ในพีชคณิตเชิงเส้นไมเนอร์ของเมทริกซ์Aคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส ขนาดเล็กกว่า ที่สร้างขึ้นจากAโดยการลบแถวและคอลัมน์อย่างน้อยหนึ่งแถวหรือมากกว่าหนึ่งคอลัมน์ ไมเนอร์ที่ได้จากการลบเพียงหนึ่งแถวและหนึ่งคอลัมน์จากเมทริกซ์จัตุรัส ( ไมเนอร์แรก ) มีประโยชน์ในการคำนวณโคแฟกเตอร์ ของเมทริกซ์ ซึ่งมีประโยชน์ในการคำนวณทั้งดีเทอร์มิแนนต์และอินเวอร์สของเมทริกซ์จัตุรัส ข้อกำหนดที่ว่าเมทริกซ์จัตุรัสต้องมีขนาดเล็กกว่าเมทริกซ์เดิมมักถูกละเว้นในคำจำกัดความ

ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสไมเนอร์ของรายการใน แถวที่ iและคอลัมน์ที่j (เรียกอีกอย่างว่า ไมเนอร์( i , j ) หรือไมเนอร์แรก^{[ 1 ]} ) คือดีเทอร์มิแนนต์ของซับเมทริกซ์ที่เกิดจากการลบ แถวที่ iและคอลัมน์ที่j จำนวนนี้มักจะเขียนแทนด้วย M _{i , j}โคแฟกเตอร์( i , j ) ได้จากการ คูณ ไมเนอร์ด้วย(−1) ^{i + j}และมักจะเขียนแทนด้วยC _{i , j}

เพื่ออธิบายความหมายของคำจำกัดความเหล่านี้ ลองพิจารณาเมทริกซ์ขนาด 3 × 3 ต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}}$$

ในการคำนวณไมเนอร์M _2,3และโคแฟกเตอร์C _2,3เราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ข้างต้นโดยลบแถวที่ 2 และคอลัมน์ที่ 3 ออก

$${\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13}$$

ดังนั้นโคแฟกเตอร์ของ รายการ (2,3)คือ

$${\displaystyle C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}$$

ให้Aเป็น เมทริกซ์ขนาด m × nและkเป็นจำนวนเต็มโดยที่0 < k ≤ mและk ≤ nไมเนอร์ขนาดk × k ของAหรือเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ไมเนอร์ลำดับkของAหรือ ถ้าm = n เรียก ว่าดีเทอร์มิแนนต์ไมเนอร์ลำดับที่( n − k )ของA (คำว่า "ดีเทอร์มิแนนต์" มักถูกละเว้น และบางครั้งใช้คำว่า "ดีกรี" แทน "ลำดับ") คือดีเทอร์มิแนนต์ของ เมทริกซ์ขนาด k × kที่ได้จากAโดยการลบ แถว m − kแถว และ คอลัมน์ n − kคอลัมน์ บางครั้งคำนี้ใช้เพื่ออ้างถึง เมทริกซ์ขนาด k × kที่ได้จากAดังที่กล่าวมาข้างต้น (โดยการลบ แถว m − kแถว และ คอลัมน์ n − kคอลัมน์) แต่เมทริกซ์นี้ควรเรียกว่าเมทริกซ์ย่อย (จัตุรัส)ของA โดยที่คำว่า "ไมเนอร์" จะใช้หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยนี้ เท่านั้นสำหรับเมทริกซ์A ดังที่กล่าวมาข้างต้น จะมี ไมเนอร์ขนาดk × kทั้งหมดจำนวนหนึ่งไมเนอร์ลำดับศูนย์มักถูกกำหนดให้เป็น 1 สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส ไมเนอร์ลำดับศูนย์ก็คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั่นเอง^{[ 2 ] [ 3 ]}${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$

ให้ เป็นลำดับเรียงลำดับ (ในลำดับธรรมชาติ ดังที่จะสันนิษฐานไว้เสมอเมื่อพูดถึงไมเนอร์ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น) ของดัชนี ไมเนอร์ที่สอดคล้องกับการเลือกดัชนีเหล่านี้จะถูกแทนด้วยหรือหรือหรือหรือหรือ(โดยที่( i )แทนลำดับของดัชนีIเป็นต้น) ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มา นอกจากนี้ ยังมีการใช้สัญลักษณ์สองประเภทในวรรณกรรม: โดยไมเนอร์ที่เกี่ยวข้องกับลำดับเรียงลำดับของดัชนีIและJผู้เขียนบางคน^{[ 4 ]}หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นตามข้างต้น โดยการนำองค์ประกอบของเมทริกซ์ดั้งเดิมจากแถวที่มีดัชนีอยู่ในIและคอลัมน์ที่มีดัชนีอยู่ในJในขณะที่ผู้เขียนคนอื่นๆ หมายถึงไมเนอร์ที่เกี่ยวข้องกับIและJดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นจากเมทริกซ์ดั้งเดิมโดยการลบแถวในIและคอลัมน์ในJ [ ^{2 ] ควรตรวจสอบสัญลักษณ์ที่ใช้เสมอ ในบทความนี้ เราใช้คำจำกัดความแบบรวมของการ เลือก}องค์ประกอบจากแถวของIและคอลัมน์ของJกรณีพิเศษคือกรณีของไมเนอร์ตัวแรกหรือ ไมเนอร์ ( i , j )ที่กล่าวถึงข้างต้น ในกรณีนั้น ความหมายเฉพาะถือเป็นมาตรฐานในเอกสารทุกฉบับและใช้ในบทความนี้ด้วย $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$${\textstyle \det {\bigl (}(\mathbf {A} _{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}}$${\displaystyle \det _{I,J}A}$${\displaystyle \det \mathbf {A} _{I,J}}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}}$${\displaystyle M_{I,J}}$${\displaystyle M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}}$${\displaystyle M_{(i),(j)}}$${\textstyle M_{i,j}=\det {\bigl (}\left(\mathbf {A} _{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}{\bigr )}}$

ส่วนเติมเต็มB _{ijk ..., pqr ...}ของไมเนอร์M _{ijk ..., pqr ...}ของเมทริกซ์จัตุรัสAถูกสร้างขึ้นโดยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์Aซึ่งแถวทั้งหมด ( ijk... ) และคอลัมน์ทั้งหมด ( pqr... ) ที่เกี่ยวข้องกับM _{ijk ..., pqr ...}ถูกลบออกไป ส่วนเติมเต็มของไมเนอร์แรกขององค์ประกอบa _ijก็คือองค์ประกอบนั้นเอง^{[ 5 ]}

ตัวประกอบร่วมมีบทบาทสำคัญในสูตรของลาปลาซสำหรับการขยายดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งเป็นวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ขนาดใหญ่โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ขนาดเล็กกว่า เมื่อกำหนดเมทริกซ์n × n A = ( a _ij )ดีเทอร์มิแนนต์ของA ซึ่งเขียน แทนด้วยdet( A )สามารถเขียนได้เป็นผลรวมของตัวประกอบร่วมของแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ของเมทริกซ์คูณด้วยค่าที่สร้างตัวประกอบร่วมเหล่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง การกำหนดการขยายตัวประกอบร่วมตาม คอลัมน์ที่ jจะได้: ${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

การขยายโคแฟกเตอร์ตาม แถวที่ iให้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} )&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\[2pt]&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\end{aligned}}}$$

เราสามารถเขียนเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่ผกผันได้โดยการคำนวณโคแฟกเตอร์โดยใช้กฎของเครเมอร์ดังนี้ เมทริกซ์ที่เกิดจากโคแฟกเตอร์ทั้งหมดของเมทริกซ์จัตุรัสAเรียกว่าเมทริกซ์โคแฟกเตอร์ (หรือเรียกว่าเมทริกซ์ของโคแฟกเตอร์หรือบางครั้งเรียกว่าโคเมทริกซ์ ):

$${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$$

ดังนั้น อินเวอร์สของAคือ ทรานสโพสของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์คูณด้วยส่วนกลับของดีเทอร์มิแนนต์ของA :

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$$

เมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์โคแฟกเตอร์เรียกว่า เมทริกซ์ แอดจูเกต (หรือเรียกว่าแอดจอยต์แบบคลาสสิก ) ของ A

สูตรข้างต้นสามารถสรุปได้ดังนี้: ให้ เป็นลำดับเรียงลำดับ (ตามลำดับธรรมชาติ) ของดัชนี (ในที่นี้Aเป็น เมทริกซ์ n × n ) จากนั้น^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n,\\[2pt]J&=1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle [\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},}$$

โดยที่I′ , J′แทนลำดับดัชนีที่เรียงลำดับ (ดัชนีอยู่ในลำดับขนาดตามธรรมชาติ ดังที่กล่าวมาข้างต้น) ซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของI , Jโดยที่ดัชนี1, ..., nจะปรากฏเพียงครั้งเดียวในIหรือI' เท่านั้น แต่ไม่ปรากฏในทั้งสอง (เช่นเดียวกันสำหรับ JและJ' ) และ[ A ] _{I , J}แทนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยของAที่เกิดจากการเลือกแถวของเซตดัชนีIและคอลัมน์ของเซตดัชนีJนอกจากนี้ ยังสามารถพิสูจน์อย่างง่ายได้โดยใช้ผลคูณเวดจ์ อันที่จริง ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{I,J}=\det {\bigl (}(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}{\bigr )}.}$

$${\displaystyle {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},}$$

เวกเตอร์ฐานอยู่ที่ไหน เมื่อใช้ A กระทำ ทั้งสองด้าน จะได้ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\ {\bigl [}\mathbf {A} ^{-1}{\bigr ]}_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})\\[2pt]=&\ \pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})\\[2pt]=&\ \pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).\end{aligned}}}$$

สามารถคำนวณหาเครื่องหมายได้ โดยเครื่องหมายจะถูกกำหนดโดยผลรวมขององค์ประกอบใน IและJ$${\displaystyle (-1)^{\left(\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}\right)},}$$

กำหนดให้ เมทริกซ์ i × jที่มี สมาชิกเป็น จำนวนจริง (หรือสมาชิกจาก ฟิลด์อื่นใดก็ได้) และมีอันดับrแล้ว จะมี ไมเนอร์ขนาด r × r อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ในขณะที่ไมเนอร์ขนาดใหญ่กว่าทั้งหมดจะเป็นศูนย์

เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับไมเนอร์: ถ้าAเป็น เมทริกซ์ i × j , Iเป็นเซตย่อยของ{1, ..., i }ที่มีmสมาชิก และJเป็นเซตย่อยของ{1, ..., j }ที่มีmสมาชิก แล้วเราจะเขียน[ A ] _{I , J}สำหรับ ไมเนอร์ m × mของAที่สอดคล้องกับแถวที่มีดัชนีอยู่ในIและคอลัมน์ที่มีดัชนีอยู่ใน J

• ถ้าAเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและI = Jแล้ว[ A ] _{I , J}เรียกว่าไมเนอร์หลัก
• ถ้าAเป็นเมทริกซ์จัตุรัสและI = J = {1, ..., m }แล้วไมเนอร์หลัก[ A ] _{I , J}เรียกว่าไมเนอร์หลักนำ (ลำดับm )หรือไมเนอร์มุม (หลัก) (ลำดับm ) ^{[ 3} ] สำหรับ เมทริก ^ซ์ จัตุรัส i × iจะมีไมเนอร์หลักนำi ตัว
• ไมเนอร์พื้นฐานของเมทริกซ์ที่มีอันดับrคือ ไมเนอร์ r × rที่มีค่าไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ]}
• สำหรับเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนไมเนอร์หลักชั้นนำสามารถใช้ทดสอบความเป็นบวกแน่นอนได้และไมเนอร์หลักสามารถใช้ทดสอบความเป็นบวกกึ่งแน่นอนได้ โปรดดูเกณฑ์ของซิลเวสเตอร์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ทั้งสูตรการคูณเมทริกซ์ ทั่วไป และสูตรโคชี-บิเนต์สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ ล้วนเป็นกรณีพิเศษของข้อความทั่วไปต่อไปนี้เกี่ยวกับไมเนอร์ของผลคูณของเมทริกซ์สองเมทริกซ์ สมมติว่าAเป็น เมทริกซ์ i × k , Bเป็น เมทริกซ์ k × j , Iเป็นเซตย่อยของ{1, ..., i }ที่มี สมาชิก mตัว และJเป็นเซตย่อยของ{1, ..., j }ที่มี สมาชิก mตัว แล้ว โดยที่ผลรวมครอบคลุมเซตย่อยK ทั้งหมด ของ{1, ..., k }ที่มี สมาชิก mตัว $${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$$

ใน พีชคณิตหลายเชิงเส้นจะมีการนำเสนอการจัดการไมเนอร์อย่างเป็นระบบและเป็นไปตามหลักพีชคณิตโดยใช้ผลคูณเวดจ์ : ไมเนอร์ k ตัวของเมทริกซ์ คือค่าในแผนที่ กำลังภายนอกลำดับที่k

ถ้าเรานำคอลัมน์ของเมทริกซ์มาต่อกันkครั้ง ไมเนอร์ขนาด k × kจะปรากฏเป็นส่วนประกอบของ เวกเตอร์ k ที่ได้ ตัวอย่างเช่น ไมเนอร์ขนาด 2 × 2 ของเมทริกซ์ คือ −13 (จากสองแถวแรก), −7 (จากแถวแรกและแถวสุดท้าย) และ 5 (จากสองแถวสุดท้าย) ทีนี้ลองพิจารณาผลคูณแบบเวดจ์ โดยที่นิพจน์ทั้งสองสอดคล้องกับสองคอลัมน์ของเมทริกซ์ของเรา การ ใช้คุณสมบัติของผลคูณแบบเวดจ์ กล่าวคือ เป็นแบบทวิเชิงเส้นสลับและ สมมาตร เราสามารถลดรูปนิพจน์นี้ให้ง่ายขึ้นได้ โดย ที่สัมประสิทธิ์ ตรงกับไมเนอร์ที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle (\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},}$$$${\displaystyle -13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$$

ในหนังสือบางเล่ม แทนที่จะ ใช้คำว่า cofactorจะใช้คำว่าadjunct แทน ^{[ 7 ]}ยิ่งไปกว่านั้น จะใช้สัญลักษณ์A _ijและกำหนดในลักษณะเดียวกับ cofactor: $${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}}$$

เมื่อใช้สัญลักษณ์นี้ เมทริกซ์ผกผันจะเขียนได้ดังนี้: $${\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}$$

โปรดจำไว้ว่าadjunctไม่ใช่adjugateหรือadjointในศัพท์สมัยใหม่ "adjoint" ของเมทริกซ์ส่วนใหญ่มักหมายถึง ตัวดำเนิน การ adjoint ที่สอดคล้องกัน

• ซับเมทริกซ์
• เมทริกซ์ผสม

• วิดีโอการบรรยายวิชาพีชคณิตเชิงเส้นของ MIT เรื่องโคแฟกเตอร์จาก Google Video เผยแพร่โดย MIT OpenCourseWare
• การขยายโคแฟกเตอร์ที่PlanetMath
• "ไมเนอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]