ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์เป็นการขยายความของเส้นสัมผัสไปยังเส้นโค้งในปริภูมิสองมิติและระนาบสัมผัสไปยังพื้นผิวในปริภูมิสามมิติในมิติที่สูงกว่า ในบริบทของฟิสิกส์ ปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์ ณ จุดใดจุดหนึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิของความเร็วที่เป็นไปได้สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่บนแมนิโฟลด์

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เราสามารถกำหนดปริภูมิ สัมผัสให้กับทุกจุด บนแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ ซึ่งเป็น ปริภูมิเวกเตอร์จริงที่ประกอบด้วยทิศทางที่เป็นไปได้ที่เวกเตอร์สามารถผ่านจุดนั้นได้โดยการ สัมผัส องค์ประกอบของปริภูมิสัมผัสที่จุดนั้นเรียกว่าเวกเตอร์สัมผัสที่ จุด นั้น นี่เป็นการขยายแนวคิดของเวกเตอร์ที่จุดเริ่มต้นที่กำหนดในปริภูมิยุคลิดมิติของปริภูมิสัมผัสที่ทุกจุดบน แมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกัน จะมี ขนาดเท่ากับมิติของแมนิโฟลด์นั้นเอง ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ตัวอย่างเช่น หากแมนิโฟลด์ที่กำหนดเป็นทรงกลม a แล้วเราสามารถจินตนาการถึงปริภูมิสัมผัสที่จุดหนึ่งได้ว่าเป็นระนาบที่สัมผัสทรงกลมที่จุดนั้นและตั้งฉากกับรัศมีของทรงกลมที่ผ่านจุดนั้น โดยทั่วไปแล้ว หากแมนิโฟลด์ที่กำหนดถูกมองว่าเป็นซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ในปริภูมิยุคลิดแล้ว เราสามารถจินตนาการถึงปริภูมิสัมผัสในลักษณะที่เป็นรูปธรรมนี้ได้ นี่เป็นแนวทางดั้งเดิมในการกำหนดการขนส่งแบบขนานผู้เขียนหลายคนในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปใช้มัน^{[ 1 ] [ 2 ]}อย่างเคร่งครัดมากขึ้น นี่เป็นการกำหนดปริภูมิสัมผัสเชิงเส้นตรง ซึ่งแตกต่างจากปริภูมิของเวกเตอร์สัมผัสที่อธิบายโดยศัพท์สมัยใหม่ ${\displaystyle 2}$

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนั้น มีนิยามภายในของปริภูมิสัมผัส ณ จุดหนึ่งในวาไรตี้เชิงพีชคณิต ซึ่งให้ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอย่างน้อยเท่ากับมิติของตัวมันเอง จุดที่มิติของปริภูมิสัมผัสเท่ากับมิติของวาไรตี้เชิงพีชคณิตพอดีเรียกว่า จุด เอกฐานส่วนจุดอื่นๆ เรียกว่า จุด เอกฐานตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่ตัดกับตัวเองจะไม่มีเส้นสัมผัสเพียงเส้นเดียว ณ จุดนั้น จุดเอกฐานของวาไรตี้เชิงพีชคณิตคือ จุดที่ "การทดสอบว่าเป็นแมนิโฟลด์" ไม่ผ่าน ดูปริภูมิสัมผัสของซาริสกี ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

เมื่อมีการนำปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์เข้ามาเกี่ยวข้องแล้ว เราสามารถกำหนดสนามเวกเตอร์ซึ่งเป็นนามธรรมของสนามความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในอวกาศ สนามเวกเตอร์จะเชื่อมโยงเวกเตอร์จากปริภูมิสัมผัส ณ จุดนั้นกับทุกจุดบนแมนิโฟลด์อย่างราบรื่น สนามเวกเตอร์ดังกล่าวใช้ในการกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญทั่วไปบนแมนิโฟลด์: คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวคือเส้นโค้ง ที่หาอนุพันธ์ได้ บนแมนิโฟลด์ ซึ่งอนุพันธ์ของเส้นโค้งนั้น ณ จุดใดๆ จะเท่ากับเวกเตอร์สัมผัสที่เชื่อมโยงกับจุดนั้นโดยสนามเวกเตอร์

พื้นที่สัมผัสทั้งหมดของแมนิโฟลด์สามารถ "เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน" เพื่อสร้างแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์ใหม่ที่มีมิติเป็นสองเท่าของแมนิโฟลด์เดิม ซึ่งเรียกว่ามัดสัมผัสของแมนิโฟลด์

คำอธิบายที่ไม่เป็นทางการข้างต้นอาศัยความสามารถของแมนิโฟลด์ในการฝังตัวลงในปริภูมิเวกเตอร์แวดล้อมเพื่อให้เวกเตอร์สัมผัสสามารถ "ยื่นออกมา" จากแมนิโฟลด์ไปยังปริภูมิแวดล้อมได้ อย่างไรก็ตาม การกำหนดแนวคิดของปริภูมิสัมผัสโดยอาศัยแมนิโฟลด์เพียงอย่างเดียวจะสะดวกกว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

มีวิธีการเทียบเท่ากันหลายวิธีในการกำหนดพื้นที่สัมผัสของแมนิโฟลด์ แม้ว่าการกำหนดโดยใช้ความเร็วของเส้นโค้งจะดูง่ายที่สุด แต่ก็เป็นวิธีที่ยุ่งยากที่สุดเช่นกัน วิธีการที่สง่างามและเป็นนามธรรมกว่าจะอธิบายไว้ด้านล่าง

ในภาพจำลองของแมนิโฟลด์ฝังตัว เวกเตอร์สัมผัส ณ จุดหนึ่งถือได้ว่าเป็นความเร็วของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นดังนั้นเราจึงสามารถนิยามเวกเตอร์สัมผัสได้ว่าเป็นชั้นสมมูลของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นและสัมผัสกัน ณ จุดนั้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

สมมติว่าเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ (โดยมีความเรียบ ) และเลือกแผนภูมิพิกัดโดยที่เป็นเซตย่อยเปิดของที่บรรจุสมมติเพิ่มเติมว่า มีเส้นโค้งสองเส้นที่มีซึ่งทั้งสองเส้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ในความหมายปกติ (เราเรียกเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้เหล่านี้ว่าเริ่มต้นที่ ) แล้วและจะเรียกว่าสมมูลกันที่ ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ของและที่ตรงกัน นี่เป็นการกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้ทั้งหมดที่เริ่มต้นที่และชั้นสมมูลของเส้นโค้งดังกล่าวเรียกว่าเวกเตอร์ สัมผัส ของที่ชั้นสมมูลของเส้นโค้งดังกล่าวใดๆจะถูกแทนด้วยปริภูมิสัมผัสของที่ซึ่งแทนด้วยถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์สัมผัสทั้งหมดที่ ที่โดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกแผนภูมิพิกัด ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}:(-1,1)\to M}$${\displaystyle {\gamma _{1}}(0)=x={\gamma _{2}}(0)}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1},\varphi \circ \gamma _{2}:(-1,1)\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{1}}$${\displaystyle \varphi \circ \gamma _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

ในการกำหนดการดำเนินการในปริภูมิเวกเตอร์บนเราใช้แผนภูมิและกำหนดแผนที่โดยที่แผนที่นี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง และสามารถใช้ถ่ายโอนการดำเนินการในปริภูมิเวกเตอร์บนไปยัง ได้จึงทำให้เซตหลังกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติ อีกครั้งหนึ่ง จำเป็นต้องตรวจสอบว่าการสร้างนี้ไม่ขึ้นอยู่กับแผนภูมิและเส้นโค้งที่ใช้ และในความเป็นจริงแล้วมันไม่ขึ้น อยู่กับแผนภูมิและเส้นโค้งใดๆ${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle {\mathrm {d} {\varphi _{x}}(\gamma '(0)):={\frac {\mathrm {d} (\varphi \circ \gamma )}{\mathrm {d} {t}}}(0),}$${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi _{x}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \gamma }$

สมมติว่าตอนนี้เป็นแมนิโฟลด์ ฟังก์ชันค่าจริงจะอยู่ใน ก็ต่อเมื่อ สำหรับแผนภูมิพิกัดทุกแผนภูมิฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง สังเกตว่า เป็น พีชคณิตแบบสมาคมจริงที่เกี่ยวข้องกับผลคูณและผลรวมของฟังก์ชันแบบจุดต่อจุดและการคูณด้วยสเกลาร์ ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

การอนุพันธ์ที่จุด a ถูกนิยามว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของไลบ์นิซ ซึ่งจำลองมาจากกฎผลคูณของแคลคูลัส ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),}$$

(สำหรับฟังก์ชันคงที่ทุกฟังก์ชันจะได้ว่า) ${\displaystyle f={\text{const}},}$${\displaystyle D(f)=0}$

กำหนดให้เซตของการอนุพันธ์ทั้งหมด ณการตั้งค่า ${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle x.}$

• ${\displaystyle (D_{1}+D_{2})(f):={D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)}$และ
• ${\displaystyle (\lambda \cdot D)(f):=\lambda \cdot D(f)}$

กลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle T_{x}M}$

การขยายความหมายของคำจำกัดความนี้สามารถทำได้ เช่น ไปยังแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและวาไรตีเชิงพีชคณิตอย่างไรก็ตาม แทนที่จะตรวจสอบอนุพันธ์จากพีชคณิตของฟังก์ชันทั้งหมด เราต้องทำงานในระดับของเจิร์มของฟังก์ชันแทน เหตุผลก็คือชีฟโครงสร้างอาจไม่เหมาะสม กับโครงสร้าง ดัง กล่าว ตัวอย่างเช่น ให้เป็นวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มีชีฟโครงสร้างแล้วปริภูมิสัมผัสซาริสกีที่จุดคือชุดของการอนุพันธ์ ทั้งหมด โดยที่คือฟิลด์พื้นฐานและคือสตอล์กของที่${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \mathbb {k} }$${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X,p}\to \mathbb {k} }$${\displaystyle \mathbb {k} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle p}$

สำหรับและเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้โดยที่กำหนด(โดยที่อนุพันธ์นั้นหาในความหมายปกติ เพราะเป็นฟังก์ชันจากไป) เราสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นอนุพันธ์ที่จุดและเส้นโค้งที่เทียบเท่ากันจะให้ผลลัพธ์เป็นอนุพันธ์เดียวกัน ดังนั้น สำหรับชั้นสมมูลเราสามารถกำหนดโดยที่เส้นโค้งถูกเลือกโดยพลการ แผนที่เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ระหว่างปริภูมิของชั้นสมมูลและปริภูมิของอนุพันธ์ที่จุด${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,}$${\displaystyle {D_{\gamma }}(f):=(f\circ \gamma )'(0)}$${\displaystyle f\circ \gamma }$${\displaystyle (-1,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D_{\gamma }(f)}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \gamma '(0),}$${\displaystyle {D_{\gamma '(0)}}(f):=(f\circ \gamma )'(0),}$${\displaystyle \gamma \in \gamma '(0)}$${\displaystyle \gamma '(0)\mapsto D_{\gamma '(0)}}$${\displaystyle \gamma '(0)}$${\displaystyle x.}$

อีกครั้ง เราเริ่มต้นด้วยแมนิโฟลด์และจุดพิจารณาไอเดียลของที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเรียบทั้งหมดที่หายไปที่ นั่น คือแล้วและต่างก็เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง และสามารถแสดงได้ว่าปริภูมิผลหารนั้น สม isomorphicกับปริภูมิโคแทนเจนต์โดยใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ปริภูมิแทนเจนต์จึงสามารถนิยามได้ว่าเป็นปริภูมิคู่ของ${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I^{2}}$${\displaystyle I/I^{2}}$${\displaystyle T_{x}^{*}M}$${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle I/I^{2}}$

แม้ว่าคำจำกัดความนี้จะเป็นนามธรรมที่สุด แต่ก็เป็นคำจำกัดความที่สามารถนำไปปรับใช้ในบริบทอื่นๆ ได้ง่ายที่สุด เช่น ในความหลากหลายที่พิจารณาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

ถ้าเป็นการอนุพันธ์ที่จุดแล้วสำหรับทุก ๆซึ่งหมายความว่าก่อให้เกิดแผนที่เชิงเส้น ในทางกลับกัน ถ้าเป็นแผนที่เชิงเส้น แล้วจะกำหนดอนุพันธ์ที่จุด ซึ่งทำให้เกิดความเท่าเทียมกันระหว่างปริภูมิสัมผัสที่กำหนดผ่านอนุพันธ์และปริภูมิสัมผัสที่กำหนดผ่านปริภูมิโคแทนเจนต์ ${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D(f)=0}$${\displaystyle f\in I^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle I/I^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle r:I/I^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D(f):=r\left((f-f(x))+I^{2}\right)}$${\displaystyle x}$

ถ้าเป็นเซตย่อยเปิดของแล้วจะเป็นแมนิโฟลด์โดยธรรมชาติ (โดยถือว่าแผนภูมิพิกัดเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนเซตย่อยเปิดของ) และปริภูมิสัมผัสทั้งหมดจะถูกระบุโดยธรรมชาติด้วย ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

อีกวิธีหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับเวกเตอร์สัมผัสคือการมองว่าเป็นอนุพันธ์เชิงทิศทางเมื่อกำหนดเวกเตอร์ในเราจะกำหนดอนุพันธ์เชิงทิศทางที่จุดโดย ${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(\mathbb {R} ^{n}):\qquad (D_{v}f)(x):=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {t}}}[f(x+tv)]\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(x).}$

แผนที่นี้เป็นอนุพันธ์โดยธรรมชาติที่จุด นอกจากนี้ อนุพันธ์ทุกตัวที่จุดในก็มีรูปแบบนี้เช่นกัน ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเวกเตอร์ (ซึ่งคิดว่าเป็นเวกเตอร์สัมผัสที่จุด ) และอนุพันธ์ที่จุด ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เนื่องจากเวกเตอร์สัมผัสของแมนิโฟลด์ทั่วไป ณ จุดหนึ่ง สามารถนิยามได้ว่าเป็นอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะคิดว่าเวกเตอร์เหล่านั้นเป็นอนุพันธ์เชิงทิศทาง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเวกเตอร์สัมผัสของณ จุดหนึ่ง(ซึ่งคิดว่าเป็นอนุพันธ์) แล้วให้นิยามอนุพันธ์เชิงทิศทางในทิศทางโดย ${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D_{v}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=v(f).}$

ถ้าเราคิดว่าเป็นความเร็วเริ่มต้นของเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งเริ่มต้นที่ นั่น คือแล้วให้กำหนดโดย แทน ${\displaystyle v}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle v=\gamma '(0)}$${\displaystyle D_{v}}$

${\displaystyle \forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {D_{v}}(f):=(f\circ \gamma )'(0).}$

สำหรับแมนิโฟลด์ ถ้า กำหนดแผนภูมิ ด้วย แล้วเราสามารถกำหนดฐานเรียงลำดับของโดย ${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi =(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\in U}$${\textstyle \left\{\left.{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\right|_{p},\dots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right|_{p}\right\}}$${\displaystyle T_{p}M}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\forall f\in {C^{\infty }}(M):\qquad {\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}}(f):=\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}f\circ \varphi ^{-1}{\Big )}\right){\Big (}\varphi (p){\Big )}.}$

ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์สัมผัสทุกตัวจะมี ${\displaystyle v\in T_{p}M}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}.}$

ดังนั้นสูตรนี้จึงแสดงออกมาเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สัมผัสฐานที่กำหนดโดยแผนภูมิพิกัด^{[ 4 ]}${\displaystyle v}$${\textstyle \left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p}\in T_{p}M}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$

ทุกแผนที่เรียบ (หรือหาอนุพันธ์ได้) ระหว่างแมนิโฟลด์เรียบ (หรือหาอนุพันธ์ได้) จะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่เชิงเส้น ตามธรรมชาติ ระหว่างปริภูมิสัมผัสที่สอดคล้องกัน: ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N.}$

ถ้าปริภูมิสัมผัสถูกกำหนดโดยเส้นโค้งที่หาอนุพันธ์ได้ แผนที่นี้จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathrm {d} {\varphi }_{x}}(\gamma '(0)):=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

หากปริภูมิสัมผัสถูกกำหนดผ่านการอนุพันธ์แทน แผนที่นี้จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle [\mathrm {d} {\varphi }_{x}(D)](f):=D(f\circ \varphi ).}$

แผนที่เชิงเส้นนี้เรียกได้หลายชื่อ เช่นอนุพันธ์อนุพันธ์รวม ดิฟเฟอเรนเชียลหรือพุชฟอร์เวิร์ดของที่และมักแสดงด้วยสัญลักษณ์อื่นๆ อีกหลายแบบ: ${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle D\varphi _{x},\qquad (\varphi _{*})_{x},\qquad \varphi '(x).}$

ในแง่หนึ่ง อนุพันธ์คือการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดสำหรับค่าใกล้เคียงโปรดสังเกตว่าเมื่อแล้วแผนที่จะสอดคล้องกับแนวคิดปกติของอนุพันธ์ของฟังก์ชันในพิกัดท้องถิ่นอนุพันธ์ของจะกำหนดโดยเมท ริก ซ์จาโคเบียน ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {d} {\varphi }_{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

ผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับการแมปอนุพันธ์มีดังต่อไปนี้:

นี่เป็นการขยายทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันไปสู่แผนที่ระหว่างแมนิโฟลด์

• ฐานที่เหนี่ยวนำโดยพิกัด
• พื้นที่โคแทนเจนต์
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้ง
• แผนที่เลขชี้กำลัง
• ปริภูมิเวกเตอร์

• ระนาบสัมผัสที่ MathWorld