไปของนาคาโน

• ทฤษฎีบทเบิร์คฮอฟฟ์-โกรเทนดิค
• ควิลเลนเมตริก
• ความเป็นคู่ของเซร์เร

• หลักการแบ่งแยกสำหรับกลุ่มเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก