พีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวเป็นการศึกษาฟังก์ชัน ที่มี อาร์กิวเมนต์เวกเตอร์หลายตัวโดยที่ฟังก์ชันเป็นแผนที่เชิงเส้นตามอาร์กิวเมนต์แต่ละตัว เกี่ยวข้องกับแนวคิดต่างๆ เช่นเมทริกซ์เทนเซอร์มัลติเวกเตอร์ระบบสมการเชิงเส้น ปริภูมิมิติสูง ดีเทอร์มิแนนต์ผล คูณ ภายในและภายนอกและปริภูมิคู่ขนานเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในวิศวกรรมการ เรียน ^รู้ของเครื่องฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ [ ^{1 ]}

ในขณะที่แนวคิดและการประยุกต์ใช้เชิงทฤษฎีจำนวนมากเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เดี่ยวนักคณิตศาสตร์เช่นHermann Grassmannได้พิจารณาโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับคู่ สาม และมัลติเวกเตอร์ที่ ขยายขอบเขตของ เวกเตอร์ด้วยความเป็นไปได้ในการรวมกันหลายแบบ พื้นที่ของมัลติเวกเตอร์จึงขยายไปถึงมิติ 2n โดยที่ⁿคือมิติของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง^{[ 2 ]}ดีเทอร์มิแนนต์สามารถกำหนดได้ในเชิงนามธรรมโดยใช้โครงสร้างของพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัว

พีชคณิตเชิงเส้นหลายมิติปรากฏในการศึกษาการตอบสนองเชิงกลของวัสดุต่อความเค้นและความเครียด ซึ่งเกี่ยวข้องกับโมดูลัสความยืดหยุ่น ต่างๆ คำว่า " เทนเซอร์ " อธิบายถึงองค์ประกอบภายในปริภูมิเชิงเส้นหลายมิติเนื่องจากโครงสร้างที่เพิ่มเข้ามา แม้ว่ากราสส์มันน์จะมีผลงานในช่วงแรกในปี 1844 ในหนังสือAusdehnungslehreซึ่งได้รับการตีพิมพ์ซ้ำในปี 1862 แต่ในตอนแรกหัวข้อนี้ก็ยังไม่เป็นที่เข้าใจกันอย่างกว้างขวาง เนื่องจากแม้แต่พีชคณิตเชิงเส้นธรรมดาก็ยังเป็นเรื่องท้าทายมากในเวลานั้น

แนวคิดของพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวพบการประยุกต์ใช้ในการศึกษาแคลคูลัสหลายตัวแปรและแมนิโฟลด์บางกรณีโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับเมทริกซ์จาโคเบียนอนุพันธ์อนันต์ที่พบในแคลคูลัสตัวแปรเดียวจะถูกแปลงเป็นรูปแบบอนุพันธ์ในแคลคูลัสหลายตัวแปรและการจัดการจะดำเนินการโดยใช้พีชคณิตภายนอก^{[ 3 ]}

หลังจาก Grassmann การพัฒนาในพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรเกิดขึ้นโดยVictor Schlegelในปี พ.ศ. 2415 ด้วยการตีพิมพ์ส่วนแรกของSystem der Raumlehre ^{[ 4 ]}และโดยElwin Bruno Christoffelที่น่าสังเกตคือ ความก้าวหน้าที่สำคัญเกิดขึ้นจากผลงานของGregorio Ricci-CurbastroและTullio Levi-Civita [ ^{5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งในรูปแบบของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ภายในพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรMarcel GrossmannและMichele Bessoได้แนะนำรูปแบบนี้ให้กับ^Albert Einsteinและในปี พ.ศ. 2458 การตีพิมพ์ของ Einstein เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุดของดาวพุธได้สร้างพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวแปรและเทนเซอร์ให้เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในฟิสิกส์

ในปี พ.ศ. 2491 Nicolas Bourbakiได้รวมบทเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวชื่อ " Algèbre Multilinéaire " ไว้ในชุดÉléments de mathématiqueโดยเฉพาะในหนังสือพีชคณิต บทนี้ครอบคลุมหัวข้อต่างๆ เช่น ฟังก์ชันเชิงเส้นคู่ผลคูณเทนเซอร์ของโมดูล สองตัว และคุณสมบัติของผลคูณเทนเซอร์^{[ 6 ]}

แนวคิดพีชคณิตหลายเชิงเส้นมีการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา รวมถึง: