ในทางคณิตศาสตร์เวกเตอร์บันเดิลเป็น โครงสร้าง เชิงโทโพโลยีที่ทำให้แนวคิดของกลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดโดยปริภูมิ อื่น (ตัวอย่างเช่นปริภูมิเชิงโทโพโลยีแมนิโฟลด์หรือวาไรตีเชิงพีชคณิต ) มีความแม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวคือ เราจะเชื่อมโยง (หรือ "แนบ") ปริภูมิเวกเตอร์กับทุกจุดในปริภูมินั้นในลักษณะที่ปริภูมิเวกเตอร์เหล่านี้สามารถรวมกันเพื่อสร้างปริภูมิอื่นที่มีชนิดเดียวกันกับ(เช่น ปริภูมิเชิงโทโพโลยี แมนิโฟลด์ หรือวาไรตีเชิงพีชคณิต) ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์บันเดิลเหนือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือกรณีที่ตระกูลของปริภูมิเวกเตอร์คงที่ กล่าวคือ มีปริภูมิเวกเตอร์คงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งสำหรับทุกค่าใน: ในกรณีนี้จะมีสำเนาของสำหรับแต่ละค่าในและสำเนาเหล่านี้จะประกอบกันเป็นมัดเวกเตอร์เหนือ มัดเวกเตอร์ ดังกล่าวเรียกว่ามัดเวกเตอร์แบบไม่สำคัญตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่า (และเป็นต้นแบบ) คือมัดสัมผัสของแมนิโฟลด์เรียบ (หรือที่หาอนุพันธ์ได้) : เราจะ แนบปริภูมิสัมผัส เข้ากับแมนิโฟลด์ ณ จุดทุกจุดบนแมนิโฟลด์ดังกล่าว มัดสัมผัสโดยทั่วไปไม่ใช่มัดเวกเตอร์แบบไม่สำคัญ ตัวอย่างเช่น มัดสัมผัสของทรงกลมไม่ใช่มัดเวกเตอร์แบบไม่สำคัญตามทฤษฎีบทลูกบอลมีขนโดยทั่วไปแล้ว แมนิโฟลด์จะเรียกว่าสามารถทำให้ขนานได้ก็ต่อเมื่อมัดสัมผัสของมันเป็นมัดเวกเตอร์แบบไม่สำคัญ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V(x)=V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times V}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์บันเดิลจะต้องเป็นโลคัลลิตีวิอัล (locally trivial ) ซึ่งหมายความว่ามันเป็นตัวอย่างของไฟเบอร์บันเดิล (fiber bundle ) นอกจากนี้ ปริภูมิเวกเตอร์มักจะต้องอยู่เหนือจำนวนจริงหรือ จำนวนเชิงซ้อน ในกรณีดังกล่าว เวกเตอร์บันเดิลจะถูกเรียกว่าเวกเตอร์บันเดิลจริงหรือเวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อน (ตามลำดับ) เวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อนสามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์บันเดิลจริงที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม ในส่วนต่อไปนี้ เราจะเน้นที่เวกเตอร์บันเดิลจริงในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

บันเดิลเวกเตอร์จริงประกอบด้วย:

1. ปริภูมิเชิงทอพอโลยี( ปริภูมิฐาน ) และ( ปริภูมิทั้งหมด )${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$
2. การส่งแบบต่อเนื่องทั่วถึง ( การฉายภาพแบบกลุ่ม )${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. สำหรับทุก ๆ ในโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติจำกัดบนไฟเบอร์${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

โดยที่เงื่อนไขความเข้ากันได้ต่อไปนี้เป็นไปตามที่กำหนด: สำหรับทุกจุดในจะมีย่านเปิดของจำนวนธรรมชาติและโฮมีโอเมอร์ฟิซึม${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \varphi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$$

โดยที่สำหรับทุกๆ ใน${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$สำหรับเวกเตอร์ ทั้งหมด ในและ${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• แผนที่นี้ เป็นการแปลงเชิงเส้นแบบ ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่าง ปริภูมิเวกเตอร์และ${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

บริเวณใกล้เคียงแบบเปิดร่วมกับโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเรียกว่าการ ทำให้ เวกเตอร์บันเดิลเป็นแบบธรรมดาในระดับท้องถิ่น การทำให้เป็นแบบธรรมดาในระดับท้องถิ่นแสดงให้เห็นว่า ในระดับท้องถิ่นแผนที่"ดูเหมือน" การฉายภาพของ บน${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle U}$

ไฟเบอร์ทุกเส้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติจำกัด ดังนั้นจึงมีมิติการทำให้เป็นแบบไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันมีค่าคงที่ในระดับท้องถิ่นและดังนั้นจึงมีค่าคงที่บนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน แต่ละส่วน ของถ้าเท่ากับค่าคงที่บนทุกส่วนของแล้วเรียกว่าอันดับของมัดเวกเตอร์ และกล่าวได้ว่าเป็นมัดเวกเตอร์อันดับ 1 บ่อยครั้งที่นิยามของมัดเวกเตอร์รวมถึงว่าอันดับนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดี ดังนั้น จึงมีค่าคงที่ มัดเวกเตอร์อันดับ 1 เรียกว่ามัดเส้นในขณะที่มัดเวกเตอร์อันดับ 2 มักเรียกว่ามัดระนาบ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle x\to k_{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{x}}$

ผลคูณคาร์ทีเซียนที่ มาพร้อมกับการฉายภาพเรียกว่าบันเดิลที่ไม่สำคัญที่มีอันดับ เหนือ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

กำหนดให้เวกเตอร์บันเดิลที่มีอันดับและคู่ของย่าน ใกล้เคียง และซึ่งบันเดิลจะกลายเป็นเวกเตอร์บันเดิลที่ไม่สำคัญผ่านทาง ${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันประกอบ

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

มีการกำหนดขอบเขตที่ทับซ้อนกันอย่างชัดเจน และเป็นไปตามข้อกำหนด

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

สำหรับฟังก์ชัน ที่มีค่า บางค่า${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

สิ่งเหล่านี้เรียกว่าฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน (หรือการแปลงพิกัด ) ของกลุ่มเวกเตอร์

เซตของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านก่อให้เกิดโคไซเคิลแบบเช็กในความหมายที่ว่า

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

สำหรับทั้งหมดที่มัดนั้นทำให้เป็นเรื่องเล็กน้อยโดยที่ตรงตามเงื่อนไขดังนั้นข้อมูลจึงกำหนดมัดเส้นใยข้อมูลเพิ่มเติมของระบุกลุ่มโครงสร้างซึ่งการกระทำบนเส้นใยเป็นการกระทำมาตรฐานของ ${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle g_{UV}}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

ในทางกลับกัน หากกำหนดกลุ่มเส้นใยที่มีโคไซเคิลกระทำในลักษณะมาตรฐานต่อเส้นใยนั้น จะมีกลุ่มเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องอยู่ ด้วย นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของ ทฤษฎีบทการสร้างกลุ่มเส้นใยสำหรับกลุ่มเวกเตอร์ และสามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของกลุ่มเวกเตอร์ได้ ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

วิธีง่ายๆ วิธีหนึ่งในการสร้างเวกเตอร์บันเดิลคือการใช้ซับบันเดิลของเวกเตอร์บันเดิลอื่นๆ เมื่อกำหนดเวกเตอร์บันเดิลบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว ซับบันเดิลก็คือปริภูมิย่อยเชิงทอพอโลยีซึ่งการจำกัดของ ซับบันเดิล นั้นให้โครงสร้างของเวกเตอร์บันเดิลเช่นกัน ในกรณีนี้ ไฟเบอร์จะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์สำหรับทุกๆ ${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle F\subset E}$${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

บันเดิลย่อยของบันเดิลที่ไม่สำคัญไม่จำเป็นต้องเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญเสมอไป และที่จริงแล้ว บันเดิลเวกเตอร์จริงทุกอันบนปริภูมิกระชับสามารถมองได้ว่าเป็นบันเดิลย่อยของบันเดิลที่ไม่สำคัญที่มีอันดับสูงพอสมควร ตัวอย่างเช่น แถบ โมเบียส ซึ่งเป็นบันเดิลเส้น ตรงที่ไม่ไม่สำคัญบนวงกลม สามารถมองได้ว่าเป็นบันเดิลย่อยของบันเดิลอันดับ 2 ที่ไม่สำคัญบนวงกลม

มอร์ฟิซึมจากเวกเตอร์บันเดิลไปยังเวกเตอร์บันเดิลนั้นกำหนดโดยคู่ของแผนที่ต่อเนื่องและโดยที่ ${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$${\displaystyle g:X_{1}\rightarrow X_{2}}$$${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$$

สำหรับทุก ๆในแผนที่ที่เกิดจากเป็นแผนที่เชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle x}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\rightarrow \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$${\displaystyle f}$

โปรดทราบว่าถูกกำหนดโดย(เนื่องจากเป็นฟังก์ชันทั่วถึง) และกล่าวได้ว่า ครอบคลุมg${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle f}$

กลุ่มของเวกเตอร์บันเดิลทั้งหมดรวมกับมอร์ฟิซึมบันเดิลก่อให้เกิดหมวดหมู่ หนึ่ง เมื่อจำกัดเฉพาะเวกเตอร์บันเดิลที่ปริภูมิเป็นแมนิโฟลด์ (และการฉายภาพบันเดิลเป็นการแมปแบบเรียบ) และมอร์ฟิซึมบันเดิลแบบเรียบ เราจะได้หมวดหมู่ของเวกเตอร์บันเดิลแบบเรียบ มอร์ฟิซึมเวกเตอร์บันเดิลเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดของการแมปบันเดิลระหว่างไฟเบอร์บันเดิลและบางครั้งเรียกว่า โฮโมมอ ร์ ฟิซึมบันเดิล (เวกเตอร์)

โฮโมมอร์ฟิซึมของบันเดิลจากไป ที่มีอินเวอร์สซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของบันเดิลเช่นกัน (จาก ไป ) เรียกว่า ไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิล (เวกเตอร์) และกล่าวได้ว่าและเป็นบันเดิลเวกเตอร์ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์ (อันดับ) เหนือกับบันเดิลที่ไม่สำคัญ (อันดับเหนือ) เรียกว่าการทำให้ไม่สำคัญของและกล่าวได้ว่าไม่สำคัญ (หรือสามารถทำให้ไม่สำคัญได้ ) นิยามของบันเดิลเวกเตอร์แสดงให้เห็นว่าบันเดิลเวกเตอร์ใด ๆ ก็ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

เรายังสามารถพิจารณาหมวดหมู่ของเวกเตอร์บันเดิลทั้งหมดบนปริภูมิฐานที่กำหนดไว้ได้อีกด้วยในฐานะมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่นี้ เราเลือกมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิลที่มีแผนที่บนปริภูมิฐานเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนนั่นคือ มอร์ฟิซึมบันเดิลที่แผนภาพต่อไปนี้สลับกันได้ : ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

(โปรดทราบว่าหมวดหมู่นี้ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน ; โดยทั่วไปแล้ว เคอร์เนลของมอร์ฟิซึมของกลุ่มเวกเตอร์ไม่ใช่กลุ่มเวกเตอร์ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติใดๆ)

การแปลงเวกเตอร์บันเดิลระหว่างเวกเตอร์บันเดิลและการครอบคลุมแผนที่จากไปยัง สามารถมองได้ว่าเป็นการแปลงเวกเตอร์บันเดิลเหนือจากไปยังพูลแบ็กบันเดิล ${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle g^{*}E_{2}}$

กำหนดให้เวกเตอร์บันเดิลπ : E → Xและเซตย่อยเปิดUของXเราสามารถพิจารณาส่วนตัดของπบนUได้ กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องs : U → E โดยที่ π  ∘  sเป็นฟังก์ชันประกอบ ที่ ( π ∘ s )( u ) = uสำหรับทุกuในUส่วนตัดบนUคือการกำหนดเวกเตอร์จากไฟเบอร์ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือp ให้กับทุกจุด pบนUในลักษณะต่อเนื่อง ตัวอย่างเช่น ส่วนตัดของแทนเจนต์บันเดิลของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์นั้นเหมือนกับฟิลด์เวกเตอร์บนแมนิโฟลด์นั้น

ให้F ( U ) เป็นเซตของส่วนทั้งหมดบนU F ( U ) จะมีอย่างน้อยหนึ่งสมาชิกเสมอ นั่นคือส่วนที่เป็นศูนย์ : ฟังก์ชันsที่แมปสมาชิก x ทุกตัวของUไปยังสมาชิกศูนย์ของปริมาณเวกเตอร์π ⁻¹ ({ x }) ด้วย การบวก แบบจุดต่อจุดและการคูณสเกลาร์ของส่วนต่างๆF ( U ) จะกลายเป็นปริมาณเวกเตอร์จริง การรวบรวมปริมาณเวกเตอร์เหล่านี้เรียกว่าชีฟของปริมาณเวกเตอร์บน X

ถ้าsเป็นสมาชิกของF ( U ) และ f : U → Rเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ผลคูณ f s (การคูณสเกลาร์แบบจุดต่อจุด) จะอยู่ในF ( U ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าF ( U ) เป็นโมดูลเหนือวงแหวนของฟังก์ชันค่าจริง ต่อเนื่อง บนUนอกจากนี้ ถ้า OX _แทนชีฟโครงสร้างของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนXแล้วFจะกลายเป็นชีฟของ_OX-โมดูล

ไม่ใช่ว่าทุกชีฟของโมดูล O _Xจะเกิดขึ้นในลักษณะนี้จากเวกเตอร์บันเดิล: มีเพียง ชีฟ ที่เป็นอิสระในระดับท้องถิ่น เท่านั้น ที่เกิดขึ้น (เหตุผลก็คือ ในระดับท้องถิ่น เรากำลังมองหาส่วนตัดของการฉายภาพU × R ^k → Uซึ่งก็คือฟังก์ชันต่อเนื่องU → R ^k นั่นเอง และฟังก์ชันดังกล่าวเป็นk - tupleของฟังก์ชันต่อเนื่องU → R )

ยิ่งไปกว่านั้น หมวดหมู่ของเวกเตอร์บันเดิลจริงบนXเทียบเท่ากับหมวดหมู่ของชีฟอิสระเฉพาะที่และสร้างขึ้นอย่างจำกัด ของ โมดูล O _X

ดังนั้นเราจึงสามารถมองว่าหมวดหมู่ของเวกเตอร์บันเดิลจริงบนXอยู่ภายในหมวดหมู่ของ ชีฟของ โมดูลO _Xซึ่งหมวดหมู่หลังนี้เป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียน ดังนั้นนี่คือที่ที่เราสามารถคำนวณเคอร์เนลและโคเคอร์เนลของมอร์ฟิซึมของเวกเตอร์บันเดิลได้

เวกเตอร์บันเดิลอันดับn จะเป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญ ก็ต่อเมื่อมันมีส่วนตัดทั่วโลก ที่เป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนn ส่วน

การดำเนินการส่วนใหญ่บนปริภูมิเวกเตอร์สามารถขยายไปยังบันเดิลเวกเตอร์ได้โดยการดำเนินการปริภูมิเวกเตอร์แบบ ไฟเบอร์

ตัวอย่างเช่น ถ้าEเป็นเวกเตอร์บันเดิลเหนือXแล้วจะมีบันเดิลE*เหนือXเรียกว่าบันเดิลคู่ซึ่งไฟเบอร์ที่x ∈ Xคือปริภูมิเวกเตอร์คู่ ( E _x )* ในทางคณิตศาสตร์E*สามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของคู่ ( x , φ) โดยที่x ∈ Xและ φ ∈ ( E _x )* บันเดิลคู่เป็นบันเดิลที่ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น เนื่องจากปริภูมิคู่ของส่วนกลับของการทำให้ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นของEคือการทำให้ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นของE* : จุดสำคัญในที่นี้คือการดำเนินการของการหาปริภูมิเวกเตอร์คู่เป็นการดำเนิน การ เชิง ฟังก์ชัน

มีการดำเนินการเชิงฟังก์ชันมากมายที่สามารถทำได้กับคู่ของปริภูมิเวกเตอร์ (เหนือฟิลด์เดียวกัน) และการดำเนินการเหล่านี้สามารถขยายไปยังคู่ของบันเดิลเวกเตอร์E , FบนX (เหนือฟิลด์ที่กำหนด) ได้โดยตรง ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้

• ผลรวมวิทนีย์ (ตั้งชื่อตามฮาสเลอร์ วิทนีย์ ) หรือบันเดิลผลรวมโดยตรงของEและFคือบันเดิลเวกเตอร์E ⊕ FเหนือXซึ่งไฟเบอร์เหนือxคือผลรวมโดยตรงE _x ⊕ F _xของปริภูมิเวกเตอร์E _xและF _x
• บันเดิลผลคูณเทนเซอร์ E ⊗ Fถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน โดยใช้ผลคูณเทนเซอร์ แบบไฟเบอร์ ของปริภูมิเวกเตอร์
• บันเดิล Hom( E , F ) คือบันเดิลเวกเตอร์ที่มีไฟเบอร์ที่xเป็นปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นจากE _xไปยังF _x (ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วย Hom( E _x , F _x ) หรือL ( E _x , F _x )) บันเดิล Hom ถูกเรียกว่า (และมีประโยชน์) เพราะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างโฮโมมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์จากE ไปยังFบนXและส่วนตัดของ Hom( E , F ) บนX
• จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ เมื่อกำหนดส่วนsของ บัน เดิลเอนโดมอร์ฟิซึม Hom( E , E ) และฟังก์ชันf : X → Rเราสามารถสร้างบันเดิลไอเกน (โดยการหาไฟเบอร์เหนือจุดx ∈ X)ให้เป็นปริภูมิไอเกนf ( x ) ของแผนที่เชิงเส้นs ( x ): E _x → E _xได้ แม้ว่าการสร้างนี้จะเป็นธรรมชาติ แต่หากไม่ระมัดระวัง วัตถุที่ได้จะไม่มีการทำให้เป็นแบบไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น ลองพิจารณากรณีที่sเป็นส่วนศูนย์และfมีศูนย์ที่แยกเดี่ยว ไฟเบอร์เหนือศูนย์เหล่านี้ใน "บันเดิลไอเกน" ที่ได้จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับไฟเบอร์เหนือศูนย์เหล่านั้นในEในขณะที่ที่อื่น ๆ ไฟเบอร์จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติศูนย์ที่ไม่สำคัญ
• บันเดิลเวกเตอร์คู่E*คือบันเดิล Hom( E , R × X ) ของโฮโมมอร์ฟิซึมบันเดิลระหว่างEและบันเดิลที่ไม่สำคัญR × Xนอกจากนี้ยังมีไอโซมอร์ฟิซึมบันเดิลเวกเตอร์แบบแคนอนิก Hom( E , F ) = E* ⊗ Fด้วย

แต่ละการดำเนินการเหล่านี้เป็นตัวอย่างเฉพาะของคุณลักษณะทั่วไปของบันเดิล: การดำเนินการหลายอย่างที่สามารถทำได้บนหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์ก็สามารถดำเนินการบนหมวดหมู่ของบันเดิลเวกเตอร์ใน ลักษณะ เชิงฟังก์ชัน ได้เช่นกัน สิ่งนี้ได้รับการอธิบายอย่างแม่นยำในภาษาของฟังก์ชันเรียบการดำเนินการที่มีลักษณะแตกต่างกันคือ การสร้าง บันเดิลแบบดึงกลับเมื่อกำหนดบันเดิลเวกเตอร์E → Yและแผนที่ต่อเนื่องf : X → Yเราสามารถ "ดึงกลับ" Eไปยังบันเดิลเวกเตอร์f*EเหนือXได้ ไฟเบอร์เหนือจุดx ∈ X นั้นโดยพื้นฐานแล้วก็คือไฟเบอร์เหนือf ( x ) ∈ Yดังนั้น การรวมแบบวิทนีย์E ⊕ Fสามารถกำหนดได้ว่าเป็นบันเดิลแบบดึงกลับของแผนที่แนวทแยงจากXไปยังX × Xโดยที่บันเดิลเหนือ X × XคือE  ×  F

หมายเหตุ : ให้Xเป็นปริภูมิกระชับบันเดิลเวกเตอร์E ใดๆ บนXเป็นผลรวมโดยตรงของบันเดิลที่ไม่สำคัญ กล่าวคือ มีบันเดิลE ' อยู่ ซึ่งE ⊕ E 'ไม่สำคัญ สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นหากXไม่ใช่ปริภูมิกระชับ ตัวอย่างเช่นบันเดิลเส้นตรงที่เป็นจริงบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟจริงอนันต์ไม่มีคุณสมบัตินี้^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์บันเดิลมักมีโครงสร้างเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์บันเดิลอาจมีเมตริกเวกเตอร์บันเดิลโดยปกติแล้วเมตริกนี้จะต้องเป็นบวกแน่นอนซึ่งในกรณีนี้ไฟเบอร์แต่ละอันของEจะกลายเป็นปริภูมิยุคลิดเวกเตอร์บันเดิลที่มีโครงสร้างเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับเวกเตอร์บันเดิลเชิงซ้อนซึ่งอาจได้มาจากการแทนที่ปริภูมิเวกเตอร์จริงในนิยามด้วยปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน และกำหนดให้การแมปทั้งหมดเป็นเชิงเส้นเชิงซ้อนในไฟเบอร์ โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถเข้าใจโครงสร้างเพิ่มเติมที่กำหนดให้กับเวกเตอร์บันเดิลได้ในแง่ของการลดกลุ่มโครงสร้างของบันเดิล ที่เกิดขึ้น นอกจากนี้ ยังสามารถใช้ เวกเตอร์บันเดิลบน ฟิลด์โทโพโลยีทั่วไปได้ อีกด้วย

หากแทนที่จะใช้ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ไฟเบอร์Fจะถูกเลือกให้เป็นปริภูมิ Banachแล้วจะได้Banach bundle ^{[ 2 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะต้องกำหนดให้การทำให้เป็นศูนย์ในระดับท้องถิ่นเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิ Banach (แทนที่จะเป็นเพียงไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น) บนไฟเบอร์แต่ละเส้น และยิ่งไปกว่านั้น การเปลี่ยนผ่าน

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

เป็นการแม ป แบบต่อเนื่องของแมนิโฟลด์แบบบานาคในทฤษฎีที่เกี่ยวข้องสำหรับบันเดิล C ^pการแมปทั้งหมดจะต้องเป็น C ^p

บันเดิลเวกเตอร์เป็นบันเดิลไฟเบอร์ ชนิดพิเศษ ซึ่งไฟเบอร์ของบันเดิลเหล่านั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และโคไซเคิลของบันเดิลเหล่านั้นต้องสอดคล้องกับโครงสร้างของปริภูมิเวกเตอร์ นอกจากนี้ยังสามารถสร้างบันเดิลไฟเบอร์ที่ทั่วไปกว่าได้ โดยที่ไฟเบอร์อาจมีโครงสร้างอื่นๆ ตัวอย่างเช่นบันเดิลทรงกลมประกอบด้วยทรงกลมเป็นไฟเบอร์

เวกเตอร์บันเดิล ( E , p , M ) เรียบถ้าEและMเป็นแมนิโฟลด์เรียบ p: E → Mเป็นแผนที่เรียบ และการทำให้เป็นแบบไม่สำคัญในระดับท้องถิ่นเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเร นเชียล ขึ้นอยู่กับระดับความเรียบ ที่ต้องการ จะมีแนวคิดที่แตกต่างกันของบันเดิลC ^p บันเดิล C ^∞ ที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ และ บันเดิล C ^ω เชิงวิเคราะห์จริงในส่วนนี้เราจะเน้นที่ บันเดิล C ^∞ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดของ เวกเตอร์บันเดิล C ^∞คือบันเดิลสัมผัส ( TM , πTM , M ) ของแมนิโฟล _ด์ C ^∞ M

กลุ่มเวกเตอร์เรียบสามารถระบุลักษณะได้จากข้อเท็จจริงที่ว่ามันยอมรับฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ซึ่งเป็น ฟังก์ชัน เรียบบนส่วนที่ทับซ้อนกันของแผนภูมิการทำให้เป็นกลางUและVกล่าวคือ กลุ่มเวกเตอร์Eจะเรียบก็ต่อเมื่อมันยอมรับการครอบคลุมโดยเซตเปิดที่ทำให้เป็นกลาง โดยที่สำหรับเซตUและV สองเซตใดๆ ฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

เป็นฟังก์ชันเรียบในกลุ่มเมทริกซ์ GL(k, R ) ซึ่งเป็นกลุ่มลี (Lie group )

ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะเป็นดังนี้:

• ถ้า C ^rแล้ว เวกเตอร์บันเดิลจะเป็นเวกเตอร์บันเดิลC ^r
• ถ้ากลุ่มเมทริกซ์มีโครงสร้างเชิงวิเคราะห์จริง กลุ่มเวกเตอร์นั้นก็จะเป็น กลุ่มเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์จริง (ซึ่งต้องใช้กลุ่มเมทริกซ์ที่มีโครงสร้างเชิงวิเคราะห์จริง)
• ถ้ากลุ่มเมทริกซ์เป็นกลุ่มลีเชิงซ้อน แสดงว่ากลุ่มเวกเตอร์นั้นเป็นกลุ่มเวกเตอร์เชิงโฮโลม อร์ฟิก (ซึ่งต้องใช้กลุ่มลีเชิงซ้อน )
• ถ้า ฟังก์ชันเป็นพีชคณิตแล้ว เวกเตอร์บันเดิลก็จะเป็นเวกเตอร์บันเดิลเชิงพีชคณิต (ซึ่งต้องใช้กลุ่มเมทริกซ์เป็นกลุ่มเชิงพีชคณิต )

บัน เดิลเวกเตอร์ C ^∞ ( E , p , M ) มีคุณสมบัติที่สำคัญมากซึ่ง บันเดิลไฟเบอร์ C ^∞ ทั่วไปไม่มี นั่นคือ ปริภูมิสัมผัสT _v ( E _x ) ที่v ∈ E _x ใดๆ สามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติกับไฟเบอร์E _xเอง การระบุนี้ได้มาจากการยกขึ้นในแนวดิ่งvl _v : E _x → T _v ( E _x ) ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

การยกขึ้นในแนวดิ่งยังสามารถมองได้ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์C ^{∞ ตามธรรมชาติ} p*E → VEโดยที่ ( p*E , p*p , E ) คือบันเดิลพูลแบ็กของ ( E , p , M ) เหนือEผ่านp : E → MและVE  := Ker( p _* ) ⊂ TEคือบันเดิลสัมผัสในแนวดิ่ง ซึ่งเป็นบัน เดิ ลย่อยเวกเตอร์ตามธรรมชาติของบันเดิลสัมผัส ( TE , π _TE , E ) ของปริภูมิทั้งหมดE

ปริภูมิทั้งหมดEของเวกเตอร์บันเดิลเรียบใดๆ จะมีสนามเวกเตอร์ธรรมชาติV _v  := vl _v vซึ่งเรียกว่าสนามเวกเตอร์แคนอนิก กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้นVคือส่วนเรียบของ ( TE , π _TE , E ) และยังสามารถนิยามได้ว่าเป็นตัวสร้างอนันต์ของแอคชั่นกลุ่มลี ที่กำหนดโดยการคูณสเกลาร์แบบไฟเบอร์ สนามเวกเตอร์แคนอนิกVอธิบายโครงสร้างของเวกเตอร์บันเดิลเรียบได้อย่างสมบูรณ์ในลักษณะต่อไปนี้ เพื่อเป็นการเตรียมการ โปรดทราบว่าเมื่อXเป็นสนามเวกเตอร์เรียบบนแมนิโฟลด์เรียบMและx ∈ Mโดยที่X _x = 0 การแมปเชิงเส้น ${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกอนุพันธ์ร่วมแปร เชิงเส้น ∇ บนMสนามเวกเตอร์แคนอนิกVบนEสอดคล้องกับสัจพจน์

1. การไหล ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) ของVถูกกำหนดไว้ทั่วโลก
2. สำหรับแต่ละv ∈ Vจะมี lim _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V ที่ ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) เมื่อใดก็ตามที่V _v = 0
4. เซตศูนย์ของVคือซับแมนิโฟลด์ เรียบ ของEซึ่งมีโคไดเมนชันเท่ากับอันดับของC _v ( V )

ในทางกลับกัน ถ้าEเป็นแมนิโฟลด์เรียบใดๆ และVเป็นสนามเวกเตอร์เรียบบนEที่สอดคล้องกับ 1–4 แล้วจะมีโครงสร้างเวกเตอร์บันเดิลที่ไม่ซ้ำกันบนE ซึ่งสนามเวกเตอร์แคนอนิ ก คือV

สำหรับเวกเตอร์บันเดิลเรียบใดๆ ( E , p , M ) ปริภูมิทั้งหมดTEของเวกเตอร์บันเดิลสัมผัส ( TE , π _TE , E ) จะมีโครงสร้างเวกเตอร์บันเดิลรอง ตามธรรมชาติ ( TE , p _* , TM ) โดยที่p _*คือการผลักดันไปข้างหน้าของการฉายภาพแบบแคนอนิกp : E → Mการดำเนินการเวกเตอร์บันเดิลในโครงสร้างเวกเตอร์บันเดิลรองนี้คือการผลักดันไปข้างหน้า + _* : T ( E × E ) → TEและ λ _* : TE → TEของการบวกดั้งเดิม +: E × E → E และการคูณสเกลา ร์ λ: E → E

กลุ่มทฤษฎี K, K ( X )ของ ปริภูมิทอพอโลยี Hausdorff ขนาดกะทัดรัด ถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดยชั้นไอโซมอร์ฟิซึม[ E ]ของ บัน เดิลเวกเตอร์เชิงซ้อนภายใต้การดำเนินการกลุ่มของผลรวม Whitneyโดยมีความสัมพันธ์ที่ว่า เมื่อใดก็ตามที่เรามีลำดับที่แน่นอน แล้ว ในทฤษฎี K ทางทอพอโลยีทฤษฎีKOเป็นเวอร์ชันหนึ่งของการสร้างนี้ซึ่งพิจารณาบันเดิลเวกเตอร์จริง ทฤษฎี K ที่มีฐานรองรับขนาดกะทัดรัดสามารถกำหนดได้เช่นกัน เช่นเดียวกับกลุ่มทฤษฎี K ที่สูงกว่า $${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

ทฤษฎีบทความเป็นคาบอันโด่งดังของราอูล บอตต์ยืนยันว่าทฤษฎี K ของปริภูมิใดๆXนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกกับทฤษฎี K ของS 2 ^X ซึ่งเป็นการแขวนสองชั้นของX

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเราพิจารณากลุ่มทฤษฎี K ที่ประกอบด้วยชีฟที่สอดคล้องกันบนสกีมXเช่นเดียวกับกลุ่มทฤษฎี K ของบันเดิลเวกเตอร์บนสกีมที่มีความสัมพันธ์สมมูล ข้างต้น โครงสร้างทั้งสองเป็นไอโซมอร์ฟิกกันโดยธรรมชาติ ตราบใดที่สกีมพื้นฐานเป็น สกี ม เรียบ

• กราสส์มันเนียน : การจำแนกประเภทของปริภูมิสำหรับกลุ่มเวกเตอร์ ซึ่งรวมถึงปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟสำหรับกลุ่มเส้นตรง
• คลาสลักษณะเฉพาะ
• หลักการแบ่งแยก
• ชุดที่เสถียร

• การเชื่อมต่อ : แนวคิดที่จำเป็นในการแยกแยะส่วนต่างๆ ของกลุ่มเวกเตอร์
• ทฤษฎีเกจ : การศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับการเชื่อมต่อบนกลุ่มเวกเตอร์และกลุ่มหลัก รวมถึงความสัมพันธ์กับฟิสิกส์

• บันเดิลเวกเตอร์พีชคณิต
• กลุ่มปิการ์ด
• บันเดิลเวกเตอร์โฮโลมอร์ฟิก

• "เวกเตอร์บันเดิล" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• เหตุใดการศึกษาเวกเตอร์บันเดิลจึงมีประโยชน์? (จากMathOverflow)
• เหตุใดการจำแนกกลุ่มเวกเตอร์ของปริภูมิจึงมีประโยชน์?