ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เมตริกเทนเซอร์ (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าเมตริก ) คือ โครงสร้างเพิ่มเติมบนแมนิโฟลด์M (เช่นพื้นผิว ) ที่ช่วยให้สามารถกำหนดระยะทางและมุมได้ เช่นเดียวกับผลคูณภายในบนปริภูมิยูคลิดที่ช่วยให้สามารถกำหนดระยะทางและมุมได้ในปริภูมินั้น กล่าวโดยละเอียด เมตริกเทนเซอร์ ณ จุดpบนMคือรูปแบบทวิเชิงเส้นที่กำหนดบนปริภูมิสัมผัสณ จุดp (นั่นคือฟังก์ชันทวิเชิงเส้นที่แมปคู่ของเวกเตอร์สัมผัสไปยังจำนวนจริง ) และฟิลด์เมตริกบนMประกอบด้วยเมตริกเทนเซอร์ ณ แต่ละจุดpบนMที่ เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นตามp

เมตริกเทนเซอร์gเรียกว่าเป็นบวกแน่นอน (positive-definite)ถ้าสำหรับทุกเวกเตอร์v ที่ไม่ใช่ศูนย์ แมนิโฟลด์ที่มีเมตริกเทนเซอร์บวกแน่นอนเรียกว่าแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ (Riemannian manifold ) เมตริกเทนเซอร์ดังกล่าวสามารถคิดได้ว่าเป็นการระบุ ระยะทาง ที่เล็กมากบนแมนิโฟลด์ บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์Mความยาวของเส้นโค้งเรียบระหว่างสองจุดpและqสามารถกำหนดได้โดยการอินทิเกรต และระยะทางระหว่างpและqสามารถกำหนดได้เป็นค่าต่ำสุดของความยาวของเส้นโค้งทั้งหมดดังกล่าว ทำให้Mเป็นปริภูมิเมตริกในทางกลับกัน เมตริกเทนเซอร์เองคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันระยะทาง (ที่นำมาใช้ในลักษณะที่เหมาะสม) ${\displaystyle g(v,v)>0}$

แม้ว่าแนวคิดเรื่องเมตริกเทนเซอร์จะเป็นที่รู้จักในระดับหนึ่งในหมู่นักคณิตศาสตร์ เช่นเกาส์ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 19 แต่กว่าที่สมบัติของมันในฐานะเทนเซอร์จะได้รับการเข้าใจอย่างถ่องแท้ก็ต้องรอจนถึงต้นศตวรรษที่ 20 โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยเกรกอริโอ ริชชี-เคอร์บาสโตรและทุลลิโอ เลวี-ซีวิทาซึ่งเป็นผู้ที่กำหนดแนวคิดของเทนเซอร์ขึ้นมาเป็นครั้งแรก เมตริกเทนเซอร์เป็นตัวอย่างหนึ่งของฟิลด์เทนเซอร์

ส่วนประกอบของเมตริกเทนเซอร์ในฐานพิกัดจะอยู่ในรูปแบบของเมทริกซ์สมมาตรซึ่งค่าต่างๆ ในเมทริกซ์จะเปลี่ยนแปลงไปตามการเปลี่ยนแปลงของระบบพิกัด ดังนั้น เมตริกเทนเซอร์จึงเป็นเทนเซอร์สมมาตร แบบโคแวเรียนต์ จาก มุมมอง ที่ไม่ขึ้นกับพิกัดเมตริกเทนเซอร์ฟิลด์ถูกนิยามให้เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพ บนปริภูมิสัมผัสแต่ละปริภูมิ ซึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ในหนังสือDisquisitiones generales circa superficies curvas ( การศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับพื้นผิวโค้ง ) ที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1827 ได้พิจารณาพื้นผิวแบบพาราเมตริกโดยที่พิกัดคาร์ทีเซียนx , yและzของจุดบนพื้นผิวขึ้นอยู่กับตัวแปรเสริมสองตัวคือuและvดังนั้น พื้นผิวแบบพาราเมตริกจึงเป็น (ในแง่ของคำศัพท์ในปัจจุบัน) ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์

${\displaystyle {\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}}$

ขึ้นอยู่กับคู่ลำดับของตัวแปรจริง( u , v )และกำหนดไว้ในเซตเปิดDใน ระนาบ uvหนึ่งในเป้าหมายหลักของการวิจัยของเกาส์คือการหาคุณสมบัติของพื้นผิวที่สามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชันซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงหากพื้นผิว undergoes การแปลงในอวกาศ (เช่น การดัดพื้นผิวโดยไม่ยืดออก) หรือการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบพารามิเตอร์เฉพาะของพื้นผิวทางเรขาคณิตเดียวกัน

ปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติอย่างหนึ่งคือความยาวของเส้นโค้งที่ลากไปตามพื้นผิว อีกอย่างหนึ่งคือมุมระหว่างเส้นโค้งสองเส้นที่ลากไปตามพื้นผิวและมาบรรจบกันที่จุดร่วม และปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงอย่างที่สามคือพื้นที่ของส่วนหนึ่งของพื้นผิว การศึกษาปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงเหล่านี้ของพื้นผิวทำให้เกาส์นำเสนอแนวคิดที่เป็นต้นกำเนิดของแนวคิดสมัยใหม่ของเมตริกเทนเซอร์

เมตริกเทนเซอร์อยู่ในคำอธิบายด้านล่าง; E, F และ G ในเมทริกซ์สามารถมีค่าเป็นตัวเลขใดก็ได้ ตราบใดที่เมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน (positive definite) ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

ถ้าตัวแปรuและvขึ้นอยู่กับตัวแปรที่สามtซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง[ a , b ]แล้วr → ( u ( t ), v ( t ))จะสร้างเส้นโค้งพาราเมตริกบนพื้นผิวพาราเมตริกMความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งนั้นกำหนดโดยปริพันธ์

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}$

โดยที่แทน ค่าบรรทัดฐาน แบบยุคลิดในที่นี้ได้ใช้กฎลูกโซ่ และตัวห้อยแสดงถึง อนุพันธ์ย่อย : ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$

${\displaystyle {\vec {r}__{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.}$

อินทิกรัลคือข้อจำกัด^{[ 1 ]}ของเส้นโค้งของรากที่สองของอนุพันธ์ ( กำลังสอง )

${\displaystyle (ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},}$

1

ที่ไหน

${\displaystyle E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.}$

2

ปริมาณdsใน ( 1 ) เรียกว่าองค์ประกอบเส้นในขณะที่ds ²เรียกว่ารูปแบบพื้นฐานแรกของMตามสัญชาตญาณ มันแสดงถึงส่วนหลักของกำลังสองของการกระจัดที่เกิดขึ้นโดยr → ( u , v )เมื่อuเพิ่มขึ้นด้วย หน่วย duและvเพิ่มขึ้นด้วยหน่วย dv

เมื่อใช้สัญลักษณ์เมทริกซ์ รูปแบบพื้นฐานแรกจะเป็นดังนี้

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}$

สมมติว่าตอนนี้มีการเลือกการกำหนดพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน โดยอนุญาตให้uและvขึ้นอยู่กับตัวแปรคู่อื่นu ′และv ′จากนั้นอนาล็อกของ ( 2 ) สำหรับตัวแปรใหม่คือ

${\displaystyle E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.}$

2'

กฎลูกโซ่เชื่อมโยงE ′ , F ′และG ′กับE , FและGผ่านสมการ เมทริก ซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}}$

3

โดยที่ตัวยก T หมายถึงการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เมทริกซ์ที่มีสัมประสิทธิ์E , FและGที่จัดเรียงในลักษณะนี้จึงถูกแปลงโดยเมทริกซ์จาโคเบียนของการเปลี่ยนพิกัด

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.}$

เมทริกซ์ที่แปลงรูปในลักษณะนี้เป็นเมทริกซ์ชนิดหนึ่งที่เรียกว่าเทนเซอร์เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

ด้วยกฎการแปลง ( 3 ) เรียกว่าเทนเซอร์เมตริกของพื้นผิว

Ricci-Curbastro & Levi-Civita (1900)สังเกตเห็นความสำคัญของระบบสัมประสิทธิ์E , FและG เป็นครั้งแรก ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงในลักษณะนี้เมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง ผลลัพธ์ก็คือ รูปแบบพื้นฐานแรก ( 1 ) จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงในระบบพิกัด และสิ่งนี้เป็นผลมาจากคุณสมบัติการแปลงของE , FและG เท่านั้น แท้จริงแล้ว ตามกฎลูกโซ่

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}$

อีกหนึ่งการตีความของเมตริกเทนเซอร์ ซึ่งเกาส์ก็พิจารณาเช่นกัน คือ เมตริกเทนเซอร์ช่วยให้สามารถคำนวณความยาวของเวกเตอร์สัมผัสพื้นผิว รวมถึงมุมระหว่างเวกเตอร์สัมผัสสองตัวได้ ในแง่ร่วมสมัย เมตริกเทนเซอร์ช่วยให้สามารถคำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์สัมผัสได้ในลักษณะที่ไม่ขึ้นอยู่กับการอธิบายพื้นผิวแบบพาราเมตริก เวกเตอร์สัมผัสใดๆ ณ จุดใดจุดหนึ่งบนพื้นผิวพาราเมตริกMสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

สำหรับจำนวนจริงp ₁และp ₂ ที่เหมาะสม ถ้ากำหนดเวกเตอร์สัมผัสสองตัวมาให้:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}}$

จากนั้นใช้คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นคู่ของผลคูณดอท

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

นี่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสี่ตัวอย่างชัดเจน คือa ₁ , b ₁ , a ₂และb ₂อย่างไรก็ตาม การมองฟังก์ชันนี้ในฐานะฟังก์ชันที่รับอาร์กิวเมนต์สองตัว คือa = [ a ₁ a ₂ ]และb = [ b ₁ b ₂ ]ซึ่งเป็นเวกเตอร์ใน ระนาบ uv จะมีประโยชน์มากกว่า กล่าวคือ กำหนดให้

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.}$

นี่คือฟังก์ชันสมมาตรในaและbซึ่งหมายความว่า

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.}$

นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นสองตัวแปร (bilinear ) ซึ่งหมายความว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในตัวแปรaและbแยกกัน นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}}$

สำหรับเวกเตอร์ใดๆa , a ′ , b และ b ′ในระนาบuvและจำนวนจริงใดๆμและλ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความยาวของเวกเตอร์สัมผัสaกำหนดโดย

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

และมุมθระหว่างเวกเตอร์สองตัวaและbคำนวณได้โดย

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}$

พื้นที่ผิวเป็นปริมาณเชิงตัวเลขอีกอย่างหนึ่งซึ่งควรขึ้นอยู่กับพื้นผิวนั้นเองเท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดพารามิเตอร์ หากพื้นผิวMถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยฟังก์ชันr → ( u , v )บนโดเมนDใน ระนาบ uvแล้ว พื้นที่ผิวของMจะคำนวณได้จากปริพันธ์

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

โดยที่×แทนผลคูณไขว้และค่าสัมบูรณ์แทนความยาวของเวกเตอร์ในปริภูมิยุคลิด จากเอกลักษณ์ของลากรางจ์สำหรับผลคูณไขว้ เราสามารถเขียนอินทิกรัลได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

โดยที่detคือดีเทอร์มิแนนต์

ให้Mเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีมิติnตัวอย่างเช่นพื้นผิว (ในกรณีn = 2 ) หรือไฮเปอร์เซอร์เฟซในปริภูมิคาร์ทีเซียน ที่แต่ละจุดp ∈ Mจะมีปริภูมิเวกเตอร์T _p Mเรียกว่าปริภูมิสัมผัสซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์สัมผัสทั้งหมดของแมนิโฟลด์ที่จุดpเทนเซอร์เมตริกที่pคือฟังก์ชันg _p ( X _p , Y _p )ซึ่งรับเวกเตอร์สัมผัสคู่หนึ่งX _pและY _pที่p เป็นอินพุต และสร้างผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง ( สเกลาร์ ) โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นไปตามที่กำหนด: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

• g _pเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นคู่ (bilinear function) ฟังก์ชันที่มีเวกเตอร์สองตัวเป็นตัวแปรเรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นคู่ ถ้าฟังก์ชันนั้นเป็นเชิงเส้นแยกกันในแต่ละตัวแปร ดังนั้น ถ้า U _p , V _p , Y _pเป็นเวกเตอร์สัมผัสสามตัวที่จุด pและ aกับ bเป็นจำนวนจริง แล้ว g p เป็นฟังก์ชันเชิง$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}}$$
• g _pเป็นสมมาตร^[ 2 ^]ฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์สองตัวเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อสำหรับเวกเตอร์ X ^p _และ Y p _{ทั้งหมด}$${\displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.}$$
• g _pเป็น ฟังก์ชันไม่ เสื่อมสภาพ (nondegenerate ) ฟังก์ชันทวิเชิงเส้น (bilinear function) จะไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเวกเตอร์สัมผัส X _p ≠ 0ฟังก์ชันที่ได้จากการคงค่า X _p ไว้ คงที่และปล่อยให้ Y _pเปลี่ยนแปลงไปนั้น ไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์กล่าวคือ สำหรับทุก X _p ≠ 0จะมี Y _p อยู่ค่าหนึ่ง ที่ทำให้ g _p ( X _p , Y _p ) ≠ 0$${\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

ฟิลด์เทนเซอร์เมตริกgบน แมนิโฟล ด์ Mกำหนดเทนเซอร์เมตริกg _p ให้กับแต่ละจุด pบนMในปริภูมิสัมผัสที่จุดpในลักษณะที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นตามpกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ เมื่อกำหนดเซตย่อยเปิดU ใดๆ ของแมนิโฟลด์M และ ฟิลด์เวกเตอร์ (เรียบ) XและY ใดๆ บนUฟังก์ชันจริง g จะเป็นฟังก์ชันเรียบของp$${\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

ส่วนประกอบของเมตริกในฐานของฟิลด์เวกเตอร์หรือเฟรม ใดๆ f = ( X ₁ , ..., X _n )จะได้รับจาก^{[ 3 ]}

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).}$

4

ฟังก์ชันn ² g _ij [ f ]ประกอบกันเป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์สมมาตรn × n , G [ f ]ถ้า

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}$

หากเวกเตอร์สองตัวที่p ∈ Uค่าของเมตริกที่ใช้กับvและwจะถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ ( 4 ) โดยความเป็นเส้นตรงคู่:

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}$

โดย กำหนดให้เมทริกซ์( g _ij [ f ])เป็นG [ f ]และจัดเรียงส่วนประกอบของเวกเตอร์vและwลงในเวกเตอร์คอลัมน์v [ f ]และw [ f ]

${\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$

โดยที่v [ f ] ^Tและw [ f ] ^Tแทนการสลับตำแหน่งของเวกเตอร์v [ f ]และw [ f ]ตามลำดับ ภายใต้การเปลี่ยนฐานในรูปแบบ

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A}$

สำหรับเมทริกซ์ผกผันขนาดn × n บางตัว A = ( a _ij )เมทริกซ์ส่วนประกอบของเมตริกจะเปลี่ยนแปลงไปตามAเช่นกัน นั่นคือ

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

หรือ ในแง่ของค่าต่างๆ ในเมทริกซ์นี้

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}$

ด้วยเหตุนี้ ระบบปริมาณg _ij [ f ] จึงกล่าวได้ว่ามีการ แปลง แบบโคแวเรียนต์โดยสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงในกรอบf

ระบบฟังก์ชันค่าจริงn ฟังก์ชัน ( x ¹ , ..., x ⁿ )ซึ่งให้ระบบพิกัด ท้องถิ่น บนเซตเปิดUในMจะกำหนดฐานของฟิลด์เวกเตอร์บนU

${\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.}$

เมตริกgมีส่วนประกอบที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงนี้ โดยกำหนดโดย

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}$

เมื่อเทียบกับระบบพิกัดท้องถิ่นใหม่ เช่น

${\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n}$

เมตริกเทนเซอร์จะกำหนดเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกัน

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

ระบบฟังก์ชันใหม่นี้มีความสัมพันธ์กับg _ij ( f ) เดิม โดยใช้กฎลูกโซ่

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}$

หรือในแง่ของเมทริกซ์G [ f ] = ( g _ij [ f ])และG [ f ′] = ( g _ij [ f ′]) ,

${\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}$

โดยที่Dyแทนเมทริกซ์จาโคเบียนของการเปลี่ยนพิกัด

รูปแบบกำลังสองที่กำหนดในปริภูมิสัมผัสแต่ละปริภูมิ จะสัมพันธ์กับเมตริกเทนเซอร์ใดๆ

${\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.}$

ถ้าq _m เป็นบวกสำหรับ X _mที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดเมตริกจะเป็นบวกแน่นอนที่mถ้าเมตริกเป็นบวกแน่นอนที่ทุกm ∈ Mแล้วgเรียกว่าเมตริกแบบรีมันน์โดยทั่วไปแล้ว ถ้าฟอร์มกำลังสองq _mมีลายเซ็น คงที่ ที่ไม่ขึ้นกับmแล้วลายเซ็นของgจะเป็นลายเซ็นนี้ และgเรียกว่าเมตริกแบบซูโดรีมันน์^{[ 4 ]}ถ้าMเชื่อมต่อกันลายเซ็นของq _mจะไม่ขึ้น^กับ m [ ^{5 ]}

ตามกฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์สามารถเลือก ฐานของเวกเตอร์สัมผัสX _{i ได้ในระดับท้องถิ่น เพื่อให้รูปแบบกำลังสองกลายเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมในลักษณะต่อไปนี้}

${\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}}$

สำหรับค่าp บางค่า ระหว่าง 1 ถึงn นิพจน์ qสองนิพจน์ใดๆ(ที่จุดm เดียวกัน ของM ) จะมีจำนวนเครื่องหมายบวกเท่ากันคือpลายเซ็นของgคือคู่ของจำนวนเต็ม( p , n − p )ซึ่งแสดงว่ามีเครื่องหมายบวกp ตัวและเครื่องหมายลบ n − pตัวในนิพจน์ดังกล่าว หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมตริกจะมีลายเซ็น( p , n − p )ถ้าเมทริกซ์g _ijของเมตริกมีค่า ไอเกนบวก pตัวและ ค่าไอเก น ลบ n − pตัว

ลักษณะเฉพาะของตัวชี้วัดบางอย่างที่พบได้บ่อยในแอปพลิเคชัน ได้แก่:

• ถ้าgมีลายเซ็น( n , 0)แล้วgจะเป็นเมตริกแบบรีมันน์ และMเรียกว่าแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ มิ ฉะนั้นgจะเป็นเมตริกแบบซูโดรีมันน์ และMเรียกว่าแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ (บางครั้งก็ใช้คำว่าเซมิรีมันน์ด้วย)
• ถ้าMเป็นเมตริกสี่มิติที่มีลายเซ็น(1, 3)หรือ(3, 1)แล้วเมตริกนั้นจะเรียกว่าเมตริกแบบลอเรนซ์โดยทั่วไปแล้ว เมตริกเทนเซอร์ในมิติnที่ไม่ใช่ 4 ที่มีลายเซ็น(1, n − 1)หรือ( n − 1, 1)บางครั้งก็เรียกว่าเมตริกแบบลอเรนซ์เช่นกัน
• ถ้าMเป็น เมตริก 2n มิติและgมีลายเซ็น( n , n )แล้วเมตริกนั้นเรียกว่าเมตริกอัลตราไฮเปอร์โบลิก

ให้f = ( X ₁ , ..., X _n )เป็นฐานของฟิลด์เวกเตอร์ และดังที่กล่าวมาข้างต้น ให้G [ f ]เป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}$

เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ผกผันG [ f ] ⁻¹ซึ่งระบุได้ว่าเป็นเมตริกผกผัน (หรือ เมตริก สังยุคหรือเมตริกคู่ ) เมตริกผกผันเป็นไปตามกฎการแปลงเมื่อเฟรมfเปลี่ยนไปโดยเมทริกซ์Aผ่านทาง

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.}$

5

เมตริกผกผันจะแปลงแบบคอนทราเวเรียนต์หรือเทียบกับเมทริกซ์ผกผันของการเปลี่ยนฐานAในขณะที่เมตริกเองเป็นวิธีการวัดความยาว (หรือมุมระหว่าง) ฟิลด์เวกเตอร์ เมตริกผกผันจะให้วิธีการวัดความยาว (หรือมุมระหว่าง) ฟิลด์ โคเวกเตอร์นั่นคือ ฟิลด์ของฟังก์ชันเชิงเส้น

เพื่อให้เห็นภาพนี้ สมมติว่าαเป็นสนามโคเวกเตอร์ กล่าวคือ สำหรับแต่ละจุดpนั้นαจะกำหนดฟังก์ชันα _pที่นิยามบนเวกเตอร์สัมผัสที่จุดpโดยที่ เงื่อนไข ความเป็นเส้นตรง ต่อไปนี้ เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์สัมผัสX _pและY _p ทั้งหมด และสำหรับจำนวนจริงaและb ทั้งหมด :

${\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.}$

เมื่อpเปลี่ยนแปลงไป จะถือว่า αเป็นฟังก์ชันเรียบในแง่ที่ว่า

${\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)}$

เป็นฟังก์ชันเรียบของpสำหรับสนามเวกเตอร์เรียบใดๆ X

สนามโคเวกเตอร์α ใดๆ จะมีส่วนประกอบอยู่ในฐานของสนามเวกเตอร์fซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.}$

กำหนดให้เวกเตอร์แถวของส่วนประกอบเหล่านี้คือ

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}$

ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของfโดยเมทริกซ์Aนั้นα [ f ]จะเปลี่ยนแปลงไปตามกฎ

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}$

นั่นคือ เวกเตอร์แถวของส่วนประกอบα [ f ]แปลงเป็นเวกเตอร์ โคแวเรียนต์

สำหรับคู่ ของสนามโคเวกเตอร์ αและβให้กำหนดเมตริกผกผันที่ใช้กับโคเวกเตอร์ทั้งสองนี้โดย

${\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.}$

6

นิยามที่ได้นั้น แม้ว่าจะเกี่ยวข้องกับการเลือกฐานfแต่ก็ไม่ได้ขึ้นอยู่กับfในแง่สาระสำคัญแต่อย่างใด อันที่จริง การเปลี่ยนฐานเป็นf Aจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$

ดังนั้นด้านขวามือของสมการ ( 6 ) จะไม่ได้รับผลกระทบจากการเปลี่ยนฐานfเป็นฐานf A อื่นใด เลย ด้วยเหตุนี้ สมการจึงสามารถกำหนดความหมายได้อย่างอิสระจากการเลือกฐาน สมาชิกของเมทริกซ์G [ f ]จะถูกแทนด้วยg ^ijโดยที่ดัชนีiและjได้รับการยกขึ้นเพื่อระบุถึงกฎการแปลง ( 5 )

ในฐานของสนามเวกเตอร์f = ( X ₁ , ..., X _n )สนามเวกเตอร์สัมผัสเรียบใดๆXสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]}$

7

สำหรับฟังก์ชันเรียบที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงv ¹ , ..., v ⁿ บางฟังก์ชัน เมื่อเปลี่ยนฐานfเป็นเมทริกซ์A ที่ไม่มีเอกฐาน สัมประสิทธิ์v ⁱจะเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่สมการ ( 7 ) ยังคงเป็นจริง นั่นคือ

${\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}$

ดังนั้นv [ f A ] = A ⁻¹ v [ f ]กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะแปลงแบบคอนทราแวเรียนต์ (นั่นคือ ผกผันหรือในทางตรงกันข้าม) ภายใต้การเปลี่ยนฐานโดยเมทริกซ์เอกฐานAการแปลงแบบคอนทราแวเรียนต์ของส่วนประกอบของv [ f ]จะถูกกำหนดโดยการวางดัชนีของv ⁱ [ f ] ไว้ ในตำแหน่งบนสุด

เฟรมยังช่วยให้สามารถแสดงโคเวกเตอร์ในรูปของส่วนประกอบได้ สำหรับฐานของฟิลด์เวกเตอร์f = ( X ₁ , ..., X _n )กำหนดฐานคู่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น( θ ¹ [ f ], ..., θ ⁿ [ f ])โดยที่

${\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}$

นั่นคือθ ⁱ [ f ]( X _j ) = δ _j ⁱซึ่งก็คือเดลต้าโครเนกเกอร์ให้

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}$

ภายใต้การเปลี่ยนฐานf ↦ f Aสำหรับเมทริกซ์A ที่ไม่เอก ฐาน θ [ f ]จะแปลงผ่าน

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นใดๆαบนเวกเตอร์สัมผัส สามารถขยายได้ในรูปของฐานคู่θ

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}}$

8

โดยที่a [ f ]หมายถึงเวกเตอร์แถว[ a ₁ [ f ] ... a _n [ f ] ]ส่วนประกอบa _iจะแปลงเมื่อฐานfถูกแทนที่ด้วยf Aในลักษณะที่สมการ ( 8 ) ยังคงเป็นจริง นั่นคือ

${\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}$

ดังนั้น เนื่องจากθ [ f A ] = A ⁻¹ θ [ f ]จึงสรุปได้ว่าa [ f A ] = a [ f ] Aนั่นคือ ส่วนประกอบaแปลงแบบโคแวเรียนต์ (โดยเมทริกซ์Aแทนที่จะเป็นเมทริกซ์ผกผัน) ความแปรปร่วมของส่วนประกอบของa [ f ]ถูกกำหนดโดยการวางดัชนีของa _i [ f ] ไว้ในตำแหน่งล่าง

ตอนนี้ เมตริกเทนเซอร์ให้วิธีการระบุเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ดังต่อไปนี้ โดยกำหนดให้X _pคงที่ ฟังก์ชัน

${\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

การดำเนินการของเวกเตอร์สัมผัสY _pกำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิสัมผัสที่จุดpการดำเนินการนี้ใช้เวกเตอร์X _pที่จุดpและสร้างโคเวกเตอร์g _p ( X _p , −)ในฐานของฟิลด์เวกเตอร์fถ้าฟิลด์เวกเตอร์Xมีส่วนประกอบv [ f ]แล้วส่วนประกอบของฟิลด์โคเวกเตอร์g ( X , −)ในฐานคู่จะได้รับจากรายการของเวกเตอร์แถว

${\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}$

ภายใต้การเปลี่ยนฐานf ↦ f Aด้านขวามือของสมการนี้จะแปลงผ่าน

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

ดังนั้นa [ f A ] = a [ f ] A : aแปลงแบบโคแวเรียนต์ การดำเนินการเชื่อมโยงส่วนประกอบ (คอนทราแวเรียนต์) ของสนามเวกเตอร์v [ f ] = [ v ¹ [ f ] v ² [ f ] ... v ⁿ [ f ] ] ^Tกับส่วนประกอบ (โคแวเรียนต์) ของสนามโคเวกเตอร์a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] … a _n [ f ] ]โดยที่

${\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}$

เรียกว่าการ ลดดัชนี

ในการยกดัชนีขึ้นจะใช้วิธีการสร้างแบบเดียวกัน แต่ใช้เมตริกผกผันแทนเมตริก ถ้าa [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ] ]เป็นส่วนประกอบของโคเวกเตอร์ในฐานคู่θ [ f ]แล้วเวกเตอร์คอลัมน์

${\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}}$

9

มีส่วนประกอบที่แปลงแบบคอนทราแวเรียนต์:

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}$

ดังนั้น ปริมาณX = f v [ f ]จึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกฐานfในลักษณะสำคัญ และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดฟิลด์เวกเตอร์บนMการดำเนินการ ( 9 ) ที่เชื่อมโยงส่วนประกอบ (โคเวเรียนต์) ของโคเวกเตอร์a [ f ]กับส่วนประกอบ (คอนทราเวเรียนต์) ของเวกเตอร์v [ f ]ที่กำหนดให้เรียกว่าการยกดัชนีในส่วนประกอบ ( 9 ) คือ

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}$

ให้Uเป็นเซตเปิดในℝ ⁿและให้φเป็น ฟังก์ชัน ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องจากUไปยังปริภูมิยุคลิดℝ ^mโดยที่m > nการแมปφเรียกว่าการฝังตัว (immersion)ถ้าอนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่ทุกจุดในUภาพของφเรียกว่าส่วน ย่อย ที่ฝังตัว (immersed submanifold ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับm = 3ซึ่งหมายความว่าปริภูมิยุคลิดโดยรอบคือℝ ³เทนเซอร์เมตริกที่เหนี่ยวนำเรียกว่ารูปแบบพื้นฐานแรก (first fundamental form )

สมมติว่าφเป็นการฝังตัวลงบนซับแมนิโฟลด์M ⊂ R ^mผลคูณดอทแบบยุคลิดปกติในℝ ^mเป็นเมตริกซึ่งเมื่อจำกัดเฉพาะเวกเตอร์สัมผัสกับMจะให้วิธีการในการหาผลคูณดอทของเวกเตอร์สัมผัสเหล่านี้ สิ่งนี้เรียกว่าเมตริก เหนี่ยวนำ

สมมติว่าvเป็นเวกเตอร์สัมผัสที่จุดหนึ่งในUเช่น v_t

${\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}}$

โดยที่e _iคือเวกเตอร์พิกัดมาตรฐานในℝ ⁿเมื่อφถูกนำไปใช้กับUเวกเตอร์vจะเคลื่อนไปยังเวกเตอร์สัมผัสกับMซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.}$

(นี่เรียกว่าการผลักไปข้างหน้าของvตามφ ) เมื่อกำหนดเวกเตอร์สองตัวดังกล่าวvและwแล้ว เมตริกที่เหนี่ยวนำจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).}$

จากการคำนวณอย่างตรงไปตรงมา จะได้ว่าเมทริกซ์ของเมตริกเหนี่ยวนำในฐานของเวกเตอร์ฟิลด์พิกัดeนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )}$

โดยที่Dφคือเมทริกซ์จาโคเบียน:

${\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}$

แนวคิดของเมตริกสามารถนิยามได้โดยเนื้อแท้โดยใช้ภาษาของไฟเบอร์บันเดิลและเวกเตอร์บันเดิลในแง่นี้เมตริกเทนเซอร์คือฟังก์ชัน

${\displaystyle g:\mathrm {T} M\times _{M}\mathrm {T} M\to \mathbf {R} }$

10

จากผลคูณไฟเบอร์ของกลุ่มสัมผัสของMกับตัวมันเองไปยังRโดยที่การจำกัดของgไปยังแต่ละไฟเบอร์เป็นการแมปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพ

${\displaystyle g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .}$

การแมป ( 10 ) จำเป็นต้องต่อเนื่องและมักจะสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องเรียบหรือวิเคราะห์จริงขึ้นอยู่กับกรณีที่สนใจ และว่าMสามารถรองรับโครงสร้างดังกล่าวได้ หรือ ไม่

โดยคุณสมบัติสากลของผลคูณเทนเซอร์การแมปแบบทวิเชิงเส้นใดๆ ( 10 ) ก่อให้เกิดส่วนg _⊗ของคู่ของบันเดิลผลคูณเทนเซอร์ของT Mกับตัวมันเอง โดยธรรมชาติ

${\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).}$

ส่วนg _⊗ถูกกำหนดบนองค์ประกอบที่เรียบง่ายของT M ⊗ T Mโดย

${\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)}$

และถูกกำหนดบนองค์ประกอบใดๆ ของT M ⊗ T Mโดยการขยายเชิงเส้นไปยังการรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบแบบง่าย รูปแบบทวิเชิงเส้นดั้งเดิมgจะสมมาตรก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }}$

ที่ไหน

${\displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\xrightarrow {\cong } TM\otimes TM}$

คือแผนที่การถักเปีย

เนื่องจากMเป็นมิติจำกัด จึงมีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ

${\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,}$

ดังนั้นg _⊗ จึง ถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของบันเดิลT* M ⊗ T* Mของบันเดิลโคแทนเจนต์T* Mกับตัวมันเอง เนื่องจากgเป็นฟังก์ชันสมมาตรในฐานะการแมปแบบทวิเชิงเส้น จึงสรุปได้ว่าg _⊗เป็น เทน เซอร์ สมมาตร

โดยทั่วไปแล้ว เราอาจกล่าวถึงเมตริกในเวกเตอร์บันเดิลได้ถ้าEเป็นเวกเตอร์บันเดิลเหนือแมนิโฟลด์Mแล้ว เมตริกก็คือการแมป

${\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} }$

จากผลคูณของ เส้นใย EถึงRซึ่งเป็นแบบไบลิเนียร์ในแต่ละเส้นใย:

${\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .}$

โดยใช้หลักทวิภาวะดังที่กล่าวมาข้างต้น เมตริกมักจะถูกระบุด้วยส่วน หนึ่งของบันเดิลผลคูณเทนเซอร์E * ⊗ E *

เทนเซอร์เมตริกให้ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติจากบันเดิลแทนเจนต์ไปยังบันเดิลโคแทนเจนต์ซึ่งบางครั้งเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมทางดนตรี^{[ 6 ]}ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ได้มาจากการตั้งค่าสำหรับเวกเตอร์แทนเจนต์X p _∈ T _p M แต่ละตัว

${\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นบนT _p Mซึ่งส่งเวกเตอร์สัมผัสY _pที่pไปยังg _p ( X _p , Y _p )นั่นคือ ในแง่ของการจับคู่[−, −]ระหว่างT _p Mและปริภูมิคู่T ของมัน^* _pเอ็ม ,

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

สำหรับเวกเตอร์สัมผัส X _pและY _pทั้งหมดการแมปS _gเป็นการแปลงเชิงเส้นจากT _p MไปยังT^* _pM.จากนิยามของความไม่เสื่อมถอย จะได้ว่าเคอร์เนลของ S _gลดลงเหลือศูนย์ ดังนั้นโดยทฤษฎีบทอันดับ-ศูนย์S _gจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นยิ่งไปกว่านั้น S _gเป็นการแปลงเชิงเส้นสมมาตรในความหมายที่ว่า

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}$

สำหรับ เวกเตอร์สัมผัส X _pและY _pทั้งหมด

ในทางกลับกัน ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นใดๆS  : T _p M → T^* _pMกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพบน T _p Mโดยใช้

${\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}$

รูปแบบทวิเชิงเส้นนี้จะสมมาตรก็ต่อเมื่อSสมมาตร ดังนั้นจึงมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งตามธรรมชาติระหว่างรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบนT _p Mและไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นสมมาตรของT _p MไปยังT คู่^* _pม .

เมื่อpเปลี่ยนแปลงไปตามMนั้นS _gจะกำหนดส่วนของบันเดิลHom(T M , T* M )ของ ไอ โซมอร์ฟิซึมบันเดิลเวกเตอร์ของบันเดิลสัมผัสไปยังบันเดิลโคสัมผัส ส่วนนี้มีความเรียบเหมือนกับgกล่าวคือ มีความต่อเนื่อง สามารถหาอนุพันธ์ได้ เรียบ หรือเป็นเชิงวิเคราะห์จริงตามgการแมปS _gซึ่งเชื่อมโยงสนามเวกเตอร์ทุกสนามบนM กับ สนามโคเวกเตอร์บนMนั้นให้สูตรเชิงนามธรรมของการ "ลดดัชนี" บนสนามเวกเตอร์ ส่วนผกผันของS _gคือการแมปT* M → T Mซึ่งในทำนองเดียวกัน ให้สูตรเชิงนามธรรมของการ "เพิ่มดัชนี" บนสนามโคเวกเตอร์

Sผกผัน⁻¹ _กรัมกำหนดการแมปเชิงเส้น

${\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

ซึ่งเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและสมมาตรในแง่ที่ว่า

${\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}$

สำหรับโคเวกเตอร์ αและβทั้งหมด การแมปแบบสมมาตรที่ไม่เอกฐานดังกล่าวทำให้เกิดการ แมป (โดยการเชื่อมโยงเทนเซอร์-โฮม )

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} }$

หรือโดยไอโซมอร์ฟิซึมคู่แบบสองชั้นไปยังส่วนหนึ่งของผลคูณเทนเซอร์

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}$

สมมติว่าgเป็นเมตริกแบบรีมันน์บนMในระบบพิกัดท้องถิ่นx ⁱ , i = 1, 2, …, nเมตริกเทนเซอร์จะปรากฏเป็นเมทริกซ์ ซึ่งในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ Gโดยที่สมาชิกของเมทริกซ์คือส่วนประกอบg _ijของเมตริกเทนเซอร์ที่สัมพันธ์กับเวกเตอร์ฟิลด์พิกัด

ให้γ ( t )เป็นเส้นโค้งพาราเมตริก ที่หาอนุพันธ์ได้เป็นช่วงๆ ใน​​Mสำหรับa ≤ t ≤ bความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งถูกกำหนดโดย

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.}$

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตนี้รูปแบบเชิงอนุพันธ์กำลังสอง

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}}$

เรียกว่ารูปแบบพื้นฐานแรกที่เกี่ยวข้องกับเมตริก ในขณะที่dsคือองค์ประกอบเส้นเมื่อds²ถูกดึงกลับไปยังภาพของเส้นโค้งในM มันจะแสดง ^ถึงกำลังสองของอนุพันธ์เทียบกับความยาวส่วนโค้ง

สำหรับเมตริกแบบซูโดรีมันน์ สูตรความยาวข้างต้นอาจไม่สามารถกำหนดได้เสมอไป เนื่องจากพจน์ใต้รากที่สองอาจเป็นค่าลบ โดยทั่วไปแล้ว เราจะกำหนดความยาวของเส้นโค้งก็ต่อเมื่อปริมาณใต้รากที่สองมีเครื่องหมายใดเครื่องหมายหนึ่งเสมอ ในกรณีนี้ ให้กำหนด

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.}$

แม้ว่าสูตรเหล่านี้จะใช้การแสดงค่าพิกัด แต่ในความเป็นจริงแล้วสูตรเหล่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดที่เลือก มันขึ้นอยู่กับเมตริกและเส้นโค้งที่ใช้ในการอินทิเกรตสูตรเท่านั้น

เมื่อกำหนดส่วนหนึ่งของเส้นโค้งแล้ว ปริมาณอีกอย่างหนึ่งที่มักถูกกำหนดคือพลังงานจลน์ของเส้นโค้งนั้น:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.}$

การใช้งานนี้มาจากฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลศาสตร์คลาสสิกซึ่งปริมาณอินทิกรัลEสามารถมองได้ว่าสอดคล้องโดยตรงกับพลังงานจลน์ของอนุภาคจุดที่เคลื่อนที่บนพื้นผิวของแมนิโฟลด์ ตัวอย่างเช่น ในสูตรของ Jacobi เกี่ยวกับหลักการของ Maupertuisนั้น เทนเซอร์เมตริกสามารถมองได้ว่าสอดคล้องกับเทนเซอร์มวลของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่

ในหลายกรณี เมื่อใดก็ตามที่การคำนวณต้องการใช้ความยาว การคำนวณที่คล้ายกันโดยใช้พลังงานก็สามารถทำได้เช่นกัน ซึ่งมักจะนำไปสู่สูตรที่ง่ายกว่าโดยหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้รากที่สอง ตัวอย่างเช่น สมการจีโอเดสิกอาจได้มาจากการใช้หลักการแปรผันกับความยาวหรือพลังงาน ในกรณีหลัง สมการจีโอเดสิกเกิดขึ้นจากหลักการของการกระทำน้อยที่สุด กล่าว คือ สมการเหล่านี้อธิบายการเคลื่อนที่ของ " อนุภาคอิสระ " (อนุภาคที่ไม่รู้สึกถึงแรงใดๆ) ที่ถูกจำกัดให้เคลื่อนที่บนแมนิโฟลด์ แต่เคลื่อนที่ได้อย่างอิสระด้วยโมเมนตัมคงที่ภายในแมนิโฟลด์^{[ 7 ]}

ในทำนองเดียวกับกรณีของพื้นผิว เมตริกเทนเซอร์บนแมนิโฟลด์พาราคอมแพ็กต์n มิติ Mก่อให้เกิดวิธีการตามธรรมชาติในการวัดปริมาตรnมิติ ของเซตย่อยของแมนิโฟลด์ การวัดแบบบอเรลที่เป็นบวกตามธรรมชาติที่ได้นี้ช่วยให้สามารถพัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันอินทิกรัลบนแมนิโฟลด์โดยใช้ปริพันธ์เลเบส ที่เกี่ยวข้อง ได้

สามารถกำหนดมาตรวัดได้โดยทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซ (Riesz representation theorem ) โดยการให้ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกΛบนปริภูมิC ₀ ( M )ของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขตจำกัด บนMกล่าวคือ ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์ที่มีเมตริกเทนเซอร์แบบ (ซูโด-)รีมันน์gแล้วจะมีมาตรวัดบอเรลบวก ที่ไม่ซ้ำกัน μ _gเช่นนั้น สำหรับแผนภูมิพิกัด ใดๆ ( U , φ )สำหรับ f ทั้งหมดที่มีขอบเขตในUโดยที่det gคือดีเทอร์ มิแนน ต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากส่วนประกอบของเมตริกเทนเซอร์ในแผนภูมิพิกัด การที่Λถูกกำหนดไว้อย่างดีบนฟังก์ชันที่มีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงพิกัดนั้นได้รับการพิสูจน์โดย การเปลี่ยนตัวแปรของจาโคเบียน (Jacobian change of variables ) และขยายไปสู่ฟังก์ชันเชิงเส้นบวกที่ไม่ซ้ำกันบนC ₀ ( M )โดยใช้การแบ่งส่วนของเอกภาพ (partition of unity ) $${\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx}$$

ถ้าM มี ทิศทางด้วยแล้ว ก็สามารถกำหนดรูปแบบปริมาตร ธรรมชาติ จากเทนเซอร์เมตริกได้ ในระบบพิกัดที่มีทิศทางเป็นบวก( x₁ ^, ..., xₙ )รูปแบบปริมาตรจะแสดงเป็น โดย ที่dxᵢคืออนุพันธ์พิกัดและ^∧แทนผลคูณภายนอกในพีชคณิตของรูปแบบอนุพันธ์ รูป แบบปริมาตรยังให้วิธีการในการอินทิเก ^รตฟังก์ชันบนแมนิโฟลด์ และปริพันธ์ทางเรขาคณิตนี้สอดคล้องกับปริพันธ์ที่ได้จากการวัดแบบบอเรล มาตรฐาน$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$

ตัวอย่างที่คุ้นเคยที่สุดคือเรขาคณิตยุคลิด ขั้นพื้นฐาน นั่นคือ เมตริกเทนเซอร์ ยุคลิดสองมิติ ในพิกัด คาร์ทีเซียน( x , y )ปกติเราสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

ความยาวของเส้นโค้งสามารถลดทอนลงเหลือสูตรดังนี้:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.}$

เมตริกแบบยุคลิดในระบบพิกัดทั่วไปอื่นๆ สามารถเขียนได้ดังนี้

พิกัดเชิงขั้ว( r , θ ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

ดังนั้น

${\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$

โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

โดยทั่วไป ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนx ⁱบนปริภูมิยูคลิดอนุพันธ์ย่อย∂ / ∂ x ⁱจะตั้งฉากกันเมื่อเทียบกับเมตริกยูคลิด ดังนั้น เทนเซอร์เมตริกจึงเป็นเดลต้าโครเนกเกอร์ δ _ijในระบบพิกัดนี้ เทนเซอร์เมตริกเมื่อเทียบกับพิกัดใดๆ (อาจเป็นพิกัดโค้ง) q ⁱกำหนดโดย

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

ทรงกลมหน่วยในℝ³มาพร้อมกับเมตริกธรรมชาติที่เหนี่ยวนำมาจากเมตริกยุคลิดโดยรอบ ผ่านกระบวนการที่อธิบายไว้ใน^ส่วนเมตริกที่เหนี่ยวนำ ในพิกัดทรงกลมมาตรฐาน( θ , φ )โดยที่θคือมุมโคละติจูดมุมที่วัดจาก แกน zและφคือมุมจาก แกน xใน ระนาบ xyเมตริกจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$

โดยปกติจะเขียนในรูปแบบนี้

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.}$

ในปริภูมิ Minkowski แบนราบ ( ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ) โดยมีพิกัด

${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,}$

ตัวชี้วัดนั้นขึ้นอยู่กับการเลือกรูปแบบตัวชี้วัด

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.}$