ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ความเรียบหมายถึงจำนวนครั้งที่ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยไม่เกิดความไม่ต่อเนื่องความเรียบหรือชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์ คือจำนวนเต็มที่ฟังก์ชันมีอนุพันธ์ทุกอันดับจนถึงอันดับ n และอนุพันธ์เหล่านั้นทั้งหมดมีความต่อเนื่อง กล่าวได้ว่าฟังก์ชันดังกล่าวมีชั้นn ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์มีชั้น n เพราะมันมีความต่อเนื่อง แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ โดยทั่วไป คำว่าฟังก์ชันเรียบหมายถึงฟังก์ชัน n นั่นคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ อย่างไรก็ตาม มันอาจหมายถึง "หาอนุพันธ์ได้เพียงพอ" สำหรับปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่ก็ได้ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{\infty }}$

โดยทั่วไปแล้ว นิยามของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์จะเป็นแบบเฉพาะที่ ดังนั้นจึงมักใช้กับฟังก์ชันที่นิยามบนเซตเปิดในปริภูมิยุคลิดก่อน สำหรับฟังก์ชันบนช่วงปิด เซตปิดของเซตเปิด หรือเซตย่อยทั่วไปอื่นๆ จะใช้สัญลักษณ์เดียวกัน แต่ความหมายจะขึ้นอยู่กับข้อตกลงเพิ่มเติม เช่น การกำหนดให้ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ขยายได้อย่างต่อเนื่องไปยังขอบเขต หรือการกำหนดให้ฟังก์ชันนั้นเป็นการจำกัดแบบเฉพาะที่ของฟังก์ชันเรียบที่นิยามบนบริเวณใกล้เคียงแบบเปิด

ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ คลาสของความสามารถในการหาอนุพันธ์ใช้เพื่ออธิบายระดับความสม่ำเสมอที่แตกต่างกันของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย นอกจากนี้ ยังใช้ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์เพื่อกำหนดคลาสที่แตกต่างกันของแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้สำหรับฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนเราอาจยังคงพูดถึง ความเรียบ หรือความสามารถในการหาอนุพันธ์ได้โดยพิจารณาฟังก์ชันนั้นเป็นแผนที่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์จริง ซึ่งควรแยกแยะออกจากความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อน : ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้บนเซตย่อยเปิดของจะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกและดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตนั้น ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ชั้นความสามารถในการหาอนุพันธ์คือการจัดกลุ่มฟังก์ชันตามลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ที่มีอยู่และต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชันนั้น

พิจารณาเซตเปิด บนเส้นจำนวนจริงและฟังก์ชันที่กำหนดบนด้วยค่าจริง ให้k เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบฟังก์ชันนี้เรียกว่าอยู่ในชั้น ความสามารถในการหาอนุพันธ์ ถ้าอนุพันธ์มีอยู่และต่อเนื่องบนถ้าอยู่ในชั้นบนและ แล้ว ฟังก์ชันนี้ก็อยู่ในชั้นด้วย ฟังก์ชันนี้ เรียกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์เรียบหรืออยู่ในชั้นถ้าฟังก์ชันนี้อยู่ในชั้นสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทุกตัว[ ^{1 ] ฟังก์ชัน}นี้เรียกว่าอยู่ในชั้นหรือวิเคราะห์ถ้าเรียบและ การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดใด ๆ ในโดเมนของมันลู่เข้าสู่ฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น มีฟังก์ชันที่เรียบแต่ไม่วิเคราะห์อยู่ดังนั้น จึงบรรจุอยู่ในอย่างเคร่งครัดฟังก์ชันบัมพ์เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัตินี้ ${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\infty },}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\omega },}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{\omega }}$${\displaystyle C^{\infty }.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คลาสประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด คลาสประกอบด้วยฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทั้งหมด ซึ่งอนุพันธ์มีความต่อเนื่อง ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชัน ที่ หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องดังนั้นฟังก์ชัน ก็คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อยู่และอยู่ในคลาสสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงตัวเดียว คลาสต่างๆสามารถกำหนดได้แบบเวียนซ้ำโดยการประกาศให้เป็นเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด และประกาศสำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆให้เป็นเซตของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทั้งหมดซึ่งอนุพันธ์อยู่ในโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะอยู่ในสำหรับทุกและมีตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการอยู่ในนั้นเป็นแบบเข้มงวด ( ) คลาสของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งคือจุดตัดของคลาสต่างๆเมื่อเปลี่ยนแปลงไปตามจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}.}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k-1}.}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle k>0,}$${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$

ฟังก์ชันนี้ ต่อเนื่อง แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่x = 0ดังนั้นจึงจัดอยู่ในคลาสC 0 ^แต่ไม่ใช่คลาสC ¹$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{ถ้า }}x\geq 0,\\0&{\text{ถ้า }}x<0\end{cases}}}$$

สำหรับจำนวนคู่ ที่ ไม่เป็นลบk ใดๆ ฟังก์ชัน จะต่อเนื่องและอยู่ในคลาสอย่างไรก็ตามที่x = 0 ฟังก์ชัน จะไม่อยู่ในคลาสดังนั้น จึงอยู่ในคลาสC ^kแต่ไม่อยู่ในคลาสC ^jเมื่อj > k$${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k+1}}$${\displaystyle f}$

ฟังก์ชันนี้ สามารถหาอนุพันธ์ได้ โดยมีอนุพันธ์ดังนี้ $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{ถ้า }}x\neq 0,\\0&{\text{ถ้า }}x=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{ถ้า }}x\neq 0,\\0&{\text{ถ้า }}x=0.\end{cases}}}$$

เนื่องจากมีการแกว่งเมื่อx → 0 จึงไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้น จึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ แต่ไม่อยู่ในคลาส C ¹${\displaystyle \cos(1/x)}$${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle g(x)}$

ฟังก์ชันนี้ หาอนุพันธ์ได้ แต่ค่าอนุพันธ์ของมันไม่มีขอบเขตบนช่วงกระชับทุกช่วงที่ประกอบด้วยดังนั้น จึงเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แต่ไม่ต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์เฉพาะที่ ณจุด $${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{ถ้า }}x\neq 0,\\0&{\text{ถ้า }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และด้วยเหตุนี้จึงจัดอยู่ในกลุ่มC ^ωฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก ก็เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์เช่นกัน ไม่ว่า จะ นิยามไว้ที่ใด เพราะเป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนและ${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle e^{-ix}}$

ฟังก์ชันbump เป็นฟังก์ชันเรียบ ดังนั้นจึงจัดอยู่ในคลาสC ^∞แต่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่x = ±1และด้วยเหตุนี้จึงไม่จัดอยู่ในคลาสC ^ωฟังก์ชันfเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขต จำกัด$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ ถ้า }}|x|<1,\\0&{\text{ มิเช่นนั้น }}\end{cases}}}$$

ฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตเปิดของกล่าวได้ว่า^{[ 2 ]}เป็นฟังก์ชันชั้นบนสำหรับจำนวนเต็มบวกถ้าอนุพันธ์ย่อย ทั้งหมด มีอยู่และต่อเนื่องสำหรับทุกดัชนีหลายตัวของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่มีเทียบเท่ากัน ในมิติจำกัด ฟังก์ชันชั้นบนถ้าสามารถหาอนุพันธ์ Fréchet ได้อย่างต่อ เนื่อง ครั้งบนฟังก์ชันกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันชั้นหรือถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบนฟังก์ชันชั้นยังกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{1}}$

ฟังก์ชันซึ่งนิยามบนเซตเปิดของกล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันชั้นบนสำหรับจำนวนเต็มบวกถ้าส่วนประกอบทั้งหมดของฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันชั้นโดยที่คือการฉายภาพ ตามธรรมชาติ ที่นิยามโดย ฟังก์ชันนี้กล่าวได้ว่าเป็นฟังก์ชันชั้นหรือถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง หรือเทียบเท่ากับ ถ้าส่วนประกอบทั้งหมดเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f\quad {\text{สำหรับ }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle U}$

ให้เป็นเซตเปิดของเซตของฟังก์ชันค่าจริงทั้งหมดบนจะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยโทโพโลยี แบบกระชับ-เปิด จึงเป็นปริภูมิเฟรเชต์ วิธีหนึ่งในการอธิบายโทโพโลยีนี้คือโดยใช้ตระกูลของเซมิ-นอร์ม โดยที่ครอบคลุมเซตกระชับของและครอบคลุมดัชนีหลายตัวที่มี ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C^{k}(D)}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}(D)}$$${\displaystyle p_{K,\alpha }(f)=\sup _{x\in K}|D^{\alpha }f(x)|,}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha |\leq k}$

ถ้าเป็นขอบเขตและเปิด แล้วจะหมายถึงปริภูมิของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ย่อยอันดับไม่เกินขยายต่อเนื่องไปยังเซตกระชับ[ ^{3 ] เป็น}ปริภูมิBanachที่มีบรรทัดฐาน หรืออาจใช้ผลรวมของค่าสูงสุดเหล่านี้เหนือ ก็ได้บรรทัดฐานที่ได้จะเทียบเท่ากัน ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}({\โอเวอร์ไลน์ {U}})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {U}}}$$${\displaystyle \|f\|_{C^{k}({\overline {U}})}=\max _{|\alpha |\leq k}\sup _{x\in {\overline {U}}}|D^{\alpha }f(x)|.}$$${\displaystyle |\alpha |\leq k}$

ภายใต้การบวกและการคูณแบบจุดต่อจุดเป็นพีชคณิตบานาค แบบสลับที่ได้ คุณสมบัติของพีชคณิตนี้เป็นผลมาจากกฎของไลบ์นิซซึ่งแสดงอนุพันธ์แต่ละตัวของผลคูณในรูปของอนุพันธ์ของตัวประกอบที่มีอันดับไม่เกิน ${\displaystyle C^{k}({\overline {U}})}$${\displaystyle k}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นแมนิโฟลด์เรียบขนาดกะทัดรัด ซึ่งอาจมีขอบเขต ก็จะเป็นปริภูมิบานาค นอร์มของมันสามารถกำหนดได้โดยใช้ชุดแผนภูมิพิกัดจำนวนจำกัดและการแบ่งส่วนของเอกภาพ การเลือกที่แตกต่างกันเช่นนี้จะให้ค่านอร์มที่เทียบเท่ากัน ด้วยการคูณแบบจุดต่อจุด ก็จะเป็นพีชคณิตบานาคอีกครั้ง ในทางตรงกันข้าม โดยทั่วไปแล้ว ไม่ใช่ปริภูมิบานาค บนแมนิโฟลด์ขนาดกะทัดรัด มันจะเป็นปริภูมิเฟรเชต์ โดยธรรมชาติ โดยมีเซมินอร์มควบคุมอนุพันธ์ทุกอันดับ ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}(M)}$${\displaystyle C^{k}(M)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

สเปกตรัมGelfandของคือตัวมันเอง ดังนั้นการแปลง Gelfand จึงให้แผนที่แบบฉีด (แต่ไม่ใช่แบบทั่วถึง) [ ^{4 ] :แบบฝึกหัด 11.9} ${\displaystyle C^{k}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}(M)\to C^{0}(M)}$

พื้นที่ข้างต้นเกิดขึ้นตามธรรมชาติในการใช้งานที่ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับใดอันดับหนึ่งมีความจำเป็น อย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย บางครั้งการทำงานกับ พื้นที่โซโบเลฟ อาจให้ผลลัพธ์ ที่ ดีกว่า

ฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตจำกัดนั้นมีความหนาแน่นในปริภูมิฟังก์ชันหลายแห่งที่ใช้ในการวิเคราะห์ เช่นปริภูมิและปริภูมิโซโบเลฟ ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม ซึ่งสอดคล้องกับการกำหนดโทโพโลยีให้กับฟังก์ชันเรียบที่อ่อนกว่าโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ (เช่นนอร์ม) ทำให้ฟังก์ชันเรียบมีประโยชน์ในฐานะฟังก์ชันทดสอบและเป็นค่าประมาณของฟังก์ชันที่ไม่เรียบมากนัก ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$

ชั้นของความสามารถในการหาอนุพันธ์นั้นปิดภายใต้การดำเนินการทางพีชคณิตตามปกติ ถ้าและเป็นฟังก์ชันค่าจริงของชั้นบนโดเมนเดียวกัน แล้ว, , และผลคูณสเกลาร์ใดๆ ของก็เป็นของชั้น เช่นกันถ้าไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลย ผลหารจะเป็นของชั้นข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นผลมาจากกฎผลรวม ผลคูณ และผลหารสำหรับอนุพันธ์^{[ 4 ] [ 5 ]} ยิ่งไปกว่านั้น ปริภูมิ เป็นปริภูมิ เวกเตอร์จริงและภายใต้การคูณแบบจุดต่อจุด เป็นพีชคณิตสลับที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตของฟังก์ชันค่าจริงเรียบ บนแมนิโฟลด์เรียบมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์: วัตถุทางเรขาคณิตจำนวนมากบนสามารถอธิบายได้ในแง่ของการกระทำของวัตถุเหล่านั้นบนฟังก์ชันเรียบ ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

คลาสนี้ยังปิดภายใต้การประกอบ ถ้าเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิดคลาสและคลาสแล้วแผนที่ประกอบจะเป็นคลาสสำหรับนี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากกฎ ลูกโซ่ กรณีลำดับที่สูงกว่าจะตามมาโดยการหาอนุพันธ์ซ้ำๆ^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle g:V\to W}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle g\circ f:U\to W}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k=1}$$${\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x).}$$

คลาสเหล่านี้ก่อให้เกิดลำดับชั้นแบบซ้อนกัน: ดังนั้นทุกฟังก์ชันจึงเป็นและทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง บนโดเมนทั่วไป เช่น ช่วงเปิดหรือเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด การรวมเหล่านี้เป็นการรวมแบบเข้มงวด $${\displaystyle C^{\infty }\subseteq \cdots \subseteq C^{k+1}\subseteq C^{k}\subseteq \cdots \subseteq C^{1}\subseteq C^{0}.}$$${\displaystyle C^{k+1}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{1}}$

ในตัวแปรหลายตัว ความสามารถในการหาอนุพันธ์ต่อเนื่องมีผลหลายประการต่ออนุพันธ์ย่อย หากฟังก์ชันอยู่ในคลาสอนุพันธ์ย่อยแบบผสมที่มีอันดับไม่เกินจะไม่ขึ้นอยู่กับอันดับของการหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากอยู่ในคลาสแล้ว สำหรับทิศทางพิกัดทั้งหมดและ^{[ 5 ]}ผลที่ตามมา คือ เมทริกซ์เฮสเซียนของฟังก์ชันจะเป็น เมท ริก ซ์สมมาตร${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{2}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}}$$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle C^{2}}$

คลาสนี้เป็นสมมติฐานในผลลัพธ์เฉพาะที่ เช่นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายตัวอย่างเช่น ถ้าอยู่ในคลาสและอนุพันธ์สามารถผกผันได้ที่จุดแล้วจะสามารถผกผันได้เฉพาะที่ใกล้และฟังก์ชันผกผันเฉพาะที่ของมันก็อยู่ในคลาส เช่นกัน^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle Df(a)}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle C^{1}}$

แม้ว่าฟังก์ชันวิเคราะห์ ทั้งหมด จะเรียบบนเซตที่มันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ แต่ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันบัมพ์ (ที่กล่าวถึงข้างต้น) แสดงให้เห็นว่าข้อความกลับไม่เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันบนจำนวนจริง: มีฟังก์ชันจริงที่เรียบแต่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ตัวอย่างง่ายๆ ของฟังก์ชันที่เรียบแต่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ จุดใดๆสามารถสร้างได้โดยใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์อีกตัวอย่างหนึ่งคือฟังก์ชันฟาบิอุสแม้ว่าอาจดูเหมือนว่าฟังก์ชันดังกล่าวเป็นข้อยกเว้นมากกว่ากฎ ฟังก์ชันวิเคราะห์ก็ก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยเล็กๆ ของฟังก์ชันเรียบ ตัวอย่างเช่น ด้วยโทโพโลยีที่เหมาะสมบนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบ ฟังก์ชันวิเคราะห์ก็ก่อตัวเป็น เซตย่อย เล็กๆของฟังก์ชันเรียบ^{[ 6 ]} ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับเซตย่อยเปิด Aทุกเซตของเส้นจำนวนจริง จะมีฟังก์ชันเรียบที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนAและไม่มีที่อื่น^{[ 7 ]}

สถานการณ์ที่อธิบายไว้ข้างต้นนี้แตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ หากฟังก์ชันเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิด ฟังก์ชันนั้นจะสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดและเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเซตนั้น^{[ 8 ]}

ทฤษฎีบทของเอมิล โบเรลกล่าวว่าอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมทุกชุด จะปรากฏเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันเรียบบางฟังก์ชัน นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งที่ฟังก์ชันเรียบแตกต่างจากฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันวิเคราะห์จะกำหนดฟังก์ชันนั้นในระดับท้องถิ่น

ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสม ความสามารถในการหาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นของฟังก์ชันจะสัมพันธ์กับการลดลงที่เร็วขึ้นของผลการแปลงลาปลาสหรือผลการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันนั้น ตัวอย่างเช่น การอินทิเกรตโดยส่วนจะให้ค่าประมาณการลดลงของผลการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ตรงตามเงื่อนไขความสามารถในการอินทิเกรตหรือเงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสม ความสัมพันธ์เหล่านี้เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ต่างๆ เช่นทฤษฎีบทพาเลย์-ไวเนอร์

ในทางกลับกัน การลดลงของการแปลงฟูริเยร์อาจบ่งบอกถึงคุณสมบัติการหาอนุพันธ์หรือความต่อเนื่องของฟังก์ชันดั้งเดิม ซึ่งมักจะแสดงออกมาในรูปของปริภูมิโซโบเลฟ : การลดลงของการแปลงฟูริเยร์ทำให้เกิดความสม่ำเสมอแบบโซโบเลฟ และทฤษฎีบทการฝังตัวแบบโซโบเลฟให้เงื่อนไขที่ความสม่ำเสมอแบบโซโบเลฟบ่งบอกถึงความเรียบ แบบคลาสสิก${\displaystyle C^{k}}$

ฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตจำกัด ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ เรียกว่าฟังก์ชันทดสอบ ฟังก์ชัน เหล่านี้ใช้ในการกำหนดการกระจายและ อนุพันธ์ แบบ อ่อน${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

ฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตรองรับ ที่ควบคุมได้อย่างเหมาะสม โดยเฉพาะฟังก์ชันเรียบที่มีขอบเขตรองรับแบบกระชับ ถูกนำมาใช้ในการสร้างพาร์ติชันเรียบของเอกภาพ (ดูพาร์ติชันของเอกภาพและอภิธานศัพท์โทโพโลยี ) ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาแมนิโฟลด์เรียบตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงให้เห็นว่าเมตริกแบบรีมันน์สามารถกำหนดได้ทั่วโลกโดยเริ่มจากการมีอยู่เฉพาะที่ของมัน กรณีง่ายๆ คือฟังก์ชันบัมพ์บนเส้นจำนวนจริง นั่นคือ ฟังก์ชันเรียบfที่มีค่าเป็น 0 นอกช่วง [ a , b ] และเป็นเช่นนั้น $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

เมื่อกำหนดชุดของช่วงเวลาที่ทับซ้อนกันอย่างจำกัดในระดับท้องถิ่นบนเส้นตรงแล้ว สามารถสร้างฟังก์ชันบัมพ์บนแต่ละช่วงเวลาเหล่านั้น รวมถึงบนช่วงเวลากึ่งอนันต์เพื่อครอบคลุมเส้นตรงทั้งหมด โดยที่ผลรวมของฟังก์ชันเหล่านั้นจะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ ${\displaystyle (-\infty ,c]}$${\displaystyle [d,+\infty )}$

จากสิ่งที่กล่าวมาแล้ว การแบ่งส่วนของเอกภาพไม่สามารถนำมาใช้กับฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกได้ในลักษณะเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ไม่มีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่ไม่เป็นศูนย์ที่มีส่วนรองรับแบบกระชับบนโดเมนเชิงซ้อนที่เชื่อมต่อกัน พฤติกรรมที่แตกต่างกันของฟังก์ชันเหล่านี้ในเรื่องการมีอยู่และการต่อยอดเชิงวิเคราะห์เป็นหนึ่งในรากฐานของ ทฤษฎี ชีฟในทางตรงกันข้าม ชีฟของฟังก์ชันเรียบนั้นละเอียดและดังนั้นจึงมีพฤติกรรมโคฮอโมโลจีที่แตกต่างกัน

กำหนดให้แมนิโฟลด์เรียบ ที่มีมิติและแอตลาสแผนที่หนึ่งจะเรียบบน แมนิโฟลด์เรียบ ถ้าสำหรับทุก ๆจะมีแผนภูมิหนึ่งที่มีเช่นนั้นเป็นฟังก์ชันเรียบจากเซตย่อยเปิดของไปยัง ในทำนองเดียวกันจะอยู่ในคลาสถ้าการแสดงพิกัดเหล่านี้อยู่ในคลาสสามารถตรวจสอบความเรียบได้โดยเทียบกับแผนภูมิ ใด ๆ ของแอตลาสที่ประกอบด้วยเนื่องจากข้อกำหนดความเรียบของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านระหว่างแผนภูมิทำให้มั่นใจได้ว่า ถ้าเรียบใกล้ในแผนภูมิหนึ่ง ก็จะเรียบใกล้ในแผนภูมิอื่น ๆ ด้วย ${\displaystyle M}$${\displaystyle m,}$${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$${\displaystyle p\in U,}$${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi (U)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

บนแมนิโฟลด์ เรียบ ฟิลด์ เวกเตอร์เรียบสามารถระบุได้ด้วยอนุพันธ์ของพีชคณิตนั่นคือ ฟิลด์เวกเตอร์กระทำต่อฟังก์ชันเรียบโดยและเป็นไปตามกฎของไลบ์นิซ ${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\mapsto Xf}$$${\displaystyle X(fg)=fX(g)+gX(f).}$$

ถ้าเป็นแผนที่จากไปยังแมนิโฟลด์มิติแล้วจะเรียบก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจะมีแผนภูมิที่บรรจุและแผนภูมิที่บรรจุโดยที่และเป็นฟังก์ชันเรียบระหว่างเซตย่อยเปิดของปริภูมิยุคลิด ${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p\in M,}$${\displaystyle (U,\phi )}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle F(U)\subset V,}$${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$

แผนที่เรียบระหว่างแมนิโฟลด์เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิสัมผัส : สำหรับในแต่ละจุด ฟังก์ชันพุ ชฟอร์เวิร์ด (หรือฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์) จะแมปเวกเตอร์สัมผัสที่ ไปยังเวกเตอร์สัมผัสที่และในระดับของบันเดิลสัมผัส ฟังก์ชันพุชฟอร์เวิร์ดคือโฮโมมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์คู่ตรงข้ามของฟังก์ชันพุชฟอร์เวิร์ดคือฟังก์ชันพูลแบ็กซึ่ง "ดึง" โคเวกเตอร์บนกลับไปยังโคเวกเตอร์บนและฟอร์ม ไปยังฟอร์ม: ด้วยวิธีนี้ ฟังก์ชันเรียบระหว่างแมนิโฟลด์สามารถขนส่งข้อมูลเฉพาะที่เช่นฟิลด์เวกเตอร์และฟอร์มเชิงอนุพันธ์จากแมนิโฟลด์หนึ่งไปยังอีกแมนิโฟลด์หนึ่ง หรือลงไปยังปริภูมิยุคลิดซึ่งการคำนวณเช่นการอินทิเกรตเป็นที่เข้าใจกันดี ${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

โดยทั่วไปแล้ว ภาพก่อนหน้าและภาพของแผนที่เรียบจะไม่ใช่แมนิโฟลด์หากไม่มีข้อสมมติเพิ่มเติม ภาพก่อนหน้าของค่าปกติเป็นแมนิโฟลด์ ซึ่งหมายความว่าสำหรับแผนที่เรียบและค่าอนุพันธ์จะเป็นฟังก์ชันทั่วถึงที่ทุกจุดนี่คือทฤษฎีบทภาพก่อนหน้า ในทำนองเดียวกัน ภาพของการฝังตัวเป็นซับแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่^{[ 9 ]}${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle q\in N}$${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{q}N}$${\displaystyle p\in F^{-1}(q)}$

ความเรียบยังถูกนิยามไว้สำหรับส่วนต่างๆ ของกลุ่มเวกเตอร์ด้วย ส่วนนั้นจะเรียบก็ต่อเมื่อส่วนประกอบพิกัดของมันเรียบในการทำให้เป็นแบบง่ายๆ ในระดับท้องถิ่น ตัวอย่างของส่วนเรียบ ได้แก่ ฟิลด์เวกเตอร์เรียบ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ และฟิลด์เทนเซอร์

มีแนวคิดที่สอดคล้องกันของแผนที่เรียบสำหรับเซตย่อยใดๆ ของแมนิโฟลด์ ถ้าเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและโคโดเมนเป็นเซตย่อยของแมนิโฟลด์และตามลำดับ แล้วจะเรียกว่าเรียบถ้าสำหรับทุกมีเซตเปิดที่มีและฟังก์ชันเรียบเช่นนั้นสำหรับทุก${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\subseteq M}$${\displaystyle Y\subseteq N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U\subseteq M}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle F:U\to N}$${\displaystyle F(p)=f(p)}$${\displaystyle p\in U\cap X.}$

สำหรับปริภูมิโฮลเดอร์บนเซตเปิดในคือฟังก์ชันที่อยู่บนและอนุพันธ์ย่อยลำดับที่ เป็นไปตามเงื่อนไขโฮลเดอร์บน: เงื่อนไขนี้เข้มงวดกว่าความต่อเนื่องธรรมดา เมื่อมันหมายถึงความต่อเนื่องแบบลิปชิตซ์ของอนุพันธ์ลำดับที่ k ซึ่งอ่อนกว่าความสามารถในการหาอนุพันธ์ ดังนั้น สำหรับและบนโดเมนเปิดที่ไม่ว่างเปล่า ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle C^{k,\alpha }(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle |\partial ^{k}f(x)-\partial ^{k}f(y)|\leq C\|x-y\|^{\alpha }.}$$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle 0<\alpha <1}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle C^{k}(U)\subsetneq C^{k,\alpha }(U)\subsetneq C^{k,1}(U)\subsetneq C^{k+1}(U).}$$

• ความไม่ต่อเนื่อง  – การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของจุดที่ไม่ต่อเนื่องPages displaying short descriptions of redirect targets
• ทฤษฎีบทของฮาดามาร์ด  – บทตั้งPages displaying short descriptions with no spaces
• ฟังก์ชันเรียบที่ไม่เป็นเชิงวิเคราะห์  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เรียบแต่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์
• ความต่อเนื่องแบบพาราเมตริก  – แนวคิดเรื่องความเรียบของเส้นโค้งพาราเมตริก
• ฟังก์ชันกึ่งวิเคราะห์
• จุดเอกฐาน (คณิตศาสตร์)  – จุดที่วัตถุทางคณิตศาสตร์แสดงพฤติกรรมผิดปกติ
• ความคดเคี้ยว  – อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งและระยะทางเส้นตรงระหว่างสองจุดบนฟังก์ชันรูปคลื่น
• โครงร่างเรียบ  – แนวคิดในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตPages displaying short descriptions of redirect targets
• จำนวนเรียบ  – จำนวนเต็มที่มีตัวประกอบเฉพาะขนาดเล็กเท่านั้น (ทฤษฎีจำนวน)
• การปรับให้เรียบ  – การหาฟังก์ชันประมาณค่าที่เหมาะสมกับข้อมูล
• สปลายน์  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดเป็นส่วนๆ โดยใช้พหุนาม
• การทำแผนที่โซโบเลฟ