ในทางคณิตศาสตร์สับแมนิโฟลด์ของแมนิโฟลด์ คือเซตย่อยที่มีโครงสร้างเหมือนแมนิโฟลด์ และแผนที่การรวม (inclusion map)ของเซตย่อยนั้นต้องมีคุณสมบัติบางประการ สับแมนิโฟลด์มีหลายประเภท ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ต้องการ ผู้เขียนแต่ละคนมักให้คำจำกัดความที่แตกต่างกัน ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\rightarrow M}$

ต่อไปนี้ เราจะถือว่าแมนิโฟลด์ทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ในระดับ สำหรับค่าคงที่และมอร์ฟิซึมทั้งหมดเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ในระดับ ${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle C^{r}}$

ซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ในแมนิโฟลด์คือภาพของแผนที่การฝังตัวโดยทั่วไปแล้วภาพนี้จะไม่ใช่ซับแมนิโฟลด์ในฐานะเซตย่อย และแผนที่การฝังตัวไม่จำเป็นต้องเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ด้วย ซ้ำ – มันสามารถมีจุดตัดกับตัวเองได้ ^{[ 1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

ในเชิงแคบลง เราสามารถกำหนดให้แผนที่นั้นเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) ซึ่งเราเรียกว่าการฝังตัว แบบฉีด ( injective immersion ) และกำหนดให้ ซับแมนิ โฟลด์ที่ฝังตัว (immersed submanifold)เป็นเซตย่อยของภาพ (image subset) พร้อมด้วยโทโพโลยีและโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ (differential structure)ที่ทำให้เป็นแมนิโฟลด์ (manifold) และการรวม (inclusion ) เป็นการ แปลงแบบดิฟเฟอเร นเชียล (diffeomorphism ) ซึ่งก็คือโทโพโลยีบนซึ่งโดยทั่วไปจะไม่สอดคล้องกับโทโพโลยีของเซตย่อย โดยทั่วไปแล้วเซตย่อยจะไม่ใช่ซับแมนิโฟลด์ของในโทโพโลยีของเซตย่อย ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

เมื่อกำหนดการฝังตัวแบบฉีดใดๆภาพของในสามารถกำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจงโดยโครงสร้างของส่วนย่อยที่ฝังตัวอยู่ ดังนั้น จึงเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลดังนั้น ส่วนย่อยที่ฝังตัวอยู่จึงเป็นภาพของการฝังตัวแบบฉีดอย่างแม่นยำ ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:N\rightarrow f(N)}$

โทโพโลยีของซับแมนิโฟลด์บนซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ไม่จำเป็นต้องเป็นโทโพโลยีของซับสเปซที่สืบทอดมาจากโดยทั่วไปแล้ว โทโพโลยีของซับแมนิโฟลด์จะละเอียดกว่าโทโพโลยีของซับสเปซ (กล่าวคือ มีเซตเปิด มากกว่า ) ${\displaystyle M}$

ซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวปรากฏในทฤษฎีกลุ่มลีซึ่งกลุ่มย่อยลีเป็นซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวตามธรรมชาติ นอกจากนี้ยังปรากฏในการศึกษาการแบ่งส่วนแบบโฟลิเอชันซึ่งซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวให้บริบทที่เหมาะสมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโฟรเบนิอุส

ซับแมนิโฟลด์ฝังตัว (หรือเรียกว่าซับแมนิโฟลด์ปกติ ) คือซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ ซึ่งแผนที่การรวมเป็นการฝังตัวเชิงโทโพโลยีกล่าวคือ โทโพโลยีของซับแมนิโฟลด์บนจะเหมือนกับโทโพโลยีของซับสเปซ ${\displaystyle S}$

เมื่อพิจารณาการฝังตัว ของแมนิโฟลด์ ใดๆ ในภาพแล้วโครงสร้างโดยธรรมชาติจะมีโครงสร้างของซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ กล่าวคือ ซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ก็คือภาพของการฝังตัวนั่นเอง ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(N)}$

มีนิยามภายในของซับแมนิโฟลด์ฝังตัวซึ่งมักมีประโยชน์ ให้เป็นแมนิโฟลด์มิติ และให้เป็นจำนวนเต็มที่ โดยที่ ซับ แมนิโฟลด์ฝังตัวมิติ ของคือเซตย่อยที่สำหรับทุกจุดจะมีแผนภูมิที่ประกอบด้วยโดยที่คือจุดตัดของระนาบมิติกับคู่เหล่านี้ก่อให้เกิดแผนที่สำหรับโครงสร้างเชิงอนุพันธ์บน ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi (S\cap U)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varphi (U)}$${\displaystyle (S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})}$${\displaystyle S}$

ทฤษฎีบทของอเล็กซานเดอร์และทฤษฎีบทจอร์แดน-เชินฟลายเป็นตัวอย่างที่ดีของการฝังตัวแบบเรียบ (smooth embeddings)

มีรูปแบบอื่นๆ ของซับแมนิโฟลด์ที่ใช้ในวรรณกรรมซับแมนิโฟลด์ที่เรียบร้อยคือแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตตรงกับขอบเขตของแมนิโฟลด์ทั้งหมด^{[ 2 ]} Sharpe (1997) นิยามซับแมนิโฟลด์ประเภทหนึ่งซึ่งอยู่ระหว่างซับแมนิโฟลด์ฝังตัวและซับแมนิโฟลด์ที่จุ่มลงไป

ผู้เขียนหลายคนยังกำหนดซับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีด้วย ซึ่งก็คือซับแมนิโฟลด์ที่มี. ^{[ 3 ]}ซับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่ฝังตัวอยู่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบปกติในแง่ของการมีอยู่ของแผนภูมิท้องถิ่นที่แต่ละจุดซึ่งขยายการฝังตัว ตัวอย่างที่ขัดแย้งได้แก่ส่วนโค้งป่าและ ป ม ป่า${\displaystyle C^{r}}$${\displaystyle r=0}$

เมื่อกำหนดซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวใดๆ ของ แล้วพื้นที่สัมผัสของจุดในสามารถคิดได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเป็นพื้นที่ย่อยเชิงเส้นของพื้นที่สัมผัสของจุดในซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าแผนที่การรวมเป็นการฝังตัวและให้การฉีด ${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.}$

สมมติว่าSเป็นส่วนย่อยฝังตัวของถ้าแผนที่การรวมปิดแล้วก็จะเป็นส่วนย่อยฝังตัวของ เช่นกันในทางกลับกัน ถ้าเป็นส่วนย่อยฝังตัวที่เป็นเซตปิด ด้วย แล้ว แผนที่การรวมก็จะปิด แผนที่การรวมจะปิดก็ต่อเมื่อเป็นแผนที่ที่เหมาะสม (กล่าวคือ ภาพผกผันของเซตกระชับเป็นเซตกระชับ) ถ้าปิดแล้วจะเรียกว่าเป็นส่วนย่อยฝังตัวปิดของส่วนย่อยฝังตัวปิดเป็นกลุ่มส่วนย่อยที่ดีที่สุด ${\displaystyle M}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i:S\to M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

บางครั้งมี การนิยามแมนิโฟลด์เรียบว่าเป็นซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ในปริภูมิพิกัดจริง สำหรับบางค่า มุมมองนี้เทียบเท่ากับแนวทางเชิงนามธรรมทั่วไป เพราะตามทฤษฎีบทการฝังตัวของวิทนีย์ แมนิโฟลด์เรียบ (เชิงนามธรรม) ใดๆที่นับได้เป็นอันดับสองสามารถฝังตัวใน ได้อย่างราบรื่น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$

• ปริภูมิย่อย (คณิตศาสตร์)