ในแคลคูลัสค่าคงที่ของการอินทิเกรตซึ่งมักจะเขียนแทนด้วย(หรือ) คือค่าคงที่ที่เพิ่มเข้าไปในอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันเพื่อบ่งชี้ว่าอินทิกรัลไม่จำกัดของ(กล่าวคือเซตของอนุพันธ์ผกผันทั้งหมดของ) บนโดเมนที่เชื่อมต่อกันนั้น ถูกกำหนดไว้เพียงแค่ค่าคงที่บวก เท่านั้น ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ค่าคงที่นี้แสดงถึงความกำกวมที่มีอยู่ในโครงสร้างของอนุพันธ์ผกผัน ${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากฟังก์ชันถูกกำหนดบนช่วงและเป็นอนุพันธ์ผกผันของแล้วเซตของ อนุพันธ์ผกผัน ทั้งหมดของจะกำหนดโดยฟังก์ชันโดยที่เป็นค่าคงที่ใดๆ (หมายความว่าค่าใดๆ ของ จะทำให้เป็นอนุพันธ์ผกผันที่ถูกต้อง) ด้วยเหตุนี้ อินทิกรัลไม่จำกัดจึงมักเขียนเป็น^{[ 4 ]}แม้ว่าบางครั้งค่าคงที่ของการอินทิเกรตอาจถูกละเว้นในรายการอินทิกรัลเพื่อความเรียบง่าย ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F(x)+C,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F(x)+C}$${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ จะมีค่าเป็นศูนย์ เมื่อเราหาอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชัน ได้แล้ว การบวกหรือลบค่าคงที่ใดๆจะทำให้เราได้อนุพันธ์ผกผันอีกตัวหนึ่ง เพราะ ค่าคงที่ นั้นเป็นวิธีการแสดงว่าทุกฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ผกผันอย่างน้อยหนึ่งตัวจะมีอนุพันธ์ผกผันเป็นจำนวนอนันต์ ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$

ให้และเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่ สมมติว่าสำหรับทุกจำนวนจริงxแล้วจะมีจำนวนจริง อยู่จำนวนหนึ่งที่ ทำให้สำหรับทุกจำนวนจริงx${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ โปรดสังเกตว่าSo สามารถแทนที่ด้วยและด้วยฟังก์ชันคงที่ทำให้เป้าหมายคือการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่ซึ่งอนุพันธ์เป็นศูนย์เสมอจะต้องเป็นฟังก์ชันคงที่: ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle FG,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0,}$

เลือกจำนวนจริงจำนวนหนึ่งแล้วกำหนดให้สำหรับx ใดๆ ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสพร้อมกับสมมติฐานที่ว่าอนุพันธ์ของx เป็นศูนย์ หมายความว่า ${\displaystyle a,}$${\displaystyle C=F(a).}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}}$$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเป็นฟังก์ชันคงที่ ${\displaystyle F}$

ข้อเท็จจริงสองประการมีความสำคัญอย่างยิ่งในการพิสูจน์นี้ ประการแรก เส้นจำนวนจริงเชื่อมต่อกันหากเส้นจำนวนจริงไม่เชื่อมต่อกัน เราจะไม่สามารถอินทิเกรตจากค่าa ที่กำหนดไว้ ไปยังค่าx ใดๆ ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการฟังก์ชันที่กำหนดบนผลรวมของช่วง [0,1] และ [2,3] และถ้าaเป็น 0 เราจะไม่สามารถอินทิเกรตจาก 0 ถึง 3 ได้ เพราะฟังก์ชันไม่ได้กำหนดไว้ระหว่าง 1 และ 2 ในที่นี้จะมี ค่าคงที่ สองค่า ค่าหนึ่งสำหรับแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของโดเมนโดยทั่วไป โดยการแทนที่ค่าคงที่ด้วยฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่เราสามารถขยายทฤษฎีบทนี้ไปยังโดเมนที่ไม่เชื่อมต่อกันได้ ตัวอย่างเช่น มีค่าคงที่ของการอินทิเกรตสองค่าสำหรับและมีค่าคงที่อนันต์สำหรับดังนั้น ตัวอย่างเช่น รูปแบบทั่วไปสำหรับการอินทิเกรตของ 1/ xคือ: ^{[ 5 ] [ 6 ]}${\textstyle \int dx/x}$${\textstyle \int \tan x\,dx}$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$

ประการที่สอง สมมติว่า และสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ หากและหาอนุพันธ์ไม่ได้แม้แต่จุดเดียว ทฤษฎีบทนี้อาจใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ให้เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideซึ่งมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าx ที่เป็นลบ และมีค่าเป็นหนึ่งสำหรับค่า xที่ไม่เป็นลบและให้ดังนั้นอนุพันธ์ของจะเป็นศูนย์ ณ จุดที่นิยามไว้ และอนุพันธ์ของจะเป็นศูนย์เสมอ อย่างไรก็ตาม เป็นที่ชัดเจนว่าและไม่แตกต่างกันด้วยค่าคงที่ แม้จะสมมติว่าและต่อเนื่องทุกที่และ หาอนุพันธ์ได้ เกือบทุกที่ทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ให้เป็นฟังก์ชัน Cantorและให้ อีกครั้ง${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle G(x)=0.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G=0.}$

ปรากฏว่าการบวกและการลบค่าคงที่เป็นความยืดหยุ่นเพียงอย่างเดียวที่มีอยู่ในการหาอนุพันธ์ผกผันที่แตกต่างกันของฟังก์ชันเดียวกัน นั่นคือ อนุพันธ์ผกผันทั้งหมดจะเหมือนกันจนถึงค่าคงที่ เพื่อแสดงข้อเท็จจริงนี้เราสามารถเขียนได้ว่า: โดยที่คือค่าคงที่ของการอินทิเกรตสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าฟังก์ชันต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นอนุพันธ์ผกผันของ: ${\displaystyle \cos(x),}$$${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle \cos(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$$

การรวมค่าคงที่ของการอินทิเกรตนั้นจำเป็นในบางกรณี แต่ไม่ใช่ทุกกรณี ตัวอย่างเช่น เมื่อประเมินอินทิกรัลจำกัดโดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสค่าคงที่ของการอินทิเกรตสามารถละเว้นได้ เนื่องจากมันจะหักล้างกับตัวเองเสมอ

อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัดขอบเขตที่แตกต่างกัน อาจส่งผลให้ได้อนุพันธ์ผกผันหลายแบบ ซึ่งแต่ละแบบจะมีค่าคงที่ของการอินทิเกรตที่แตกต่างกันโดยปริยาย และไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่ถือว่าง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่นสามารถอินทิเกรตได้อย่างน้อยสามวิธีที่แตกต่างกัน ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}}$$นอกจากนี้ การละเว้นค่าคงที่ หรือกำหนดให้เป็นศูนย์ อาจทำให้ไม่สามารถจัดการกับปัญหาหลายอย่างได้ เช่น ปัญหาที่มีเงื่อนไขค่าเริ่มต้นมักจำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปที่มีค่าคงที่ที่ไม่เจาะจง เพื่อระบุวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ในการหาอนุพันธ์ผกผันของที่มีค่า 400 ที่x = π จะมีเพียงค่าเดียวของที่ใช้ได้ (ในกรณีนี้) ${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C=400}$

ค่าคงที่ของการอินทิเกรตปรากฏอยู่ในภาษาของสมการเชิงอนุพันธ์ โดยปริยายหรือโดยชัดแจ้ง สมการเชิงอนุพันธ์เกือบทั้งหมดจะมีคำตอบหลายคำตอบ และค่าคงที่แต่ละค่าแสดงถึงคำตอบเฉพาะของปัญหาค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้อย่างดี

เหตุผลสนับสนุนเพิ่มเติมมาจากพีชคณิตนามธรรมปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงทั้งหมด (ที่เหมาะสม) บนจำนวนจริงคือปริภูมิเวกเตอร์และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ คือตัวดำเนินการเชิงเส้นตัวดำเนินการจะแมปฟังก์ชันไปที่ศูนย์ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นค่าคงที่ ดังนั้นเคอร์เนลของคือปริภูมิของฟังก์ชันค่าคงที่ทั้งหมด กระบวนการอินทิเกรตแบบไม่จำกัดขอบเขตเทียบเท่ากับการหาภาพก่อนหน้าของฟังก์ชันที่กำหนด ไม่มีภาพก่อนหน้าแบบมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันที่กำหนด แต่เซตของภาพก่อนหน้าทั้งหมดดังกล่าวจะประกอบเป็นโคเซตการเลือกค่าคงที่ก็เหมือนกับการเลือกสมาชิกของโคเซต ในบริบทนี้ การแก้ปัญหาค่าเริ่มต้นถูกตีความว่าอยู่ในระนาบ ที่ กำหนด โดยเงื่อนไขเริ่มต้น${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$