ฟังก์ชันโลจิสติกหรือเส้นโค้งโลจิสติกเป็นเส้นโค้งรูปตัว S ทั่วไป ( เส้นโค้งซิกมอยด์ ) ที่มีสมการดังนี้

$${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle L}$คือความจุสูงสุดซึ่งเป็น ค่า สูงสุดของฟังก์ชัน
• ${\displaystyle k}$คืออัตราการเติบโตเชิงลอจิสติกส์ ความชันของเส้นโค้ง และ
• ${\displaystyle x_{0}}$คือค่าของจุดกึ่งกลางของฟังก์ชัน^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันโลจิสติกมีโดเมนเป็นจำนวน จริง ลิมิต เมื่อ เข้าใกล้คือ 0 และลิมิตเมื่อคือ${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle L}$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นลบ( )${\displaystyle e^{-x}}$ใช้เพื่อกำหนด ฟังก์ชันโลจิสติ กมาตรฐานโดยที่ซึ่งมีสมการ และบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันซิกมอยด์เฉยๆ^{[ 2 ]}บางครั้งก็เรียกว่าexpitซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันของlogit ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$$

ฟังก์ชันโลจิสติกส์มีการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา รวมถึงชีววิทยา (โดยเฉพาะนิเวศวิทยา ) ชีวคณิตศาสตร์เคมีประชากรศาสตร์เศรษฐศาสตร์ธรณีวิทยาจิตวิทยาเชิงคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นสังคมวิทยารัฐศาสตร์ภาษาศาสตร์สถิติและโครงข่ายประสาทเทียมมีการสรุปโดยทั่วไปที่ หลากหลาย ขึ้นอยู่กับสาขานั้น ๆ

ฟังก์ชันโลจิสติกได้รับการแนะนำในเอกสารสามฉบับโดยPierre François Verhulstระหว่างปี 1838 ถึง 1847 ซึ่งเขาได้คิดค้นฟังก์ชันนี้ขึ้นมาเป็นแบบจำลองการเติบโตของประชากรโดยการปรับ แบบจำลอง การเติบโตแบบเลขชี้กำลังภายใต้คำแนะนำของAdolphe Quetelet [ ^{5 ] Verhulst}ได้คิดค้นฟังก์ชันนี้ขึ้นมาครั้งแรกในช่วงกลางทศวรรษ 1830 โดยตีพิมพ์บันทึกย่อในปี 1838 ^{[ 1 ]}จากนั้นได้นำเสนอการวิเคราะห์ที่ขยายความและตั้งชื่อฟังก์ชันนี้ในปี 1844 (ตีพิมพ์ในปี 1845) ^{[ a ] ​​[ 6 ]}เอกสารฉบับที่สามได้ปรับพจน์การแก้ไขในแบบจำลองการเติบโตของประชากรเบลเยียมของเขา^{[ 7 ]}

ในระยะเริ่มต้น การเติบโตจะเป็นแบบเลขชี้กำลัง (เรขาคณิต) โดยประมาณ จากนั้น เมื่อเริ่มอิ่มตัว การเติบโตจะชะลอตัวลงเป็นแบบเชิงเส้น (เลขคณิต) และเมื่อถึงวัยเจริญเติบโตเต็มที่ การเติบโตจะเข้าใกล้ขีดจำกัดด้วยช่องว่างที่ลดลงแบบเลขชี้กำลัง เหมือนกับระยะเริ่มต้นในทางกลับกัน

Verhulst ไม่ได้อธิบายการเลือกใช้คำว่า "logistic" (ภาษาฝรั่งเศส: logistique ) แต่คาดว่าน่าจะตรงข้ามกับเส้นโค้งลอการิทึม^{[ 8 ] [ b ]}และโดยการเปรียบเทียบกับเลขคณิตและเรขาคณิต แบบจำลองการเติบโตของเขามีการอภิปรายเกี่ยวกับการเติบโตทางเลขคณิตและการเติบโตทางเรขาคณิต (ซึ่งเขาเรียกว่าเส้นโค้งลอการิทึม แทนที่จะใช้คำว่า เส้นโค้งเลขชี้กำลังในปัจจุบัน) ดังนั้น "การเติบโตแบบ logistic" จึงน่าจะตั้งชื่อตามการเปรียบเทียบ โดยlogisticมาจากภาษากรีกโบราณ : λογιστικός ถอดเสียงเป็นอักษรโรมัน : logistikósซึ่ง เป็นการแบ่งแบบดั้งเดิมของคณิตศาสตร์กรีก^{[ c ]}

เนื่องจากคำนี้มาจากคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ของกรีกโบราณ^{[ 9 ]} ชื่อของฟังก์ชันนี้จึงไม่เกี่ยวข้องกับคำศัพท์ทางการทหารและการจัดการอย่างโลจิสติกส์ซึ่งมาจากภาษาฝรั่งเศสว่าlogis "ที่พัก" ^{[ 10 ]}แม้ว่าบางคนเชื่อว่าคำศัพท์ภาษากรีกก็มีอิทธิพลต่อโลจิสติกส์เช่น กัน ^{[ 9 ]}ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ Logistics § Origin

เดอะฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานคือฟังก์ชันโลจิสติกที่มีพารามิเตอร์,,, ซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle k=1}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle L=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.}$$

ในทางปฏิบัติ เนื่องจากธรรมชาติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง การคำนวณฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานในช่วงจำนวนจริงขนาดเล็ก เช่น ช่วงที่อยู่ระหว่าง [−6, +6] ก็มักจะเพียงพอแล้ว เนื่องจากฟังก์ชันนี้จะลู่เข้าสู่ค่าอิ่มตัวที่ 0 และ 1 อย่างรวดเร็ว ${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันโลจิสติกมีคุณสมบัติสมมาตรดังนี้

$${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$$

สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นว่าการเติบโตจาก 0 เมื่อมีขนาดเล็กจะสมมาตรกับการลดลงของช่องว่างไปสู่ขีดจำกัด (1) เมื่อมีขนาดใหญ่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันที่แปลกประหลาด อีก ด้วย ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$

ผลรวมของฟังก์ชันโลจิสติกและการสะท้อนของฟังก์ชันดังกล่าวเกี่ยวกับแกนตั้งคือ ${\displaystyle f(-x)}$

$${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.}$$

ดังนั้นฟังก์ชันโลจิสติกจึงมีความสมมาตรแบบหมุนรอบจุด (0, 1/2) ^{[ 11 ]}

ฟังก์ชันโลจิสติกเป็นฟังก์ชันผกผัน ของ ฟังก์ชัน โลจิตธรรมชาติ

$${\displaystyle \operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{ สำหรับ }}\,0<p<1}$$

และด้วยเหตุนี้จึงแปลงลอการิทึมของอัตราต่อรองให้เป็นความน่าจะเป็น

การแปลงจากอัตราส่วนความน่าจะเป็นล็อกของสองทางเลือกก็มีรูปแบบเป็นเส้นโค้งโลจิสติกเช่นกัน

ฟังก์ชันโลจิสติกคือ ฟังก์ชัน แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกที่ มีการชดเชยและปรับขนาด : หรือ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),}$$$${\displaystyle \tanh(x)=2f(2x)-1.}$$

สิ่งนี้สืบเนื่องมาจาก $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}\\&=2f(2x)-1.\end{aligned}}}$$

ความสัมพันธ์ระหว่างไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์นำไปสู่รูปแบบอื่นของอนุพันธ์ของฟังก์ชันโลจิสติก:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\ชื่อผู้ดำเนินการ {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),}$$

ซึ่งเชื่อมโยงฟังก์ชันโลจิสติกเข้ากับการแจกแจงโลจิสติก

ในทางเรขาคณิต ฟังก์ชันแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิกคือมุมไฮเปอร์โบลิกบนไฮเปอร์โบลาหน่วย ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็นและดังนั้นจึงมีเส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดด้วยความชัน⁠ ⁠และมีความชัน⁠ ⁠และจุดยอดอยู่ที่⁠ ⁠ซึ่งสอดคล้องกับช่วงและจุดกึ่งกลาง ( ⁠ ⁠ ) ของ tanh ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันโลจิสติกสามารถมองได้ว่าเป็นมุมไฮเปอร์โบลิกบนไฮเปอร์โบลาซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็นและดังนั้นจึงมีเส้นกำกับเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดด้วยความชัน⁠ ⁠และมีความชัน⁠ ⁠และจุดยอดอยู่ที่⁠ ⁠ซึ่งสอดคล้องกับช่วงและจุดกึ่งกลาง ( ⁠ ⁠ ) ของฟังก์ชันโลจิสติก ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle (x+y)(xy)=1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle {1}}$${\displaystyle xy-y^{2}=1}$${\displaystyle y(xy)=1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle 1/2}$

ในเชิงพาราเมตริกโคไซน์ไฮเปอร์โบลิกและไซน์ไฮเปอร์โบลิกให้พิกัดบนไฮเปอร์โบลาหน่วย: ^{[ d ]} โดยที่ผลหารคือแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก ในทำนองเดียวกัน พาราเมตริก ไฮเปอร์โบลา โดยที่ผลหารคือ ฟังก์ชันโลจิสติก สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้น (และการปรับขนาดพาราเมตริก) ของไฮเปอร์โบลาโดยที่พาราเมตริก: พาราเมตริกของไฮเปอร์โบลาสำหรับฟังก์ชันโลจิสติกสอดคล้องกับและการแปลงเชิงเส้นในขณะที่พาราเมตริกของไฮเปอร์โบลาหน่วย (สำหรับแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก) สอดคล้องกับการแปลงเชิงเส้น ${\displaystyle \left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)}$${\displaystyle {\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}}$${\displaystyle xy-y^{2}=1}$${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle (e^{-t},e^{t})}$${\displaystyle t/2}$${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$

ฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานมีอนุพันธ์ ที่คำนวณได้ง่าย อนุพันธ์นี้เรียกว่าความหนาแน่นของการแจกแจงโลจิสติก :

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{x}}{{\left(1+e^{x}\right)}^{2}}}\\[1ex]&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\[1ex]&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\[1.2ex]&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}}$$จากนั้นจึงสามารถหาอนุพันธ์อันดับสูงกว่าทั้งหมดได้โดยใช้พีชคณิต ตัวอย่างเช่น. ${\displaystyle f''=(1-2f)(1-f)f}$

การแจกแจงโลจิสติกเป็นตระกูลตำแหน่ง-มาตราส่วนซึ่งสอดคล้องกับพารามิเตอร์ของฟังก์ชันโลจิสติก ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle L=1}$คงที่ จุดกึ่งกลาง⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$จะเป็นตำแหน่ง และความชัน⁠ ⁠${\displaystyle k}$จะเป็นมาตราส่วน

ในทางกลับกันอนุพันธ์ผกผัน ของมัน สามารถคำนวณได้โดยการแทนที่ เนื่องจาก ${\displaystyle u=1+e^{x}}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},}$$

ดังนั้น (ตัดค่าคงที่ของการอินทิเกรตออก ไป )

$${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).}$$

ในโครงข่ายประสาทเทียม ฟังก์ชัน นี้เรียกว่า ฟังก์ชัน ซอฟต์พลัสและ (เมื่อมีการปรับขนาด) เป็นการประมาณค่าที่ราบเรียบของฟังก์ชันแรมป์เช่นเดียวกับที่ฟังก์ชันโลจิสติก (เมื่อมีการปรับขนาด) เป็นการประมาณค่าที่ราบเรียบของฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮวิไซด์

ฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์บนเส้นจำนวนจริงทั้งหมด เนื่องจากโดยที่และเป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์บนโดเมนของมัน และ การประกอบของฟังก์ชันวิเคราะห์ก็เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์อีกด้วย ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}=h(g(x))}$${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle g(x)=1+e^{-x}}$${\displaystyle h:(0,\infty )\to (0,\infty )}$${\displaystyle h(x)={\frac {1}{x}}}$

สูตรสำหรับ อนุพันธ์อันดับที่ nของฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานคือ

$${\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}}$$

ดังนั้นอนุกรมเทย์เลอร์เกี่ยวกับจุดนั้นคือ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)(x-a)+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(-1\right)}^{i+j}{\binom {i}{j}}j^{n}\right)e^{-ix}}{{\left(1+e^{-x}\right)}^{i+1}}}{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}.}$$

ฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐานที่เป็นเอกลักษณ์คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ไม่เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบง่ายๆ

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}}$$

พร้อมเงื่อนไขขอบเขต สมการนี้เป็นเวอร์ชันต่อเนื่องของแผนที่โลจิสติกส์โปรดทราบว่าฟังก์ชันโลจิสติกส์ผกผันเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับ หนึ่งแบบง่าย ^{[ 12 ]}${\displaystyle f(0)=1/2}$

พฤติกรรมเชิงคุณภาพนั้นเข้าใจได้ง่ายในแง่ของเส้นเฟส : อนุพันธ์จะเป็น 0 เมื่อฟังก์ชันเป็น 1 และอนุพันธ์จะเป็นบวกสำหรับค่าระหว่าง 0 ถึง 1 และเป็นลบสำหรับค่าที่มากกว่า 1 หรือน้อยกว่า 0 (แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วค่าประชากรที่เป็นลบจะไม่สอดคล้องกับแบบจำลองทางกายภาพ) สิ่งนี้ทำให้เกิดสมดุลที่ไม่เสถียรที่ 0 และสมดุลที่เสถียรที่ 1 ดังนั้นสำหรับค่าฟังก์ชันใดๆ ที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1 ค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเป็น 1 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

สมการโลจิสติกส์เป็นกรณีพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลีและมีคำตอบดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}$$

การเลือกค่าคงที่ของการอินทิเกรตจะให้รูปแบบนิยามอีกรูปแบบหนึ่งที่รู้จักกันดีของเส้นโค้งโลจิสติก: ${\displaystyle C=1}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.}$$

กล่าวโดยละเอียดมากขึ้น ดังที่เห็นได้จากผลการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ เส้นโค้งโลจิสติกแสดงการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง ในช่วงแรก สำหรับค่าตัวแปรติดลบ จากนั้นจะเปลี่ยนเป็นการเติบโตเชิงเส้นด้วยความชัน 1/4 สำหรับค่าตัวแปรที่ใกล้เคียงกับ 0 แล้วจึงเข้าใกล้ 1 โดยมีช่วงที่ลดลงแบบเลขชี้กำลัง

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้มาข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของสมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไปที่ใช้จำลองฟังก์ชันซิกมอยด์สำหรับ เท่านั้น ในการใช้งานแบบจำลองหลายๆ อย่าง รูปแบบทั่วไปที่มากกว่า อาจเป็นที่ต้องการ คำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันซิกมอยด์ ที่เลื่อนและปรับขนาด แล้ว ${\displaystyle x>0}$$${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{L}}f(x){\big (}L-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {L}{1+e^{kx_{0}}}}}$$${\displaystyle L\sigma {\big (}k(x-x_{0}){\big )}={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$

เมื่อความจุค่าของฟังก์ชันโลจิสติกจะอยู่ในช่วง⁠ ⁠และสามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นp [ ^{e ] โดย}ละเอียดแล้วpสามารถตีความได้ว่าเป็นความน่าจะเป็นของทางเลือกหนึ่งในสองทางเลือก (พารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี ) ^{[ f ]}ทางเลือกทั้งสองเป็นส่วนเติมเต็มกัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของทางเลือกอื่นคือและทางเลือกทั้งสองถูกเข้ารหัสเป็น 1 และ 0 ซึ่งสอดคล้องกับค่าจำกัดเป็น ${\displaystyle L=1}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle q=1-p}$${\displaystyle p+q=1}$${\displaystyle x\to \pm \infty }$

ในการตีความนี้ อินพุตxคือลอการิทึมของอัตราต่อรองสำหรับทางเลือกแรก (เทียบกับทางเลือกที่สอง วัดใน "หน่วยโลจิสติก" หรือlogit ) ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle e^{x}}$จึงเป็นอัตราต่อรองสำหรับทางเลือกแรก (เทียบกับทางเลือกที่สอง) เมื่อกำหนดอัตราต่อรองสำหรับเหตุการณ์เป็น( ⁠ ⁠เทียบกับ1 ) ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของ "สำหรับ" ต่อ "สำหรับบวกเทียบกับ" เราจะเห็นว่าฟังก์ชันโลจิสติกคือความน่าจะเป็นของทางเลือกแรก ${\displaystyle O=O:1}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O/(O+1)}$${\displaystyle e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p}$

ในทางกลับกันxคือค่าลอการิทึม ของอัตราต่อรอง ที่ไม่สอดคล้องกับทางเลือกที่สอง⁠ ⁠${\displaystyle -x}$คือค่าลอการิทึมของ อัตราต่อรองที่สอดคล้องกับ ทางเลือกที่สอง ⁠ คืออัตราต่อรองที่สอดคล้องกับทางเลือกที่สอง และ⁠ คือความน่าจะเป็นของทางเลือกที่สอง ${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q=1-p}$

สามารถอธิบายให้สมมาตรมากขึ้นได้โดยใช้ข้อมูลนำเข้าสองค่า คือ⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1}}$ซึ่งจะขยายไปสู่ทางเลือกมากกว่าสองทางเลือกได้อย่างเป็นธรรมชาติ เมื่อกำหนดข้อมูลนำเข้าที่เป็นจำนวนจริงสองค่า คือ⁠ ⁠${\displaystyle x_{0}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1}}$ซึ่งตีความได้ว่าเป็น logit ผลต่าง ของค่าทั้งสอง คือ log-odds สำหรับตัวเลือกที่ 1 (log-odds ของตัวเลือกที่ 0) คืออัตราต่อรอง คือความน่าจะเป็นของตัวเลือกที่ 1 และในทำนองเดียวกันคือความน่าจะเป็นของตัวเลือกที่ 0 ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}}$${\displaystyle e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$${\displaystyle e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})}$

รูปแบบนี้สามารถขยายไปสู่ทางเลือกอื่นๆ ได้ทันที เช่นฟังก์ชัน softmaxซึ่งเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ที่มีพิกัดที่iเป็น ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$

ที่ละเอียดอ่อนกว่านั้น รูปแบบสมมาตรเน้นการตีความอินพุตxเป็นและดังนั้นจึงสัมพันธ์กับจุดอ้างอิงบางจุด โดยปริยายคือ ที่น่าสังเกตคือ ฟังก์ชัน softmax จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเพิ่มค่าคงที่ให้กับ logit ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับความแตกต่างที่เป็น log-odds สำหรับตัวเลือกjเทียบกับตัวเลือกiแต่ logit แต่ละตัวไม่ใช่ log-odds ด้วยตัวเอง บ่อยครั้งที่ตัวเลือกหนึ่งถูกใช้เป็นจุดอ้างอิง ("pivot") และกำหนดค่าให้เป็น0ดังนั้น logit อื่นๆ จึงถูกตีความว่าเป็นอัตราต่อรองเทียบกับจุดอ้างอิงนี้ โดยทั่วไปจะทำเช่นนี้กับทางเลือกแรก ดังนั้นจึงเลือกการกำหนดหมายเลข: และจากนั้นคือ log-odds สำหรับตัวเลือกiเทียบกับตัวเลือก0เนื่องจากสิ่งนี้ทำให้เกิดเทอม ในนิพจน์จำนวนมากสำหรับฟังก์ชันโลจิสติกและการวางนัยทั่วไป^{[ g ]}${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{i}=x_{i}-x_{0}}$${\displaystyle e^{0}=1}$${\displaystyle +1}$

ในการสร้างแบบจำลองการเติบโต มีการวางนัยทั่วไปอยู่มากมาย รวมถึงเส้นโค้งโลจิสติกทั่วไปฟังก์ชันกอมเพิร์ตซ์ฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายกอมเพิร์ตซ์แบบเลื่อนและฟังก์ชันไฮเปอร์โบลาสติกประเภทที่ 1

ในทางสถิติ ฟังก์ชันโลจิสติกถูกตีความว่าเป็นความน่าจะเป็นของหนึ่งในสองทางเลือก ในขณะที่การขยายไปสู่ทางเลือกสามทางขึ้นไปคือฟังก์ชันซอฟต์แม็กซ์ซึ่งเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ เนื่องจากให้ความน่าจะเป็นของแต่ละทางเลือก

การประยุกต์ใช้สมการโลจิสติกส์ที่พบได้ทั่วไปคือแบบจำลองการเติบโตของประชากร (ดูเพิ่มเติมที่พลวัตของประชากร ) ซึ่งคิดค้นโดยปิแอร์-ฟรองซัวส์ แวร์ฮุลสต์ในปี 1838 โดยอัตราการสืบพันธุ์เป็นสัดส่วนกับทั้งจำนวนประชากรที่มีอยู่และปริมาณทรัพยากรที่มีอยู่ โดยที่ปัจจัยอื่นๆ คงที่ สมการของแวร์ฮุลสต์ได้รับการตีพิมพ์หลังจากที่แวร์ฮุลสต์ได้อ่าน หนังสือเรื่อง " เรียงความว่าด้วยหลักการของประชากร " ของโทมัส มัลทัสซึ่งอธิบายแบบจำลองการเติบโตของมัลทัสแบบการเติบโตแบบเลขชี้กำลังอย่างง่าย (ไม่จำกัด) แวร์ฮุลสต์ได้พัฒนาสมการโลจิสติกส์ของเขาเพื่ออธิบายการเติบโตที่จำกัดตัวเองของ ประชากร ทางชีวภาพสมการนี้ถูกค้นพบอีกครั้งในปี 1911 โดยเอจี แมคเคนดริกสำหรับการเติบโตของแบคทีเรียในน้ำซุป และได้รับการทดสอบเชิงทดลองโดยใช้เทคนิคการประมาณค่าพารามิเตอร์แบบไม่เชิงเส้น^{[ 13 ]}บางครั้งสมการนี้เรียกว่าสมการ Verhulst-Pearlหลังจากที่Raymond Pearl (1879–1940) และLowell Reed (1888–1966) จากมหาวิทยาลัย Johns Hopkins ค้นพบสมการนี้อีกครั้งในปี 1920 ^{[ 14 ]}นักวิทยาศาสตร์อีกคนหนึ่งคือAlfred J. Lotkaได้พิสูจน์สมการนี้อีกครั้งในปี 1925 โดยเรียกมันว่ากฎ การเติบโตของประชากร

ให้แทนขนาดประชากร ( มักใช้ ในนิเวศวิทยาแทน) และแทนเวลา แบบจำลองนี้สามารถกำหนดเป็นทางการได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ : ${\displaystyle P}$${\displaystyle N}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),}$$

โดยที่ค่าคงที่กำหนดอัตราการเติบโตและเป็นขีดจำกัดความสามารถในการรองรับ ${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$

ในสมการ อัตราการเติบโตในช่วงแรกที่ไม่ถูกขัดขวางนั้นจำลองโดยพจน์แรกค่าของอัตรานี้แสดงถึงการเพิ่มขึ้นของประชากรในสัดส่วนต่อหน่วยเวลา ต่อมา เมื่อประชากรเติบโตขึ้น ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ที่สอง (ซึ่งคูณออกมาเป็น) จะมีค่าเกือบเท่ากับพจน์แรก เนื่องจากสมาชิกบางส่วนของประชากรเริ่มรบกวนซึ่งกันและกันโดยการแข่งขันเพื่อแย่งชิงทรัพยากรที่สำคัญ เช่น อาหารหรือพื้นที่อยู่อาศัย ผลกระทบที่เป็นปฏิปักษ์นี้เรียกว่าคอขวดและจำลองโดยค่าของพารามิเตอร์การแข่งขันจะลดอัตราการเติบโตโดยรวมลง จนกระทั่งค่าของหยุดการเติบโต (ซึ่งเรียกว่าภาวะเจริญเติบโตเต็มที่ของประชากร) คำตอบของสมการ (โดยที่คือจำนวนประชากรเริ่มต้น) คือ ${\displaystyle +rP}$${\displaystyle r}$${\displaystyle P}$${\displaystyle -rP^{2}/K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }P(t)=K,}$$

โดยที่คือค่าลิมิตของ ซึ่งเป็นค่าสูงสุดที่ประชากรสามารถเข้าถึงได้เมื่อเวลาผ่านไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (หรือเข้าใกล้ค่าสูงสุดนั้นได้เมื่อเวลาผ่านไปอย่างจำกัด) ความจุในการรองรับจะถึงได้ในเชิงอะซิมโทติกโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นและ ยังรวมถึงกรณีที่ ด้วย${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(0)>0}$${\displaystyle P(0)>K}$

ในทางนิเวศวิทยา บางครั้ง สิ่งมีชีวิตจะถูกเรียกว่าเป็น ชนิดที่ มีกลยุทธ์แบบ α หรือβขึ้นอยู่กับ กระบวนการ คัดเลือกที่ได้กำหนดกลยุทธ์ การดำรงชีวิต ของพวกมัน การเลือกมิติของตัวแปรเพื่อให้วัดจำนวนประชากรในหน่วยของความจุ และวัดเวลาในหน่วยของจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ไร้มิติ ${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 1/r}$

$${\displaystyle {\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).}$$

อนุพันธ์ผกผันของรูปแบบเชิงนิเวศวิทยาของฟังก์ชันโลจิสติกสามารถคำนวณได้โดยการแทนที่ เนื่องจาก${\displaystyle u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}$${\displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

$${\displaystyle \int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C}$$

เนื่องจากสภาพแวดล้อมมีอิทธิพลต่อความสามารถในการรองรับ ดังนั้นความสามารถในการรองรับจึงอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ซึ่งนำไปสู่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle K(t)>0}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).}$$

กรณีที่สำคัญเป็นพิเศษคือกรณีของความสามารถในการรองรับที่เปลี่ยนแปลงไปตามช่วงเวลา: ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle K(t+T)=K(t).}$$

สามารถแสดงได้^{[ 15 ]}ว่าในกรณีดังกล่าว โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้นจะมีแนวโน้มไปสู่คำตอบคาบที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีคาบเป็น ${\displaystyle P(0)>0}$${\displaystyle P(t)}$${\displaystyle P_{*}(t)}$${\displaystyle T}$

ค่าทั่วไปของคือ หนึ่งปี: ในกรณีเช่นนี้อาจสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงตามช่วงเวลาของสภาพอากาศ ${\displaystyle T}$${\displaystyle K(t)}$

การสรุปทั่วไปที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือ การพิจารณาว่าความสามารถในการรองรับเป็นฟังก์ชันของประชากรในช่วงเวลาก่อนหน้านี้ ซึ่งจับภาพความล่าช้าในวิธีที่ประชากรปรับเปลี่ยนสภาพแวดล้อม สิ่งนี้นำไปสู่สมการความล่าช้าแบบโลจิสติก^{[ 16 ]}ซึ่งมีพฤติกรรมที่หลากหลายมาก โดยมีเสถียรภาพสองสถานะในช่วงพารามิเตอร์บางช่วง รวมถึงการลดลงแบบโมโนโทนิกเป็นศูนย์ การเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลที่ราบเรียบ การเติบโตแบบไม่จำกัดเป็นช่วงๆ (เช่น รูปทรง S หลายรูป) การเติบโตแบบเป็นช่วงๆ หรือการสลับไปสู่ระดับคงที่ การเข้าใกล้ระดับคงที่แบบแกว่ง การแกว่งที่ยั่งยืน ความผิดปกติในช่วงเวลาจำกัด รวมถึงการตายในช่วงเวลาจำกัด ${\displaystyle K(t)}$

ฟังก์ชันโลจิสติกส์ถูกนำไปใช้ในหลายบทบาททางสถิติ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตระกูลการแจกแจงโลจิสติกส์และโดยคร่าวๆ แล้ว ใช้ในการจำลองโอกาสที่ผู้เล่นหมากรุกจะเอาชนะคู่ต่อสู้ในระบบการจัดอันดับ Eloตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นจะกล่าวถึงต่อไป

ฟังก์ชันโลจิสติกถูกใช้ใน แบบจำลอง การถดถอยโลจิสติกเพื่อสร้างแบบจำลองว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งอาจได้รับผลกระทบจากตัวแปรอธิบาย หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นอย่างไร ตัวอย่างเช่น แบบจำลองจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p=f(a+bx),}$$

โดยที่เป็นตัวแปรอธิบายและเป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลองที่จะต้องปรับให้เหมาะสม และเป็นฟังก์ชันโลจิสติกมาตรฐาน ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$

การถดถอยโลจิสติกและแบบจำลองเชิงเส้นลอการิทึม อื่นๆ ก็เป็นที่นิยมใช้ในแมชชีนเลิร์นนิง เช่นกัน การขยายฟังก์ชันโลจิสติกไปสู่การป้อนข้อมูลหลายตัวคือฟังก์ชันการกระตุ้นแบบซอฟต์แม็กซ์ซึ่งใช้ในการถดถอยโลจิสติกแบบหลายตัวเลือก

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันโลจิสติกคือในแบบจำลองราสช์ (Rasch model ) ซึ่งใช้ในทฤษฎีการตอบสนองต่อข้อสอบ (Item Response Theory ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แบบจำลองราสช์เป็นพื้นฐานสำหรับ การประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุดของตำแหน่งของวัตถุหรือบุคคลบนเส้นต่อเนื่องโดยอาศัยชุดข้อมูลเชิงหมวดหมู่ตัวอย่างเช่น ความสามารถของบุคคลบนเส้นต่อเนื่องโดยพิจารณาจากคำตอบที่ถูกจัดประเภทเป็นถูกต้องและไม่ถูกต้อง

ฟังก์ชันโลจิสติกมักถูกใช้ในโครงข่ายประสาทเทียมเพื่อเพิ่มความไม่เป็นเชิงเส้นในแบบจำลอง หรือเพื่อจำกัดสัญญาณให้อยู่ภายในช่วง ที่กำหนด องค์ประกอบโครงข่ายประสาทที่นิยมใช้จะคำนวณผลรวมเชิงเส้นของสัญญาณอินพุต และใช้ฟังก์ชันโลจิสติกที่มีขอบเขตเป็นฟังก์ชันกระตุ้นกับผลลัพธ์ แบบจำลองนี้สามารถมองได้ว่าเป็นรูปแบบ "เรียบ" ของเซลล์ประสาทเกณฑ์ แบบคลาสสิ ก

ตัวเลือกทั่วไปสำหรับฟังก์ชันการเปิดใช้งานหรือ "การบีบอัด" ซึ่งใช้ในการตัดขนาดใหญ่เพื่อรักษาการตอบสนองของเครือข่ายประสาทให้อยู่ในขอบเขต^{[ 17 ]}คือ

$${\displaystyle g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},}$$

ซึ่งเป็นฟังก์ชันโลจิสติกส์

ความสัมพันธ์เหล่านี้ส่งผลให้การใช้งานเครือข่ายประสาทเทียมที่มีเซลล์ประสาทเทียม มีความเรียบง่ายขึ้น ผู้ปฏิบัติงานเตือนว่าฟังก์ชันซิกมอยด์ซึ่งไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด (เช่นแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก ) นำไปสู่การบรรจบกันที่เร็วขึ้นเมื่อฝึกเครือข่ายด้วยการแพร่กระจายย้อนกลับ^{[ 18 ]}

ฟังก์ชันโลจิสติกนั้นเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระตุ้นอีกฟังก์ชันหนึ่งที่เสนอไว้ ซึ่งก็คือซอฟต์พลัส

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้เส้นโค้งโลจิสติกคือในทางการแพทย์ ซึ่งสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติกสามารถใช้ในการจำลองการเติบโตของเนื้องอกได้ การประยุกต์ใช้นี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนขยายของการใช้งานที่กล่าวถึงข้างต้นในกรอบของนิเวศวิทยา (ดูเพิ่มเติมที่เส้นโค้งโลจิสติกแบบทั่วไปซึ่งอนุญาตให้มีพารามิเตอร์มากขึ้น) โดยกำหนดให้ เป็นขนาดของเนื้องอก ณ เวลา t พลวัตของเนื้องอกจะถูกควบคุมโดย ${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,}$$

ซึ่งเป็นประเภท

$${\displaystyle X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,}$$

อัตราการแพร่กระจายของเนื้องอกอยู่ ที่ใด${\displaystyle F(X)}$

หากเริ่มการรักษาด้วย เคมีบำบัด โดยมีผลในการลดจำนวนเซลล์มะเร็ง (log-kill effect) สมการอาจต้องได้รับการแก้ไขดังนี้

$${\displaystyle X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,}$$

อัตราการเสียชีวิตที่เกิดจากการรักษาอยู่ที่ใด ในกรณีอุดมคติของการรักษาที่ยาวนานมาก สามารถจำลองได้เป็นฟังก์ชันคาบ (ของคาบ) หรือ (ในกรณีของการรักษาด้วยการให้ยาอย่างต่อเนื่อง) เป็นฟังก์ชันคงที่และได้ว่า ${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,}$$

กล่าวคือ หากอัตราการเสียชีวิตเฉลี่ยที่เกิดจากการรักษามากกว่าอัตราการแพร่กระจายของเซลล์มะเร็งก่อนเริ่มการรักษา ก็แสดงว่าโรคถูกกำจัดไปแล้ว แน่นอนว่านี่เป็นแบบจำลองที่ง่ายเกินไปทั้งในแง่ของการเจริญเติบโตและการรักษา ตัวอย่างเช่น แบบจำลองนี้ไม่ได้คำนึงถึงการพัฒนาของความต้านทานของเซลล์มะเร็ง หรือผลข้างเคียงของการรักษาต่อผู้ป่วย ปัจจัยเหล่านี้อาจส่งผลให้การรักษาด้วยเคมีบำบัดล้มเหลวหรือต้องหยุดการรักษาในที่สุด

โดยทั่วไปแล้ว เชื้อโรคติดเชื้อชนิดใหม่ที่ประชากรไม่มีภูมิคุ้มกันจะแพร่กระจายอย่างรวดเร็วในช่วงเริ่มต้น เนื่องจากมีผู้ติดเชื้อจำนวนมาก ไวรัส SARS-CoV-2 ที่ก่อให้เกิดCOVID-19แสดงให้เห็นการเติบโตอย่างรวดเร็วในช่วงแรกของการติดเชื้อในหลายประเทศในช่วงต้นปี 2020 ^{[ 19 ]}ปัจจัยต่างๆ รวมถึงการขาดแคลนผู้ติดเชื้อ (จากการแพร่กระจายของเชื้ออย่างต่อเนื่องจนกว่าจะถึงเกณฑ์ภูมิคุ้มกันหมู่ ) หรือการลดลงของการเข้าถึงผู้ติดเชื้อที่มีศักยภาพผ่านมาตรการเว้นระยะห่างทางกายภาพ อาจส่งผลให้เส้นโค้งการระบาดที่ดูเหมือนเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วกลายเป็นเส้นตรงก่อน (จำลองการเปลี่ยนจาก "ลอการิทึม" เป็น "โลจิสติก" ที่Pierre-François Verhulst สังเกตเห็นเป็นครั้งแรก ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) แล้วจึงถึงขีดจำกัดสูงสุด^{[ 20 ]}

ฟังก์ชันโลจิสติก หรือฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง (เช่นฟังก์ชัน Gompertz ) มักถูกใช้ในลักษณะเชิงพรรณนาหรือเชิงปรากฏการณ์ เนื่องจากฟังก์ชันเหล่านี้เหมาะสมไม่เพียงแต่กับการเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณในช่วงแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการทรงตัวของการระบาดในที่สุดเมื่อประชากรพัฒนาภูมิคุ้มกันหมู่ ซึ่งแตกต่างจากแบบจำลองการระบาดจริงที่พยายามกำหนดคำอธิบายโดยอิงจากพลวัตของการระบาด (เช่น อัตราการสัมผัส ระยะเวลาฟักตัว การเว้นระยะห่างทางสังคม ฯลฯ) อย่างไรก็ตาม มีการพัฒนาแบบจำลองง่ายๆ บางแบบที่ให้ผลลัพธ์แบบโลจิสติก^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

ฟังก์ชันโลจิสติกทั่วไปหรือที่เรียกว่าเส้นโค้งการเติบโตของริชาร์ดส์ ได้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองระยะเริ่มต้นของการระบาด ของ COVID-19 ^{[ 24 ]}ผู้เขียนได้ปรับฟังก์ชันโลจิสติกทั่วไปให้เข้ากับจำนวนผู้ติดเชื้อสะสม ซึ่งในที่นี้เรียกว่าวิถีการติดเชื้อมีการกำหนดพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันของฟังก์ชันโลจิสติกทั่วไปในวรรณกรรม รูปแบบหนึ่งที่ใช้บ่อยคือ

$${\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{{\left[1+\xi \exp \left(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3})\right)\right]}^{1/\xi }}}}$$

โดยที่เป็นจำนวนจริง และเป็นจำนวนจริงบวก ความยืดหยุ่นของเส้นโค้งเกิดจากพารามิเตอร์: (i) ถ้าเส้นโค้งจะลดลงเหลือฟังก์ชันโลจิสติก และ (ii) เมื่อเข้าใกล้ศูนย์ เส้นโค้งจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันกอมเพิร์ตซ์ในการสร้างแบบจำลองทางระบาดวิทยา, , และแทนขนาดของการระบาดขั้นสุดท้าย อัตราการติดเชื้อ และระยะเวลาล่าช้า ตามลำดับ ดูตัวอย่างเส้นทางการติดเชื้อในแผงด้านขวาเมื่อตั้งค่าเป็น ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{3}}$${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}$${\displaystyle (10000,0.2,40)}$

หนึ่งในข้อดีของการใช้ฟังก์ชันการเติบโต เช่นฟังก์ชันโลจิสติกทั่วไปในการสร้างแบบจำลองทางระบาดวิทยา คือ การนำไปประยุกต์ใช้กับ กรอบ แบบจำลองหลายระดับได้ ค่อนข้างง่าย ซึ่งสามารถรวบรวมข้อมูลจากภูมิภาคทางภูมิศาสตร์ที่แตกต่างกันเข้าด้วยกันได้

ความเข้มข้นของสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์ในปฏิกิริยาแบบเร่งปฏิกิริยาด้วยตนเองเป็นไปตามฟังก์ชันโลจิสติก การเสื่อมสภาพของ ตัวเร่งปฏิกิริยาการลดออกซิเจน (ORR) ที่ปราศจากโลหะ กลุ่มแพลทินัม (PGM-free) ในแคโทดของเซลล์เชื้อเพลิงเป็นไปตามฟังก์ชันการสลายตัวแบบโลจิสติก^{[ 25 ]}ซึ่งชี้ให้เห็นถึงกลไกการเสื่อมสภาพแบบเร่งปฏิกิริยาด้วยตนเอง

ฟังก์ชันโลจิสติกกำหนดการกระจายทางสถิติของเฟอร์มิออนเหนือสถานะพลังงานของระบบที่อยู่ในสมดุลทางความร้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือการกระจายของความน่าจะเป็นที่แต่ละระดับพลังงานที่เป็นไปได้จะถูกครอบครองโดยเฟอร์มิออน ตามสถิติของเฟอร์มิ-ดิแรก

ฟังก์ชันโลจิสติกยังพบการประยุกต์ใช้ในด้านทัศนศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นภาพลวงตาภายใต้เงื่อนไขบางประการ เช่น การมีอยู่ของความแตกต่างของอุณหภูมิหรือความเข้มข้นอันเนื่องมาจากการแพร่กระจายและสมดุลกับแรงโน้มถ่วง พฤติกรรมของเส้นโค้งโลจิสติกสามารถเกิดขึ้นได้^{[ 26 ] [ 27 ]}

ภาพลวงตาที่เกิดจากความแตกต่างของอุณหภูมิที่ปรับเปลี่ยนดัชนีหักเหที่เกี่ยวข้องกับความหนาแน่น/ความเข้มข้นของวัสดุตามระยะทาง สามารถจำลองได้โดยใช้ของเหลวที่มีความแตกต่างของดัชนีหักเหเนื่องจากความแตกต่างของความเข้มข้น กลไกนี้สามารถเทียบได้กับแบบจำลองการเติบโตของประชากรแบบจำกัด โดยที่บริเวณที่มีความเข้มข้นสูงพยายามแพร่กระจายไปยังบริเวณที่มีความเข้มข้นต่ำกว่า ในขณะที่แสวงหาสมดุลกับแรงโน้มถ่วง จึงทำให้ได้เส้นโค้งฟังก์ชันโลจิสติก^{[ 26 ]}

ดูการเชื่อมแบบแพร่กระจาย (Diffusion bonding )

ในทางภาษาศาสตร์ ฟังก์ชันโลจิสติกสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองการเปลี่ยนแปลงของภาษา ได้ : ^{[ 28 ]}นวัตกรรมที่ในตอนแรกเป็นเพียงส่วนน้อยจะเริ่มแพร่กระจายอย่างรวดเร็วขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป และจากนั้นจะแพร่กระจายช้าลงเมื่อได้รับการยอมรับอย่างแพร่หลายมากขึ้น

เส้นโค้งรูปตัว S แบบโลจิสติกส์สามารถใช้ในการจำลองการตอบสนองของพืชต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยการเจริญเติบโตได้ มีฟังก์ชันการตอบสนองสองประเภท ได้แก่ เส้นโค้งการเจริญเติบโต เชิงบวก และเชิงลบตัวอย่างเช่น ผลผลิตของพืชอาจเพิ่มขึ้นเมื่อค่าของปัจจัยการเจริญเติบโตเพิ่มขึ้นจนถึงระดับหนึ่ง (ฟังก์ชันเชิงบวก) หรืออาจลดลงเมื่อค่าของปัจจัยการเจริญเติบโตเพิ่มขึ้น (ฟังก์ชันเชิงลบเนื่องจากปัจจัยการเจริญเติบโตเป็นลบ) ซึ่งสถานการณ์นี้จำเป็นต้องใช้เส้นโค้งรูปตัว S กลับหัว

แบบจำลองเส้นโค้ง S สำหรับผลผลิตพืชเทียบกับระดับน้ำใต้ดิน^{[ 29 ]}

แบบจำลองเส้นโค้ง S คว่ำสำหรับผลผลิตพืชเทียบกับความเค็มของดิน^{[ 30 ]}

ฟังก์ชันโลจิสติกส์สามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงความคืบหน้าของการแพร่กระจายของนวัตกรรมตลอดวงจรชีวิตของนวัตกรรมนั้นได้

ในหนังสือ The Laws of Imitation (1890) กาเบรียล ทาร์ดอธิบายถึงการเกิดขึ้นและการแพร่กระจายของแนวคิดใหม่ๆ ผ่านห่วงโซ่การเลียนแบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทาร์ดระบุขั้นตอนหลักสามขั้นตอนที่นวัตกรรมแพร่กระจาย ขั้นตอนแรกสอดคล้องกับการเริ่มต้นที่ยากลำบาก ซึ่งแนวคิดต้องต่อสู้ในสภาพแวดล้อมที่ไม่เป็นมิตรซึ่งเต็มไปด้วยนิสัยและความเชื่อที่ขัดแย้ง ขั้นตอนที่สองสอดคล้องกับการเติบโตแบบทวีคูณของแนวคิด และสุดท้าย ขั้นตอนที่สามเป็นแบบลอการิทึมซึ่งสอดคล้องกับช่วงเวลาที่แรงกระตุ้นของแนวคิดค่อยๆ ชะลอตัวลง ในขณะเดียวกันก็มีแนวคิดใหม่ๆ ที่ขัดแย้งปรากฏขึ้น สถานการณ์ที่ตามมาจะหยุดหรือทำให้ความก้าวหน้าของนวัตกรรมคงที่ ซึ่งเข้าใกล้ค่าคงที่ ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$${\displaystyle f(x)=\log(x)}$

ในรัฐอธิปไตยหน่วยงานย่อยระดับประเทศ (รัฐหรือเมืองต่างๆ) อาจใช้เงินกู้เพื่อเป็นทุนในการดำเนินโครงการต่างๆ อย่างไรก็ตาม แหล่งเงินทุนนี้มักอยู่ภายใต้กฎหมายที่เข้มงวด รวมถึงข้อจำกัดด้านความขาดแคลน ทางเศรษฐกิจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทรัพยากรที่ธนาคารสามารถให้กู้ได้ (เนื่องจากข้อจำกัดด้านทุนหรือ ข้อจำกัด ของ Basel ) ข้อจำกัดเหล่านี้ ซึ่งแสดงถึงระดับความอิ่มตัว ควบคู่ไปกับการแข่งขันทางเศรษฐกิจ ที่เร่งตัวขึ้นอย่างรวดเร็ว เพื่อแย่งชิงเงินทุน ทำให้เกิด การกระจายตัวของคำขอสินเชื่อ ทางการเงินสาธารณะและการตอบสนองโดยรวมของประเทศจะเป็นเส้นโค้งรูปตัว S ^{[ 31 ]}

ในอดีต เมื่อมีการเปิดตัวผลิตภัณฑ์ใหม่ จะมี การวิจัยและพัฒนาอย่างเข้มข้นซึ่งนำไปสู่การปรับปรุงคุณภาพอย่างมากและการลดต้นทุน ส่งผลให้เกิดการเติบโตอย่างรวดเร็วของอุตสาหกรรม ตัวอย่างที่โด่งดัง ได้แก่ รถไฟ หลอดไฟระบบไฟฟ้ารถยนต์ และการเดินทางทางอากาศ ในที่สุด โอกาสในการพัฒนาอย่างมากและการลดต้นทุนก็จะหมดลง ผลิตภัณฑ์หรือกระบวนการนั้นจะถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายโดยมีลูกค้าใหม่เหลือน้อย และตลาดก็จะอิ่มตัว

การวิเคราะห์โลจิสติกส์ถูกนำมาใช้ในเอกสารของนักวิจัยหลายคนจากสถาบันวิเคราะห์ระบบประยุกต์ระหว่างประเทศ ( IIASA ) เอกสารเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการแพร่กระจายของนวัตกรรม โครงสร้างพื้นฐาน และการทดแทนแหล่งพลังงานต่างๆ รวมถึงบทบาทของแรงงานในระบบเศรษฐกิจ ตลอดจนวัฏจักรเศรษฐกิจระยะยาว วัฏจักรเศรษฐกิจระยะยาวได้รับการศึกษาโดย Robert Ayres (1989) ^{[ 32 ]} Cesare Marchetti ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับวัฏจักรเศรษฐกิจระยะยาวและการแพร่กระจายของนวัตกรรม^{[ 33 ] [ 34 ]}หนังสือของ Arnulf Grübler (1990) ให้รายละเอียดเกี่ยวกับการแพร่กระจายของโครงสร้างพื้นฐาน รวมถึงคลอง ทางรถไฟ ทางหลวง และสายการบิน โดยแสดงให้เห็นว่าการแพร่กระจายของโครงสร้างพื้นฐานเหล่านี้เป็นไปตามเส้นโค้งรูปทรงโลจิสติกส์^{[ 35 ]}

Carlota Perez ใช้เส้นโค้งโลจิสติกส์เพื่อแสดงวงจรธุรกิจ ระยะยาว ( Kondratiev ) โดยมีป้ายกำกับดังนี้: จุดเริ่มต้นของยุคเทคโนโลยีคือการปะทุ การ ขึ้น สู่จุดสูงสุดคือ ความบ้าคลั่ง การสร้างอย่างรวดเร็วคือ การทำงาน ร่วมกันและการเสร็จสิ้นคือความเป็นผู้ใหญ่^{[ 36 ]}

การวิเคราะห์การถดถอยการเติบโตแบบโลจิสติกส์มีความไม่แน่นอนสูงเมื่อมีข้อมูลเพียงแค่ถึงจุดเปลี่ยนของการเติบโตเท่านั้น ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ การประมาณความสูงที่จะเกิดจุดเปลี่ยนอาจมีความไม่แน่นอนเทียบเท่ากับความสามารถในการรองรับ (K) ของระบบ

วิธีการบรรเทาความไม่แน่นอนนี้เกี่ยวข้องกับการใช้ความสามารถในการรองรับจากกระบวนการเติบโตแบบโลจิสติกส์ตัวแทนเป็นจุดอ้างอิง^{[ 37 ]}โดยการรวมข้อจำกัดนี้ แม้ว่า K จะเป็นเพียงค่าประมาณภายในปัจจัยสองเท่า การถดถอยก็จะมีเสถียรภาพ ซึ่งช่วยปรับปรุงความแม่นยำและลดความไม่แน่นอนในพารามิเตอร์การทำนาย วิธีการนี้สามารถนำไปใช้ในสาขาต่างๆ เช่น เศรษฐศาสตร์และชีววิทยา ซึ่งมีระบบหรือประชากรตัวแทนที่คล้ายคลึงกันให้ใช้เป็นข้อมูลในการวิเคราะห์

Link ^{[ 38 ]}สร้างส่วนขยายของทฤษฎีการวิเคราะห์ลำดับของ Waldไปสู่การสะสมตัวแปรสุ่มแบบไม่มีการกระจายจนกว่าจะเท่ากับหรือเกินขอบเขตบวกหรือลบเป็นครั้งแรก Link ^{[ 39 ]}ได้มาจากความน่าจะเป็นของการเท่ากับหรือเกินขอบเขตบวกเป็นครั้งแรกเป็นฟังก์ชันโลจิสติก นี่เป็นการพิสูจน์ครั้งแรกว่าฟังก์ชันโลจิสติกอาจมีกระบวนการสุ่มเป็นพื้นฐาน Link ^{[ 40 ]}ให้ตัวอย่างผลการทดลอง "โลจิสติก" เป็นเวลาหนึ่งศตวรรษและความสัมพันธ์ที่ได้มาใหม่ระหว่างความน่าจะเป็นนี้กับเวลาของการดูดซับที่ขอบเขต ${\displaystyle 1/(1+e^{-\theta A})}$

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับงานด้านโลจิสติกส์

• LJ Linacre, ทำไมจึงใช้เส้นโค้งโอจีฟแบบโลจิสติกส์ ไม่ใช่เส้นโค้งออโตคะตาไลติก? , เข้าถึงเมื่อ 2009-09-12
• https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันซิกมอยด์" . MathWorld .
• การทดลองออนไลน์ด้วย JSXGraph
• ตัวอักษร 'es' มีอยู่ทุกหนทุกแห่ง
• มองเห็นเส้นโค้งรูปตัว S ในทุกสิ่งทุกอย่าง
• การเติบโตแบบลอการิทึมที่จำกัดด้วยการฉีด