ในพีชคณิตเชิงเส้นหลายมิติมัลติเวกเตอร์ซึ่งบางครั้งเรียกว่าจำนวนคลิฟฟอร์ดหรือมัลเตอร์ [ ^{1 ] เป็น}องค์ประกอบของพีชคณิตภายนอกΛ( V )ของปริภูมิเวกเตอร์Vพีชคณิตนี้เป็นแบบแบ่งระดับ เป็น แบบสมาคมและแบบสลับและประกอบด้วยการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์kแบบง่าย^{[ 2 ]} (เรียกอีกอย่างว่าเวกเตอร์kที่แยกส่วนได้^{[ 3 ]}หรือk-เบลด ) ในรูปแบบ

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

อยู่ ที่ไหนในV . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$

เวกเตอร์kคือผลรวมเชิงเส้นที่เป็นเอกพันธุ์ของดีกรีk (เทอมทั้งหมดเป็นk- เบลดสำหรับ kเดียวกัน) ขึ้นอยู่กับผู้เขียน "มัลติเวกเตอร์" อาจเป็น เวกเตอร์ kหรือองค์ประกอบใดๆ ของพีชคณิตภายนอก (ผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของk-เบลดที่มีค่าk ที่แตกต่างกันได้ ) ^{[ 4 ]}

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เวก เตอร์kโดยทั่วไปคือเวกเตอร์ในพีชคณิตภายนอกของปริภูมิเวกเตอร์สัมผัสของแมนิโฟลด์เรียบกล่าวคือ เป็นเทนเซอร์ ปฏิสมมาตร ที่ได้จากการรวมเชิงเส้นของผลคูณภายนอกของเวกเตอร์สัมผัสk ตัว สำหรับจำนวนเต็มk ≥ 0บาง ตัว รูปแบบkเชิงอนุพันธ์คือ เวกเตอร์ kในพีชคณิตภายนอกของ ปริภูมิ คู่ของปริภูมิสัมผัส ซึ่งเป็นปริภูมิคู่ของพีชคณิตภายนอกของปริภูมิสัมผัสเช่นกัน

สำหรับk = 0, 1, 2และ3 เวก เตอร์kมักเรียกว่าสเกลาร์เวกเตอร์ไบเวกเตอร์และไตรเวกเตอร์ ตามลำดับ ซึ่งเป็นคู่กันกับ0-ฟอร์ม 1-ฟอร์ม 2-ฟอร์ม และ 3-ฟอร์มตาม ลำดับ ^{[ 5 ] [ 6 ]}

ผลคูณภายนอก (หรือเรียกว่าผลคูณลิ่ม) ที่ใช้ในการสร้างมัลติเวกเตอร์นั้น มีคุณสมบัติเชิงเส้นหลายตัว (เชิงเส้นในแต่ละอินพุต) มีคุณสมบัติการสลับที่ และมีคุณสมบัติการสลับตำแหน่ง ซึ่งหมายความว่า สำหรับเวกเตอร์u , vและwในปริภูมิเวกเตอร์Vและสำหรับสเกลาร์α , βผลคูณภายนอกจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• เชิงเส้นในอินพุต: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• การเชื่อมโยง: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}$
• สลับกัน: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

ผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ k ตัวหรือ ผลรวมของผลคูณดังกล่าว (สำหรับk ตัวเดียว ) เรียกว่า มัลติเวกเตอร์ระดับkหรือk-เวกเตอร์ ระดับสูงสุดของมัลติเวกเตอร์คือ มิติของปริภูมิเวกเตอร์V

ความเป็นเชิงเส้นในอินพุตใดอินพุตหนึ่งร่วมกับคุณสมบัติการสลับกัน บ่งบอกถึงความเป็นเชิงเส้นในอินพุตอื่น ความเป็นเชิงเส้นหลายตัวของผลคูณภายนอกช่วยให้สามารถแสดงมัลติเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของผลคูณภายนอกของเวกเตอร์ฐานของVผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ฐาน kตัวของVเป็นวิธีมาตรฐานในการสร้างองค์ประกอบฐานแต่ละตัวสำหรับปริภูมิของ เวกเตอร์ k ตัวซึ่งมีมิติ(^เอ็น_เค)ในพีชคณิตภายนอกของ ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ ^{[ 2 ]}

เวก เตอร์ kที่ได้จากผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ kตัวแยกกันใน ปริภูมิ nมิติ มีส่วนประกอบที่กำหนดปริมาตรฉาย( k − 1)ของรูปทรงขนานkที่เกิดจากเวกเตอร์ รากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบเหล่านี้กำหนดปริมาตรของรูปทรงขนานk ^{[ 2 ] [ 7 ]}

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า ไบเวกเตอร์ในสองมิติใช้วัดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และขนาดของไบเวกเตอร์ในสามมิติก็ใช้วัดพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน สามมิติเวกเตอร์ใช้วัดปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าขนาดของเวกเตอร์สามมิติในสี่มิตินั้นวัดปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านั้น

คุณสมบัติ ของ มัลติเวก ^{เตอร์} สามารถเห็นได้จาก การพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์สองมิติV = R²ให้เวกเตอร์ฐานเป็นe₁ _และe₂ดังนั้นuและ_vจะกำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

และมัลติเวกเตอร์u ∧ vหรือที่เรียกว่าไบเวกเตอร์ จะถูกคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

เส้นแนวตั้งแสดงถึงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่งก็คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์u และ v ขนาดของu ∧ vคือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ สังเกตว่าเนื่องจากVมีมิติสอง ไบเวกเตอร์ฐานe ₁ ∧ e ₂จึงเป็นมัลติเวกเตอร์เพียงตัวเดียวใน Λ V

ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมัลติเวกเตอร์กับพื้นที่หรือปริมาตรที่ครอบคลุมโดยเวกเตอร์เหล่านั้นเป็นคุณลักษณะที่สำคัญในทุกมิติ ยิ่งไปกว่านั้น รูปแบบฟังก์ชันเชิงเส้นของมัลติเวกเตอร์ที่ใช้คำนวณปริมาตรนี้เรียกว่า รูปแบบเชิงอนุพันธ์

คุณสมบัติเพิ่มเติมของมัลติเวกเตอร์สามารถสังเกตได้จากการพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์สามมิติV = R ³ในกรณีนี้ ให้เวกเตอร์ฐานเป็นe ₁ , e ₂และe ₃ดังนั้นu , vและwจะกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}}$

และคำนวณ ไบเวกเตอร์ u ∧ v ได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).}$

ส่วนประกอบของไบเวกเตอร์นี้เหมือนกับส่วนประกอบของผลคูณเวกเตอร์ ขนาดของไบเวกเตอร์นี้คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบต่างๆ

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าขนาดของไบเวกเตอร์u ∧ vคือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์uและvในปริภูมิสามมิติVส่วนประกอบของไบเวกเตอร์คือพื้นที่ฉายของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานบนระนาบพิกัดทั้งสาม

โปรดสังเกตว่าเนื่องจากVมีมิติเป็นสาม จึงมีเวกเตอร์ฐานสามมิติหนึ่งตัวใน Λ Vจงคำนวณเวกเตอร์สามมิตินั้น

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าขนาดของเวกเตอร์สามตัวu ∧ v ∧ wคือปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสาม u , vและw

ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า เวกเตอร์สามมิติที่เป็นส่วนประกอบจะเป็นภาพฉายของปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานลงบนปริภูมิพิกัดสามมิติ และขนาดของเวกเตอร์สามมิติจะเป็นปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเมื่ออยู่ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า

ในส่วนนี้ เราจะพิจารณามัลติเวกเตอร์บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟP ⁿซึ่งให้ชุดพิกัดที่สะดวกสำหรับเส้นตรง ระนาบ และไฮเปอร์เพลนที่มีคุณสมบัติคล้ายกับพิกัดเอกพันธุ์ของจุดที่เรียกว่าพิกัดกราสส์มันน์^{[ 8 ]}

จุดในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงP ⁿถูกกำหนดให้เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของปริภูมิเวกเตอร์R ^{n +1}ตัวอย่างเช่น ระนาบเชิงโปรเจกทีฟP ²คือเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของR ³ดังนั้น มัลติเวกเตอร์ที่กำหนดบนR ^{n +1}สามารถมองได้ว่าเป็นมัลติเวกเตอร์บน P ⁿ

วิธีที่สะดวกในการดูมัลติเวกเตอร์บนP ⁿคือการพิจารณาในส่วนประกอบเชิงเส้นตรงของP ⁿซึ่งเป็นจุดตัดของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของR ^{n +1}กับระนาบไฮเปอร์ที่เลือกไว้ เช่นH: x _{n +1} = 1เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดของR ³ตัดกับระนาบE: z = 1เพื่อกำหนดระนาบเชิงฉายเชิงเส้นตรงเวอร์ชันที่ขาดเพียงจุดที่z = 0ซึ่งเรียกว่าจุดอนันต์

จุดในส่วนประกอบเชิงเส้นตรงE: z = 1ของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ P ²มีพิกัดx = ( x , y , 1)การรวมเชิงเส้นของจุดสองจุดp = ( p ₁ , p ₂ , 1)และq = ( q ₁ , q ₂ , 1)กำหนดระนาบในR ³ที่ตัดกับ E ในเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างpและqมัลติเวกเตอร์p ∧ qกำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในR ³ที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

โปรดสังเกตว่าการแทนที่α p + β qด้วยpจะคูณมัลติเวกเตอร์นี้ด้วยค่าคงที่ ดังนั้น ส่วนประกอบของp ∧ qจึง เป็นพิกัดเอกพันธุ์สำหรับระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดของR ³

เซตของจุดx = ( x , y , 1)บนเส้นตรงที่ผ่านpและqคือจุดตัดของระนาบที่กำหนดโดยp ∧ q กับระนาบE: z = 1จุดเหล่านี้สอดคล้องกับx ∧ p ∧ q = 0นั่นคือ

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,}$

ซึ่งสามารถลดรูปให้เหลือสมการของเส้นตรงได้

${\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.}$

สมการนี้เป็นจริงสำหรับจุดx = α p + β qเมื่อ α และ β มีค่าเป็นจำนวนจริง

ส่วนประกอบทั้งสามของp ∧ qที่กำหนดเส้นตรงλเรียกว่าพิกัดกราสส์มันน์ของเส้นตรง เนื่องจากพิกัดเอกพันธุ์ทั้งสามกำหนดทั้งจุดและเส้นตรง เรขาคณิตของจุดจึงกล่าวได้ว่าเป็นคู่ตรงข้ามกับเรขาคณิตของเส้นตรงในระนาบเชิงฉาย นี่เรียกว่าหลักการคู่ตรงข้าม

ปริภูมิเชิงฉายสามมิติP ³ประกอบด้วยเส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุดกำเนิดของR ⁴ให้ระนาบสามมิติH: w = 1เป็นส่วนประกอบเชิงเส้นของปริภูมิเชิงฉายที่กำหนดโดยจุดx = ( x , y , z , 1)มัลติเวกเตอร์p ∧ q ∧ rกำหนดรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานในR ⁴ที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.}$

โปรดสังเกตว่าการแทนที่α p + β q + γ rด้วยpจะทำให้มัลติเวกเตอร์นี้คูณด้วยค่าคงที่ ดังนั้น ส่วนประกอบของp ∧ q ∧ rจึง เป็นพิกัดเอกพันธุ์สำหรับปริภูมิ 3 มิติที่ผ่านจุดกำเนิดของR ⁴

ระนาบในส่วนประกอบเชิงเส้นตรงH: w = 1คือเซตของจุดx = ( x , y , z , 1)ที่อยู่ในจุดตัดของ H กับปริภูมิ 3 มิติที่กำหนดโดยp ∧ q ∧ rจุดเหล่านี้สอดคล้องกับx ∧ p ∧ q ∧ r = 0นั่นคือ

${\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,}$

ซึ่งสามารถลดรูปเหลือสมการของระนาบได้

${\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

สม การนี้เป็นจริงสำหรับจุดx = α p + β q + γ rสำหรับค่าจริงของα , βและγ

ส่วนประกอบทั้งสี่ของp ∧ q ∧ rที่กำหนดระนาบλเรียกว่าพิกัดกราสส์มันน์ของระนาบ เนื่องจากพิกัดเอกพันธุ์ทั้งสี่กำหนดทั้งจุดและระนาบในปริภูมิเชิงฉาย ดังนั้นเรขาคณิตของจุดจึงเป็นคู่ตรงข้ามกับเรขาคณิตของระนาบ

เส้นตรงคือจุดเชื่อมต่อของสองจุด:ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ เส้นตรงλ ที่ ลากผ่านจุดpและqสามารถมองได้ว่าเป็นจุดตัดของปริภูมิเชิงเส้นตรงH: w = 1กับระนาบx = α p + β q ในR ⁴มัลติเวกเตอร์p ∧ qให้พิกัดเอกพันธุ์สำหรับเส้นตรงนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}\\&+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

พิกัด เหล่านี้เรียกว่าพิกัดพลูเกอร์ของเส้นตรง แม้ว่าจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของพิกัดกราสส์มันน์ด้วยเช่นกัน

เส้นตรงที่เป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบ: เส้นตรงμในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดxที่ก่อให้เกิดจุดตัดของระนาบπและρ สองระนาบ ซึ่งกำหนดโดยมัลติเวกเตอร์ระดับสาม ดังนั้นจุดxจึงเป็นคำตอบของสมการเชิงเส้น

${\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.}$

เพื่อให้ได้พิกัด Plucker ของเส้นμให้แมปมัลติเวกเตอร์πและρไปยังพิกัดจุดคู่โดยใช้ส่วนเติมเต็มด้านขวา ซึ่งแสดงด้วยเส้นขีดบน ดังใน^{[ 9 ]}

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overline {\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{2}={\overline {\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{3}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{4}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}},}$

แล้ว

${\displaystyle {\overline {\pi }}=\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\overline {\rho }}=\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.}$

ดังนั้น พิกัด Plücker ของเส้นตรงμจึงกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu :{\underline {{\overline {\pi }}\wedge {\overline {\rho }}}}&={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4},\end{aligned}}}$

โดยที่เส้นใต้แสดงถึงส่วนเติมเต็มด้านซ้าย ส่วนเติมเต็มด้านซ้ายของผลคูณลิ่มของส่วนเติมเต็มด้านขวาเรียกว่าผลคูณแอนติลิ่ม ซึ่งแสดงด้วยลิ่มชี้ลง ทำให้เราสามารถเขียนได้ว่า${\displaystyle \mu =\pi \vee \rho .}$

WK Cliffordได้รวมมัลติเวกเตอร์เข้ากับผลคูณภายในที่กำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์ เพื่อให้ได้โครงสร้างทั่วไปสำหรับจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่รวมถึงจำนวนเชิงซ้อนปกติและควอเทอร์เนียนของ แฮมิลตัน ^{[ 10 ] [ 11 ]}

ผลคูณคลิฟฟอร์ดระหว่างเวกเตอร์สองตัวuและvเป็นแบบทวิเชิงเส้นและแบบสมาคมเช่นเดียวกับผลคูณภายนอก และมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือ มัลติเวกเตอร์uvเชื่อมโยงกับผลคูณภายในu ⋅ vโดยความสัมพันธ์ของคลิฟฟอร์ด

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .}$

ความสัมพันธ์ของคลิฟฟอร์ดคงไว้ซึ่งคุณสมบัติการสลับที่กันสำหรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน สามารถเห็นได้จากเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกันe _i , i = 1, ..., nในR ⁿ : ความสัมพันธ์ของคลิฟฟอร์ดให้ผลลัพธ์ ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ฐานต่าง ๆ มีคุณสมบัติสลับที่กัน

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.}$

ตรงกันข้ามกับผลคูณภายนอก ผลคูณคลิฟฟอร์ดของเวกเตอร์กับตัวมันเองจะไม่เป็นศูนย์ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ลองคำนวณผลคูณดู

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,}$

ซึ่งให้ผลลัพธ์

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.}$

เซตของมัลติเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นโดยใช้ผลคูณของคลิฟฟอร์ดจะให้พีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่เรียกว่าพีชคณิตคลิฟฟอร์ดสามารถใช้ผลคูณภายในที่มีคุณสมบัติต่างกันเพื่อสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่แตกต่างกันได้^{[ 12 ] [ 13 ]}

คำว่าk-bladeถูกใช้ในClifford Algebra to Geometric Calculus (1984) ^{[ 14 ]}

มัลติเวกเตอร์มีบทบาทสำคัญในการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ที่เรียกว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิต ตามที่เดวิด เฮสเตเนสกล่าว ไว้

เวกเตอร์ k [ที่ไม่ใช่สเกลาร์] บางครั้งเรียกว่าk-bladeหรือเรียกสั้นๆ ว่าbladeเพื่อเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่า ในทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ 0 (สเกลาร์) เวกเตอร์ k มี "คุณสมบัติเชิงทิศทาง" ^{[ 15 ]}

ในปี 2546 คำว่าbladeสำหรับมัลติเวกเตอร์ที่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณภายนอกของ [สเกลาร์และ] เซตของเวกเตอร์ ถูกใช้โดย C. Doran และ A. Lasenby โดยที่ข้อความ "มัลติเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของ blade" หมายความว่าสเกลาร์ถูกกำหนดโดยปริยายว่าเป็น 0-blade ^{[ 16 ]}

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตมัลติเวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของk-เบลด ระดับต่างกัน เช่น ผลรวมของสเกลาร์เวกเตอร์และ 2-เวกเตอร์^{[ 17 ]}ผลรวมของ ส่วนประกอบระดับ k เท่านั้น เรียกว่าk-เวกเตอร์^{[ 18 ]}หรือ มัลติ เวกเตอร์เอกพันธุ์^{[ 19 ]}

องค์ประกอบที่มีระดับสูงสุดในปริภูมิเรียกว่าพсевдоставляр (pseudoscalar )

ถ้าองค์ประกอบที่กำหนดเป็นเอกพันธุ์ระดับkแล้ว มันจะเป็น เวกเตอร์ k มิติแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นk-เบลด องค์ประกอบดังกล่าวจะเป็นk-เบลดก็ต่อเมื่อสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ kตัว พีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สร้างขึ้นจากปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติแสดงให้เห็นประเด็นนี้ด้วยตัวอย่าง: ผลรวมของเบลดสองตัวใดๆ โดยตัวหนึ่งมาจากระนาบ XY และอีกตัวหนึ่งมาจากระนาบ ZW จะสร้างเวกเตอร์ 2 มิติที่ไม่ใช่ 2-เบลด ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตที่สร้างขึ้นจากปริภูมิเวกเตอร์มิติ 2 หรือ 3 ผลรวมของ 2-เบลดทั้งหมดสามารถเขียนได้เป็น 2-เบลดเดียว

ทิศทางถูกกำหนดโดยชุดเวกเตอร์ที่เรียงลำดับแล้ว

การวางแนวกลับด้านหมายถึงการปฏิเสธผลลัพธ์ภายนอก

การตีความทางเรขาคณิตขององค์ประกอบเกรดnในพีชคณิตภายนอกจริงสำหรับn = 0 (จุดที่มีเครื่องหมาย), 1 (ส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง หรือเวกเตอร์), 2 (องค์ประกอบระนาบที่มีทิศทาง), 3 (ปริมาตรที่มีทิศทาง) ผลคูณภายนอกของ เวกเตอร์ nสามารถมองเห็นได้เป็นรูปทรงn มิติใดๆ (เช่น n - parallelotope , n - ellipsoid ) โดยมีขนาด ( ไฮเปอร์วอลุ่ม ) และทิศทางที่กำหนดโดย ขอบเขตมิติ ( n − 1)และด้านใดเป็นด้านใน^{[ 20 ] [ 21 ]}

• เวกเตอร์ศูนย์เป็นค่าสเกลาร์
• 1-เวกเตอร์ คือ เวกเตอร์;
• เวกเตอร์ 2 มิติ คือไบเวกเตอร์
• เวกเตอร์ ( n − 1) เป็นเวกเตอร์เทียม
• เวกเตอร์ nมิติเป็นสเกลาร์เทียม

ในกรณีที่มีรูปแบบปริมาตร (เช่น เมื่อมีผลคูณภายในและทิศทาง) เวกเตอร์เทียมและสเกลาร์เทียมสามารถระบุได้ว่าเป็นเวกเตอร์และสเกลาร์ ซึ่งเป็นเรื่องปกติในแคลคูลัสเวกเตอร์แต่หากไม่มีรูปแบบปริมาตร จะไม่สามารถทำเช่นนั้นได้หากไม่เลือกอย่างไม่เป็นไปตามหลักเกณฑ์

ในพีชคณิตของปริภูมิทางกายภาพ (พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิยุคลิด 3 มิติ ซึ่งใช้เป็นแบบจำลองของปริภูมิเวลา (3+1)) ผลรวมของสเกลาร์และเวกเตอร์เรียกว่าพาราเวกเตอร์และแทนจุดในปริภูมิเวลา (เวกเตอร์แทนปริภูมิ สเกลาร์แทนเวลา)

ไบเวกเตอร์คือ องค์ประกอบของผลคูณเทนเซอร์แบบปฏิสมมาตร ของปริภูมิสัมผัสกับตัวมันเอง

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตไบเวกเตอร์คือองค์ประกอบระดับ 2 (เวกเตอร์ 2 มิติ) ที่ได้จากผลคูณเวดจ์ของเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นในทางเรขาคณิต ไบเวกเตอร์จึงเป็นพื้นที่ที่มีทิศทาง ในทำนอง เดียวกับที่เวกเตอร์เป็นส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง ถ้าaและbเป็นเวกเตอร์สองตัว ไบเวกเตอร์a ∧ bจะมี

• บรรทัดฐาน ซึ่งเป็น พื้นที่ของมัน กำหนดโดย

  ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})}$

• ทิศทาง: ระนาบที่พื้นที่นั้นตั้งอยู่ กล่าวคือ ระนาบที่กำหนดโดยaและbตราบใดที่ตัวแปรทั้งสองเป็นอิสระเชิงเส้น
• ทิศทางหนึ่ง (จากสองทิศทาง) ซึ่งกำหนดโดยลำดับการคูณของเวกเตอร์ต้นกำเนิด

ไบเวกเตอร์มีความเกี่ยวข้องกับซูโดเวกเตอร์และใช้ในการแทนการหมุนในพีชคณิตเชิงเรขาคณิต

เนื่องจากไบเวกเตอร์เป็นสมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์ Λ ² V (โดยที่Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดที่มีdim V = n ) จึงสมเหตุสมผลที่จะกำหนดผลคูณภายในบนปริภูมิเวกเตอร์นี้ดังต่อไปนี้ ขั้นแรก เขียนสมาชิกใดๆF ∈ Λ ² Vในรูปของฐาน( e _i ∧ e _j ) _{1 ≤ i < j ≤ n}ของ Λ ² Vดังนี้

${\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),}$

โดยใช้ หลักการหาผลรวมแบบไอน์สไตน์

ต่อไปนี้ให้กำหนดแผนที่G : Λ ² V × Λ ² V → Rโดยยืนยันว่า

${\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},}$

โดยที่ชุดตัวเลขเหล่านั้นอยู่ ที่ไหน${\displaystyle G_{abcd}}$

ไบเวกเตอร์มีบทบาทสำคัญหลายอย่างในวิชาฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่น ในการจำแนกประเภทของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า

• ใบมีด (เรขาคณิต)
• พาราเวกเตอร์