ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่ได้มาในทางแคนอนิกจากแผนที่อื่น^{[ 1 ]} ตัวอย่างเช่นแผนที่ต่อเนื่องจากปริภูมิโทโพโลยีXไปยังปริภูมิโทโพโลยีYเหนี่ยวนำโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากกลุ่มพื้นฐานของX ไป ยัง กลุ่มพื้นฐานของY

โดยทั่วไปแล้ว ในทฤษฎีหมวดหมู่ ฟังก์ชันใดๆตามคำนิยามจะให้มอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำในหมวดหมู่ เป้าหมาย สำหรับแต่ละมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ต้นทาง ตัวอย่างเช่นกลุ่มพื้นฐานกลุ่มโฮโมโทปีชั้นสูง โฮโมโล ยีเอกฐานและโคโฮโมโลยีเดอแรมเป็นโครงสร้างพีชคณิตที่เป็นฟังก์ชันซึ่งหมายความว่าคำนิยามของพวกมันให้ฟังก์ชันจาก (เช่น) หมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยัง (เช่น) หมวดหมู่ของกลุ่มหรือวงแหวนนี่หมายความว่าแต่ละปริภูมิจะเชื่อมโยงกับโครงสร้างพีชคณิต ในขณะที่แต่ละแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิจะเชื่อมโยงกับแผนที่รักษาโครงสร้างระหว่างโครงสร้าง ซึ่งเรียกว่าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำ โฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำจากแผนที่มักจะใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle h}$${\displaystyle h_{*}}$

โฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำมักจะสืบทอดคุณสมบัติของแผนที่ที่มันมาจาก ตัวอย่างเช่น แผนที่สองแผนที่ที่ผกผันกันโดย พิจารณาจาก โฮโมโทปีจะเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมที่ผกผันกัน การใช้โฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำที่พบได้ทั่วไปคือ การแสดงให้เห็นว่าโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีคุณสมบัติบางอย่างนั้นไม่สามารถมีอยู่ได้ ทำให้สรุปได้ว่าไม่มีแผนที่ต่อเนื่องที่มีคุณสมบัติที่จะเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมนั้นได้ ด้วยเหตุนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างปริภูมิและแผนที่ต่อเนื่อง ซึ่งมักจะซับซ้อนมาก สามารถอนุมานได้จากความสัมพันธ์ระหว่างโฮโมมอร์ฟิซึมที่พวกมันเหนี่ยวนำ ความสัมพันธ์หลังนี้อาจวิเคราะห์ได้ง่ายกว่า เนื่องจากเกี่ยวข้องกับโครงสร้างทางพีชคณิตซึ่งมักจะสามารถอธิบาย เปรียบเทียบ และคำนวณได้ง่าย

ให้และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีจุดอยู่ในและอยู่ใน ตามลำดับให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ แล้วเราสามารถกำหนดฟังก์ชันจากกลุ่มพื้นฐานไปยังกลุ่มพื้นฐานได้ดังนี้: สมาชิกใดๆ ของซึ่งแทนด้วยลูปในที่มีจุดอยู่ที่จะถูกแมปไปยังลูป ในที่ได้จากการประกอบ กับ: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h:X\to Y}$${\displaystyle h(x_{0})=y_{0}}$${\displaystyle h_{*}}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle \pi _{1}(ใช่,y_{0})}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \pi _{1}(ใช่,y_{0})}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

ในที่นี้หมายถึงชั้นสมมูลของภายใต้โฮโมโทปี ดังเช่นในนิยามของกลุ่มพื้นฐาน สามารถตรวจสอบได้ง่ายจากนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดีπ ₁ ( X , x ₀ ) → π ₁ ( Y , y ₀ ) : ลูปในชั้นสมมูลเดียวกัน กล่าวคือ ลูปโฮโมโทปีในXจะถูกแมปไปยังลูปโฮโมโทปีในYเพราะโฮโมโทปีสามารถประกอบกับhได้เช่นกัน นอกจากนี้ยังเป็นไปตามนิยามของ การดำเนินการ กลุ่มในกลุ่มพื้นฐาน (กล่าวคือโดยการต่อกันของลูป) ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม: ${\displaystyle [f]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h_{*}}$${\displaystyle h_{*}}$

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

(โดยที่+หมายถึงการต่อกันของลูป โดยที่+ แรก อยู่ในX และ +ที่สองอยู่ในY ) ^{[ 2 ]} โฮโมมอร์ฟิซึมที่ได้คือโฮโมมอร์ฟิซึมที่ เหนี่ยวนำมาจากh${\displaystyle h_{*}}$

อาจเขียนแทนด้วยπ ( h ) ก็ได้ ที่จริงแล้วπให้ฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของปริภูมิจุดไปยังหมวดหมู่ของกลุ่ม: มันเชื่อมโยงกลุ่มพื้นฐานπ₁ ( X , x₀ ₎ กับ ปริภูมิจุดแต่ละอัน( X , _x₀ ) และเชื่อมโยงโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยว_นำกับแผนที่ต่อเนื่องที่รักษาจุดฐานh : ( X , x₀ ) → ₍ Y , _y₀ )เพื่อพิสูจน์ว่ามันตรงตามนิยามของฟังก์ชัน เราต้องตรวจสอบเพิ่มเติมว่ามันเข้ากันได้กับการประกอบ: สำหรับแผนที่ต่อเนื่อง ที่รักษา_จุดฐานh : ( X , x₀ ) → ( Y , y₀ ₎และk : ( _Y , y₀ ) → ( Z , z₀ ₎เรามี: ${\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h)}$

สิ่งนี้หมายความว่า หากhไม่เพียงแต่เป็นแผนที่ต่อเนื่องเท่านั้น แต่ยังเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างXและYด้วยแล้ว โฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มพื้นฐาน (เนื่องจากโฮโมมอร์ฟิซึมที่เหนี่ยวนำโดยอินเวอร์สของhคืออินเวอร์สของตามสมการข้างต้น) (ดูส่วน III.5.4 หน้า 201 ใน H. Schubert) ^{[ 3 ]}${\displaystyle \pi (h)}$${\displaystyle \pi (h)}$

1. ทอรัสไม่สมมูลกับR² เพราะกลุ่มพื้นฐานของทั้ง ^สองไม่สมมาตรกัน (เนื่องจากกลุ่มพื้นฐานของทั้งสองมีจำนวนสมาชิก ไม่เท่ากัน ) โดยทั่วไปแล้วปริภูมิที่เชื่อมต่ออย่างง่ายไม่สามารถสมมูลกับปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่ออย่างง่ายได้ เพราะปริภูมิหนึ่งมี กลุ่มพื้นฐาน ที่ไม่สำคัญส่วนอีกปริภูมิหนึ่งไม่มี

2. กลุ่มพื้นฐานของวงกลมสมสัณฐานกับกลุ่มของจำนวนเต็ม ดังนั้น การทำให้เป็นปริภูมิกระชับจุดเดียวของRจึงมีกลุ่มพื้นฐานที่สมสัณฐานกับกลุ่มของจำนวนเต็ม (เนื่องจากการทำให้เป็นปริภูมิกระชับจุดเดียวของRสมสัณฐานกับวงกลม) นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าการทำให้เป็นปริภูมิกระชับจุดเดียวของปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายเสมอไป

3. บทกลับของทฤษฎีบทไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่นR ²และR ³มีกลุ่มพื้นฐานที่สมมาตรกัน แต่ก็ยังไม่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกัน กลุ่มพื้นฐานของทั้งสองสมมาตรกันเพราะแต่ละปริภูมิเป็นปริภูมิเชื่อมต่อเชิงเดี่ยว อย่างไรก็ตาม ปริภูมิทั้งสองไม่สามารถเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกันได้ เพราะการลบจุดออกจากR ²จะทำให้เหลือปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อเชิงเดี่ยว แต่การลบจุดออกจากR ³จะทำให้เหลือปริภูมิที่เชื่อมต่อเชิงเดี่ยว (ถ้าเราลบเส้นตรงที่อยู่ในR ³ปริภูมิจะไม่เชื่อมต่อเชิงเดี่ยวอีกต่อไป อันที่จริงแล้ว สิ่งนี้สามารถขยายไปถึงR ⁿ ได้ เช่นกัน โดยการลบปริภูมิย่อยมิติ ( n − 2) ออก จากR ⁿจะทำให้เหลือปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อเชิงเดี่ยว)

4. ถ้าAเป็นการหดตัวของการเปลี่ยนรูปที่แข็งแกร่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXแล้วแผนที่การรวมจากAไปยังXจะเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มพื้นฐาน (ดังนั้นกลุ่มพื้นฐานของXสามารถอธิบายได้โดยใช้เพียงลูปในปริภูมิย่อยA เท่านั้น )

ในทำนองเดียวกัน มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำของกลุ่มโฮโมโทปีและกลุ่มโฮโมโลจี ระดับสูง ทฤษฎีโฮโมโลจีใดๆ ก็ตามมาพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำ ตัวอย่างเช่นโฮโมโลจีเชิงซิมพลิเชียล โฮโมโลจีเอกพจน์และโฮโมโลจีบอเรล-มัวร์ล้วนมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำ (IV.1.3, หน้า 240–241) ^{[ 3 ]} ในทำนองเดียวกัน โคโฮโม โลจี ใดๆ ก็ตามมาพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำ แม้ว่าจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม (จากกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับYไปยังกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับX ) ตัวอย่างเช่นโคโฮโมโลจีของเช็กโคโฮโมโลจีของเดอแรมและโคโฮโมโลจีเอกพจน์ล้วนมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำ (IV.4.2–3, หน้า 298–299) ^{[ 3 ]} การสรุปทั่วไปเช่นโคบอร์ดิซึมก็มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบเหนี่ยวนำเช่นกัน

กำหนดให้มีหมวดหมู่ ของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (อาจมีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง) เช่น หมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั้งหมดTopหรือหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบมีจุดฐาน (นั่นคือ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีจุดฐานที่โดดเด่น) และฟังก์ชันจากหมวดหมู่นั้นไปยังหมวดหมู่ของโครงสร้างพีชคณิต เช่น หมวดหมู่ของกลุ่มGrpหรือกลุ่มอาเบเลียนAbซึ่งเชื่อมโยงโครงสร้างพีชคณิตดังกล่าวกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิ จากนั้นสำหรับทุกมอร์ฟิซึมของ(ซึ่งโดยปกติจะเป็นแผนที่ต่อเนื่อง อาจรักษาโครงสร้างอื่น ๆ เช่น จุดฐาน) ฟังก์ชันนี้จะเหนี่ยวนำมอร์ฟิซึมเหนี่ยวนำใน(ซึ่งตัวอย่างเช่น เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ถ้าเป็นหมวดหมู่ของกลุ่ม) ระหว่างโครงสร้างพีชคณิตและที่เชื่อมโยงกับและตามลำดับ ${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle F(X)}$${\displaystyle F(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าไม่ใช่ฟังก์ชัน (โคแวเรียนต์) แต่เป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์แล้ว ตามคำนิยามมันจะเหนี่ยวนำมอร์ฟิซึมในทิศทางตรงกันข้าม: กลุ่มโคฮอโมโลยีเป็นตัวอย่างหนึ่ง ${\displaystyle F}$${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$