ในพีชคณิตเชิงเส้นการสลับตำแหน่งเป็นการดำเนินการที่พลิกเมทริกซ์ตามแนวทแยงมุม กล่าวคือ การสลับตำแหน่งจะสลับดัชนีแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์Aเพื่อสร้างเมทริกซ์อีกเมทริกซ์หนึ่ง ซึ่งเรียกว่าเมทริกซ์สลับตำแหน่งของAและมักใช้สัญลักษณ์A ^T (และสัญลักษณ์อื่นๆ) ^{[ 1 ]}

การสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2491 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อArthur Cayley ^{[ 2 ]}

เมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์Aซึ่งแสดงด้วยA ^T , ^{[ 3 ] T} A , A ^tr , ^t AหรือA ^tสามารถสร้างได้โดยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

1. สะท้อนภาพAข้ามเส้นทแยงมุมหลัก (ซึ่งวิ่งจากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวา) เพื่อให้ได้A ^T
2. เขียนแถวของAเป็นคอลัมน์ของA ^T
3. เขียนคอลัมน์ของAเป็นแถวของA ^T

ตามหลักการแล้ว องค์ประกอบในแถวที่i และคอลัมน์ที่ jของเมทริกซ์ A ^Tคือ องค์ประกอบ ในแถวที่j และคอลัมน์ที่ iของเมทริกซ์ A :

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\text{T}}\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

ถ้าAเป็น เมทริกซ์ขนาด m × nแล้วA ^Tจะเป็นเมทริกซ์ขนาด n × m

เมทริกซ์จัตุรัสที่มีทรานสโพสเท่ากับตัวมันเอง เรียกว่าเมทริกซ์สมมาตรกล่าวคือAเป็นเมทริกซ์สมมาตร ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} .}$

เมทริกซ์จัตุรัสที่มีทรานสโพสเท่ากับค่าลบของมัน เรียกว่าเมทริกซ์สมมาตรเฉียงกล่าวคือAเป็นเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}=-\mathbf {A} .}$

เมทริกซ์ จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีทรานสโพสเท่ากับเมทริกซ์ที่แทนที่สมาชิกทุกตัวด้วยคอนจูเกตเชิงซ้อน (แสดงด้วยเส้นขีดบน) เรียกว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (เทียบเท่ากับเมทริกซ์เท่ากับทรานสโพสคอนจูเกต ) กล่าวคือAเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}={\overline {\mathbf {A} }}.}$

เมทริกซ์ จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีทรานสโพสเท่ากับค่าลบของคอนจูเกตเชิงซ้อนของมัน เรียกว่าเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแบบเฉียงกล่าวคือAเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนแบบเฉียง ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}=-{\overline {\mathbf {A} }}.}$

เมทริกซ์จัตุรัสที่มีทรานสโพสเท่ากับอินเวอร์ส ของมัน เรียกว่าเมทริกซ์เชิงตั้งฉากกล่าวคือAเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก ถ้า A = 1, ..., ..., ...

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} ^{-1}.}$

เมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่มีทรานสโพสเท่ากับอินเวอร์สสังยุคของมัน เรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์กล่าวคือAเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ถ้า

${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\text{T}}=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

ให้AและBเป็นเมทริกซ์ และcเป็นค่าสเกลาร์

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\mathbf {A} .}$

  การดำเนินการหาเมทริกซ์สลับตำแหน่ง (transpose) เป็นการดำเนินการผกผันในตัวเอง (self -inverse )

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\text{T}}=\mathbf {A} ^{\text{T}}+\mathbf {B} ^{\text{T}}.}$

  การสลับแถวและคอลัมน์จะคำนึงถึงการบวก

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\text{T}}=c(\mathbf {A} ^{\text{T}}).}$

  เมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของสเกลาร์ยังคงเป็นสเกลาร์เดิม เมื่อรวมกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้แล้ว จึงหมายความว่าเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์เป็นการแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิของ เมทริกซ์ขนาด m × nไปยังปริภูมิของเมทริกซ์ขนาดn × m

• ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\text{T}}=\mathbf {B} ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}.}$

  ลำดับของตัวประกอบจะกลับกัน โดยการอุปมาน ผลลัพธ์นี้ขยายไปสู่กรณีทั่วไปของเมทริกซ์หลายตัว ดังนั้น

  ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  =  A _k ^T A _{k −1} ^T … A ₂ ^T A ₁ ^T .

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์จัตุรัสนั้น

• ผลคูณดอทของเวกเตอร์คอลัมน์สองตัวaและbสามารถคำนวณได้จากค่าเดียวของผลคูณเมทริกซ์$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\text{T}}\mathbf {b} .}$$
• ถ้า เมทริกซ์ Aมีเฉพาะจำนวนจริงเท่านั้น เมทริกซ์ A ^T Aจะเป็นเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอน (positive-semidefinite matrix )
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\text{T}}.}$

  เมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์ที่ผกผันได้ก็ผกผันได้เช่นกัน และเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ทรานสโพสคือเมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์เดิม บางครั้งมีการใช้ สัญลักษณ์A ^−Tเพื่อแทนนิพจน์ที่เทียบเท่ากันทั้งสองนี้

• ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสค่าไอเกน ของมัน จะเท่ากับค่าไอเกนของเมทริกซ์ทรานสโพส เนื่องจากมีพหุนามลักษณะ เฉพาะเดียวกัน สามารถเห็นได้โดยตรงจากหัวข้อค่าไอเกนของเมทริกซ์ทรานสโพส
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {b} \right)}$สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์สองตัวและผลคูณดอทมาตรฐาน${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$
• บนฟิลด์ใดๆเมท ริกซ์จัตุรัสจะคล้ายกับ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$

  นี่หมายความว่าและ มี ปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงเดียวกันซึ่งหมายความว่าพวกมันมีพหุนามขั้นต่ำ พหุนามลักษณะเฉพาะ และค่าลักษณะเฉพาะที่เหมือนกัน รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ อีกด้วย${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$

  การพิสูจน์คุณสมบัตินี้ใช้ข้อสังเกตสองประการต่อไปนี้

  • ให้และเป็นเมทริกซ์บนฟิลด์ฐานบางฟิลด์และให้เป็นส่วนขยายฟิลด์ของถ้าและคล้ายคลึงกันในฐานะเมทริกซ์บนแล้ว พวกมันจะคล้ายคลึงกันบน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้ได้เมื่อเป็นการปิดเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L}$${\displaystyle k}$
  • ถ้าเป็นเมทริกซ์เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตในรูปแบบปกติของจอร์แดนโดยสัมพันธ์กับฐานบางอย่าง แล้วจะคล้ายกับซึ่งจะลดลงเหลือการพิสูจน์ข้อเท็จจริงเดียวกันเมื่อเป็นบล็อกจอร์แดนเดี่ยว ซึ่งเป็นแบบฝึกหัดที่ตรงไปตรงมา${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

ถ้าAเป็น เมทริกซ์ขนาด m × nและAT เป็นเมทริกซ์ทรานสโพสของ ^Aผลลัพธ์ของการคูณเมทริกซ์ทั้งสองนี้จะได้เมทริกซ์จัตุรัสสองเมทริกซ์คือAA ^T ขนาดm × mและAT ^Aขนาดn × nยิ่งไปกว่านั้น ผลคูณทั้งสองนี้เป็นเมทริกซ์สมมาตร^{กล่าว} คือ ผลคูณเมทริกซ์AA ^Tมีสมาชิกที่เป็นผลคูณภายในของแถวหนึ่งของAกับคอลัมน์หนึ่งของATแต่คอลัมน์ของATคือแถวหนึ่งของA ดังนั้นสมาชิกในผลคูณ ^จึงสอดคล้องกับผลคูณภายในของสองแถวของAถ้าp _ijเป็นสมาชิกของผลคูณ จะได้มาจากแถวiและjในAสมาชิกp _jiก็ได้มาจากแถวเหล่านี้เช่นกัน ดังนั้นp _ij = p _jiและเมทริกซ์ผลคูณ ( p _ij ) เป็นเมทริกซ์สมมาตร ในทำนองเดียวกัน ผลคูณAT A ^ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตร เช่นกัน

การพิสูจน์สมมาตรของAA ^T อย่างรวดเร็ว มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันคือทรานสโพสของตัวมันเอง:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}.}$^{[ 4 ]}

ในคอมพิวเตอร์เรามักจะหลีกเลี่ยงการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ในหน่วยความจำได้โดยการเข้าถึงข้อมูลเดียวกันในลำดับที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นไลบรารีซอฟต์แวร์สำหรับพีชคณิตเชิงเส้นเช่นBLASมักจะมีตัวเลือกให้ระบุว่าเมทริกซ์บางตัวควรถูกตีความในลำดับที่สลับแถวและคอลัมน์แล้ว เพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการเคลื่อนย้ายข้อมูล

อย่างไรก็ตาม ยังมีสถานการณ์หลายอย่างที่จำเป็นหรือพึงประสงค์ที่จะจัดเรียงเมทริกซ์ในหน่วยความจำใหม่ให้เป็นลำดับแบบสลับแถวและคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ที่จัดเก็บในลำดับแบบแถวหลักแถวของเมทริกซ์จะอยู่ติดกันในหน่วยความจำ ในขณะที่คอลัมน์จะไม่ติดกัน หากจำเป็นต้องดำเนินการซ้ำๆ กับคอลัมน์ เช่น ใน อัลกอริทึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ในหน่วยความจำ (เพื่อให้คอลัมน์อยู่ติดกัน) อาจช่วยปรับปรุงประสิทธิภาพโดยการเพิ่มความ ใกล้เคียงของหน่วยความจำ

ในอุดมคติแล้ว เราอาจหวังที่จะสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์โดยใช้พื้นที่จัดเก็บเพิ่มเติมให้น้อยที่สุด ซึ่งนำไปสู่ปัญหาของการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์n × mในตำแหน่ง เดิม โดยใช้พื้นที่จัดเก็บเพิ่มเติมO(1) หรืออย่างมากก็ใช้พื้นที่จัดเก็บน้อยกว่า mn มาก สำหรับn ≠ m วิธีนี้เกี่ยวข้องกับ การเรียงลำดับข้อมูลที่ซับซ้อน ซึ่งไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะนำไปใช้ในตำแหน่งเดิม ดังนั้น การสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ในตำแหน่งเดิม อย่างมีประสิทธิภาพ จึงเป็นหัวข้อของการตีพิมพ์งานวิจัยจำนวนมากในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ตั้งแต่ช่วงปลายทศวรรษ 1950 และมีการพัฒนาอัลกอริทึมหลายอย่างขึ้นมา

เนื่องจากการใช้งานหลักของเมทริกซ์คือการแทนแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดดังนั้นการสลับแถวและคอลัมน์จึงเป็นการดำเนินการกับเมทริกซ์ที่อาจมองได้ว่าเป็นการแทนการดำเนินการบางอย่างกับแผนที่เชิงเส้น

สิ่งนี้ทำให้ได้นิยามทั่วไปของการสลับแถวและคอลัมน์ที่ใช้ได้กับทุกการแปลงเชิงเส้น แม้ว่าการแปลงเชิงเส้นจะไม่สามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ได้ (เช่นในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์) ในกรณีที่มีมิติจำกัด เมทริกซ์ที่แสดงถึงการสลับแถวและคอลัมน์ของการแปลงเชิงเส้น คือการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่แสดงถึงการแปลงเชิงเส้นนั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก ฐาน

ให้X ^#แทนปริภูมิคู่พีชคณิตของโมดูลR X ให้XและYเป็นโมดูลR ถ้า u  : X → Yเป็นแผนที่เชิงเส้นแล้วตัวผกผันพีชคณิตหรือคู่ ของ มัน^{[ 5 ]}คือแผนที่u ^# : Y ^# → X ^#  ที่กำหนดโดยf ↦ f ∘ uฟังก์ชันที่ได้u ^# ( f )เรียกว่าพูลแบ็กของfโดยu ความสัมพันธ์ต่อไปนี้แสดงลักษณะเฉพาะของตัวผกผันพีชคณิตของu ^{[ 6 ]}

⟨ u ^# ​​( f ), x ⟩ = ⟨ f , u ( x )⟩สำหรับทุก f ∈ Y ^#และ x ∈ X

โดยที่⟨•, •⟩คือการจับคู่ตามธรรมชาติ (กล่าวคือ กำหนดโดย⟨ h , z ⟩  := h ( z ) ) คำจำกัดความนี้ยังใช้ได้กับโมดูลซ้ายและปริภูมิเวกเตอร์โดยไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 7 ]}

นิยามของทรานสโพสอาจถือได้ว่าไม่ขึ้นอยู่กับรูปแบบทวิเชิงเส้นใดๆ บนโมดูล ซึ่งแตกต่างจากแอดจอยต์ ( ด้านล่าง )

ปริภูมิคู่ต่อเนื่องของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) Xจะถูกแทนด้วยX ′ถ้าXและYเป็น TVS แล้ว แผนที่เชิงเส้นu  : X → Yจะมีความต่อเนื่องแบบอ่อนก็ต่อเมื่อu ^# ( Y ′ ) ⊆ X ′ซึ่งในกรณีนี้ เราจะให้t ^u :  Y ′ → X ′ แทนการจำกัดของu ^#บนY ′แผนที่^t uเรียกว่าทรานสโพส^{[ 8 ]}ของu

ถ้าเมทริกซ์Aอธิบายแผนที่เชิงเส้นโดยสัมพันธ์กับฐานของVและWแล้ว เมทริกซ์A ^Tจะอธิบายการสลับตำแหน่งของแผนที่เชิงเส้นนั้นโดยสัมพันธ์กับฐาน คู่

ทุกแผนที่เชิงเส้นไปยังปริภูมิคู่u  : X → X ^#กำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นB  : X × X → Fโดยมีความสัมพันธ์B ( x , y ) = u ( x )( y )โดยการกำหนดทรานสโพสของรูปแบบทวิเชิงเส้นนี้เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น^t Bที่กำหนดโดยทรานสโพส^t u  : X ^## → X ^#นั่นคือ^t B ( y , x ) = ^t u (Ψ( y ))( x )เราพบว่าB ( x , y ) = ^t B ( y , x )ในที่นี้Ψ คือ โฮโมมอร์ฟิซึม ธรรมชาติX → X ^##ไปยังปริภูมิคู่สองชั้น

ถ้าปริภูมิเวกเตอร์XและYมีรูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อม สภาพ B _XและB _Y ตามลำดับ แนวคิดที่เรียกว่าตัวผกผัน (adjoint ) ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับตัวสลับตำแหน่ง (transpose) สามารถกำหนดได้ดังนี้:

ถ้าu  : X → Yเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์XและYเราจะกำหนดgเป็นฟังก์ชันผกผันของuถ้าg  : Y → Xสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อ ไปนี้

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$สำหรับทุกx ∈ Xและy ∈ Y

รูปแบบทวิเชิงเส้นเหล่านี้กำหนดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างXและX ^#และระหว่างYและY ^#ส่งผลให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างเมทริกซ์ทรานสโพสและเมทริกซ์แอดจอยต์ของuเมทริกซ์ของแอดจอยต์ของแผนที่จะเป็นเมทริกซ์ทรานสโพสก็ต่อเมื่อฐานเป็นออร์โทนอร์มอลเมื่อเทียบกับรูปแบบทวิเชิงเส้นของพวกมัน อย่างไรก็ตาม ในบริบทนี้ ผู้เขียนหลายคนใช้คำว่าทรานสโพสเพื่ออ้างถึงแอดจอยต์ตามที่นิยามไว้ในที่นี้

ตัวผกผันช่วยให้เราพิจารณาได้ว่าg  : Y → Xเท่ากับu ⁻¹  : Y → Xหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ช่วยให้สามารถ กำหนด กลุ่มเชิงตั้งฉากเหนือปริภูมิเวกเตอร์Xที่มีรูปแบบกำลังสองได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงเมทริกซ์ (หรือส่วนประกอบของเมทริกซ์) ในฐานะเซตของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมดX → Xซึ่งตัวผกผันเท่ากับตัวผกผัน

ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน มักจะใช้ฟอร์มเซสควิลิเนียร์ (เชิงเส้นคู่ควบในอาร์กิวเมนต์หนึ่ง) แทนที่จะใช้ฟอร์มไบลิเนียร์ตัวผกผันเฮอร์มิเชียนของแผนที่ระหว่างปริภูมิเหล่านี้ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน และเมทริกซ์ของตัวผกผันเฮอร์มิเชียนจะกำหนดโดยเมทริกซ์ทรานสโพสคู่ควบ ถ้าฐานทั้งสองเป็นออร์โทนอร์มอล

• เมทริกซ์แอดจูเกตคือ เมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์
• ทรานสโพสคอนจูเกต
• ความสัมพันธ์แบบผกผัน
• ผกผันเทียมของมัวร์-เพนโรส
• การฉายภาพ (พีชคณิตเชิงเส้น)

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1970] พีชคณิต I บทที่ 1-3 [ Algèbre: Chapitres 1 à 3 ] (PDF ) องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156 .

• Halmos, Paul (1974), ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด , สปริงเกอร์, ISBN 978-0-387-90093-3.
• Maruskin, Jared M. (2012). พีชคณิตเชิงเส้นที่จำเป็น . ซานโฮเซ: Solar Crest. หน้า  122–132 . ISBN 978-0-9850627-3-6.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] ปริภูมิเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Schwartz, Jacob T. (2001). บทนำเกี่ยวกับเมทริกซ์และเวกเตอร์ . Mineola: Dover. หน้า  126–132 . ISBN 0-486-42000-0.

• กิลเบิร์ต สแตรง (ฤดูใบไม้ผลิ 2010) พีชคณิตเชิงเส้นจากหลักสูตรออนไลน์แบบเปิดของ MIT