ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีเกจการเชื่อมต่อบนไฟเบอร์บันเดิลเป็นกลไกที่กำหนดแนวคิดของการขนส่งแบบขนานบนบันเดิล กล่าวคือ วิธีการ "เชื่อมต่อ" หรือระบุไฟเบอร์เหนือจุดที่อยู่ใกล้เคียงกัน กรณีที่พบบ่อยที่สุดคือการเชื่อมต่อเชิงเส้นบนเวกเตอร์บันเดิลซึ่งแนวคิดของการขนส่งแบบขนานจะต้องเป็นเชิงเส้นการเชื่อมต่อเชิงเส้นสามารถระบุได้อย่างเทียบเท่าโดยอนุพันธ์ร่วมแปรซึ่งเป็นตัวดำเนินการที่หาอนุพันธ์ของส่วนต่างๆของบันเดิลตามทิศทางสัมผัสในแมนิโฟลด์ฐาน ในลักษณะที่ส่วนขนานมีอนุพันธ์เป็นศูนย์ การเชื่อมต่อเชิงเส้นเป็นการขยายการเชื่อมต่อ Levi-Civitaบนบันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ ไปยังเวกเตอร์บันเดิลใดๆ ซึ่งให้วิธีการมาตรฐานในการหาอนุพันธ์ของฟิลด์เวกเตอร์การเชื่อมต่อแบบไม่เชิงเส้นเป็นการขยายแนวคิดนี้ไปยังบันเดิลที่มีไฟเบอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงเส้น

การเชื่อมต่อเชิงเส้นยังเรียกว่าการเชื่อมต่อแบบ Koszulตามชื่อของJean-Louis Koszulผู้ซึ่งได้วางกรอบทางพีชคณิตเพื่ออธิบายการเชื่อมต่อเหล่านี้ ( Koszul 1950 )

บทความนี้ให้คำจำกัดความของการเชื่อมต่อบนเวกเตอร์บันเดิลโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ทั่วไป ซึ่งลดความสำคัญของพิกัดลง อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์อื่นๆ ก็ถูกใช้เป็นประจำเช่นกัน: ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปการคำนวณเวกเตอร์บันเดิลมักเขียนโดยใช้เทนเซอร์ที่มีดัชนี ในทฤษฎีเกจ เอนโดมอร์ฟิซึมของไฟเบอร์ในปริภูมิเวกเตอร์จะถูกเน้นย้ำ สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันนั้นเทียบเท่ากัน ดังที่ได้กล่าวไว้ในบทความเกี่ยวกับการเชื่อมต่อเมตริก (ข้อคิดเห็นที่กล่าวไว้ในนั้นใช้ได้กับเวกเตอร์บันเดิลทั้งหมด)

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นปริภูมิยุคลิดฟังก์ชันเวกเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนตัดของบันเดิลเวกเตอร์ แบบไม่สำคัญ เราอาจพิจารณาส่วนตัดของบันเดิลเวกเตอร์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทั่วไป และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องธรรมชาติที่จะถามว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาอนุพันธ์ของส่วนตัด ซึ่งเป็นการขยายความทั่วไปของวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบน M${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$

ตัวอย่างกรณีศึกษาคือการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนปริภูมิยูคลิดในบริบทนี้ อนุพันธ์ณ จุดหนึ่งในทิศทางหนึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยสูตรมาตรฐาน ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

สำหรับทุกๆ ค่านี้ จะกำหนดเวกเตอร์ใหม่ขึ้นมา${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

เมื่อทำการส่งผ่านไปยังส่วนหนึ่งของเวกเตอร์บันเดิลบนแมนิโฟลด์จะพบปัญหาสำคัญสองประการกับคำจำกัดความนี้ ประการแรก เนื่องจากแมนิโฟลด์ไม่มีโครงสร้างเชิงเส้น เทอมดังกล่าวจึงไม่มีความหมายบนแทนที่จะเป็นเช่นนั้น เราจะเลือกเส้นทางที่ทำให้และคำนวณ ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x+tv}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

อย่างไรก็ตาม นี่ก็ยังไม่สมเหตุสมผลอยู่ดี เพราะและเป็นองค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่แตกต่างกันและซึ่งหมายความว่าการลบพจน์ทั้งสองนี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างเป็นธรรมชาติ ${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle X(\gamma (0))}$${\displaystyle E_{\แกมมา (t)}}$${\displaystyle E_{x}.}$

ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยการเพิ่มโครงสร้างการเชื่อมต่อเข้าไปในกลุ่มเวกเตอร์ มีมุมมองอย่างน้อยสามมุมมองที่สามารถใช้ในการทำความเข้าใจการเชื่อมต่อได้ เมื่อกำหนดอย่างแม่นยำแล้ว มุมมองทั้งสามนั้นก็มีความเท่าเทียมกัน

1. ( การขนส่งแบบขนาน ) การเชื่อมต่อสามารถมองได้ว่าเป็นการกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นให้กับทุกเส้นทางที่หาอนุพันธ์ได้โดยใช้ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ เราสามารถขนส่งไปยังไฟเบอร์แล้วจึงหาผลต่างได้ กล่าวคือเพื่อให้สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับเท่านั้นและไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ขยายออกไปจำเป็นต้องกำหนดข้อจำกัด (ในคำนิยาม) เกี่ยวกับการขึ้นอยู่ของบนนี่ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะกำหนด ดังนั้นแนวคิดของ "การขนส่งแบบขนาน" นี้จึงมักได้มาเป็นผลพลอยได้จากวิธีการกำหนดการเชื่อมต่อแบบอื่น อันที่จริง แนวคิดต่อไปนี้ของ "การเชื่อมต่อ Ehresmann" ก็ไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากสูตรอนันต์เล็กของการขนส่งแบบขนาน${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\ถึง E_{x}}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$$${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle v,}$${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma .}$
2. ( การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ) ส่วนนี้อาจมองได้ว่าเป็นแผนที่เรียบจากแมนิโฟลด์เรียบไปยังแมนิโฟลด์เรียบดังนั้น เราอาจพิจารณาการผลักดันไปข้างหน้าซึ่งเป็นองค์ประกอบของปริภูมิสัมผัสในการกำหนดการเชื่อมต่อของ Ehresmann เราเลือกวิธีการกำหนดให้กับแต่ละส่วนโดยการแยกส่วนผลรวมโดยตรงของออกเป็นสองปริภูมิย่อยเชิงเส้น โดยที่ปริภูมิย่อยหนึ่งคือการฝังตัวตามธรรมชาติของด้วยข้อมูลเพิ่มเติมนี้ เรากำหนดโดยการฉายภาพให้มีค่าในเพื่อให้เคารพโครงสร้างเชิงเส้นของเวกเตอร์บันเดิล เรากำหนดข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการที่การแยกส่วนผลรวมโดยตรงของเคลื่อนที่เมื่อeเปลี่ยนแปลงไปตามไฟเบอร์${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E.}$${\displaystyle dX(v),}$${\displaystyle T_{X(x)}E.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e\in E_{x},}$${\displaystyle T_{X(x)}E}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle \nabla _{v}X}$${\displaystyle dX(v)}$${\displaystyle E_{x}.}$${\displaystyle T_{e}E}$
3. ( อนุพันธ์โคแวเรียนต์ ) อนุพันธ์มาตรฐานในบริบทของยุคลิดนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขบางประการโดยเงื่อนไขพื้นฐานที่สุดคือความเป็นเชิงเส้น อนุพันธ์โคแวเรียนต์ถูกนิยามให้เป็นการดำเนินการใดๆที่เลียนแบบคุณสมบัติเหล่านี้ พร้อมกับรูปแบบหนึ่งของกฎผลคูณ${\displaystyle dX(v)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$

เว้นแต่ว่าฐานจะมีมิติเป็นศูนย์ จะมีการเชื่อมต่อที่ไม่มีที่สิ้นสุดอยู่เสมอซึ่งมีอยู่บนกลุ่มเวกเตอร์ที่หาอนุพันธ์ได้ และดังนั้นจึงมีตัวเลือก ที่สอดคล้องกันเสมอ ว่าจะหาอนุพันธ์ของส่วนต่างๆ อย่างไร ขึ้นอยู่กับบริบท อาจมีตัวเลือกที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ตัวเลือกที่กำหนดโดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย บางอย่าง ในกรณีของกลุ่มสัมผัสเมตริกแบบซูโดรีมันน์ใดๆ(และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมตริกแบบรีมันน์ ใดๆ ) จะกำหนดการเชื่อมต่อแบบแคนอนิกที่เรียกว่าการเชื่อมต่อเลวี-ซีวิทา

ให้ เป็น มัดเวกเตอร์จริงเรียบเหนือแมนิโฟลด์เรียบแทนปริภูมิของส่วน เรียบ ของด้วยอนุพันธ์ร่วมแปรบนคือโครงสร้างที่เทียบเท่ากันอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ :${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle \Gamma (\pi )}$${\displaystyle \pi }$

1. แผนที่เชิงเส้นแบบแอน (an - linear map ) ที่กฎผลคูณ ใช้ได้กับ ฟังก์ชันเรียบทั้งหมดบนและส่วนเรียบทั้งหมดของ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla :\Gamma (\pi )\to \Gamma (T^{*}M\otimes \pi )}$$${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \pi .}$
2. การกำหนดค่าให้กับส่วนเรียบs ใดๆ และทุกๆของแผนที่เชิงเส้น -linear ซึ่งขึ้นอยู่กับx อย่างราบรื่น และโดยที่สำหรับส่วนเรียบสองส่วนใดๆและจำนวนจริงใดๆ และโดยที่สำหรับ ฟังก์ชันเรียบทุกฟังก์ชันจะมีความสัมพันธ์กับโดย สำหรับ และใดๆ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to \pi ^{-1}(x)}$$${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$${\displaystyle s_{1},s_{2}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla (fs)}$${\displaystyle \nabla s}$$${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

นอกเหนือจากการใช้การระบุแบบมาตรฐานระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิเวกเตอร์ของแผนที่เชิงเส้นแล้วคำจำกัดความทั้งสองนี้เหมือนกันทุกประการและแตกต่างกันเพียงแค่ภาษาที่ใช้เท่านั้น ${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle T_{x}M\to \pi ^{-1}(x),}$

โดยทั่วไปมักใช้สัญลักษณ์โดยที่ หมายถึง ซึ่งแฝงอยู่ในด้วยสัญลักษณ์นี้ กฎการคูณในนิยามฉบับที่สองที่กล่าวมาข้างต้นจึงเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$${\displaystyle \nabla _{v}s,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v.}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

หมายเหตุในกรณีของกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนนิยามข้างต้นยังคงมีความหมาย แต่โดยทั่วไปแล้วจะมีการปรับเปลี่ยนโดยการเปลี่ยน "จริง" และ " " ทุกที่ที่ปรากฏเป็น "เชิงซ้อน" และ " " ซึ่งเป็นการเพิ่มข้อจำกัดเพิ่มเติม เนื่องจากไม่ใช่ทุกแผนที่เชิงเส้นจริงระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนจะเป็นแผนที่เชิงเส้นเชิงซ้อน มีความกำกวมอยู่บ้างในความแตกต่างนี้ เนื่องจากกลุ่มเวกเตอร์เชิงซ้อนสามารถถือได้ว่าเป็นกลุ่มเวกเตอร์จริงเช่นกัน ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์บันเดิลหนึ่งแล้วจะมีบันเดิลที่เกี่ยวข้องมากมายที่สามารถสร้างขึ้นมาได้ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์บันเดิลคู่พลังเทนเซอร์พลังเทนเซอร์สมมาตรและ ไม่สมมาตร และผลรวมโดยตรงการเชื่อมต่อบนบันเดิลหนึ่งจะเหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมต่อบนบันเดิลที่เกี่ยวข้องเหล่านี้ ความง่ายในการส่งผ่านระหว่างการเชื่อมต่อบนบันเดิลที่เกี่ยวข้องนั้นถูกอธิบายได้อย่างงดงามยิ่งขึ้นด้วยทฤษฎีการเชื่อมต่อบันเดิลหลักแต่ในที่นี้เราจะนำเสนอการเชื่อมต่อที่เหนี่ยวนำพื้นฐานบางส่วน ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$${\displaystyle E^{\oplus k}}$${\displaystyle E}$

เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อบน แล้วการเชื่อมต่อคู่ที่เหนี่ยวนำบนจะถูกกำหนดโดยปริยายโดย ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

นี่ คือ สนามเวกเตอร์เรียบเป็นส่วนหนึ่งของและเป็นส่วนหนึ่งของบันเดิลคู่และการจับคู่ตามธรรมชาติระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ (เกิดขึ้นบนแต่ละไฟเบอร์ระหว่างและ) นั่นคือสังเกตว่าคำจำกัดความนี้บังคับให้ เป็นการเชื่อมต่อบนเพื่อให้เป็นไปตามกฎผลคูณ ตามธรรมชาติ สำหรับการจับคู่ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \xi ,s\rangle :=\xi (s)}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

กำหนดการเชื่อมต่อบนเวกเตอร์บันเดิลสองชุดให้กำหนดการเชื่อมต่อผลคูณเทนเซอร์โดยใช้สูตร ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

ที่นี่เรามีสังเกตอีกครั้งว่านี่เป็นวิธีการรวมกันตามธรรมชาติเพื่อบังคับใช้กฎผลคูณสำหรับการเชื่อมต่อผลคูณเทนเซอร์ โดยการประยุกต์ใช้โครงสร้างข้างต้นซ้ำๆ กับผลคูณเทนเซอร์เรายังได้รับการเชื่อมต่อกำลังเทนเซอร์บนสำหรับเวกเตอร์บันเดิล ใดๆ ด้วย ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle E}$

การเชื่อมต่อผลรวมโดยตรงถูกกำหนดโดย

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

ที่ไหน. ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

เนื่องจากกำลังสมมาตรและกำลังภายนอกของเวกเตอร์บันเดิลสามารถมองได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นปริภูมิย่อยของกำลังเทนเซอร์ดังนั้นนิยามของการเชื่อมต่อผลคูณเทนเซอร์จึงใช้ได้โดยตรงในบริบทนี้ อันที่จริง เนื่องจากพีชคณิตสมมาตรและพีชคณิตภายนอกอยู่ภายในพีชคณิตเทนเซอร์ในฐานะผลบวกโดยตรง และการเชื่อมต่อเคารพการแยกตามธรรมชาตินี้ เราจึงสามารถจำกัดให้เหลือเพียงผลบวกเหล่านี้ได้ โดยชัดเจน ให้กำหนดการเชื่อมต่อผลคูณสมมาตรโดย ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\odot t+s\odot \nabla _{X}t}$

และการเชื่อมต่อผลิตภัณฑ์ภายนอกโดย

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

สำหรับทุกกรณีการใช้งานผลิตภัณฑ์เหล่านี้ซ้ำๆ จะทำให้เกิดกำลังไฟฟ้าสมมาตรและการเชื่อมต่อกำลังไฟฟ้าภายนอกบนและตามลำดับ ${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle S^{k}E}$${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

สุดท้ายนี้ เราอาจนิยามการเชื่อมต่อที่เหนี่ยวนำบนเวกเตอร์บันเดิลของเอนโดมอร์ฟิซึมซึ่ง ก็คือ การเชื่อมต่อเอนโดมอร์ฟิ ซึม โดยการเชื่อมต่อนี้ก็คือการเชื่อมต่อผลคูณเทนเซอร์ของการเชื่อมต่อคู่บนและบนถ้าและดังนั้นการประกอบก็เช่นกัน กฎผลคูณต่อไปนี้จึงใช้ได้กับการเชื่อมต่อเอนโดมอร์ฟิซึม: ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

โดยการกลับสมการนี้ เราสามารถกำหนดการเชื่อมต่อเอนโดมอร์ฟิซึมได้ว่าเป็นการเชื่อมต่อที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

สำหรับค่าใดๆจึงช่วยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการกำหนดการเชื่อมต่อแบบคู่และการเชื่อมต่อผลคูณเทนเซอร์ก่อน ${\displaystyle u,s,X}$

กำหนดให้เวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับและการแสดงแทนใดๆในกลุ่มเชิงเส้นจะมีการเชื่อมต่อแบบเหนี่ยวนำบนเวกเตอร์บันเดิลที่เกี่ยวข้องโดยที่คือบันเดิลหลักของเฟรมของแต่ละตัวอย่างข้างต้นสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการสร้างนี้: บันเดิลคู่สอดคล้องกับการแสดงแทนคู่ ผลคูณเทนเซอร์สอดคล้องกับการแสดงแทนผลคูณเทนเซอร์ ผลรวมโดยตรงสอดคล้องกับการแสดงแทนผลรวมโดยตรง และอื่นๆ ${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle F=F(E)\times _{\rho }V}$${\displaystyle F(E)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )}$${\displaystyle E}$

ให้เป็นเวクターบันเดิล รูปแบบเชิง อนุพันธ์ที่มีค่าเป็น ที่มีดีกรีเป็นส่วนตัดของ บันเดิล ผลคูณเทนเซอร์ : ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

พื้นที่ของรูปแบบดังกล่าวแสดงด้วย

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

โดยที่ผลคูณเทนเซอร์สุดท้ายหมายถึงผลคูณเทนเซอร์ของโมดูลเหนือวงแหวนของฟังก์ชันเรียบบน ${\displaystyle M}$

ฟอร์ม0 ที่มีค่าเป็น นั้นเป็นเพียงส่วนหนึ่งของบันเดิลนั่นคือ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

ในสัญลักษณ์นี้ การเชื่อมต่อบน คือแผนที่เชิงเส้น ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

การเชื่อมต่ออาจถูกมองว่าเป็นการขยายทั่วไปของอนุพันธ์ภายนอกไปยังรูปแบบค่าของเวกเตอร์บันเดิล อันที่จริง เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อบนจะมีวิธีเฉพาะในการขยายไปสู่อนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอก${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอกนี้ถูกกำหนดโดยกฎของไลบ์นิซดังต่อไปนี้ ซึ่งระบุไว้บนเทนเซอร์แบบง่ายในรูปแบบและขยายเชิงเส้น: ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

โดยที่เป็นส่วน และหมายถึงฟอร์มที่มีค่าใน ซึ่งกำหนดโดยการใช้ส่วนฟอร์มเดียวของสังเกตว่าสำหรับฟอร์ม 0 ที่มีค่าเป็น สิ่งนี้จะคืนค่ากฎของไลบ์นิซปกติสำหรับการเชื่อมต่อ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$${\displaystyle \deg \omega =r}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$${\displaystyle (r+1)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \nabla s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

ต่างจากอนุพันธ์ภายนอกทั่วไป โดยทั่วไปแล้วจะมีที่จริงแล้วมีความสัมพันธ์โดยตรงกับความโค้งของการเชื่อมต่อ(ดูด้านล่าง ) ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle \nabla }$

ทุกเวกเตอร์บันเดิลบนแมนิโฟลด์ยอมรับการเชื่อมต่อ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การแบ่งส่วนของเอกภาพอย่างไรก็ตาม การเชื่อมต่อไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว ถ้าและเป็นการเชื่อมต่อสองแบบบนแล้วผลต่างของการเชื่อมต่อทั้งสองจะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น นั่นคือ ${\displaystyle \nabla _{1}}$${\displaystyle \nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

สำหรับฟังก์ชันเรียบทั้งหมดบนและส่วนเรียบทั้งหมดของดังนั้นจึงสรุปได้ว่าผลต่างสามารถระบุได้อย่างเฉพาะเจาะจงด้วยฟอร์มหนึ่งบนที่มีค่าอยู่ในบันเดิลเอนโดมอร์ฟิซึม: ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นการเชื่อมต่อบนและเป็นฟอร์มหนึ่งบนที่มีค่าอยู่ในแล้ว ก็เป็นการเชื่อมต่อบน เช่นกัน ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \nabla +A}$${\displaystyle E}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของการเชื่อมต่อบนคือพื้นที่เชิงเส้นตรงสำหรับพื้นที่เชิงเส้นตรงนี้มักใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ให้เป็นเวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับและให้เป็นเฟรมบันเดิลของแล้วการเชื่อมต่อ (หลัก)บนจะเหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมต่อบน ก่อนอื่น โปรดสังเกตว่าส่วนตัดของมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับแผนที่สมมาตรขวา (สามารถเห็นได้จากการพิจารณาพูลแบ็กของบนซึ่งสมมาตรกับบันเดิลที่ไม่สำคัญ ) เมื่อกำหนดส่วนตัดของให้แผนที่สมมาตรที่สอดคล้องกันเป็น อนุพันธ์ร่วมแปรบนจะกำหนดโดย ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi (s)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

ระยะยกในแนวนอนของจากถึงคือเท่าใด(โปรดจำไว้ว่าระยะยกในแนวนอนถูกกำหนดโดยการเชื่อมต่อบน) ${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

ในทางกลับกัน การเชื่อมต่อบนจะกำหนดการเชื่อมต่อบนและโครงสร้างทั้งสองนี้เป็นสิ่งที่ผกผันซึ่งกันและกัน ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

การเชื่อมต่อบนยังถูกกำหนดอย่างเทียบเท่าโดยการเชื่อมต่อ Ehresmann เชิงเส้นบนซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการสร้างการเชื่อมต่อหลักที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

การเชื่อมต่อแบบเหนี่ยวนำที่กล่าวถึงในหัวข้อ#การเชื่อมต่อแบบเหนี่ยวนำสามารถสร้างขึ้นได้โดยเป็นการเชื่อมต่อบนบันเดิลที่เกี่ยวข้องอื่นๆ กับบันเดิลเฟรมของโดยใช้การแสดงแทนอื่นๆ นอกเหนือจากการแสดงแทนมาตรฐานที่ใช้ข้างต้น ตัวอย่างเช่น ถ้าแทนการแสดงแทนมาตรฐานของบนแล้วบันเดิลที่เกี่ยวข้องกับการแสดงแทนของบนคือบันเดิลผลรวมโดยตรงและการเชื่อมต่อแบบเหนี่ยวนำก็คือการเชื่อมต่อที่อธิบายไว้ข้างต้นนั่นเอง ${\displaystyle E}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \rho \oplus \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E\oplus E}$

ให้เป็นเวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับและให้เป็นเซตย่อยเปิดของเหนือ ซึ่ง ทำให้เป็นเซตย่อยที่ไม่มีสมาชิกอื่น ดังนั้น เหนือเซตยอมรับเฟรมเรียบเฉพาะที่ของส่วนต่างๆ ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

เนื่องจากเฟรมกำหนดฐานของเส้นใยสำหรับใดๆ ก็ตามจึงสามารถขยายส่วนใดๆในเฟรมได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

สำหรับชุดฟังก์ชันเรียบ ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อบน แล้วก็สามารถแสดงบนในรูปของกรอบส่วนตัดเฉพาะที่ได้ โดยใช้กฎผลคูณลักษณะเฉพาะสำหรับการเชื่อมต่อ สำหรับส่วนตัดฐานใดๆปริมาณสามารถขยายในกรอบเฉพาะที่ได้ดังนี้ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

โดยที่เป็นชุดของรูปแบบหนึ่งหน่วยเฉพาะที่ รูปแบบเหล่านี้สามารถนำไปใส่ในเมทริกซ์ของรูปแบบหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดย ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

เรียกว่ารูปแบบการเชื่อมต่อท้องถิ่นของ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$การกระทำของบนส่วนใด ๆสามารถคำนวณได้ในแง่ของการใช้กฎผลคูณดังนี้ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

หากส่วนท้องถิ่นนั้นเขียนในรูปแบบเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์คอลัมน์โดยใช้กรอบท้องถิ่นเป็นฐาน ${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

จากนั้นโดยใช้การคูณเมทริกซ์แบบปกติ เราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

โดยที่เป็นตัวย่อสำหรับการใช้ค่าอนุพันธ์ภายนอกกับแต่ละส่วนประกอบของในรูปเวกเตอร์คอลัมน์ ในสัญกรณ์นี้ มักจะเขียนในระดับท้องถิ่นว่าในแง่นี้ การเชื่อมต่อจะถูกระบุอย่างสมบูรณ์ในระดับท้องถิ่นโดยรูปแบบการเชื่อมต่อหนึ่งรูปแบบในรูปแบบการทำให้เป็นเรื่องง่ายบางอย่าง ${\displaystyle ds}$${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

ดังที่อธิบายไว้ใน#คุณสมบัติเชิงเส้นของเซตของการเชื่อมต่อ การเชื่อมต่อใดๆ จะแตกต่างจากการเชื่อมต่ออื่นโดยรูปแบบหนึ่งที่มีค่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึม จากมุมมองนี้ รูปแบบหนึ่งของการเชื่อมต่อก็คือรูปแบบหนึ่งที่มีค่าเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมที่ทำให้การเชื่อมต่อบนแตกต่างจากการเชื่อมต่อแบบไม่สำคัญบนซึ่งมีอยู่เพราะเป็นเซตที่ทำให้ไม่สำคัญสำหรับ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

ในเรขาคณิตแบบซูโดรีมันน์การเชื่อมต่อแบบเลวี-ซีวิทามักเขียนในรูปของสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล แทนที่จะใช้รูปแบบวันฟอร์มของการเชื่อมต่อ เป็นไปได้ที่จะกำหนดสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลสำหรับการเชื่อมต่อบนเวกเตอร์บันเดิลใดๆ ก็ได้ ไม่ใช่แค่เฉพาะเวกเตอร์บันเดิลสัมผัสของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์เท่านั้น ในการทำเช่นนั้น สมมติว่านอกจากจะเป็นเซตเปิดย่อยที่ทำให้เวกเตอร์บันเดิลกลายเป็นเซตว่างแล้ว ยังเป็นแผนภูมิท้องถิ่นสำหรับแมนิโฟลด์ ด้วย ซึ่งยอมรับพิกัดท้องถิ่น ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

ในแผนภูมิท้องถิ่นดังกล่าว มีกรอบท้องถิ่นที่โดดเด่นสำหรับรูปแบบหนึ่งเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดโดยและรูปแบบหนึ่งการเชื่อมต่อท้องถิ่นสามารถขยายได้ในฐานนี้เป็น ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

สำหรับชุดของฟังก์ชันเรียบเฉพาะที่เรียกว่าสัญลักษณ์ Christoffelของเหนือในกรณีที่และคือการเชื่อมต่อ Levi-Civita สัญลักษณ์เหล่านี้จะตรงกับสัญลักษณ์ Christoffel จากเรขาคณิตแบบ pseudo-Riemannian อย่างแม่นยำ ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle \nabla }$

สามารถขยาย ความหมายของการกระทำในพิกัดท้องถิ่นได้เพิ่มเติมโดยใช้แผนภูมิท้องถิ่นและสัญลักษณ์คริสตอฟเฟล ดังนี้ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

เมื่อรวมนิพจน์นี้กับเวกเตอร์สัมผัสพิกัดท้องถิ่นจะได้ว่า ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

สิ่งนี้กำหนดชุดของตัวดำเนินการที่กำหนดขึ้นในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

ด้วยทรัพย์สินที่

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

สมมติว่าเป็นอีกทางเลือกหนึ่งของกรอบอ้างอิงท้องถิ่นเหนือเซตการทำให้เป็นศูนย์เดียวกันดังนั้นจึงมีเมทริกซ์ของฟังก์ชันเรียบที่เชื่อมโยงและซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {e'} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

เมื่อพิจารณาโครงสร้างของรูปแบบการเชื่อมต่อเฉพาะที่สำหรับเฟรมจะพบว่ารูปแบบการเชื่อมต่อหนึ่งหน่วยสำหรับนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

โดยที่หมายถึงเมทริกซ์ผกผันของในสัญลักษณ์เมทริกซ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

โดยที่คือเมทริกซ์ของฟอร์มหนึ่งที่ได้จากการหาอนุพันธ์ภายนอกของส่วนประกอบเมทริกซ์ทีละส่วน ${\displaystyle dg}$${\displaystyle g}$

ในกรณีที่คือกลุ่มเส้นสัมผัส และคือเมทริกซ์จาโคเบียนของการแปลงพิกัดของสูตรที่ยาวเหยียดสำหรับการแปลงสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลของการเชื่อมต่อเลวี-ซีวิทา สามารถกู้คืนได้จากกฎการแปลงที่กระชับกว่าของรูปแบบการเชื่อมต่อข้างต้น ${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

การเชื่อมต่อบนเวกเตอร์บันเดิลกำหนดแนวคิดของการขนส่งแบบขนานบนเส้นโค้งในให้ เป็น เส้นทางเรียบในส่วนของตามจะเรียกว่าขนานถ้า ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

สำหรับทั้งหมดในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาบันเดิลพูลแบ็กของโดยนี่คือบันเดิลเวกเตอร์เหนือที่มีไฟเบอร์เหนือการเชื่อมต่อบนดึงกลับไปยังการเชื่อมต่อบนส่วนหนึ่งของ ขนานกันก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

สมมติว่าเป็นเส้นทางจากไปในสมการข้างต้นที่กำหนดส่วนขนานเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ หนึ่ง (ดูนิพจน์เฉพาะที่ด้านบน) ดังนั้นจึงมีคำตอบเฉพาะสำหรับแต่ละเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นไปได้ นั่นคือ สำหรับแต่ละเวกเตอร์ในจะมีส่วนขนานที่ไม่ซ้ำกันของที่มี กำหนดแผนที่การขนส่งแบบขนาน${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \gamma ^{*}E}$${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

โดย. สามารถแสดงได้ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นโดยมีตัวผกผันที่กำหนดโดย ทำตามขั้นตอนเดียวกันกับเส้นทางย้อนกลับจากไป ยัง${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma ^{-}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

การขนส่งแบบขนานสามารถใช้เพื่อกำหนดกลุ่มโฮโลโนมีของการเชื่อมต่อโดยอิงจากจุดในซึ่งเป็นกลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยแผนที่การขนส่งแบบขนานทั้งหมดที่มาจากลูปโดยอิงจาก: ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

กลุ่มโฮโลโนมีของการเชื่อมต่อมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความโค้งของการเชื่อมต่อ ( AmbroseSinger 1953 )

การเชื่อมต่อสามารถกู้คืนได้จากตัวดำเนินการขนส่งแบบขนานดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นสนามเวกเตอร์และเป็นส่วนตัด ที่จุดหนึ่งให้เลือกเส้นโค้งอินทิกรัลสำหรับที่สำหรับแต่ละเราจะเขียนสำหรับแผนที่ขนส่งแบบขนานที่เดินทางไปตามจากถึง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกเรามีจากนั้นกำหนดเส้นโค้งในปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ร่วมแปรจะถูกกู้คืนเป็น ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความที่เทียบเท่ากันของการเชื่อมต่อสามารถกำหนดได้โดยการระบุไอโซมอร์ฟิซึมการขนส่งแบบขนานทั้งหมดระหว่างไฟเบอร์ของและใช้การแสดงออกข้างต้นเป็นคำจำกัดความของ ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

ความโค้งของการเชื่อมต่อบนคือ 2-ฟอร์มบน ที่มีค่าอยู่ในบันเดิลเอนโดมอร์ฟิซึม นั่นคือ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

มันถูกกำหนดโดยนิพจน์

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

โดยที่และเป็นเวกเตอร์ฟิลด์สัมผัสบนและเป็นส่วนตัดของ เราต้องตรวจสอบว่าเป็นเชิงเส้นในทั้งและ และต้องตรวจสอบว่ามันกำหนดเอนโดมอร์ฟิซึมของบันเดิ ล ของ จริงๆ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นอนุพันธ์ภายนอกแบบโคแวเรียนต์ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองแล้วได้ศูนย์เมื่อกระทำกับฟอร์มที่มีค่าเป็น อย่างไรก็ตาม ตัวดำเนินการนั้นเป็นเทนเซอร์อย่างเคร่งครัด (กล่าวคือ เป็นเชิงเส้น) ซึ่งหมายความว่ามันถูกเหนี่ยวนำมาจากฟอร์ม 2 มิติที่มีค่าอยู่ในฟอร์ม 2 มิตินี้คือฟอร์มความโค้งที่กล่าวไว้ข้างต้น สำหรับฟอร์มที่มีค่าเป็นเรามี ${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

การเชื่อมต่อแบบราบคือการเชื่อมต่อที่มีรูปทรงโค้งหายไปโดยสมบูรณ์

รูปแบบความโค้งมีคำอธิบายเฉพาะที่เรียกว่าสมการโครงสร้างของคาร์ตันถ้ามีรูปแบบเฉพาะบนเซตเปิดย่อยที่ทำให้เป็นแบบไม่สำคัญสำหรับแล้ว ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle A}$${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

เพื่อชี้แจงสัญลักษณ์นี้ โปรดสังเกตว่า เป็นวันฟอร์มที่มีค่าเป็นเอนโดมอ ร์ฟิซึม ดังนั้นในพิกัดท้องถิ่น จะอยู่ในรูปแบบของเมทริกซ์ของวันฟอร์ม การดำเนินการจะใช้การหาอนุพันธ์ภายนอกแบบทีละส่วนประกอบกับเมทริกซ์นี้ และหมายถึงการคูณเมทริกซ์ โดยที่ส่วนประกอบต่างๆ จะถูกจัดเรียงใหม่แทนที่จะคูณกัน ${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A\wedge A}$

ในพิกัดท้องถิ่นบนถ้าเขียนรูปแบบการเชื่อมต่อสำหรับชุดของเอนโดมอร์ฟิซึมท้องถิ่นแล้ว จะได้ ว่า${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

การขยายความเพิ่มเติมในแง่ของสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลจะทำให้ได้นิพจน์ที่คุ้นเคยจากเรขาคณิตแบบรีมันน์ กล่าวคือ ถ้าเป็นส่วนตัดของเหนือแล้ว ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

นี่คือเทนเซอร์ความโค้ง แบบเต็ม ของและในเรขาคณิตแบบรีมันน์ จะถูกระบุว่าเป็นเทนเซอร์ความโค้งแบบรีมันน์ ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$${\displaystyle F_{\nabla }}$

สามารถตรวจสอบได้ว่า ถ้าเรากำหนดให้เป็นผลคูณลิ่มของฟอร์ม แต่เป็นตัวสลับของเอนโดมอร์ฟิซึม แทนที่จะเป็นการประกอบ แล้วและด้วยสัญลักษณ์ทางเลือกนี้ สมการโครงสร้างของคาร์ตันจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle [A,A]}$${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

สัญกรณ์ทางเลือกนี้มักใช้ในทฤษฎีการเชื่อมต่อบันเดิลหลัก โดยที่เราใช้รูปแบบการเชื่อมต่อซึ่ง เป็นรูปแบบหนึ่งที่มีค่า เป็นพีชคณิตลีซึ่งไม่มีแนวคิดเรื่องการประกอบ (ต่างจากกรณีของเอนโดมอร์ฟิซึม) แต่มีแนวคิดเรื่องวงเล็บลี ${\displaystyle \omega }$

ในเอกสารอ้างอิงบางฉบับ (ดูตัวอย่างเช่น ( MadsenTornehave1997 )) สมการโครงสร้างของคาร์ตันอาจเขียนโดยใช้เครื่องหมายลบ:

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

รูปแบบการเขียนที่แตกต่างนี้ใช้ลำดับการคูณเมทริกซ์ที่แตกต่างจากสัญกรณ์มาตรฐานของไอน์สไตน์ในผลคูณแบบลิ่มของฟอร์มหนึ่งที่มีค่าเป็นเมทริกซ์

เอกลักษณ์ เบียนคีที่สอง (เชิงอนุพันธ์) จากเรขาคณิตแบบรีมันน์นั้นใช้ได้กับคอนเน็กชันบนเวกเตอร์บันเดิลใดๆ โปรดจำไว้ว่าคอนเน็กชันบนเวกเตอร์บันเดิลจะเหนี่ยวนำให้เกิดคอนเน็กชันเอนโดมอร์ฟิซึมบนคอนเน็กชันเอนโดมอร์ฟิซึมนี้มีอนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอก ซึ่งเราเรียกอย่างกำกวมว่า เนื่องจากความโค้งเป็นทูฟอร์มค่าที่กำหนดทั่วโลก เราจึงสามารถใช้อนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอกกับมันได้เอกลักษณ์เบียนคีกล่าวว่า ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$.

นี่เป็นการรวบรวมสูตรเทนเซอร์ที่ซับซ้อนของเอกลักษณ์เบียนคีในกรณีของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ได้อย่างกระชับ และเราสามารถแปลจากสมการนี้ไปยังเอกลักษณ์เบียนคีมาตรฐานได้โดยการขยายการเชื่อมต่อและความโค้งในพิกัดท้องถิ่น

โดยทั่วไปแล้วไม่มีสิ่งที่เทียบเคียงได้กับ เอกลักษณ์ Bianchi แรก (เชิงพีชคณิต) สำหรับการเชื่อมต่อทั่วไป เนื่องจากเอกลักษณ์นี้ใช้ประโยชน์จากสมมาตรพิเศษของการเชื่อมต่อ Levi-Civita กล่าวคือ ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าดัชนีของเวกเตอร์บันเดิลในเทนเซอร์ความโค้งสามารถสลับกับดัชนีของโคแทนเจนต์บันเดิลที่ได้มาจากการใช้เมตริกเพื่อลดหรือเพิ่มดัชนี ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดเงื่อนไขการปราศจากแรงบิดสำหรับการเชื่อมต่อ Levi-Civita ได้ แต่สำหรับเวกเตอร์บันเดิลทั่วไป ดัชนี- อ้างอิงถึงฐานพิกัดท้องถิ่นของและดัชนี - อ้างอิงถึงกรอบพิกัดท้องถิ่นของและได้มาจากการแยกอย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์พิเศษ เช่น เมื่ออันดับของเท่ากับมิติของและ ได้เลือก รูปแบบบัดกรีแล้ว เราสามารถใช้การบัดกรีเพื่อสลับดัชนีและกำหนดแนวคิดของแรงบิดสำหรับการเชื่อมต่อเชิงเส้นที่ไม่ใช่การเชื่อมต่อ Levi-Civita ${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อสองแบบบนเวกเตอร์บันเดิลแล้ว คำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติคือเมื่อใดจึงจะถือว่าการเชื่อมต่อทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน มีแนวคิดเรื่องออโตมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิล ที่กำหนดไว้อย่างดี ส่วนตัดจะเป็นออโตมอร์ฟิซึมก็ ต่อเมื่อ สามารถผกผันได้ที่ทุกจุดออโตมอร์ฟิซึมดังกล่าวเรียกว่าการแปลงเกจของและกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดเรียกว่ากลุ่มเกจซึ่งมักใช้สัญลักษณ์หรือกลุ่มของการแปลงเกจสามารถอธิบายได้อย่างเรียบร้อยว่าเป็นปริภูมิของส่วนตัดของ บันเดิล คู่ ควบตัวพิมพ์ ใหญ่ Aของบันเดิลเฟรมของเวกเตอร์บันเดิลซึ่งไม่ควรสับสนกับบันเดิลคู่ควบตัวเล็ก aซึ่งโดยธรรมชาติแล้วจะถูกระบุว่าเป็นตัวมันเอง บันเดิล เป็น บัน เดิลที่เกี่ยวข้องกับบันเดิลเฟรมหลักโดยการแสดงแทนการผันของบนตัวมันเองและมีไฟเบอร์เป็นกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปเดียวกันโดยที่ สังเกตว่าถึงแม้จะมีไฟเบอร์เดียวกันกับบันเดิลเฟรมและเกี่ยวข้องกับมัน แต่ก็ไม่เท่ากับบันเดิลเฟรม หรือแม้แต่บันเดิลหลักเอง กลุ่มเกจสามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่าเป็น${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$