ในทางคณิตศาสตร์การเชื่อมต่อเมตริกคือการเชื่อมต่อในบันเดิลเวกเตอร์Eที่มีเมตริกบันเดิลนั่นคือเมตริกที่ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวใดๆ จะยังคงเหมือนเดิมเมื่อเวกเตอร์เหล่านั้นถูกเคลื่อนย้ายขนานไปตามเส้นโค้งใดๆ^{[ 1 ]} ซึ่งเทียบเท่ากับ:

• การเชื่อมต่อที่อนุพันธ์ร่วมแปรของเมตริกบนEมีค่าเป็นศูนย์
• การเชื่อมต่อหลักบนมัดของเฟรมตั้งฉากปกติของE

กรณีพิเศษของการเชื่อมต่อเมตริกคือการเชื่อมต่อแบบรีมันน์มีการเชื่อมต่อดังกล่าวเพียงหนึ่งเดียวซึ่งปราศจากแรงบิด นั่นคือการเชื่อมต่อ แบบ เลวี-ซีวิทาในกรณีนี้ บันเดิลEคือบันเดิลสัมผัสTMของแมนิโฟลด์ และเมตริกบนEถูกสร้างขึ้นโดยเมตริกแบบรีมันน์บนM

อีกกรณีพิเศษของการเชื่อมต่อแบบเมตริกคือการเชื่อมต่อแบบหยาง-มิลส์ซึ่งสอดคล้องกับ สมการการเคลื่อนที่ ของหยาง-มิลส์ กลไกส่วนใหญ่ในการกำหนดการเชื่อมต่อและความโค้งสามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเข้ากันได้กับเมตริกของบันเดิล อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ต้องการความเข้ากันได้ การเชื่อมต่อแบบเมตริกนี้จะกำหนดผลคูณภายในฮอดจ์สตาร์ (ซึ่งต้องเลือกทิศทางเพิ่มเติมด้วย) และลาปลาเซียนซึ่งจำเป็นต่อการกำหนดสมการของหยาง-มิลส์

ให้เป็นส่วนย่อยเฉพาะที่ ใดๆ ของกลุ่มเวกเตอร์Eและให้Xเป็นฟิลด์เวกเตอร์บนปริภูมิฐานMของกลุ่มเวกเตอร์นั้น ให้กำหนดเมตริกของกลุ่มเวกเตอร์นั่นคือ เมตริกบนเส้นใยเวกเตอร์ของEแล้วการเชื่อมต่อDบนEจะเป็นการเชื่อมต่อเมตริกก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle \sigma ,\tau }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$$

ในที่นี้d คือ อนุพันธ์สามัญของฟังก์ชันสเกลาร์ อนุพันธ์ร่วมแปรสามารถขยายได้เพื่อให้ทำหน้าที่เป็นแผนที่บนรูปแบบอนุพันธ์ที่มีค่าเป็นEบนปริภูมิฐาน:

$${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$$

เรากำหนดนิยามสำหรับฟังก์ชันและ ${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

$${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$$

โดยที่เป็นส่วนเรียบเฉพาะที่สำหรับกลุ่มเวกเตอร์ และเป็นp-ฟอร์ม (ที่มีค่าเป็นสเกลาร์) คำจำกัดความข้างต้นยังใช้ได้กับเฟรมเรียบเฉพาะที่และส่วนเฉพาะที่ด้วย ${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

เมตริกบันเดิลที่กำหนดบนEไม่ควรสับสนกับการจับคู่ตามธรรมชาติของปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ ซึ่งเป็นคุณสมบัติเฉพาะของบันเดิลเวกเตอร์ใดๆ ส่วนการจับคู่ตามธรรมชาตินี้เป็นฟังก์ชันบนบันเดิลของเอนโดมอร์ฟิซึมดังนั้น ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$$${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$$

จับคู่เวกเตอร์กับเวกเตอร์คู่ (ฟังก์ชันนัล) เหนือแต่ละจุดของMนั่นคือ ถ้าเป็นกรอบพิกัดท้องถิ่นใดๆ บนEแล้ว จะได้กรอบพิกัดคู่บนE * ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขโดย ธรรมชาติ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

ในทางตรงกันข้าม เมตริกบันเดิลเป็นฟังก์ชันบน${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E\otimes E,}$

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$$

โดยให้ผลคูณภายในบนไฟเบอร์ของปริภูมิเวกเตอร์แต่ละอันของEเมตริกบันเดิลช่วยให้สามารถกำหนด กรอบพิกัดตั้ง ฉากปกติได้ด้วยสมการ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์บันเดิลแล้ว ก็สามารถกำหนดเมตริกบันเดิลบนเวกเตอร์บันเดิลนั้นได้เสมอ

ตามแนวทางปฏิบัติมาตรฐาน^{[ 1 ]}เราสามารถกำหนดรูปแบบการเชื่อมต่อสัญลักษณ์ Christoffelและความโค้ง Riemannโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงเมตริกบันเดิล โดยใช้เพียงการจับคู่เท่านั้นพวกมันจะปฏิบัติตามคุณสมบัติสมมาตรตามปกติ ตัวอย่างเช่น เทนเซอร์ความโค้งจะเป็นแบบแอนตี้สมมาตรในดัชนีสองตัวสุดท้ายและจะสอดคล้องกับเอกลักษณ์ Bianchi ที่สองอย่างไรก็ตาม ในการกำหนดดาว Hodgeตัวดำเนินการลาปลาเซียนเอกลักษณ์ Bianchi แรก และฟังก์ชัน Yang–Mills จำเป็นต้องใช้เมตริกบันเดิล ดาว Hodge ยังต้องการการเลือกทิศทาง และสร้างคู่ Hodge ของอาร์กิวเมนต์ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

เมื่อกำหนดแผนภูมิบันเดิลเฉพาะที่แล้วอนุพันธ์โคแวเรียนต์สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

$${\displaystyle D=d+A}$$ โดยที่Aคือรูปแบบการเชื่อมต่อแบบหนึ่งฟอร์ม

จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์บางอย่าง ให้แทนปริมาณของภาคตัดที่หาอนุพันธ์ได้บนEให้แทนปริมาณของp-ฟอร์มบนMและให้เป็นเอนโดมอร์ฟิซึมบนEอนุพันธ์ร่วมแปรตามที่นิยามไว้ในที่นี้คือแผนที่ ${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$$${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$$

เราสามารถแสดงรูปแบบการเชื่อมต่อในรูปของสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อได้ดังนี้

$${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$$

จุดประสงค์ของการใช้สัญลักษณ์นี้คือเพื่อแยกแยะดัชนีjและkซึ่งครอบคลุม มิติ nของไฟเบอร์ ออกจากดัชนีiซึ่งครอบคลุม ปริภูมิฐานมิติ mสำหรับกรณีของการเชื่อมต่อแบบรีมันน์ด้านล่าง ปริภูมิเวกเตอร์E จะถูกกำหนดให้เป็นมัดสัมผัสTMและn = m

สัญลักษณ์Aสำหรับรูปแบบการเชื่อมต่อมาจากฟิสิกส์โดยอ้างอิงถึงสนามศักย์เวกเตอร์ของแม่เหล็กไฟฟ้าและทฤษฎีเกจในคณิตศาสตร์ มักใช้สัญลักษณ์นี้แทนA ดัง เช่นในบทความเกี่ยวกับรูปแบบการเชื่อมต่อแต่น่าเสียดายที่การใช้สัญลักษณ์นี้สำหรับรูปแบบการเชื่อมต่อขัดแย้งกับการใช้สัญลักษณ์ เพื่อแสดงถึง รูปแบบสลับทั่วไปบนมัดเวกเตอร์ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

การเชื่อมต่อนี้เป็นแบบสมมาตรเฉียงในดัชนีของปริภูมิเวกเตอร์ (ไฟเบอร์) กล่าวคือ สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ที่กำหนดเมทริกซ์จะเป็นแบบสมมาตรเฉียง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นองค์ประกอบของพีชคณิต ลี${\displaystyle X\in TM}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$

สามารถอธิบายได้ดังนี้ ให้ไฟเบอร์มี มิติ nดังนั้นบันเดิลEสามารถกำหนดเฟรมท้องถิ่น แบบตั้งฉากปกติได้ โดยที่i = 1, 2, ..., nจากนั้นโดยนิยามแล้วจะได้ว่า ดังนั้น: ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

$${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$$

นอกจากนี้ สำหรับแต่ละจุดในแผนภูมิบันเดิล กรอบอ้างอิงท้องถิ่นจะเป็นกรอบตั้งฉากปกติ: ${\displaystyle x\in U\subset M}$

$${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$$

ดังนั้น สำหรับเวกเตอร์ทุกตัวว่า ${\displaystyle X\in T_{x}M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$$

กล่าวคือมีสมมาตรแบบเฉียง ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

สิ่งนี้ได้มาจากการใช้เมตริกบันเดิลอย่างชัดเจน หากไม่ใช้เมตริกบันเดิล และใช้เพียงการจับคู่เท่านั้นเราจะสามารถเชื่อมโยงรูปแบบการเชื่อมต่อAบนEกับรูปแบบคู่A ^∗บนE ^∗ ได้เท่านั้น ซึ่ง เป็นผลมาจากนิยามของการเชื่อมต่อแบบคู่ดังนี้${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

มีสัญลักษณ์หลายแบบที่ใช้สำหรับความโค้งของการเชื่อมต่อ รวมถึงแบบสมัยใหม่ที่ใช้Fแทน เทน เซอร์ความแรงของสนามแบบคลาสสิกที่ใช้Rเป็นเทนเซอร์ความโค้งและสัญลักษณ์แบบคลาสสิกสำหรับเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ซึ่งส่วนใหญ่สามารถขยายไปสู่กรณีของเวกเตอร์บันเดิลได้อย่างเป็นธรรมชาติ คำจำกัดความเหล่านี้ ไม่จำเป็นต้องใช้เทนเซอร์เมตริกหรือเมตริกบันเดิล และสามารถกำหนดได้อย่างเป็นรูปธรรมโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงสิ่งเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความเหล่านี้จำเป็นต้องมีความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับเอนโดมอร์ฟิซึมของEดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

นิยามที่กระชับที่สุดของความโค้งFคือการกำหนดให้เป็น 2-ฟอร์มที่รับค่าในโดยกำหนดจากปริมาณที่การเชื่อมต่อไม่แม่นยำ นั่นคือ เป็น ซึ่งเป็นองค์ประกอบของ หรือเทียบเท่ากับ เพื่อเชื่อมโยงสิ่งนี้กับนิยามและสัญลักษณ์ทั่วไปอื่นๆ ให้เป็นส่วนหนึ่งบนEเมื่อแทนค่าลงในข้างต้นและขยายออก จะพบว่า ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$$${\displaystyle F=D\circ D}$$$${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$$$${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$$${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$$

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การตัดส่วนนั้นออกไป เพื่อให้เป็นคำจำกัดความที่กระชับ $${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$$

ในแง่ของส่วนประกอบ ให้โดยที่คือ ฐาน พิกัดหนึ่งฟอร์มมาตรฐานบนมัดโคแทนเจนต์T ^* Mเมื่อแทนค่าลงในข้างต้นและขยายออก จะได้ (โดยใช้หลักการบวก ): ${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$${\displaystyle dx^{i}}$$${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$$

โปรดจำไว้ว่าสำหรับ ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ แต่ละ เวกเตอร์ จะเป็น เมทริกซ์ n × nซึ่งดัชนีของเมทริกซ์นั้นถูกซ่อนไว้ ในขณะที่ดัชนีiและjจะครอบคลุมตั้งแต่ 1 ถึง ... ถึงm โดยที่ mคือมิติของแมนิโฟลด์พื้นฐาน ดัชนีทั้งสองนี้สามารถแสดงออกมาพร้อมกันได้ ดังแสดงในส่วนถัดไป ${\displaystyle A_{i}}$

สัญลักษณ์ที่นำเสนอในที่นี้เป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปในวิชาฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น สามารถจดจำได้ทันทีว่าเป็นเทนเซอร์ความแข็งแรงของสนามกลูออนสำหรับกรณีอาเบเลียนn = 1 และเวกเตอร์บันเดิลมีมิติเดียว คอมมิวเทเตอร์จะเป็นศูนย์ และสิ่งที่กล่าวมาข้างต้นสามารถจดจำได้ว่าเป็นเทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้าในสัญลักษณ์ทางฟิสิกส์มาตรฐานโดยทั่วไป

ดัชนีทั้งหมดสามารถระบุได้อย่างชัดเจนโดยการจัดเตรียมเฟรมเรียบ , i = 1, ..., nบนส่วนที่กำหนดอาจเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

$${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$$

ในกรอบอ้างอิงท้องถิ่น นี้ รูปแบบการเชื่อมต่อจะกลายเป็น โดยที่เป็นสัญลักษณ์ Christoffelอีกครั้ง ดัชนีiวิ่งไปตาม1, ..., m (มิติของแมนิโฟลด์พื้นฐานM ) ในขณะที่jและkวิ่งไปตาม1, ..., nมิติของไฟเบอร์ เมื่อใส่และหมุนข้อเหวี่ยง จะได้ $${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$$${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$$

ซึ่งตอนนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ ข้อความนี้เขียนในรูปแบบที่ใช้กันทั่วไปในตำราเรียนเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป หลายเล่ม ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 (โดยมีข้อยกเว้นที่น่าสนใจบางประการ เช่นMTWซึ่งผลักดันให้ใช้สัญกรณ์ที่ปราศจากดัชนีตั้งแต่แรก) อีกครั้ง ดัชนีiและjครอบคลุมมิติของแมนิโฟลด์Mในขณะที่rและkครอบคลุมมิติของไฟเบอร์ ${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

สามารถนำสิ่งข้างต้นกลับไปใช้ในรูปแบบเวกเตอร์ฟิลด์ได้ โดยเขียนเป็นองค์ประกอบพื้นฐานมาตรฐานสำหรับกลุ่มสัมผัสTMจากนั้นจึงกำหนดเทนเซอร์ความโค้งดังนี้ ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$$${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$$

เพื่อให้ทิศทางเชิงพื้นที่ถูกดูดซับกลับเข้าไป ส่งผลให้เกิดสัญลักษณ์ดังกล่าว

$${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถทำให้ทิศทางเชิงพื้นที่ปรากฏชัดเจนได้ ในขณะที่ซ่อนดัชนี โดยการเขียนนิพจน์ในรูปของสนามเวกเตอร์X และ Y บน TM ในฐานมาตรฐานXคือ และเช่นเดียวกันสำหรับY หลังจาก แทนค่าและคำนวณเล็กน้อยจะได้ โดยที่ คืออนุพันธ์ลีของสนามเวกเตอร์YเทียบกับX$${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$$$${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$$$${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y}$$

สรุปได้ว่า เทนเซอร์ความโค้งจะแปลงเส้นใยหนึ่งไปยังอีกเส้นใยหนึ่ง: ดังนั้น $${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$$$${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$$

เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นสัญลักษณ์ทางเลือกเหล่านี้หมายถึงสิ่งเดียวกัน โปรดสังเกตว่าการดำเนินการข้างต้นทั้งหมดไม่จำเป็นต้องใช้เมตริกของกลุ่มเลย นอกจากนี้ เรายังสามารถแสดงเอกลักษณ์ของ Bianchi ข้อที่สองได้ โดยไม่ต้องใช้เมตริกของกลุ่มด้วย ${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$$${\displaystyle DF=0}$$

การพัฒนาเทนเซอร์ความโค้งข้างต้นไม่ได้อ้างอิงถึงเมตริกบันเดิลแต่อย่างใด กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องสมมติว่าDหรือAเป็นการเชื่อมต่อเมตริก เพียงแค่มีการเชื่อมต่อบนบันเดิลเวกเตอร์ก็เพียงพอที่จะได้รูปแบบข้างต้นแล้ว รูปแบบการเขียนสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันทั้งหมดล้วนเป็นผลมาจากการพิจารณาเฉพาะเอนโดมอร์ฟิซึมของไฟเบอร์ของบันเดิลเท่านั้น

จำเป็นต้องใช้เมตริกบันเดิลในการกำหนดฮอดจ์สตาร์และฮอดจ์ดูอัลซึ่งจำเป็นต่อการกำหนดลาปลาเซียน และเพื่อแสดงให้เห็นว่า $${\displaystyle D{\star }F=0}$$

การเชื่อมต่อใดๆ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์นี้เรียกว่าการเชื่อมต่อหยาง-มิลส์ (Yang–Mills connection)สามารถแสดงได้ว่าการเชื่อมต่อนี้เป็นจุดวิกฤตของสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler–Lagrange equations)ที่ใช้กับแอคชั่นหยาง-มิลส์ (Yang–Mills action)

$${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$$

โดยที่คือองค์ประกอบปริมาตรซึ่งเป็นคู่ฮอดจ์ของค่าคงที่ 1 โปรดทราบว่าต้องใช้ผลคูณภายในที่แตกต่างกันสามแบบในการสร้างแอคชั่นนี้ ได้แก่ การเชื่อมต่อเมตริกบนEผลคูณภายในบน End( E ) ซึ่งเทียบเท่ากับตัวดำเนินการ Casimir กำลังสอง (ร่องรอยของเมทริกซ์สองเมทริกซ์) และคู่ฮอดจ์ ${\displaystyle {\star }(1)}$

กรณีพิเศษที่สำคัญของการเชื่อมต่อเมตริกคือการเชื่อมต่อแบบรีมันน์นี่คือการเชื่อมต่อบนบันเดิล สัมผัส ของแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ ( M , g ) โดยที่สำหรับทุกฟิลด์เวกเตอร์XบนMหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การเชื่อมต่อนี้เป็นแบบรีมันน์หากการขนส่งแบบขนานที่กำหนดโดยการเชื่อมต่อนี้รักษาเมตริกgไว้ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$${\displaystyle \nabla }$

การเชื่อมต่อที่กำหนดจะเป็นแบบรีมันน์ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \nabla }$

$${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$$

สำหรับเวกเตอร์ฟิลด์X , YและZ ทั้งหมด บนMโดยที่แสดงถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามเวกเตอร์ฟิลด์นี้ ${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$${\displaystyle g(Y,Z)}$${\displaystyle X}$

การเชื่อมต่อ Levi-Civitaเป็นการ เชื่อมต่อแบบ Riemannian ที่ปราศจากแรงบิดบนแมนิโฟลด์ มันมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวตามทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตแบบ Riemannianสำหรับการเชื่อมต่อแบบ Riemannian ทุกแบบ เราสามารถเขียนการเชื่อมต่อ Levi-Civita ที่สอดคล้องกัน (ซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว) ได้ ความแตกต่างระหว่างทั้งสองกำหนดโดย เท น เซอร์แรงบิด

ในการเขียนสัญลักษณ์ส่วนประกอบอนุพันธ์ร่วมแปร จะเข้ากันได้กับเทนเซอร์เมตริกก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle g_{ab}}$

$${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$$

แม้ว่าจะสามารถกำหนดอนุพันธ์ร่วมแปรอื่นๆ ได้ แต่โดยปกติแล้วเราจะพิจารณาเฉพาะอนุพันธ์ร่วมแปรที่เข้ากันได้กับเมตริกเท่านั้น เนื่องจากเมื่อกำหนดอนุพันธ์ร่วมแปรสองตัว คือและจะมีเทนเซอร์สำหรับการแปลงจากตัวหนึ่งไปยังอีกตัวหนึ่งอยู่ ${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla '}$

$${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$$

ถ้าปริภูมิไม่มีแรงบิด ด้วย แล้ว เทนเซอร์นั้นจะสมมาตรในดัชนีสองตัวแรก ${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

ตามธรรมเนียมแล้ว จะเปลี่ยนสัญลักษณ์และใช้สัญลักษณ์นาบลา ∇ แทนDในบริบทนี้ ในแง่อื่นๆ แล้ว สองสิ่งนี้เหมือนกัน กล่าวคือ ∇ = Dจากส่วนก่อนหน้าข้างต้น

ในทำนองเดียวกัน ผลคูณภายในบนEถูกแทนที่ด้วยเมตริกเทนเซอร์gบนTMซึ่งสอดคล้องกับการใช้งานในอดีต แต่ยังช่วยหลีกเลี่ยงความสับสนด้วย กล่าวคือ สำหรับกรณีทั่วไปของเวกเตอร์บันเดิลE นั้น ไม่ ถือว่า แมนิโฟลด์M ที่อยู่เบื้องหลัง นั้นมีเมตริก กรณีพิเศษของแมนิโฟลด์ที่มีทั้งเมตริกgบนTMและเมตริกบันเดิลบนEนำไปสู่ทฤษฎี Kaluza– Klein ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• มัดแนวตั้งและแนวนอน