ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันf (เรียกอีกอย่างว่าตัวผกผันของf ) คือฟังก์ชันที่ยกเลิกการกระทำของfตัวผกผันของfจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อfเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective ) และถ้ามีอยู่ จะใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย${\displaystyle f^{-1}.}$

สำหรับฟังก์ชันหนึ่งฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันนั้นสามารถ อธิบายได้อย่างชัดเจน กล่าวคือ มันจะส่งแต่ละองค์ประกอบไปยังองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกัน เพียงองค์ประกอบเดียว ที่ทำให้f ( x ) = y${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณา ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริงที่กำหนดโดยf ( x ) = 5x - 7เราอาจคิดว่าfเป็นฟังก์ชันที่คูณค่าอินพุตด้วย 5 แล้วลบด้วย 7 จากผลลัพธ์ ในการทำให้กลับกัน เราจะบวก 7 เข้ากับผลลัพธ์ แล้วหารผลลัพธ์ด้วย 5 ดังนั้น ฟังก์ชันผกผันของfคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

ให้fเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตXและโคโดเมนเป็นเซตYแล้วfสามารถผกผันได้ถ้ามีฟังก์ชันgจากYไปยังXเช่นนั้นสำหรับทุกและสำหรับทุก^{[ 1 ]}${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y\in Y}$

ถ้าfเป็นฟังก์ชันผกผันได้ ก็จะมีฟังก์ชันg เพียงฟังก์ชันเดียว ที่สอดคล้องกับคุณสมบัตินี้ ฟังก์ชันgเรียกว่าฟังก์ชันผกผันของfและมักจะใช้สัญลักษณ์f ⁻¹ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่John Frederick William Herschel นำมาใช้ ในปี 1813 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ nb 1 ]}

ฟังก์ชันfสามารถผกผันได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เนื่องจากเงื่อนไขที่ ว่า fเป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) สำหรับทุก ค่า หมายความว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (injective ) และเงื่อนไข ที่ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง (surjective) สำหรับทุก ค่า หมายความว่าfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective ) ${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y\in Y}$

ฟังก์ชันผกผันf ⁻¹ถึงfสามารถอธิบายได้อย่างชัดเจนด้วยฟังก์ชัน

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{สมาชิกเพียงหนึ่งเดียว }}x\in X{\text{ที่ทำให้ }}f(x)=y).}$

โปรดจำไว้ว่า ถ้าfเป็นฟังก์ชันผกผันได้ที่มีโดเมนXและโคโดเมนYแล้ว

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$สำหรับทุกคนและสำหรับทุกคน${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$${\displaystyle y\in Y}$

โดยใช้การประกอบฟังก์ชันข้อความนี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็นสมการระหว่างฟังก์ชันดังต่อไปนี้:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$และ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

โดยที่id _Xคือฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเซตXกล่าวคือ ฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ ในทฤษฎีหมวดหมู่ข้อความนี้ใช้เป็นนิยามของมอร์ฟิซึม ผกผัน

การพิจารณาการประกอบฟังก์ชันช่วยให้เข้าใจสัญลักษณ์f ⁻¹ ได้ดีขึ้น การประกอบฟังก์ชันf : X → Xกับตัวมันเองซ้ำๆ เรียกว่าการวนซ้ำถ้าใช้f nครั้ง โดยเริ่มจากค่าxแล้ว จะเขียนได้เป็นf ⁿ ( x )ดังนั้นf ² ( x ) = f ( f ( x ))เป็นต้น เนื่องจากf ⁻¹ ( f ( x )) = xการประกอบf ⁻¹และf ⁿจะได้f ^{n −1}ซึ่ง "ลบล้าง" ผลของการใช้f ครั้ง หนึ่ง

แม้ว่าสัญลักษณ์f ⁻¹ ( x )อาจถูกเข้าใจผิด^{[ 1 ]} ( f ( x )) ⁻¹ย่อมหมายถึงตัวผกผันการคูณของf ( x )และไม่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันผกผันของf ^{[ 6} ] สัญลักษณ์นี้อาจใช้สำหรับฟังก์ชันผกผันเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมกับ^ตัวผกผันการคูณ^{[ 7 ]}${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$

เพื่อให้สอดคล้องกับสัญลักษณ์ทั่วไป ผู้เขียนภาษาอังกฤษบางคนใช้สำนวนเช่นsin ⁻¹ ( x )เพื่อแสดงถึงฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไซน์ที่ใช้กับx (ที่จริงแล้วเป็นฟังก์ชันผกผันบางส่วนดูด้านล่าง) ^{[ 8 ] [ 6 ]}ผู้เขียนคนอื่นๆ รู้สึกว่าสิ่งนี้อาจทำให้สับสนกับสัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันผกผันการคูณของsin ( x )ซึ่งสามารถแสดงได้เป็น( sin ( x )) ^{−1 [ 6 ]}เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันมักจะแสดงด้วยคำนำหน้า " arc " (มาจากภาษาละตินarcus ) ^{[ 9 ] [ 10 ]}ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไซน์มักเรียกว่า ฟังก์ชัน arcsineเขียนเป็นarcsin ( x ) [ ^{9 ] [ 10 ] ใน}ทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกจะแสดงด้วยคำนำหน้า " ar " (มาจากภาษาละตินārea ) ^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชัน ไซน์ไฮเปอร์โบลิกมักจะเขียนเป็นarsinh ( x ) [ ^{10 ] นิพจน์}เช่นsin ⁻¹ ( x )ยังคงมีประโยชน์ในการแยกแยะ ฟังก์ชัน ผกผันแบบหลายค่าออกจากฟังก์ชันผกผันแบบบางส่วน: ฟังก์ชันผกผันพิเศษอื่นๆ บางครั้งจะมีคำนำหน้า "inv" หากต้องการหลีกเลี่ยงความกำกวมของสัญกรณ์f ^{−1 [ 11 ] [ 10 ]}${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$

ฟังก์ชันf : R → [0,∞)ที่กำหนดโดยf ( x ) = x ²ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากสำหรับทุกดังนั้นf จึง ไม่สามารถผกผันได้ ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

ถ้าโดเมนของฟังก์ชันถูกจำกัดไว้ที่จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ เราใช้ฟังก์ชัน ด้วย กฎเดียวกันกับก่อนหน้านี้ ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงและผกผันได้^{[ 12 ]}ฟังก์ชันผกผันในที่นี้เรียกว่าฟังก์ชันรากที่สอง (บวก)และใช้สัญลักษณ์. ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$

ตารางต่อไปนี้แสดงฟังก์ชันมาตรฐานหลายฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเหล่านั้น:

ฟังก์ชันเลขคณิตผกผัน

ฟังก์ชันf ( x )	อินเวอร์สf −1 ( y )	หมายเหตุ
x + a	y − a
a − x	a − y
เอ็มเอ็กซ์	⁠y/ม⁠	m ≠ 0
⁠1/x(เช่นx −1 )	⁠1/y(เช่นy −1 )	x , y ≠ 0
x p	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$(เช่นy 1/ p )	จำนวนเต็มp > 0 ; x , y ≥ 0ถ้าpเป็นจำนวนคู่
เอx	เข้าสู่ระบบ	y > 0และ a > 0และ a ≠ 1
x e x	W ( y )	x ≥ −1และ y ≥ −1/ e
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ	ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน	ข้อจำกัดต่างๆ (ดูตารางด้านล่าง)
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก	ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกผกผัน	ข้อจำกัดต่างๆ
ฟังก์ชันโลจิสติกส์	โลจิต

ฟังก์ชันจำนวนมากที่กำหนดโดยสูตรพีชคณิตมีสูตรสำหรับฟังก์ชันผกผัน เนื่องจากฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันที่ผกผันได้นั้นมีคำอธิบายที่ชัดเจนดังนี้ ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{สมาชิกเพียงหนึ่งเดียว }}x\in \mathbb {R} {\text{ ที่ทำให้ }}f(x)=y)}$.

วิธีนี้ช่วยให้สามารถหาฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรพีชคณิตได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น ถ้าfคือฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

จากนั้นเพื่อหาค่าของจำนวนจริงyเราต้องหาจำนวนจริงx เพียงจำนวนเดียว ที่ทำให้( 2x + 8) ^³ = yสมการนี้สามารถแก้ได้ดังนี้: ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

ดังนั้นฟังก์ชันผกผันf ⁻¹จึงกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

บางครั้ง ฟังก์ชันผกผันไม่สามารถแสดงได้ด้วยสูตรสำเร็จรูปตัวอย่างเช่น ถ้าfคือฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

ดังนั้นfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) และด้วยเหตุนี้จึงมีฟังก์ชันผกผันf ⁻¹สูตรสำหรับฟังก์ชันผกผันนี้สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมอนันต์:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right)}$

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค ชนิดพิเศษ คุณสมบัติหลายอย่างของฟังก์ชันผกผันจึงสอดคล้องกับคุณสมบัติของความ สัมพันธ์ผกผัน

ถ้าฟังก์ชันผกผันมีอยู่สำหรับฟังก์ชันf ที่กำหนด ให้ ฟังก์ชันผกผัน นั้นจะมีเพียงหนึ่งเดียว^{[ 13 ]}ซึ่งเป็นผลมาจากฟังก์ชันผกผันจะต้องเป็นความสัมพันธ์แบบผกผัน ซึ่งถูกกำหนดโดยf อย่างสมบูรณ์

มีความสมมาตรระหว่างฟังก์ชันและฟังก์ชันผกผัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่ผกผันได้ซึ่งมีโดเมนXและโคโดเมนYแล้วฟังก์ชันผกผันf ⁻¹จะมีโดเมนYและภาพXและฟังก์ชันผกผันของf ^{−1 ก็}คือฟังก์ชันดั้งเดิมfในเชิงสัญลักษณ์ สำหรับฟังก์ชันf : X → Y และf ⁻¹ : Y → X [ ^{13 ]}

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$และ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

ข้อความนี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากการบ่งชี้ว่าเพื่อให้fสามารถผกผันได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงลักษณะการผกผันสามารถแสดงได้อย่างกระชับโดย^{[ 14 ]}

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

ฟังก์ชันผกผันของการประกอบฟังก์ชันจะได้รับจาก^{[ 15 ]}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

โปรดสังเกตว่าลำดับของgและfได้ถูกสลับกัน หากต้องการยกเลิกfที่ตามด้วยgเราต้องยกเลิกg ก่อน แล้วจึงยกเลิก f

ตัวอย่างเช่น ให้f ( x ) = 3x และ g ( x ) = x + 5แล้วฟังก์ชันประกอบg ∘ fคือฟังก์ชันที่คูณด้วยสามก่อนแล้วจึงบวกด้วยห้า

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

ในการย้อนกลับกระบวนการนี้ เราต้องลบด้วยห้าก่อน แล้วจึงหารด้วยสาม

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

นี่คือองค์ประกอบ ( f ⁻¹ ∘ g ⁻¹ )( x ) .

ถ้าXเป็นเซตฟังก์ชันเอกลักษณ์บนX ก็ คือฟังก์ชันผกผันของตัวมันเอง:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันf  : X → Xจะเท่ากับฟังก์ชันผกผันของตัวเอง ก็ต่อเมื่อการประกอบฟังก์ชันf ∘ fเท่ากับid _Xฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน (involution )

ถ้า fเป็นฟังก์ชันผกผันได้ กราฟของฟังก์ชันจะเป็นดังนี้

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

เหมือนกับกราฟของสมการ

${\displaystyle x=f(y).}$

สมการนี้เหมือนกับสมการy = f ( x )ที่กำหนดกราฟของfทุกประการ ยกเว้นว่าบทบาทของxและyได้ถูกสลับกัน ดังนั้นกราฟของf ⁻¹สามารถหาได้จากกราฟของfโดยการสลับตำแหน่งของ แกน xและyซึ่งเทียบเท่ากับ^การสะท้อนกราฟข้ามเส้น y = x ^{[ 16} ] ^{[ 1 ]}

ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรเดียว(โดยที่) จะหาฟังก์ชันผกผันได้บนช่วง (ภาพ) ของมันก็ต่อเมื่อมันเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดหรือลดลง อย่างเคร่งครัด (โดยไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด เฉพาะที่ ) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

สามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ เนื่องจากอนุพันธ์f′ ( x ) = 3 x ² + 1มีค่าเป็นบวกเสมอ

ถ้าฟังก์ชันfสามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วงIและf′ ( x ) ≠ 0สำหรับแต่ละx ∈ Iแล้วฟังก์ชันผกผันf ⁻¹ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้บนf ( I ) [ ^{17 ]} ถ้าy = f ( x )อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันจะได้รับจากทฤษฎีบทฟังก์ชัน ^{ผกผัน}

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

เมื่อใช้สัญลักษณ์ของไลบ์นิซสูตรข้างต้นสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการใช้กฎลูกโซ่ (ดูบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผันและการหาอนุพันธ์ )

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันหลายตัวแปรf : R ⁿ → R ⁿ ที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง จะหาฟังก์ชันผกผันได้ในบริเวณใกล้เคียงจุดpตราบใดที่เมทริกซ์จาโคเบียนของfที่จุดpสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ในกรณีนี้ เมทริกซ์จาโคเบียนของf ⁻¹ที่f ( p )คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จาโคเบียนของfที่จุด p

• ให้fเป็นฟังก์ชันที่แปลงอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียสเป็นอุณหภูมิในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์ จาก นั้นฟังก์ชันผกผันของ f จะแปลงองศาฟาเรนไฮต์เป็นองศาเซลเซียส^{[ 18 ]}เนื่องจาก$${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$$$${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$$
• สมมติว่า ฟังก์ชัน fกำหนดปีเกิดให้กับเด็กแต่ละคนในครอบครัว ฟังก์ชันผกผันจะแสดงผลว่าเด็กคนไหนเกิดในปีใด อย่างไรก็ตาม หากครอบครัวนั้นมีเด็กที่เกิดในปีเดียวกัน (เช่น ฝาแฝดหรือแฝดสาม เป็นต้น) ผลลัพธ์จะไม่สามารถทราบได้เมื่อป้อนปีเกิดที่เหมือนกัน นอกจากนี้ หากระบุปีที่ไม่มีเด็กเกิดในปีนั้น ก็จะไม่สามารถระบุชื่อเด็กได้ แต่ถ้าเด็กแต่ละคนเกิดในปีที่แยกจากกัน และถ้าเราจำกัดความสนใจเฉพาะสามปีที่เด็กเกิด เราก็จะมีฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น$${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$$
• ให้Rเป็นฟังก์ชันที่ทำให้ ปริมาณบางอย่างเพิ่มขึ้น xเปอร์เซ็นต์ และFเป็นฟังก์ชันที่ทำให้ ปริมาณบาง อย่างลดลงx เปอร์เซ็นต์ เมื่อนำไปใช้กับเงิน 100 ดอลลาร์ โดยที่ x = 10% เราพบว่าการใช้ฟังก์ชันแรกตามด้วยฟังก์ชันที่สองไม่ได้ทำให้มูลค่าของเงิน 100 ดอลลาร์กลับคืนสู่ค่าเดิม ซึ่งแสดงให้เห็นว่า แม้จะดูเหมือนว่าฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันผกผันกัน แต่แท้จริงแล้วไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันกัน
• สูตรในการคำนวณค่า pH ของสารละลายคือpH = −log ₁₀ [H ⁺ ]ในหลายกรณี เราจำเป็นต้องหาความเข้มข้นของกรดจากค่า pH ที่วัดได้ จึงใช้ ฟังก์ชันผกผัน [H ⁺ ] = 10 ^−pH

แม้ว่าฟังก์ชันfจะไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ก็อาจเป็นไปได้ที่จะกำหนดฟังก์ชันผกผันบางส่วนของfโดยการจำกัดโดเมน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก^x² = (−x ) ² ^{อย่างไรก็ตาม}ฟังก์ชันจะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหากเราจำกัดโดเมนไว้ที่x ≥ 0ซึ่งในกรณีนี้

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(ถ้าเราจำกัดขอบเขตให้x ≤ 0แทน ค่าผกผันจะเป็นค่าลบของรากที่สองของy )

อีกทางเลือกหนึ่งคือ ไม่จำเป็นต้องจำกัดโดเมน หากเราพอใจที่ฟังก์ชันผกผันเป็นฟังก์ชันหลายค่า :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

บางครั้ง ตัวผกผันหลายค่านี้เรียกว่าตัวผกผันเต็มของfและส่วนต่างๆ (เช่น√xและ −√x ) เรียกว่าสาขา สาขาที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชันหลาย ค่า (เช่น รากที่สองที่เป็นบวก) เรียกว่าสาขาหลักและค่าของมันที่yเรียกว่าค่าหลักของf ⁻¹ ( y )

สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นจำนวนจริง จะต้องมีสาขาหนึ่งสาขาระหว่างจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเฉพาะที่ แต่ละคู่ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันกำลังสามที่มีจุดสูงสุดเฉพาะที่และจุดต่ำสุดเฉพาะที่ จะมีสามสาขา (ดูภาพประกอบ)

ข้อพิจารณาข้างต้นมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการกำหนดฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกตัวอย่างเช่นฟังก์ชันไซน์ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

สำหรับจำนวนจริงx ทุกตัว (และโดยทั่วไปsin( x + 2 π n ) = sin( x )สำหรับจำนวนเต็มn ทุกตัว ) อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไซน์เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในช่วง [− ⁠π/2, ⁠​ π/2]และฟังก์ชันผกผันย่อยที่สอดคล้องกันเรียกว่าอาร์คไซน์ซึ่งถือเป็นสาขาหลักของฟังก์ชันไซน์ผกผัน ดังนั้นค่าหลักของฟังก์ชันไซน์ผกผันจึงอยู่ระหว่าง − ⁠ เสมอπ/2และ​​π/2ตารางต่อไปนี้อธิบายสาขาหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันแต่ละฟังก์ชัน^{: [} 19 ^]

การประกอบฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาไม่จำเป็นต้องตรงกัน โดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขต่างๆ

1. "มีอยู่gที่ทำให้g ( f ( x ))= x " และ
2. "มีค่าg อยู่จริง ที่ทำให้f ( g ( x ))= x "

บ่งบอกถึงคุณสมบัติที่แตกต่างกันของfตัวอย่างเช่น ให้^f : R → [ 0, ∞)แทนแผนที่กำลังสอง โดยที่f ( x ) = x²สำหรับทุกxในRและให้ g : [0, ∞) → Rแทนแผนที่รากที่สอง โดยที่g ( x ) = √xสำหรับทุกx ≥ 0แล้วf ( g ( x ) ) = xสำหรับทุกxใน[0, ∞)นั่นคือgเป็นตัวผกผันทางขวาของfอย่างไรก็ตามgไม่ใช่ตัวผกผันทางซ้ายของfเนื่องจาก เช่นg ( f (−1)) = 1 ≠ −1

ถ้าf : X → Yฟังก์ชันผกผันซ้ายสำหรับf (หรือการดึงกลับของf ) คือฟังก์ชันg : Y → Xซึ่งการประกอบfกับgจากทางซ้ายจะให้ฟังก์ชันเอกลักษณ์^{[ 20 ]} นั่นคือ ฟังก์ชันgเป็นไปตามกฎ $${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{.}}}$$

ถ้าf ( x ) = yแล้วg ( y ) = x

ฟังก์ชันgต้องเท่ากับฟังก์ชันผกผันของfบนภาพของfแต่สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้สำหรับองค์ประกอบของYที่ไม่ได้อยู่ในภาพ

ฟังก์ชันfที่มีโดเมนไม่ว่างเปล่าจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อมีอินเวอร์สซ้าย^{[ 21 ]} การพิสูจน์เบื้องต้นมีดังต่อไปนี้:

• ถ้าgเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของf และ f ( x ) = f ( y )แล้วg ( f ( x )) = g ( f ( y )) = x = y

• ถ้าฟังก์ชัน f : X → Y ที่ไม่ว่าง เปล่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ให้สร้างฟังก์ชันผกผันซ้ายg : Y → Xดังนี้: สำหรับทุกy ∈ Yถ้าyอยู่ในภาพของfแล้วจะมีx ∈ Xที่ทำให้f ( x ) = yให้g ( y ) = xนิยามนี้มีเพียงหนึ่งเดียวเพราะfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง มิฉะนั้น ให้g ( y )เป็นสมาชิกใดๆของX

  สำหรับทุกx ∈ X , f ( x )อยู่ในภาพของfโดยการสร้างg ( f ( x )) = xซึ่งเป็นเงื่อนไขสำหรับอินเวอร์สซ้าย

ในคณิตศาสตร์คลาสสิก ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทุกฟังก์ชันfที่มีโดเมนไม่ว่างเปล่าจะต้องมีอินเวอร์สซ้าย อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้อาจล้มเหลวในคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ตัวอย่างเช่น อินเวอร์สซ้ายของการรวม{0,1} → Rของเซตสององค์ประกอบในจำนวนจริงจะละเมิดคุณสมบัติการแยกส่วนไม่ได้โดยการให้การหดตัวของเส้นจำนวนจริงไปยังเซต{0,1 } ^{[ 22 ]}

ฟังก์ชันผกผันทางขวาของf (หรือส่วนของf ) คือฟังก์ชันh : Y → Xที่มีคุณสมบัติว่า

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

นั่นคือ ฟังก์ชันhสอดคล้องกับกฎดังกล่าว

ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

ดังนั้นh ( y )อาจเป็นองค์ประกอบใดๆ ของXที่แมปไปยังy ภายใต้f

ฟังก์ชันfจะมีฟังก์ชันผกผันทางขวาได้ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (ความสมมูลนี้จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริง)

ถ้าhเป็นฟังก์ชันผกผันทางขวาของfแล้วfจะเป็นฟังก์ชันทั่วถึง สำหรับทุกค่าจะมีค่าเช่นนั้น${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

ถ้าfเป็นฟังก์ชันทั่วถึงfจะมีฟังก์ชันผกผันทางขวาhซึ่งสามารถสร้างได้ดังนี้: สำหรับทุกy จะมีอย่างน้อยหนึ่ง y ^เช่นนั้น(เนื่องจากfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง) ดังนั้นเราจึงเลือกหนึ่ง y ให้เป็นค่าของh ( y ) [ ^{23 ]}${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=y}$

ฟังก์ชันผกผันที่เป็นทั้งฟังก์ชันผกผันซ้ายและฟังก์ชันผกผันขวา ( ฟังก์ชันผกผันสองด้าน ) หากมีอยู่ จะต้องมีเพียงหนึ่งเดียว ที่จริงแล้ว ถ้าฟังก์ชันมีฟังก์ชันผกผันซ้ายและฟังก์ชันผกผันขวา ฟังก์ชันผกผันซ้ายและฟังก์ชันผกผันขวานั้นจะเป็นฟังก์ชันผกผันสองด้านเดียวกัน ดังนั้นจึงสามารถเรียกว่าฟังก์ชันผกผันได้

ถ้าเป็นตัวผกผันซ้ายและเป็นตัวผกผันขวาของสำหรับทุก, .${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันสองด้านก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective)

ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง (bijective function) ดังนั้นจึงมีตัวผกผันซ้าย (ถ้าfเป็นฟังก์ชันว่างตัวผกผันซ้ายก็คือตัวมันเอง) fเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective function) ดังนั้นจึงมีตัวผกผันขวา จากที่กล่าวมาข้างต้น ตัวผกผันซ้ายและตัวผกผันขวาจึงเป็นตัวเดียวกัน${\displaystyle f\colon \varnothing \to \varnothing }$

ถ้าfมีตัวผกผันสองด้านgแล้วgจะเป็นตัวผกผันซ้ายและตัวผกผันขวาของfดังนั้นfจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง

ถ้าf : X → Yเป็นฟังก์ชันใดๆ (ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันผกผัน) ภาพผกผัน (หรือภาพต้นฉบับ ) ของสมาชิกy ∈ Yจะถูกกำหนดให้เป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดในXที่แมปไปยังy :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

ภาพต้นฉบับของyสามารถคิดได้ว่าเป็นภาพของy ภายใต้ฟังก์ชันผกผันเต็มรูปแบบ (แบบหลายค่า ) ของฟังก์ชันf

แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่เซตย่อยของช่วงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าSเป็นเซตย่อย ใดๆ ของYภาพผกผันของSซึ่งเขียนแทนด้วยคือเซตของสมาชิกทั้งหมดของXที่แมปไปยังS : ${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาฟังก์ชันf : R → R ; x ↦ x ²ฟังก์ชันนี้ไม่สามารถหาฟังก์ชันผกผันได้ เนื่องจากไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่สามารถกำหนดภาพผกผันได้สำหรับเซตย่อยของโคโดเมน เช่น

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$.

แนวคิดดั้งเดิมและการขยายความทั่วไปมีความสัมพันธ์กันโดยเอกลักษณ์ภาพผกผันของสมาชิกเดี่ยวy ∈ Y – เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว{ y } – บางครั้งเรียกว่าไฟเบอร์ของyเมื่อYเป็นเซตของจำนวนจริง มักจะเรียกf ⁻¹ ({ y })ว่าเซต ระดับ${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$

• ทฤษฎีบทการผกผันของลากรางจ์ให้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันวิเคราะห์
• อินทิกรัลของฟังก์ชันผกผัน
• การแปลงฟูริเยร์ผกผัน
• การคำนวณแบบย้อนกลับได้

• บริกส์, วิลเลียม; คอแครน, ไลล์ (2011). แคลคูลัส / ทฤษฎีบทเหนือธรรมชาติเบื้องต้น ตัวแปรเดียว . แอดดิสัน-เวสลีย์ . ISBN 978-0-321-66414-3.
• เดฟลิน, คีธ เจ. (2004). เซต ฟังก์ชัน และตรรกศาสตร์ / บทนำสู่คณิตศาสตร์นามธรรม (ฉบับที่ 3). แชปแมน แอนด์ ฮอลล์ / ซีอาร์ซี แมธแมติกส์ . ISBN 978-1-58488-449-1.
• เฟลตเชอร์, ปีเตอร์; แพตตี้, ซี. เวย์น (1988). พื้นฐานของคณิตศาสตร์ขั้นสูง . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• เลย์, สตีเวน อาร์. (2006). การวิเคราะห์ / พร้อมบทนำสู่การพิสูจน์ (ฉบับที่ 4). เพียร์สัน / เพรนทิส ฮอลล์ . ISBN 978-0-13-148101-5.
• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). การเปลี่ยนผ่านสู่คณิตศาสตร์ขั้นสูง (ฉบับที่ 6). Thompson Brooks/Cole . ISBN 978-0-534-39900-9.
• Thomas Jr., George Brinton (1972). แคลคูลัสและเรขาคณิตวิเคราะห์ ตอนที่ 1: ฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและเรขาคณิตวิเคราะห์ (ฉบับทางเลือก). Addison-Wesley .
• วูล์ฟ, โรเบิร์ต เอส. (1998). การพิสูจน์ ตรรกะ และการคาดเดา / กล่องเครื่องมือของนักคณิตศาสตร์ . ดับเบิลยู.เอช. ฟรีแมน แอนด์ โค. ISBN 978-0-7167-3050-7.

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "ฟังก์ชันโดยปริยาย; จาโคเบียน; ฟังก์ชันผกผัน" แคลคูลัสขั้นสูงและการประยุกต์ใช้กับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์กายภาพนิวยอร์ก: ไวลีย์ หน้า  103–120 ISBN 0-471-04934-4.
• Binmore, Ken G. (1983). "ฟังก์ชันผกผัน". แคลคูลัส . นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . หน้า  161–197 . ISBN 0-521-28952-1.
• สปิวัก, ไมเคิล (1994). แคลคูลัส (ฉบับที่ 3). ตีพิมพ์หรือไม่ก็ล้มเหลว. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). แคลคูลัส (ฉบับที่ 5). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

• "ฟังก์ชันผกผัน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]