แผนที่โลจิสติกส์เป็นระบบพลวัตแบบ ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งกำหนดโดยสมการผลต่างกำลัง สอง

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}).}$

1

เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดและการแมปพหุนามดีกรี2 มักถูกกล่าวถึงว่าเป็นตัวอย่างต้นแบบของพฤติกรรมที่ซับซ้อนและอลหม่านที่สามารถเกิดขึ้นได้จากสมการพลวัต แบบไม่เชิงเส้นที่ เรียบง่ายมาก

แผนที่นี้ถูกนำมาใช้ครั้งแรกโดยEdward Lorenzในช่วงทศวรรษ 1960 เพื่อแสดงคุณสมบัติของโซลูชันที่ไม่สม่ำเสมอในระบบภูมิอากาศ^{[ 1 ]}แผนที่นี้ได้รับความนิยมในบทความปี 1976 โดยนักชีววิทยาRobert May ^[ May , ^{Robert M. (1976) 1 ]}โดยส่วนหนึ่งเป็นแบบจำลองทางประชากรศาสตร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องที่คล้ายกับสมการโลจิสติกที่เขียนโดยPierre François Verhulst [ ^{2 ] นัก} วิจัยคนอื่นๆ ที่มีส่วนร่วมในการศึกษาแผนที่โลจิสติก ได้แก่Stanisław Ulam , John von Neumann , Pekka Myrberg , Oleksandr Sharkovsky , Nicholas MetropolisและMitchell Feigenbaum ^{[ 3 ]}

ในแผนที่โลจิสติกส์xคือตัวแปร และrคือพารามิเตอร์ มันเป็นแผนที่ในแง่ที่ว่ามันแปลงการกำหนดค่าหรือปริภูมิเฟสไปสู่ตัวมันเอง (ในกรณีง่ายๆ นี้ ปริภูมิมีมิติเดียวในตัวแปรx ):

${\displaystyle f\colon x\mapsto rx(1-x).}$

1-2

สามารถตีความได้ว่าเป็นเครื่องมือในการหาตำแหน่งถัดไปในพื้นที่การกำหนดค่าหลังจากผ่านไปหนึ่งช่วงเวลา สมการผลต่างเป็นเวอร์ชันแบบไม่ต่อเนื่องของสมการเชิงอนุพันธ์โลจิ สติก ซึ่งสามารถเปรียบเทียบได้กับสมการวิวัฒนาการตามเวลาของระบบ

เมื่อกำหนดค่าที่เหมาะสมสำหรับพารามิเตอร์rและทำการคำนวณโดยเริ่มจากเงื่อนไขเริ่มต้นเราจะได้ลำดับ, , , ... ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นลำดับของขั้นตอนเวลาในการวิวัฒนาการของระบบ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

ในสาขาระบบพลวัตลำดับนี้เรียกว่าวงโคจรและวงโคจรจะเปลี่ยนแปลงไปตามค่าที่กำหนดให้กับพารามิเตอร์ เมื่อพารามิเตอร์เปลี่ยนไป วงโคจรของแผนที่โลจิสติกสามารถเปลี่ยนแปลงได้หลายวิธี เช่น การหยุดอยู่ที่ค่าเดียว การทำซ้ำค่าหลายค่าเป็นระยะ หรือการแสดง ความผันผวน ที่ไม่เป็นคาบที่เรียกว่าความโกลาหล[ ^{Devaney 1989 1 ] [ 4 ]}

อีกวิธีหนึ่งที่จะเข้าใจลำดับ นี้ คือการวนซ้ำแผนที่โลจิสติก (ในที่นี้แทนด้วย) ไปยังสถานะเริ่มต้น: ^{[ Devaney 1989 2 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=f(x_{0}),\\x_{2}&=f(x_{1})=f(f(x_{0})),\\x_{3}&=f(x_{2})=f(f(f(x_{0}))),\\x_{4}&=\dots \\\end{aligned}}}$$

นี่เป็นแนวทางเริ่มต้นของHenri Poincaréในการศึกษาระบบพลวัตและในที่สุดก็ความโกลาหล โดยเริ่มจากการศึกษาจุดคงที่หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือสถานะที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (เช่น เมื่อ) ระบบโกลาหลจำนวนมาก เช่นเซต Mandelbrotเกิดขึ้นจากการวนซ้ำของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นกำลังสองที่ง่ายมาก เช่น แผนที่โลจิสติก^{[ 5 ]}${\displaystyle x_{n}=...=x_{1}=x_{0}=f(x_{0})}$

ยกตัวอย่างเช่นแบบจำลองประชากร ทางชีววิทยา x _nเป็นตัวเลขระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ซึ่งแสดงถึงอัตราส่วนของประชากร ที่มีอยู่ ต่อประชากรสูงสุดที่เป็นไปได้ [ ^{May , Robert M. (1976) 2 ]} สมการความแตกต่างแบบไม่เชิงเส้นนี้มีจุดประสงค์เพื่อจับภาพผลกระทบสองประการ:

• การสืบพันธุ์ซึ่งประชากรจะเพิ่มขึ้นในอัตราส่วนที่สัมพันธ์กับประชากรปัจจุบันเมื่อขนาดประชากรยังน้อย
• การอดตาย (อัตราการตายขึ้นอยู่กับความหนาแน่น) ซึ่งอัตราการเติบโตจะลดลงในอัตราส่วนที่สัมพันธ์กับค่าที่ได้จากการนำ "ความสามารถในการรองรับ" ทางทฤษฎีของสิ่งแวดล้อมลบด้วยจำนวนประชากรในปัจจุบัน

ค่าปกติที่น่าสนใจสำหรับพารามิเตอร์rคือค่าในช่วง[0, 4]เพื่อให้x _nยังคงมีขอบเขตอยู่ในช่วง[0, 1]กรณีr = 4ของแผนที่โลจิสติกเป็นการแปลงแบบไม่เชิงเส้นของทั้งแผนที่บิตชิฟต์และ กรณี μ = 2ของแผนที่เต็นท์หากr > 4จะนำไปสู่ขนาดประชากรที่เป็นลบ (ปัญหานี้ไม่ปรากฏในแบบจำลอง Ricker รุ่น เก่า ซึ่งแสดงพลวัตแบบอลวนเช่นกัน) นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาค่าrในช่วง[−2, 0]เพื่อให้x _nยังคงมีขอบเขตอยู่ในช่วง[−0.5, 1.5 ] ^{[ 6 ]}

ภาพเคลื่อนไหวแสดงพฤติกรรมของลำดับเมื่อค่าพารามิเตอร์ r เปลี่ยนแปลงไป ข้อสังเกตแรกคือ ลำดับไม่ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์และยังคงมีค่าจำกัดสำหรับ r ระหว่าง 0 ถึง 4 สามารถสังเกตปรากฏการณ์เชิงคุณภาพต่อไปนี้ตามลำดับเวลาได้: ${\displaystyle x_{n}}$

• การลู่เข้าแบบเอกซ์โปเนนเชียลสู่ศูนย์
• การลู่เข้าสู่ค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (ดูฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังข้อ 4)
• การสั่นเริ่มต้นแล้วจึงลู่เข้า (ดูการหน่วงและตัวสั่นฮาร์มอนิกแบบหน่วง )
• การสั่นที่เสถียรระหว่างสองค่า (ดูการสั่นพ้องและตัวสั่นฮาร์มอนิกอย่างง่าย )
• การแกว่งที่เพิ่มขึ้นระหว่างชุดค่าที่เป็นผลคูณของสอง เช่น 2, 4, 8, 16 เป็นต้น (ดูการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเวลาเป็นสองเท่า )
• ความไม่สม่ำเสมอ (เช่น การเกิดการแกว่งตัวเป็นช่วงๆ ในช่วงเริ่มต้นของความโกลาหล)
• การแกว่งแบบอลหม่านที่พัฒนาเต็มที่
• การผสมเชิงทอพอโลยี (เช่น แนวโน้มของการสั่นที่จะครอบคลุมพื้นที่ว่างทั้งหมด)

สี่ข้อแรกยังมีอยู่ในระบบเชิงเส้น มาตรฐาน การแกว่งระหว่างสองค่าก็มีอยู่ใน สภาวะ เรโซแนน ซ์เช่นกัน แม้ว่าระบบอลวนจะมีเงื่อนไขเรโซแนนซ์ที่หลากหลายก็ตาม ปรากฏการณ์อื่นๆ นั้นเป็นลักษณะเฉพาะของความอลวนลำดับขั้นเหล่านี้คล้ายคลึงกับการเริ่มต้นของความปั่นป่วน อย่างน่าทึ่ง ความอลวนไม่ได้เป็นลักษณะเฉพาะของระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นเท่านั้น แต่ยังสามารถแสดงออกมาในระบบเชิงเส้นที่มีมิติอนันต์ได้อีกด้วย^{[ 7 ]}

ดังที่กล่าวมาข้างต้น แผนที่โลจิสติกส์นั้นเป็นฟังก์ชันกำลังสองธรรมดา คำถามสำคัญในแง่ของระบบพลวัตคือ พฤติกรรมของวิถีเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อพารามิเตอร์rเปลี่ยนแปลง ขึ้นอยู่กับค่าของrพฤติกรรมของวิถีในแผนที่โลจิสติกส์อาจเรียบง่ายหรือซับซ้อน^{[ Thompson & Stewart 1 ]}ด้านล่างนี้ เราจะอธิบายว่าพฤติกรรมของแผนที่โลจิสติกส์เปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อrเพิ่มขึ้น

ดังที่กล่าวมาข้างต้น แผนที่โลจิสติกสามารถใช้เป็นแบบจำลองเพื่อพิจารณาความผันผวนของขนาดประชากร ในกรณีนี้ ตัวแปร x ของแผนที่โลจิสติกคือจำนวนของแต่ละบุคคลของสิ่งมีชีวิตหารด้วยขนาดประชากรสูงสุด ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ x จึงจำกัดอยู่ที่ 0 ≤ x ≤ 1 ด้วยเหตุนี้ พฤติกรรมของแผนที่โลจิสติกจึงมักถูกกล่าวถึงโดยจำกัดช่วงของตัวแปรให้อยู่ในช่วง [0, 1] ^{[ Hirsch, Smale & Devaney 1 ]}

ถ้าเราจำกัดตัวแปรให้อยู่ในช่วง 0 ≤ x ≤ 1 ช่วงของพารามิเตอร์ r จะถูกจำกัดให้อยู่ในช่วง 0 ถึง 4 (0 ≤ r ≤ 4) อย่างแน่นอน เพราะถ้า r อยู่ในช่วง [0, 1] ค่าสูงสุดของ x จะเท่ากับ r/4 ดังนั้น เมื่อ r > 4 ค่าของ x อาจมากกว่า 1 ในทางกลับกัน เมื่อ r เป็นค่าลบ x ก็อาจมีค่าเป็นลบได้^{[ Hirsch, Smale & Devaney 1 ]}${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle x_{n+1}}$

กราฟของแผนที่โลจิสติกส์ยังสามารถใช้เพื่อเรียนรู้พฤติกรรมของมันได้อีกด้วย กราฟของแผนที่โลจิสติกส์คือเส้นโค้งระนาบที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างและโดยมี(หรือ x) อยู่บนแกนแนวนอน และ(หรือ f (x)) อยู่บนแกนแนวตั้ง กราฟของแผนที่โลจิสติกส์มีลักษณะดังนี้ ยกเว้นกรณีที่ r = 0: ${\displaystyle x_{n+1}=rx(1-x_{n})}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$

มีรูปร่างเป็นพาราโบลาโดยมีจุดยอดอยู่ที่^{[ Gulick 1 ]}

${\displaystyle {\displaystyle (x_{n},x_{n+1})=\left(0.5,{\frac {r}{4}}\right)}}$

2-1

เมื่อค่า r เปลี่ยนไป จุดยอดจะเคลื่อนขึ้นหรือลง และรูปร่างของพาราโบลาจะเปลี่ยนไป นอกจากนี้ พาราโบลาของแผนที่โลจิสติกส์จะตัดกับแกนแนวนอน (เส้นที่) ที่สองจุด จุดตัดทั้งสองคือและและตำแหน่งของจุดตัดเหล่านี้คงที่และไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ r ${\displaystyle x_{n+1}=0}$${\displaystyle (x_{n},x_{n+1})=(0,0)}$${\displaystyle (x_{n},x_{n+1})=(1,0)}$

กราฟของแผนที่ โดยเฉพาะกราฟของตัวแปรเดียว เช่น แผนที่โลจิสติกส์ เป็นกุญแจสำคัญในการทำความเข้าใจพฤติกรรมของแผนที่ หนึ่งในประโยชน์ของกราฟคือการแสดงจุดคงที่ ซึ่งเรียกว่าจุด ลากเส้นตรง y = x (เส้น 45°) บนกราฟของแผนที่ ถ้ามีจุดใดที่เส้น 45° นี้ตัดกับกราฟ จุดนั้นจะเป็นจุดคงที่ ในทางคณิตศาสตร์ จุดคงที่คือ...

${\displaystyle f(x)=x}$

2-2

หมายความว่าจุดที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อใช้แผนที่ เราจะใช้สัญลักษณ์แทนจุดคงที่ว่าในกรณีของแผนที่โลจิสติก จุดคงที่ที่สอดคล้องกับสมการ (2-2) จะได้มาจากการแก้สมการ ${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle rx(1-x)=x}$

${\displaystyle {\displaystyle x_{f1}=0}}$

2-3

${\displaystyle x_{f2}=1-{\frac {1}{r}}}$

2-4

(ยกเว้นกรณี r = 0) แนวคิดเรื่องจุดตรึงมีความสำคัญอย่างยิ่งในระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง

เทคนิคกราฟิกอีกอย่างหนึ่งที่สามารถใช้กับแผนที่ตัวแปรเดียวได้คือ การฉายภาพ แบบใยแมงมุมหลังจากกำหนดค่าเริ่มต้นบนแกนแนวนอนแล้ว ให้ลากเส้นแนวตั้งจากค่าเริ่มต้นไปยังเส้นโค้งของ f(x) ลากเส้นแนวนอนจากจุดที่เส้นโค้งของ f(x) ตัดกับเส้น 45° ของ y = x แล้วลากเส้นแนวตั้งจากจุดที่เส้นโค้งตัดกับเส้น 45° ไปยังเส้นโค้งของ f(x) โดยการทำซ้ำกระบวนการนี้ จะได้แผนภาพคล้ายใยแมงมุมหรือบันไดบนระนาบ การสร้างนี้เทียบเท่ากับการคำนวณวิถีการเคลื่อนที่ด้วยกราฟิก และแผนภาพใยแมงมุมที่สร้างขึ้นแสดงถึงวิถีการเคลื่อนที่เริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นการฉายภาพนี้ช่วยให้มองเห็นพฤติกรรมโดยรวมของวิถีการเคลื่อนที่ได้ในทันที ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

ภาพด้านล่างแสดงแอมพลิจูดและ เนื้อหา ความถี่ของแผนที่โลจิสติกที่วนซ้ำตัวเองสำหรับค่าพารามิเตอร์ตั้งแต่ 2 ถึง 4 อีกครั้งหนึ่ง เราจะเห็นพฤติกรรมเชิงเส้นเริ่มต้น จากนั้นพฤติกรรมอลหม่านไม่เพียงแต่ในโดเมนเวลา (ซ้าย) แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในโดเมนความถี่หรือสเปกตรัม (ขวา) กล่าวคือ ความอลหม่านมีอยู่ทุกระดับ เช่นเดียวกับในกรณีของEnergy cascadeของKolmogorovและมันยังแพร่กระจายจากระดับหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่งด้วย^{[ Thompson & Stewart 2 ]}

เมื่อปรับเปลี่ยนค่าพารามิเตอร์rจะสังเกตเห็นพฤติกรรมดังต่อไปนี้:

ประการแรก เมื่อพารามิเตอร์ r = 0 โดยไม่คำนึงถึงค่าเริ่มต้นกล่าวอีกนัยหนึ่ง วิถีของแผนที่โลจิสติกเมื่อ a = 0 คือวิถีที่ค่าทั้งหมดหลังจากค่าเริ่มต้นเป็น 0 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรต้องตรวจสอบมากนักในกรณีนี้ ${\displaystyle x_{1}=0}$${\displaystyle x_{0}}$

ต่อไป เมื่อพารามิเตอร์ r อยู่ในช่วง 0 < r < 1 ค่าจะลดลงอย่างต่อเนื่องสำหรับค่าใดๆระหว่าง 0 และ 1 นั่นคือลู่เข้าสู่ 0 ในลิมิต n → ∞ ^{[ Gulick 2 ]}จุดที่ลู่เข้าคือจุดคงที่ที่แสดงในสมการ (2-3) จุดคงที่ประเภทนี้ ซึ่งวงโคจรรอบๆ ลู่เข้า เรียกว่า จุดคงที่เสถียรเชิงอะซิมโทติก จุดคงที่ หรือจุดดึงดูด ในทางกลับกัน หากวงโคจรรอบๆเคลื่อนออกไปจากจุดคงที่เมื่อเวลา n เพิ่มขึ้น จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดไม่เสถียร หรือจุดผลักดัน^{[ Gulick 3 ]}${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$

วิธีทั่วไปและง่ายที่จะทราบว่าจุดตรึงมีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกหรือไม่ คือการหาอนุพันธ์ของแผนที่ f ^{[ Gulick 4 ]}อนุพันธ์นี้แสดงเป็น ซึ่งมี เสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ ${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle x_{f}}$

${\displaystyle \left|f'(x_{f})\right|<1}$

3-1

เราสามารถเห็นได้จากการวาดกราฟแผนที่: ถ้าความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดอยู่ระหว่าง −1 และ 1 แสดงว่าจุดนั้นมีเสถียรภาพ และวงโคจรรอบจุดนั้นจะถูกดึงดูดเข้าหาจุด อนุพันธ์ของแผนที่โลจิสติกคือ ${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$

${\displaystyle f'(x)=r(1-2x)}$

3-2

ดังนั้น สำหรับ x = 0 และ 0 < r < 1, 0 < f '(0) < 1 ดังนั้นจุดคงที่= 0 จึงสอดคล้องกับสมการ (3-1) ${\displaystyle x_{f1}}$

อย่างไรก็ตาม วิธีการจำแนกโดยใช้สมการ (3-1) ไม่ทราบช่วงของวงโคจรที่ถูกดึงดูดไปยังมันรับประกันเพียงว่า x ภายในบริเวณใกล้เคียงของจะลู่เข้า ในกรณีนี้ โดเมนของค่าเริ่มต้นที่ลู่เข้าสู่ 0 คือโดเมนทั้งหมด [0, 1] แต่เพื่อให้ทราบแน่ชัด จำเป็นต้องมีการศึกษาแยกต่างหาก ${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$${\displaystyle x_{f}}$

วิธีการตรวจสอบว่าจุดคงที่นั้นไม่เสถียรหรือไม่ สามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ของแผนที่ในลักษณะเดียวกัน สำหรับ r<1 ถ้าจุดคงที่นั้นไม่เสถียรก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle x_{f}}$

${\displaystyle \left|f'(x_{f})\right|>1}$

3-3

ถ้าค่าพารามิเตอร์อยู่ในช่วง 0 < r < 1 จุดคงที่อีกจุดหนึ่ง จะเป็นค่าลบ ดังนั้นจึงไม่อยู่ในช่วง [0, 1] แต่ก็มีอยู่จริงในฐานะจุดคงที่ที่ไม่เสถียร ${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$

โดยทั่วไปแล้ว ในกรณีที่rอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 ประชากรจะเข้าใกล้ค่าดังกล่าวอย่างรวดเร็วr − 1/รโดยไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนประชากรเริ่มต้น

เมื่อพารามิเตอร์ r = 1 วิถีของแผนที่โลจิสติกจะลู่เข้าสู่ 0 เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ แต่ความเร็วในการลู่เข้าจะช้าลงที่ r = 1 จุดคงที่ 0 ที่ r = 1 มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก แต่ไม่สอดคล้องกับสมการ (3-1) ในความเป็นจริง วิธีการจำแนกตามสมการ (3-1) ทำงานโดยการประมาณแผนที่ในอันดับแรกใกล้จุดคงที่ เมื่อ r = 1 การประมาณนี้ใช้ไม่ได้ และเสถียรภาพหรือไม่เสถียรจะถูกกำหนดโดยพจน์กำลังสองของแผนที่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการรบกวนอันดับสอง

เมื่อวาดกราฟของ r = 1 เส้นโค้งจะสัมผัสกับเส้นทแยงมุม 45° ที่ x = 0 ในกรณีนี้ จุดคงที่ ซึ่งอยู่ในช่วงค่าลบสำหรับคือ สำหรับนั่นคือ เมื่อ r เพิ่มขึ้น ค่าของ จะเข้าใกล้ 0 และที่ r = 1 พอดีจะชนกับ การชนกันนี้ทำให้เกิดปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการแตกแขนงแบบทรานส์คริติคอล (transcritical bifurcation ) การแตกแขนงเป็นคำที่ใช้เพื่ออธิบายการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมของระบบพลวัต ในกรณีนี้ การแตกแขนงแบบทรานส์คริติคอลคือเมื่อความเสถียรของจุดคงที่สลับกันไปมา นั่นคือ เมื่อ r น้อยกว่า 1 จะเสถียรและจะไม่เสถียร แต่เมื่อ r มากกว่า 1 จะไม่เสถียรและจะเสถียร ค่าพารามิเตอร์ที่เกิดการแตกแขนงเรียกว่า จุดแตกแขนง ในกรณีนี้ r = 1 คือจุดแตกแขนง ${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle x_{f2}=0}$${\displaystyle x_{f2}=0}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f2}}$

ตัวอย่าง จุดตรึงของการลู่เข้าแบบลดลงอย่างต่อเนื่องไปยัง (r = 1.2, x 0 = 0.6)${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$

ตัวอย่าง จุดตรึงของการลู่เข้าแบบเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องไปยัง (r = 1.8, x 0 = 0.2)${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$

ผลจากการแยกสาขา วงโคจรของแผนที่โลจิสติกส์จะลู่เข้าสู่จุดลิมิตแทนที่จะเป็น จุด โดย เฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าพารามิเตอร์แล้ววิถีที่เริ่มต้นจากค่าในช่วง (0, 1) โดยไม่รวม 0 และ 1 จะลู่เข้าสู่จุดโดยการเพิ่มหรือลดค่าอย่างต่อเนื่อง ความแตกต่างในรูปแบบการลู่เข้าขึ้นอยู่กับช่วงของค่าเริ่มต้น${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle 1<r\leq 2}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle 0<x_{0}<1-1/r}$

ในกรณีของ Then ฟังก์ชันจะลู่เข้าอย่างต่อเนื่อง ยกเว้นในขั้นตอนแรก ${\displaystyle 1-1/r<x_{0}<1/r}$${\displaystyle 1/r<x_{0}<1}$

นอกจากนี้ จุดคงที่กลายเป็นจุดไม่เสถียรเนื่องจากการแตกแขนง แต่ยังคงมีอยู่เป็นจุดคงที่แม้หลังจาก r > 1 นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่มีค่าเริ่มต้นอื่นใดนอกจากตัวมันเองที่สามารถเข้าถึงจุดคงที่ที่ไม่เสถียรนี้ได้ นี่คือและเนื่องจากแผนที่โลจิสติกส์เป็นไปตาม f (1) = 0 โดยไม่คำนึงถึงค่าของ r การใช้แผนที่เพียงครั้งเดียวกับ จะแปลงเป็นจุดเช่น x = 1 ที่สามารถเข้าถึงได้โดยตรงเป็นจุดคงที่โดยการทำซ้ำแผนที่จำนวนจำกัด เรียกว่าจุดคงที่สุดท้าย ${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{f1}=0}$

เมื่อค่า rอยู่ระหว่าง 2 ถึง 3 จำนวนประชากรก็จะเข้าใกล้ค่าเดียวกันในที่สุดr − 1/รแต่ในช่วงแรกค่าจะผันผวนอยู่รอบค่านั้นสักระยะหนึ่งอัตราการลู่เข้าเป็นแบบเชิงเส้น ยกเว้นกรณี r = 3ซึ่งอัตราการลู่เข้าจะช้าลงอย่างมาก น้อยกว่าเชิงเส้น (ดูหน่วยความจำการแยกสาขา )

เมื่อพารามิเตอร์ 2 < r < 3 ยกเว้นค่าเริ่มต้น 0 และ 1 จุดคงที่จะเป็นจุดเดียวกับเมื่อ 1 < r ≤ 2 อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ การลู่เข้าจะไม่เป็นแบบโมโนโทนิก เมื่อตัวแปรเข้าใกล้ ค่าจะมากกว่าและน้อยกว่า ค่า เดิมซ้ำๆ และเคลื่อนที่ตามวิถีการลู่เข้าที่แกว่งไปมาอยู่รอบๆ ค่าเดิม ${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f2}}$

ค่าที่ถูกกำหนดโดยการใช้การแมปเพียงครั้งเดียวคือ --> ${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle f({\tilde {x}}_{f2})=x_{f2}}$

โดยทั่วไปแผนภาพการแยกสาขา (bifurcation diagram)มีประโยชน์ในการทำความเข้าใจการแยกสาขา แผนภาพเหล่านี้เป็นกราฟของจุดคงที่ (หรือจุดคาบตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง) x เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ a โดยมี a อยู่บนแกนแนวนอนและ x อยู่บนแกนแนวตั้ง เพื่อแยกแยะระหว่างจุดคงที่ที่เสถียรและไม่เสถียร บางครั้งเส้นโค้งที่เสถียรจะถูกวาดด้วยเส้นทึบและเส้นโค้งที่ไม่เสถียรจะถูกวาดด้วยเส้นประ เมื่อวาดแผนภาพการแยกสาขาสำหรับแผนที่โลจิสติก เราจะมีเส้นตรงที่แสดงถึงจุดคงที่ และเส้นตรงที่แสดงถึงจุดคง ที่ จะเห็นได้ว่าเส้นโค้งที่แสดง a และ b ตัดกันที่ r = 1 และความเสถียรจะสลับกันระหว่างสองจุดนี้ ${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$

ในกรณีทั่วไป เมื่อrอยู่ระหว่าง 3 และ 1 +  √ 6 ≈ 3.44949 ประชากรจะเข้าใกล้การแกว่งตัวถาวรระหว่างสองค่า ค่าทั้งสองนี้ขึ้นอยู่กับrและกำหนดโดย ^{[ 6 ]}${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{2r}}\left(r+1\pm {\sqrt {(r-3)(r+1)}}\right)}$

เมื่อพารามิเตอร์ r = 3 พอดี วงโคจรก็จะมีจุดคงที่เช่นกันอย่างไรก็ตาม ตัวแปรจะลู่เข้าช้ากว่าเมื่อ r = 3 เมื่อ r = 3 อนุพันธ์จะมีค่าเป็น −1 และไม่สอดคล้องกับสมการ (3-1) อีกต่อไป เมื่อ r เกิน 3 อนุพันธ์จะกลายเป็นจุดคงที่ที่ไม่เสถียร นั่นคือ เกิดการแยกสาขาอีกครั้งที่ ${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$${\displaystyle 2<r<3}$${\displaystyle r=3}$${\displaystyle f'(x_{f2})}$${\displaystyle f'(x_{f2})<-1}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle r=3}$

สำหรับการแยกสาขาประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเวลา (period doubling bifurcation ) จะเกิดขึ้น สำหรับกรณีนี้วงโคจรจะไม่ลู่เข้าสู่จุดเดียวอีกต่อไป แต่จะสลับไปมาระหว่างค่ามากและค่าน้อย แม้ว่าจะผ่านไปนานพอสมควรแล้วก็ตาม ตัวอย่างเช่น สำหรับกรณีนี้ตัวแปรจะสลับไปมาระหว่างค่า 0.4794... และ 0.8236.... ${\displaystyle r=3}$${\displaystyle r>3}$${\displaystyle r=3.3}$

แผนภาพใยแมงมุมและอนุกรมเวลาสำหรับ a = 3.3 วงโคจรถูกดึงดูดไปยังจุดคาบ 2 ที่เสถียร

วงโคจรที่วนรอบค่าเดิมซ้ำๆ เป็นระยะๆ เรียกว่า วงโคจรคาบ ในกรณีนี้ พฤติกรรมสุดท้ายของตัวแปรเมื่อ n → ∞ คือ วงโคจรคาบที่มีสองคาบ แต่ละค่า (จุด) ที่ประกอบเป็นวงโคจรคาบเรียกว่า จุดคาบ ในตัวอย่างที่ a = 3.3 ค่า 0.4794... และ 0.8236... เป็นจุดคาบ ถ้า x ใดๆ เป็นจุดคาบ ในกรณีที่มีจุดคาบสองจุด การใช้แผนที่กับ x สองครั้งจะทำให้ x กลับสู่สถานะเดิม ดังนั้น

${\displaystyle f(f(x))=f^{2}(x)=x}$

3-4

ถ้าเราใช้สมการแผนที่โลจิสติกส์ (1-2) กับสมการนี้ เราจะได้

${\displaystyle r^{2}x(1-x)(1-rx(1-x))=x}$

3-5

สิ่งนี้ทำให้เราได้สมการอันดับสี่ดังต่อไปนี้ คำตอบของสมการนี้คือจุดคาบ ในความเป็นจริง มีจุดคงที่สองจุดและ ยังสอดคล้องกับสมการ (3-4) ด้วย ดังนั้น ในบรรดาคำตอบของสมการ (3-5) สองคำตอบสอดคล้องกับและและคำตอบที่เหลืออีกสองคำตอบเป็นจุดคาบ 2 ให้จุดคาบ 2 แทนด้วยและตามลำดับ โดยการแก้สมการ (3-5) เราจะได้จุดเหล่านั้นดังต่อไปนี้ ${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle x_{f2}=1-1/r}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$

${\displaystyle x_{f1}^{(2)},\ x_{f2}^{(2)}={\frac {r+1\pm {\sqrt {(r+1)(r-3)}}}{2r}}}$

3-6

ทฤษฎีที่คล้ายกันเกี่ยวกับเสถียรภาพของจุดคงที่สามารถนำไปใช้กับจุดคาบได้เช่นกัน กล่าวคือ จุดคาบที่ดึงดูดวงโคจรโดยรอบเรียกว่าจุดคาบที่มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติก และจุดคาบที่วงโคจรโดยรอบเคลื่อนออกไปเรียกว่าจุดคาบที่ไม่มีเสถียรภาพ สามารถกำหนดเสถียรภาพของจุดคาบได้ในลักษณะเดียวกับจุดคงที่ ในกรณีทั่วไป ให้พิจารณาหลังจากวนซ้ำ k ครั้งของแผนที่ ให้เป็นอนุพันธ์ ของจุดคาบ k ถ้าสอดคล้องกับ: ${\displaystyle f^{k}(x)}$${\displaystyle (f^{k})'(x)}$${\displaystyle df^{k}(x)/dx}$${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$

${\displaystyle \left|(f^{k})'(x_{f}^{(k)})\right|<1}$

3-7

ดังนั้นจึงมีเสถียรภาพเชิงอะซิ้มโทติก ${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$

${\displaystyle \left|(f^{k})'(x_{f}^{(k)})\right|>1}$

3-8

ดังนั้นจึงไม่เสถียร ${\displaystyle x_{f}^{(k)}}$

การอภิปรายข้างต้นเกี่ยวกับเสถียรภาพของจุดคาบสามารถเข้าใจได้ง่ายโดยการวาดกราฟ เช่นเดียวกับจุดคงที่ ในแผนภาพนี้ แกนแนวนอนคือ xn และแกนแนวตั้งคือและมีการวาดเส้นโค้งที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างและจุดตัดของเส้นโค้งนี้กับเส้น 45° คือจุดที่สอดคล้องกับสมการ (3-4) ดังนั้นจุดตัดจึงแสดงถึงจุดคงที่และจุดคาบ 2 จุด หากเราวาดกราฟของแผนที่โลจิสติกเราจะสังเกตได้ว่าความชันของเส้นสัมผัสที่จุดคงที่เกิน 1 ที่ขอบเขต และไม่เสถียร ในขณะเดียวกัน จุดตัดใหม่สอง จุด ก็ปรากฏขึ้น ซึ่งเป็นจุดคาบและ${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle f^{2}(x)}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle r=3}$${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อ r = 2.7 ก่อนที่จะเกิดการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า วงโคจรจะลู่เข้าสู่จุดคงที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{f2}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อ r = 3 ความชันของเส้นสัมผัสที่จุดคงที่คือ 1 พอดี และเกิดการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{f2}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อ r = 3.3 จะไม่เสถียร และวงโคจรจะ ลู่เข้าสู่จุดคาบและ${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f1}^{(2)}}$${\displaystyle x_{f2}^{(2)}}$

เมื่อเราคำนวณค่าสัมประสิทธิ์เชิงอนุพันธ์ของจุดคาบสองจุดสำหรับแผนที่โลจิสติก เราจะได้

${\displaystyle (f^{2})'(x_{f}^{(2)})=4+2r-r^{2}}$

3-9

เมื่อนำไปใช้กับสมการ (3-7) พารามิเตอร์ a จะกลายเป็น:

${\displaystyle \left|4+2r-r^{2}\right|<1}$

3-10

จะเห็นได้ว่าจุดคาบ 2 นั้นมีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกเมื่อช่วงนี้เป็น นั่นคือ เมื่อ r เกินจุดคาบ 2 นั้นจะไม่มีเสถียรภาพเชิงอะซิมโทติกอีกต่อไปและพฤติกรรมของมันจะเปลี่ยนไป ${\displaystyle 3<r<1+{\sqrt {6}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$

ค่าเริ่มต้นเกือบทั้งหมดในช่วง [0, 1] จะถูกดึงดูดไปยังจุดคาบ 2 แต่และ ยังคงเป็นจุดคงที่ที่ไม่เสถียรในช่วง [0,1] จุดคงที่ที่ไม่เสถียรเหล่านี้ยังคงอยู่ในช่วง [0,1] แม้ว่า r จะเพิ่มขึ้นก็ตาม ดังนั้น เมื่อค่าเริ่มต้นเป็นหรือวงโคจรจะไม่ถูกดึงดูดไปยังจุดคาบ 2 ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อค่าเริ่มต้นเป็นจุดคงที่สุดท้ายสำหรับหรือจุดคงที่สุดท้ายสำหรับวงโคจรจะไม่ถูกดึงดูดไปยังจุดคาบ 2 มีจุดคงที่สุดท้ายดังกล่าวจำนวนอนันต์ในช่วง [0, 1] อย่างไรก็ตาม จำนวนจุดดังกล่าวมีน้อยมากเมื่อเทียบกับเซตของจำนวนจริงในช่วง [0, 1] ${\displaystyle x_{f1}=0}$${\displaystyle x_{f2}=1-1/a}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f2}}$${\displaystyle x_{f1}}$${\displaystyle x_{f2}}$

เมื่อค่า rอยู่ระหว่าง 3.44949 และ 3.54409 (โดยประมาณ) จากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะเข้าใกล้การแกว่งตัวอย่างถาวรระหว่างค่าสี่ค่า โดยค่าหลังนี้เป็นรากของพหุนามดีกรี 12 (ลำดับA086181ในOEIS )

เมื่อค่า rเพิ่มขึ้นเกิน 3.54409 จากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะเข้าใกล้การแกว่งตัวระหว่างค่า 8 จากนั้น 16, 32 เป็นต้น ความยาวของช่วงพารามิเตอร์ที่ทำให้เกิดการแกว่งตัวที่มีความยาวที่กำหนดจะลดลงอย่างรวดเร็ว อัตราส่วนระหว่างความยาวของช่วงการแยกสาขาที่ต่อเนื่องกันสองช่วงจะเข้าใกล้ค่าคงที่ของ Feigenbaum δ ≈ 4.66920พฤติกรรมนี้เป็นตัวอย่างของการเกิดการ แกว่งตัวแบบทวีคูณของคาบเวลา

เมื่อค่าพารามิเตอร์ r เกินค่าที่กำหนด จุดคาบ 2 ที่เคยเสถียรจะกลายเป็นไม่เสถียร จุดคาบ 4 ที่เสถียรจะถูกสร้างขึ้น และวงโคจรจะโน้มเอียงไปสู่การแกว่งแบบคาบ 4 นั่นคือ การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าจะเกิดขึ้นอีกครั้งที่ ค่า r = 0 ค่าของ x ที่จุดคาบ 4 ก็คือ 0 เช่นกัน ${\displaystyle 1+{\sqrt {6}}=3.44949...}$${\displaystyle r=3.44949...}$

${\displaystyle f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)=x}$

3-11

เป็นไปตามเงื่อนไข ดังนั้นการแก้สมการนี้จะช่วยให้สามารถหาค่าของ x ที่จุดคาบ 4 ได้ อย่างไรก็ตาม สมการ (3-11) เป็นสมการอันดับ 16 และแม้ว่าเราจะแยกตัวประกอบของคำตอบทั้งสี่สำหรับจุดคงที่และจุดคาบ 2 ออกมาแล้ว ก็ยังคงเป็นสมการอันดับ 12 ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้สมการนี้เพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่ชัดเจนของ a ที่แสดงค่าของจุดคาบ 4 ในลักษณะเดียวกับจุดคาบ 2 ได้อีกต่อไป

เมื่อค่า a มีขนาดใหญ่ขึ้น จุดคาบ 4 ที่เสถียรจะเกิดการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าอีกครั้ง ส่งผลให้เกิดจุดคาบ 8 ที่เสถียร เมื่อค่า a เพิ่มขึ้น การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าจะเกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด: 16, 32, 64, ... และต่อไปเรื่อยๆ จนกระทั่งถึงคาบอนันต์ นั่นคือ วงโคจรที่ไม่กลับไปสู่ค่าเดิมอีกเลย อนุกรมอนันต์ของการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่านี้เรียกว่า แคสเคด ในขณะที่การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าเหล่านี้เกิดขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด ช่วงเวลาระหว่างค่า a ที่เกิดการแยกสาขาจะลดลงตามลำดับเรขาคณิต ดังนั้น การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าจำนวนอนันต์จะเกิดขึ้นก่อนที่พารามิเตอร์ a จะมีค่าจำกัด ให้การแยกสาขาจากคาบ 1 ไปยังคาบ 2 ที่เกิดขึ้นที่ r = 3 นับเป็นการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าครั้งแรก จากนั้น ในแคสเคดของการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่านี้ จุดคาบ 2k ที่เสถียรจะเกิดขึ้นที่จุดแยกสาขาที่ k ให้จุดแยกสาขาที่ k แทนด้วย a k ในกรณีนี้ เป็นที่ทราบกันว่าลู่เข้าสู่ค่าต่อไปนี้เมื่อ k → ∞ (ลำดับA098587ในOEIS ) ${\displaystyle r_{k}}$

${\displaystyle r_{\infty }=\lim _{k\rightarrow \infty }r_{k}=3.56994...}$

3-12

นอกจากนี้ เป็นที่ทราบกันว่าอัตราการลดลงของ ak จะถึงค่าคงที่ในที่สุด ดังแสดงในสมการต่อไปนี้

${\displaystyle \delta =\lim _{k\to \infty }{\frac {r_{k}-r_{k-1}}{r_{k+1}-r_{k}}}=4.66920...}$

3-13

ค่า δ นี้เรียกว่าค่าคงที่ของ Feigenbaum เพราะถูกค้นพบโดยนักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ Mitchell Feigenbaum และเรียกว่าจุด Feigenbaum ในการเพิ่มคาบแบบทวีคูณ และมีคุณสมบัติที่ว่าพวกมันจะเหมือนกันในระดับท้องถิ่นหลังจากการแปลงสเกลลิ่งที่เหมาะสม ค่าคงที่ของ Feigenbaum สามารถหาได้โดยเทคนิคที่เรียกว่าการปรับค่าใหม่ (renormalization) ซึ่งใช้ประโยชน์จากความคล้ายคลึงกันในตัวเองนี้ คุณสมบัติที่แผนที่โลจิสติกแสดงออกมาในการเพิ่มคาบแบบทวีคูณนั้นยังเป็นสากลในแผนที่ประเภทที่กว้างกว่า ดังที่จะกล่าวถึงในภายหลัง ${\displaystyle r_{\infty }}$${\displaystyle f^{m}}$${\displaystyle f^{2m}}$

เพื่อให้ได้ภาพรวมของพฤติกรรมสุดท้ายของวงโคจรสำหรับพารามิเตอร์ที่กำหนด แผนภาพการแตกแขนงโดยประมาณ หรือแผนภาพวงโคจร จะมีประโยชน์ ในแผนภาพนี้ แกนแนวนอนคือพารามิเตอร์ r และแกนแนวตั้งคือตัวแปร x เช่นเดียวกับในแผนภาพการแตกแขนง โดยใช้คอมพิวเตอร์ในการกำหนดพารามิเตอร์ และทำการคำนวณซ้ำ 500 ครั้ง ตัวอย่างเช่น จากนั้นจะละทิ้งผลลัพธ์ 100 ครั้งแรก และแสดงเฉพาะผลลัพธ์ที่เหลือ 400 ครั้ง วิธีนี้ช่วยให้สามารถละเลยพฤติกรรมชั่วคราวในช่วงเริ่มต้น และคงไว้ซึ่งพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของวงโคจร ตัวอย่างเช่น เมื่อพล็อตจุดหนึ่งจุดสำหรับ r จุดนั้นจะเป็นจุดคงที่ และเมื่อพล็อตจุด m จุดสำหรับ r จุดนั้นจะสอดคล้องกับวงโคจรแบบคาบ m เมื่อวาดแผนภาพวงโคจรสำหรับแผนที่โลจิสติกส์ จะสามารถเห็นได้ว่าแขนงที่แสดงถึงวงโคจรแบบคาบที่เสถียรนั้นแยกออกอย่างไร ซึ่งแสดงถึงการแตกแขนงแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าแบบต่อเนื่อง

เมื่อพารามิเตอร์อยู่ที่จุดสะสมของลำดับการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าพอดี ตัวแปรจะถูกดึงดูดไปยังวงโคจรที่ไม่เป็นคาบซึ่งไม่มีวันปิดลง กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีจุดคาบที่มีคาบอนันต์อยู่ที่ วงโคจรที่ไม่เป็นคาบนี้เรียกว่าตัวดึงดูดของ Feigenbaum ตัวดึงดูดวิกฤต ตัวดึงดูดเป็นคำที่ใช้เรียกบริเวณที่มีคุณสมบัติในการดึงดูดวงโคจรโดยรอบ และเป็นวงโคจรที่จะถูกดึงเข้าไปและดำเนินต่อไปในที่สุด จุดคงที่ที่ดึงดูดและจุดคาบที่กล่าวถึงข้างต้นก็เป็นสมาชิกของตระกูลตัวดึงดูดเช่นกัน ${\displaystyle r=r_{\infty }}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle r_{\infty }}$${\displaystyle 2^{\infty }}$

โครงสร้างของตัวดึงดูดไฟเกนบอม (Feigenbaum attractor) นั้นเหมือนกับโครงสร้างของรูปทรงแฟรกทัลที่เรียกว่าเซตแคนเตอร์ (Cantor set ) จำนวนจุดที่ประกอบเป็นตัวดึงดูดไฟเกนบอมนั้นเป็นอนันต์ และจำนวนสมาชิกของจุดเหล่านั้นเท่ากับจำนวนจริง อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าเราจะเลือกจุดสองจุดใดก็ตาม จะมีจุดคาบที่ไม่เสถียรอยู่ระหว่างจุดสองจุดนั้นเสมอ และการกระจายของจุดนั้นไม่ต่อเนื่องมิติแฟรกทัลของตัวดึงดูดไฟเกนบอม หรือมิติเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff dimension) หรือมิติความจุ (capacity dimension) นั้นเป็นที่ทราบกันว่ามีค่าประมาณ 0.54

• ที่ค่า r ≈ 3.56995 (ลำดับA098587ในOEIS ) คือจุดเริ่มต้นของความโกลาหล ณ จุดสิ้นสุดของกระบวนการเพิ่มคาบเป็นสองเท่า จากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด เราจะไม่เห็นการแกว่งที่มีคาบจำกัดอีกต่อไป การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในประชากรเริ่มต้นส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างมากเมื่อเวลาผ่านไป ซึ่งเป็นลักษณะสำคัญของความโกลาหล
• ตัวเลขนี้จะถูกนำมาเปรียบเทียบและทำความเข้าใจว่าเป็นค่าเทียบเท่ากับเลขเรย์โนลด์สำหรับการเริ่มต้นของปรากฏการณ์อลวนอื่นๆ เช่นความปั่นป่วนและคล้ายกับอุณหภูมิวิกฤตของการเปลี่ยนสถานะโดยพื้นฐานแล้วปริภูมิเฟสประกอบด้วยปริภูมิย่อยที่สมบูรณ์ของกรณีต่างๆ พร้อมด้วยตัวแปรพลวัตเพิ่มเติมเพื่อบ่งบอกลักษณะสถานะจุลภาคของระบบ ซึ่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็น กระแสน้ำ วนในกรณีของความปั่นป่วน และพารามิเตอร์ลำดับในกรณีของการเปลี่ยนสถานะ
• ค่าr ส่วนใหญ่ ที่เกิน 3.56995 แสดงพฤติกรรมอลหม่าน แต่ก็ยังมีช่วงค่าr บางช่วง ที่แสดงพฤติกรรมไม่อลหม่าน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าเกาะแห่งเสถียรภาพตัวอย่างเช่น เริ่มต้นที่ 1 +  √ 8 ^{[ 8 ]} (ประมาณ 3.82843) จะมีช่วงพารามิเตอร์rที่แสดงการแกว่งไปมาระหว่างสามค่า และสำหรับค่าr ที่สูงขึ้นเล็กน้อย จะมีการแกว่งไปมาระหว่าง 6 ค่า จากนั้น 12 ค่า เป็นต้น
• ณ จุดนั้นวงจรคาบ 3 ที่เสถียรจะปรากฏขึ้น^{[ 9 ]}${\displaystyle r=1+{\sqrt {8}}=3.8284...}$
• การพัฒนาพฤติกรรมอลวนของลำดับโลจิสติกส์เมื่อพารามิเตอร์rเปลี่ยนแปลงจากประมาณ 3.56995 ถึงประมาณ 3.82843 บางครั้งเรียกว่าสถานการณ์ Pomeau–Mannevilleซึ่งมีลักษณะเป็นเฟสแบบคาบ (ลามินาร์) ที่ถูกขัดจังหวะด้วยการระเบิดของพฤติกรรมที่ไม่เป็นคาบ สถานการณ์ดังกล่าวมีการประยุกต์ใช้ในอุปกรณ์เซมิคอนดักเตอร์^{[ 10 ]}มีช่วงอื่นๆ ที่ให้การแกว่งระหว่างค่า 5 เป็นต้น คาบการแกว่งทั้งหมดเกิดขึ้นสำหรับค่าr บางค่า หน้าต่างการเพิ่มคาบเป็นสองเท่า ที่ มีพารามิเตอร์cคือช่วงของ ค่า rที่ประกอบด้วยช่วงย่อยที่ต่อเนื่องกัน ช่วงย่อยที่ kประกอบด้วยค่าrที่มีวงจรเสถียร (วงจรที่ดึงดูดชุดจุดเริ่มต้นที่มีขนาดหน่วย) ของคาบ2 ^k cลำดับของช่วงย่อยนี้เรียกว่าลำดับของฮาร์มอนิก^{[ May, Robert M. (1976) 1 ]}ในช่วงย่อยที่มีวัฏจักรเสถียรที่มีคาบ2 ^{k *} cจะมีวัฏจักรไม่เสถียรที่มีคาบ2 ^k cสำหรับทุกk < k *ค่าrที่ปลายลำดับอนันต์ของช่วงย่อยเรียกว่าจุดสะสมของลำดับฮาร์มอนิก เมื่อr เพิ่มขึ้น จะมีหน้าต่างใหม่ต่อเนื่องกันที่มีค่า cต่างกัน หน้าต่างแรกสำหรับc = 1หน้าต่างที่ตามมาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับc คี่ จะเกิดขึ้นตามลำดับที่ลดลงของc โดย เริ่ม จาก cที่มีค่ามากตามอำเภอใจ^{[ May, Robert M. (1976) 1 ] [ 11 ]}
• ที่จุดนั้นแถบความวุ่นวายสองแถบของแผนภาพการแยกสาขาจะตัดกันที่จุด Misiurewicz แรก สำหรับแผนที่โลจิสติกส์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ^{[ 12 ]}${\displaystyle r=3.678...,x=0.728...}$${\displaystyle r^{3}-2r^{2}-4r-8=0,x=1-1/r}$
• เมื่อr เกิน 4ค่าเริ่มต้นเกือบทั้งหมดจะออกจากช่วง[0,1]และแยกออกในที่สุด ชุดของเงื่อนไขเริ่มต้นที่ยังคงอยู่ในช่วง[0,1]จะก่อตัวเป็นเซตแคนเตอร์และพลวัตที่จำกัดอยู่ในเซตแคนเตอร์นี้จะเป็นแบบอลวน^{[ 13 ]}

สำหรับค่าr ใดๆ จะมีวงจรเสถียรอย่างมากที่สุดหนึ่งวงจร หากมีวงจรเสถียรอยู่ วงจรนั้นจะเสถียรทั่วโลก โดยดึงดูดจุดเกือบทั้งหมด^{[ 14 ] : 13} ค่าr บางค่า ที่มีวงจรเสถียรในช่วงเวลาหนึ่งจะมีวงจรไม่เสถียรจำนวนอนันต์ในช่วงเวลาต่างๆ กัน

แผนภาพการแยกสาขาทางด้านขวาaboveสรุปสิ่งนี้ได้ แกนแนวนอนแสดงค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์rในขณะที่แกนแนวตั้งแสดงชุดค่าของxที่เข้าถึงได้ในเชิงอะซิ้มโทติกจากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมดโดยการวนซ้ำของสมการโลจิสติกส์ด้วยค่า r นั้น

แผนภาพการแตกแขนงเป็นแบบคล้ายตนเอง : ถ้าเราซูมเข้าไปที่ค่าr ≈ 3.82843 ที่กล่าวถึงข้างต้น และโฟกัสไปที่แขนข้างใดข้างหนึ่งจากสามแขนนั้น สถานการณ์โดยรอบจะดูเหมือนแผนภาพทั้งหมดที่หดตัวและบิดเบี้ยวเล็กน้อย เช่นเดียวกันกับจุดที่ไม่เกิดความโกลาหลอื่นๆ ทั้งหมด นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของความเชื่อมโยงที่ลึกซึ้งและแพร่หลายระหว่างความโกลาหลและแฟรกทัล

การขยายภาพบริเวณที่สับสนวุ่นวายบนแผนที่

บริเวณที่มีเสถียรภาพภายในบริเวณที่อลวน ซึ่งเกิดการแยกสาขาแบบสัมผัสที่ขอบเขตระหว่างตัวดึงดูดแบบอลวนและแบบคาบ ทำให้เกิดวิถีการเคลื่อนที่แบบไม่ต่อเนื่องดังที่อธิบายไว้ในสถานการณ์ของ Pomeau–Manneville

เราสามารถพิจารณาค่าr ที่เป็นลบได้เช่นกัน :

• สำหรับค่า rระหว่าง -2 และ -1 ลำดับโลจิสติกส์ยังมีพฤติกรรมโกลาหลอีกด้วย^{[ 6 ]}
• เมื่อrอยู่ระหว่าง -1 และ 1 -  √ 6และสำหรับx ₀อยู่ระหว่าง 1/ rและ 1-1/ rประชากรจะเข้าใกล้การแกว่งตัวถาวรระหว่างสองค่า เช่นเดียวกับกรณีที่rอยู่ระหว่าง 3 และ 1 +  √ 6และกำหนดโดยสูตรเดียวกัน^{[ 6 ]}

วงโคจรอลหม่านของแผนที่โลจิสติกเมื่อ r = 3.82 สี่เหลี่ยมสีส้มคือวงโคจรที่เริ่มต้นจากและวงกลมสีฟ้าอมเขียวคือวงโคจรที่เริ่มต้นจาก${\displaystyle x_{0}=0.1234}$${\displaystyle {\hat {x}}_{0}=0.1234+10^{-9}}$

วิถีโคจรเริ่มต้นจาก x 0 = 0.1234 และ ˆx ความแตกต่างของวงโคจรที่เริ่มต้นจากค่าดังกล่าวจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง แกนตั้งคือค่าที่แสดงบนมาตราส่วนลอการิทึม${\displaystyle x_{0}=0.1234+10^{-9}}$${\displaystyle \Delta x_{n}=|x_{n}-{\hat {x}}_{n}|}$

เมื่อค่าพารามิเตอร์ r เกินค่าที่กำหนดแผนที่โลจิสติกจะแสดงพฤติกรรมอลวน โดยคร่าวๆ แล้ว ความอลวนคือพฤติกรรมที่ซับซ้อนและไม่สม่ำเสมอซึ่งเกิดขึ้นแม้ว่าสมการผลต่างที่อธิบายแผนที่โลจิสติกจะไม่มีความกำกวมเชิงความน่าจะเป็น และสถานะถัดไปถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์และไม่ซ้ำกัน ช่วงของแผนที่โลจิสติกเรียกว่าบริเวณอลวน ${\displaystyle r_{\infty }=3.56994...}$${\displaystyle r>r_{\infty }}$

หนึ่งในคุณสมบัติของความโกลาหลคือความไม่แน่นอน ซึ่งเป็นสัญลักษณ์โดยคำว่าปรากฏการณ์ผีเสื้อ (butterfly effect ) เนื่องจากคุณสมบัติของความโกลาหลที่ว่า ความแตกต่างเพียงเล็กน้อยในสถานะเริ่มต้นสามารถนำไปสู่ความแตกต่างอย่างมากในสถานะต่อมาได้ ในแง่ของระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง ถ้าเรามีค่าเริ่มต้นสองค่าคือ 0 และ n ไม่ว่าค่าเหล่านั้นจะใกล้เคียงกันแค่ไหน เมื่อเวลาผ่านไป n ถึงระดับหนึ่ง ค่าปลายทาง 0 และ n ของแต่ละค่า ก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างมาก ตัวอย่างเช่น ถ้าคำนวณวงโคจรโดยใช้ค่าเริ่มต้นสองค่าที่คล้ายกันมากคือ 0 = 0.1000000001 ความแตกต่างจะเพิ่มขึ้นเป็นค่าขนาดใหญ่ที่เห็นได้ชัดบนกราฟหลังจากประมาณ 29 รอบการคำนวณ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{n}}$${\displaystyle r=3.95,x_{0}=0.1,{\hat {x}}_{0}=x_{0}+10^{-9}}$

คุณสมบัติของความโกลาหลนี้ ซึ่งเรียกว่าความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น สามารถแสดงออกมาในเชิงปริมาณได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunovสำหรับแผนที่หนึ่งมิติ ค่าสัมประสิทธิ์ Lyapunov λ สามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle {\displaystyle \lambda =\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{i=0}^{N-1}\log \left|f^{\prime }(x_{i})\right\vert }}$

3-14

ในที่นี้ log หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ λ คือระยะห่างระหว่างวงโคจรทั้งสอง ( และ ) ค่า λ ที่เป็นบวกแสดงว่าระบบมีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น ในขณะที่ค่า λ เป็นศูนย์หรือลบแสดงว่าระบบไม่ไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้น เมื่อคำนวณค่า λ ในเชิงตัวเลข จะสามารถยืนยันได้ว่า λ จะอยู่ในช่วงค่าศูนย์หรือลบในช่วง และ λ สามารถมีค่าเป็นบวก ได้ ในช่วง${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{n}}$${\displaystyle r<r_{\infty }}$${\displaystyle r>r_{\infty }}$

หน้าต่าง, เป็นระยะ

ยิ่งกว่านั้นพฤติกรรมไม่ได้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ r เพียงอย่างเดียว โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากมายซ่อนตัวอยู่ในบริเวณอลวนสำหรับในบริเวณนี้ ความอลวนไม่ได้คงอยู่ตลอดไป วงโคจรคาบที่เสถียรจะปรากฏขึ้นอีกครั้ง พฤติกรรมสำหรับสามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภทใหญ่ๆ ดังนี้: ${\displaystyle r_{\infty }}$${\displaystyle r>r_{\infty }}$${\displaystyle r_{\infty }<a\leq 4}$

• จุดคาบเสถียร: ในกรณีนี้ ค่าเลขชี้กำลัง Lyapunov จะเป็นลบ
• วงโคจรที่ไม่เป็นคาบ: ในกรณีนี้ ค่าเลขชี้กำลังของ Lyapunov จะเป็นบวก

บริเวณของจุดคาบที่เสถียรซึ่งมีอยู่สำหรับ r เรียกว่า หน้าต่างคาบ หรือเรียกสั้น ๆ ว่า หน้าต่าง หากมองดูบริเวณที่อลวนในแผนภาพวงโคจร บริเวณของวงโคจรที่ไม่เป็นคาบจะดูเหมือนกลุ่มจุดนับไม่ถ้วน โดยที่หน้าต่างเป็นช่องว่างที่กระจัดกระจายอยู่ท่ามกลางกลุ่มจุดเหล่านั้น ${\displaystyle r_{\infty }<r\leq 4}$

แผนภาพวงโคจรของแผนที่โลจิสติกส์จาก r = 3.55 ถึง r = 4 (พารามิเตอร์แสดงด้วย r ในแผนภาพ)

ในแต่ละหน้าต่าง ลำดับ การแตกแขนง แบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าที่เกิดขึ้นก่อนหน้านี้จะเกิดขึ้นอีกครั้ง อย่างไรก็ตาม แทนที่จะเป็นวงโคจรคาบเสถียรเดิมของ 2^k วงโคจรคาบเสถียรใหม่ เช่น 3×2^k และ 5×2^k จะถูกสร้างขึ้น หน้าต่างแรกมีคาบเท่ากับ p และหน้าต่างที่เกิดลำดับการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าเรียกว่าหน้าต่างคาบ p เป็นต้น ตัวอย่างเช่น หน้าต่างคาบ 3 มีอยู่ในบริเวณรอบๆ 3.8284 < a < 3.8415 และภายในบริเวณนี้ การเพิ่มคาบเป็นสองเท่าคือ: 3, 6, 12, 24, ..., 3×2^k, .... ${\displaystyle r_{\infty }=3.56994...}$

ในบริเวณหน้าต่าง ความวุ่นวายไม่ได้หายไป แต่ยังคงมีอยู่เบื้องหลัง อย่างไรก็ตาม ความวุ่นวายนี้ไม่เสถียร ดังนั้นจึงสังเกตเห็นเฉพาะวงโคจรคาบที่เสถียรเท่านั้น ในบริเวณหน้าต่าง ความวุ่นวายที่อาจเกิดขึ้นนี้ปรากฏขึ้นก่อนที่วงโคจรจะถูกดึงดูดจากสถานะเริ่มต้นไปยังวงโคจรคาบที่เสถียร ความวุ่นวายเช่นนี้เรียกว่า ความวุ่นวายชั่วคราว ในการมีอยู่ของความวุ่นวายที่อาจเกิดขึ้นนี้ หน้าต่างจะแตกต่างจากวงโคจรคาบที่ปรากฏขึ้นก่อนหน้า a∞

มีหน้าต่างจำนวนอนันต์ในช่วง a∞ < a < 4 หน้าต่างเหล่านี้มีคาบเวลาที่แตกต่างกัน และมีหน้าต่างที่มีคาบเวลาสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหรือเท่ากับสาม อย่างไรก็ตาม หน้าต่างแต่ละบานไม่ได้ปรากฏเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ยิ่งค่า p มากเท่าใด หน้าต่างที่มีคาบเวลานั้นก็จะปรากฏบ่อยขึ้นเท่านั้น หน้าต่างที่มีคาบเวลา 3 ปรากฏเพียงครั้งเดียว ในขณะที่หน้าต่างที่มีคาบเวลา 13 ปรากฏ 315 ครั้ง เมื่อวงโคจรคาบเวลา 3 ปรากฏในหน้าต่างที่มีคาบเวลา 3 ลำดับของ Szarkovsky ก็จะสมบูรณ์ และวงโคจรทั้งหมดที่มีทุกคาบเวลาได้ถูกพบเห็นแล้ว

ถ้าเราพิจารณาเฉพาะกรณีที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนหน้าต่างที่มีคาบ p คือ

${\displaystyle {\displaystyle N_{p}={\frac {2^{p-1}-1}{p}}}}$

3-15

สูตรนี้ได้มาจากการคำนวณสำหรับ p ที่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ในความเป็นจริงแล้ว สามารถคำนวณจำนวนจุดคาบ p ที่เสถียรสำหรับ p ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะได้อย่างแม่นยำเช่นกัน

ความกว้างของหน้าต่าง (ความแตกต่างระหว่างจุดเริ่มต้นของหน้าต่างและจุดสิ้นสุดของหน้าต่าง) จะกว้างที่สุดสำหรับหน้าต่างที่มีคาบ 3 และจะแคบลงสำหรับคาบที่มากกว่านั้น ตัวอย่างเช่น ความกว้างของหน้าต่างสำหรับหน้าต่างที่มีคาบ 13 จะอยู่ที่ประมาณ 3.13 × 10−6 การประมาณคร่าวๆ ชี้ให้เห็นว่าประมาณ 10% ของอยู่ในบริเวณหน้าต่าง ส่วนที่เหลือถูกครอบงำโดยวงโคจรที่อลวน ${\displaystyle [r_{\infty },4]}$

การเปลี่ยนแปลงจากความโกลาหลไปสู่ภาวะสมดุลเมื่อค่า r เพิ่มขึ้น เกิดจากการแยกสาขาแบบสัมผัส (tangent bifurcation) โดยที่เส้นโค้งของแผนที่สัมผัสกับเส้นทแยงมุมของ y = x ณ ขณะที่เกิดการแยกสาขา และการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เพิ่มเติมจะส่งผลให้เกิดจุดคงที่สองจุดที่เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกัน สำหรับช่วงเวลา p แผนที่ที่ทำซ้ำ จะ แสดงการแยกสาขาแบบสัมผัส ส่งผลให้เกิดวงโคจรแบบ p-periodic ที่เสถียร ค่าที่แน่นอนของจุดแยกสาขาสำหรับช่วงเวลา 3 เป็นที่ทราบ และถ้าค่าของจุดแยกสาขา r นี้คือแล้วโครงร่างของการแยกสาขานี้สามารถเข้าใจได้โดยพิจารณาจากกราฟของ(แกนตั้งแกนแนวนอน) ${\displaystyle f^{p}(x)}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{3}=1+{\sqrt {8}}=3.828427...}$${\displaystyle f^{3}(x)}$${\displaystyle x_{n+3}}$${\displaystyle x_{n}}$

กราฟแสดงค่าเมื่อ r มีค่าน้อยกว่า 3 เล็กน้อย กราฟจะไม่สัมผัสพื้นผิว ยกเว้นที่จุดคงที่ และไม่มีจุดคาบ 3${\displaystyle f^{3}(x)}$

เมื่อค่า a เท่ากับ 3 พอดี กราฟจะสัมผัสเส้นทแยงมุมที่สามจุดพอดี ส่งผลให้เกิดจุดคาบสามจุด

เมื่อค่า a มากกว่า 3 เล็กน้อย กราฟจะผ่านเส้นทแยงมุมและแยกออกเป็นจุดคาบ 3 ที่เสถียรและไม่เสถียร

เมื่อเราพิจารณาพฤติกรรมเมื่อ r = 3.8282 ซึ่งเล็กกว่าจุดแยกสาขาเล็กน้อยเราจะเห็นว่านอกเหนือจากการเปลี่ยนแปลงที่ไม่สม่ำเสมอแล้ว ยังมีพฤติกรรมที่เปลี่ยนแปลงเป็นคาบประมาณสามคาบ และเกิดขึ้นสลับกันไป พฤติกรรมเป็นคาบแบบนี้เรียกว่า "ลามินาร์" และพฤติกรรมที่ไม่สม่ำเสมอเรียกว่า "เบิร์สต์" โดยเปรียบเทียบกับของเหลว ไม่มีความสม่ำเสมอในความยาวของคาบเวลาของเบิร์สต์และลามินาร์ และพวกมันเปลี่ยนแปลงอย่างไม่สม่ำเสมอ อย่างไรก็ตาม เมื่อเราสังเกตพฤติกรรมที่ r = 3.828327 ซึ่งใกล้เคียงกับจุดแยกสาขามากขึ้นความยาวเฉลี่ยของลามินาร์จะยาวกว่าและความยาวเฉลี่ยของเบิร์สต์จะสั้นกว่าเมื่อ r = 3.8282 หากเราเพิ่ม r ต่อไป ความยาวของลามินาร์จะมากขึ้นเรื่อยๆ และในที่สุดมันจะเปลี่ยนเป็นสามคาบที่สมบูรณ์แบบ ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle r_{3}}$

อนุกรมเวลาเมื่อ r = 3.8282

อนุกรมเวลาเมื่อ r = 3.828327

ปรากฏการณ์ที่การเคลื่อนที่อย่างเป็นระเบียบที่เรียกว่าลามินาร์และการเคลื่อนที่อย่างไม่เป็นระเบียบที่เรียกว่าเบิร์สต์เกิดขึ้นสลับกัน เรียกว่า ความไม่สม่ำเสมอ หรือ ความโกลาหลแบบไม่สม่ำเสมอ หากเราพิจารณาค่าพารามิเตอร์ a ที่ลดลงจาก a3 นี่คือรูปแบบหนึ่งของการเกิดความโกลาหล เมื่อค่าพารามิเตอร์เคลื่อนห่างจากช่วงที่กำหนด เบิร์สต์จะเด่นชัดมากขึ้น จนในที่สุดนำไปสู่สภาวะโกลาหลอย่างสมบูรณ์ นี่เป็นเส้นทางทั่วไปสู่ความโกลาหลเช่นเดียวกับเส้นทางการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเวลาที่กล่าวถึงข้างต้น และเส้นทางที่มีลักษณะเฉพาะด้วยการเกิดความโกลาหลแบบไม่สม่ำเสมอเนื่องจากการแยกสาขาแบบสัมผัสเรียกว่า เส้นทางความไม่สม่ำเสมอ

กลไกของการเกิดเป็นช่วงๆ สามารถเข้าใจได้จากกราฟของแผนที่เช่นกัน เมื่อมีค่าน้อยกว่าเล็กน้อยจะมีช่องว่างเล็กๆ ระหว่างกราฟของและเส้นทแยงมุม ช่องว่างนี้เรียกว่าช่อง และการวนซ้ำของแผนที่เกิดขึ้นหลายครั้งเมื่อวงโคจรผ่านช่องแคบๆ นี้ ในระหว่างการผ่านช่องนี้และจะเข้าใกล้กันมาก และตัวแปรจะเปลี่ยนแปลงเกือบเหมือนวงโคจรสามวงแบบเป็นคาบ ซึ่งสอดคล้องกับการเกิดแบบราบเรียบ ในที่สุดวงโคจรจะออกจากช่องแคบ แต่จะกลับเข้าสู่ช่องอีกครั้งอันเป็นผลมาจากโครงสร้างโดยรวมของแผนที่ ในขณะที่ออกจากช่อง มันจะแสดงพฤติกรรมแบบอลวน ซึ่งสอดคล้องกับการเกิดแบบระเบิด ${\displaystyle r}$${\displaystyle r_{3}}$${\displaystyle f^{3}(x)}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+3}}$

ขอบหน้าต่าง

เมื่อพิจารณาโดเมนที่วุ่นวายทั้งหมด ไม่ว่าจะเป็นแบบวุ่นวายหรือแบบมีหน้าต่าง ค่าสูงสุดและต่ำสุดบนแกนตั้งของแผนภาพวงโคจร (ขีดจำกัดบนและล่างของตัวดึงดูด) จะถูกจำกัดอยู่ในช่วงที่กำหนด ดังแสดงในสมการ (2-1) ค่าสูงสุดของแผนที่โลจิสติกส์จะกำหนดโดย r/4 ซึ่งเป็นขีดจำกัดบนของตัวดึงดูด ขีดจำกัดล่างของตัวดึงดูดจะกำหนดโดยจุด f(r/4) ที่ r/4 ถูกแมป ในที่สุด ค่าสูงสุดและต่ำสุดที่ xn เคลื่อนที่บนแผนภาพวงโคจรจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ r

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {r^{2}(4-r)}{16}}\leq x_{n}\leq {\frac {r}{4}}}}$

3-16

สุดท้าย สำหรับ r = 4 วงโคจรจะครอบคลุมช่วงทั้งหมด [0, 1]

เมื่อพิจารณาแผนที่วงโคจร การกระจายของจุดจะมีลักษณะการแรเงาที่เฉพาะเจาะจง บริเวณที่มืดกว่าแสดงว่าตัวแปรมีค่าอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับบริเวณที่มืดกว่า ในขณะที่บริเวณที่สว่างกว่าแสดงว่าตัวแปรมีค่าอยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับบริเวณที่มืดกว่า ความแตกต่างในความถี่ของจุดเหล่านี้เกิดจากรูปร่างของกราฟในแผนที่โลจิสติก ส่วนบนสุดของกราฟ ใกล้กับ r/4 ดึงดูดวงโคจรที่มีความถี่สูง และบริเวณใกล้เคียง f(r/4) ที่ถูกแมปจากจุดนั้นก็จะมีความถี่สูงเช่นกัน และต่อไปเรื่อยๆ การกระจายความหนาแน่นของจุดที่สร้างขึ้นโดยแผนที่นั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณที่เรียกว่ามาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลงหรือฟังก์ชันการกระจาย และมาตรวัดไม่เปลี่ยนแปลงของตัวดึงดูดนั้นสามารถทำซ้ำได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้น ${\displaystyle f^{2}(r/4)}$

เมื่อพิจารณาจุดเริ่มต้นของบริเวณที่อลหม่านในแผนภาพวงโคจร เลยจุดสะสมของคาบแรกไปเล็กน้อย – การเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า – จะเห็นได้ว่าวงโคจรถูกแบ่งออกเป็นหลายบริเวณย่อย บริเวณย่อยเหล่านี้เรียกว่าแถบ เมื่อมีหลายแถบ วงโคจรจะเคลื่อนที่ผ่านแต่ละแถบตามลำดับปกติ แต่ค่าภายในแต่ละแถบจะไม่สม่ำเสมอ วงโคจรที่อลหม่านเช่นนี้เรียกว่า ความอลหม่านแบบแถบ หรือ ความอลหม่านแบบคาบ และความอลหม่านที่มี k แถบ เรียกว่า ความอลหม่านแบบ k แถบ ความอลหม่านแบบสองแถบอยู่ในช่วงประมาณ 3.590 < r < 3.675 ${\displaystyle r_{\infty }=3.56994}$

โครงสร้างแถบ เนื่องจากระยะห่างลดลงอย่างรวดเร็ว จึงไม่สามารถแสดงแถบได้มากกว่าแปดแถบ เส้นบนและล่างซึ่งมีออร์บิทัลอยู่ภายในช่วงของสมการ (3-16)${\displaystyle e_{p}}$

เมื่อค่า r ลดลงจากปลายด้านซ้ายของความโกลาหลสองแถบ r = 3.590 จำนวนแถบจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า เช่นเดียวกับการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า ให้(สำหรับ p = 1, 2, 4, ..., 2k, ...) แทนจุดแยกสาขาที่ความโกลาหล p − 1 แถบแยกออกเป็นความโกลาหล p แถบ หรือที่ความโกลาหล p แถบรวมเข้ากับความโกลาหล p − 1 แถบ จากนั้น เช่นเดียวกับการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า ep จะสะสมจนถึงค่าหนึ่งเมื่อ p → ∞ ณ จุดสะสมนี้จำนวนแถบจะกลายเป็นอนันต์ และค่าของจะเท่ากับค่าของ ${\displaystyle e_{p}}$${\displaystyle e_{\infty }}$${\displaystyle e_{\infty }}$${\displaystyle r_{\infty }}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับจุดแยกสาขาของลำดับการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบที่ปรากฏก่อน a∞ ให้ ap (โดยที่ p = 1, 2, 4, ..., 2k, ...) แทนจุดแยกสาขาที่วงโคจรคาบเสถียร p วงแยกออกเป็นวงโคจรคาบเสถียร p + 1 วง ในกรณีนี้ หากเราดูแผนภาพวงโคจรจากไปยัง จะมีแผนภาพวงโคจรทั่วโลกแบบย่อสองเวอร์ชันจากไปยังในแผนภาพวงโคจรจากไปยังในทำนองเดียวกัน หากเราดูแผนภาพวงโคจรจากไปยัง จะมีแผนภาพวงโคจรทั่วโลกแบบย่อสี่เวอร์ชันจาก a1 ถึง e1 ในแผนภาพวงโคจรจาก ไปยังในทำนองเดียวกัน จะมีแผนภาพวงโคจรทั่วโลกแบบย่อ p เวอร์ชันในแผนภาพวงโคจรจาก ap ถึง ep และโครงสร้างการแตกแขนงของแผนที่โลจิสติกมีลำดับชั้นความคล้ายคลึงในตัวเองแบบอนันต์ ${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle r_{4}}$${\displaystyle e_{4}}$${\displaystyle r_{4}}$${\displaystyle e_{4}}$

โครงสร้างการแยกสาขาแบบลำดับชั้นที่คล้ายคลึงกันเองก็มีอยู่ภายในหน้าต่างเช่นกัน การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าภายในหน้าต่างจะดำเนินไปตามเส้นทางเดียวกับการแยกสาขาแบบคาบ 2k นั่นคือ มีการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าจำนวนอนันต์ภายในหน้าต่าง หลังจากนั้นพฤติกรรมจะกลับกลายเป็นอลหม่านอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น ในหน้าต่างที่มีคาบ 3 ลำดับของวงโคจรแบบคาบที่เสถียรจะสิ้นสุดที่≈ 3.8495 หลังจาก≈ 3.8495 พฤติกรรมจะกลายเป็นความอลหม่านแบบแถบที่มีจำนวนทวีคูณของสาม เมื่อ a เพิ่มขึ้นจากค่าหนึ่ง ความอลหม่านแบบแถบเหล่านี้ก็จะรวมกันทีละสอง จนกระทั่งที่ปลายหน้าต่างจะมีสามแถบ ภายในแถบดังกล่าวภายในหน้าต่าง จะมีหน้าต่างจำนวนอนันต์ ในที่สุด หน้าต่างจะประกอบด้วยแผนภาพวงโคจรขนาดเล็กสำหรับ 1 ≤ a ≤ 4 และภายในหน้าต่างจะมีโครงสร้างการแยกสาขาแบบลำดับชั้นที่คล้ายคลึงกันเอง ${\displaystyle a_{3\infty }}$${\displaystyle a_{3\infty }}$${\displaystyle a_{3\infty }}$

เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา ระบบจะกลับเข้าสู่ภาวะโกลาหลอย่างกว้างขวาง สำหรับช่วงเวลา 3 ช่วงเวลา ภาวะโกลาหล 3 แถบสุดท้ายจะเปลี่ยนเป็นภาวะโกลาหล 1 แถบในพื้นที่ขนาดใหญ่ที่ a ≈ 3.857 ซึ่งเป็นการสิ้นสุดช่วงเวลา อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ต่อเนื่อง และตัวดึงดูดโกลาหล 3 แถบจะเปลี่ยนขนาดอย่างกะทันหันและกลายเป็น 1 แถบ การเปลี่ยนแปลงขนาดของตัวดึงดูดที่ไม่ต่อเนื่องเช่นนี้เรียกว่าวิกฤต วิกฤตประเภทนี้ซึ่งเกิดขึ้นในตอนท้ายของช่วงเวลา เรียกว่าวิกฤตภายใน เมื่อวิกฤตเกิดขึ้นในตอนท้ายของช่วงเวลา วงโคจรคาบที่เสถียรจะสัมผัสกับจุดคาบที่ไม่เสถียรซึ่งมองไม่เห็นในแผนภาพวงโคจร สิ่งนี้สร้างจุดออกที่วงโคจรคาบสามารถหลุดออกไปได้ ส่งผลให้เกิดวิกฤตภายใน ทันทีหลังจากวิกฤตภายใน จะมีช่วงเวลาของภาวะโกลาหลอย่างกว้างขวาง และช่วงเวลาที่พฤติกรรมโกลาหลแบบแถบดั้งเดิมเกิดขึ้นอีกครั้ง ส่งผลให้เกิดความไม่ต่อเนื่องคล้ายกับที่สังเกตได้ในตอนต้นของช่วงเวลา

แผนภาพใยแมงมุมของแผนที่โลจิสติกส์ที่มีพารามิเตอร์ r = 4 (ซ้าย) และอนุกรมเวลาจนถึง n = 500 (ขวา) สำหรับค่าเริ่มต้น= 0.3${\displaystyle x_{0}}$

เมื่อพารามิเตอร์ r = 4 พฤติกรรมจะกลายเป็นความโกลาหลตลอดช่วง [0, 1] ในเวลานี้ ค่าเลขชี้กำลัง Lyapunov λ จะมีค่าสูงสุด และสถานะจะมีความโกลาหลมากที่สุด ค่าของ λ สำหรับแผนที่โลจิสติกที่ r = 4 สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำ และค่าของมันคือ λ = log 2 แม้ว่านิยามทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของความโกลาหลยังไม่ได้รับการกำหนดอย่างเป็นเอกภาพ แต่ก็สามารถแสดงได้ว่าแผนที่โลจิสติกที่มี r = 4 มีความโกลาหลในช่วง [0, 1] ตามนิยามหนึ่งของความโกลาหลที่เป็นที่รู้จักกันดี

มาตรวัดความหนาแน่นของจุดที่ไม่เปลี่ยนแปลง ρ(x) สามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่แน่นอน ρ(x) สำหรับ r = 4:

${\displaystyle {\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}}$

3-17

ในที่นี้ ρ(x) หมายถึง สัดส่วนของจุด xn ที่ตกอยู่ในช่วงอนันต์ [x, x+dx] เมื่อทำการวนซ้ำแผนที่ โดยกำหนดโดย ρ(x) dx การแจกแจงความถี่ของแผนที่โลจิสติกที่มี r = 4 มีความหนาแน่นสูงใกล้กับทั้งสองด้านของ [0, 1] และมีความหนาแน่นน้อยที่สุดที่ x = 0.5

เมื่อ r = 4 นอกเหนือจากวงโคจรที่อลหม่านแล้ว ยังมีวงโคจรเป็นคาบที่มีคาบใดๆ ก็ได้ สำหรับจำนวนธรรมชาติ n กราฟของคือเส้นโค้งที่มีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด ซึ่งทั้งหมดสัมผัสกับ 0 และ 1 ดังนั้น จำนวนจุดตัดระหว่างเส้นทแยงมุมและกราฟคือและมีจุดคงที่ของจุดคาบ n จะรวมอยู่ในจุดคงที่เหล่านี้เสมอ ดังนั้น วงโคจรคาบ n ใดๆ ก็มีอยู่สำหรับดังนั้น เมื่อ r = 4 จะมีจุดคาบจำนวนอนันต์บน [0, 1] แต่จุดคาบเหล่านี้ทั้งหมดไม่เสถียร ยิ่งไปกว่านั้น เซตอนันต์ที่นับไม่ได้ในช่วง [0, 1] จำนวนจุดคาบจึงเป็นอนันต์ที่นับได้ ดังนั้นวงโคจรเกือบทั้งหมดที่เริ่มต้นจากค่าเริ่มต้นจึงไม่ใช่คาบแต่เป็นแบบไม่เป็นคาบ ${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle 2^{n-1}-1}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle f^{n}(x)}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle f_{r=4}^{n}(x)}$

หนึ่งในแง่มุมที่สำคัญของความโกลาหลคือธรรมชาติสองด้านของมัน ได้แก่ ด้านกำหนดได้และด้านสุ่ม ระบบพลวัตเป็นกระบวนการกำหนดได้ แต่เมื่อช่วงของตัวแปรถูกทำให้หยาบอย่างเหมาะสม มันจะแยกไม่ออกจากกระบวนการสุ่ม ในกรณีของแผนที่โลจิสติกที่มี r = 4 ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญแต่ละครั้งสามารถอธิบายได้ด้วยวิถีของแผนที่โลจิสติก ซึ่งสามารถอธิบายเพิ่มเติมได้ดังนี้

สมมติว่ามีการโยนเหรียญโดยมีโอกาสออกหัวหรือก้อย 1/2 และมีการโยนเหรียญซ้ำๆ ถ้าหัวคือ 0 และก้อยคือ 1 ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญซ้ำๆ จะเป็นสตริงสัญลักษณ์ เช่น 01001.... ในทางกลับกัน สำหรับวิถีของแผนที่โลจิสติก ค่าที่น้อยกว่า x = 0.5 จะถูกแปลงเป็น 0 และค่าที่มากกว่า x = 0.5 จะถูกแปลงเป็น 1 และวิถีจะถูกแทนที่ด้วยสตริงสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วย 0 และ 1 ตัวอย่างเช่น ถ้าค่าเริ่มต้นคือแล้ว, , , ... ดังนั้นวิถีจะเป็นสตริงสัญลักษณ์ 0110.... ให้เป็นสตริงสัญลักษณ์ที่ได้จากการโยนเหรียญแบบแรก และเป็นสตริงสัญลักษณ์ที่ได้จากแผนที่โลจิสติกแบบหลัง สัญลักษณ์ในสตริงสัญลักษณ์ถูกกำหนดโดยการโยนเหรียญแบบสุ่ม ดังนั้นรูปแบบลำดับตัวเลขใดๆ ก็เป็นไปได้ ดังนั้น ไม่ว่าสตริงของแผนที่โลจิสติกจะเป็นอย่างไร ก็จะมีสตริงที่เหมือนกันในและสิ่งที่ "น่าทึ่ง" ก็คือ ข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน: ไม่ว่าสตริงของ จะเป็นอย่างไร ก็สามารถทำให้เป็นจริงได้ด้วยวิถีของแผนที่โลจิสติกโดยการเลือกค่าเริ่มต้นที่เหมาะสม นั่นคือ สำหรับ ใดๆ ก็ตามจะมีจุดที่ไม่ซ้ำกันใน [0, 1] เช่นนั้น ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...}$${\displaystyle x_{0}=0.2}$${\displaystyle x_{1}=0.64}$${\displaystyle x_{2}=0.9216}$${\displaystyle x_{3}=0.28901}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle S_{L}}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle S_{L}}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle S_{L}}$${\displaystyle S_{C}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle S_{C}=S_{L}}$

เมื่อค่าพารามิเตอร์ r เกิน 4 จุดยอด r/4 ของกราฟแผนที่โลจิสติกจะเกิน 1 ในระดับที่กราฟทะลุผ่าน 1 วิถีการเคลื่อนที่สามารถหลุดออกจาก [0, 1] ได้

การแตกแขนงที่ r = 4 ก็เป็นวิกฤตประเภทหนึ่งเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิกฤตขอบเขต ในกรณีนี้ ตัวดึงดูดที่ [0, 1] จะไม่เสถียรและพังทลายลง และเนื่องจากไม่มีตัวดึงดูดอยู่นอกบริเวณนั้น วิถีการเคลื่อนที่จึงลู่เข้าสู่ค่าอนันต์

ในทางกลับกัน มีวงโคจรบางวงที่ยังคงอยู่ในช่วง [0, 1] แม้ว่า r > 4 ก็ตาม ตัวอย่างที่เข้าใจง่ายคือจุดคงที่และจุดคาบในช่วง [0, 1] ซึ่งยังคงอยู่ในช่วง [0, 1] อย่างไรก็ตาม ยังมีวงโคจรอื่นๆ ที่ยังคงอยู่ในช่วง [0, 1] นอกเหนือจากจุดคงที่และจุดคาบด้วย

ให้เป็นช่วงของ x ที่ f(x) > 1 ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อตัวแปรเข้าสู่มันจะลู่เข้าสู่ลบอนันต์ นอกจากนี้ยังมีx ใน [0, 1] ที่แมปไปยังหลังจากใช้แผนที่หนึ่งครั้ง ช่วงของ x นี้ถูกแบ่งออกเป็นสองช่วง ซึ่งเรียกรวมกันว่า ในทำนองเดียวกัน มีสี่ช่วงที่แมปไปยังหลังจากใช้แผนที่หนึ่งครั้ง ซึ่งเรียกรวมกันว่า ในทำนองเดียวกัน มี 2n ช่วงที่ไปถึงหลังจากทำซ้ำ n ครั้ง ดังนั้น ช่วงที่ได้จากการลบ ออกจาก [0, 1] เป็นจำนวนครั้งอนันต์ดังต่อไปนี้ คือชุดของวงโคจรที่ยังคงอยู่ใน I ${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle {\displaystyle \Lambda =\left[0,\ 1\right]-\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}}$

3-18

กระบวนการลบออกจาก [0, 1] คล้ายกับการสร้างเซตแคนเตอร์ที่กล่าวถึงข้างต้น และในความเป็นจริง Λ มีอยู่ใน [0, 1] ในฐานะเซตแคนเตอร์ (เซตย่อยที่ปิดสนิท ไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ และสมบูรณ์ของ [0, 1]) ยิ่งไปกว่านั้น บน Λ แผนที่โลจิสติกเป็นแบบอลวน ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle f_{r>4}}$

เนื่องจากแผนที่โลจิสติกส์มักถูกศึกษาในฐานะแบบจำลองทางนิเวศวิทยา กรณีที่พารามิเตอร์ r เป็นค่าลบจึงไม่ค่อยได้รับการกล่าวถึง เมื่อค่า a ลดลงจาก 0 เมื่อ −1 < r < 0 แผนที่จะเข้าใกล้จุดคงที่เสถียร xf = 0 อย่างไม่สิ้นสุด แต่เมื่อค่า a เกิน −1 แผนที่จะแยกออกเป็นสองจุดคาบ และเช่นเดียวกับกรณีค่าบวก มันจะผ่านการแยกออกเป็นคาบสองเท่าและเข้าสู่ความโกลาหล ในที่สุด เมื่อค่า a ต่ำกว่า −2 แผนที่จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์บวก

แผนภาพวงโคจรสำหรับพารามิเตอร์ r ตั้งแต่ −2 ถึง 4 วงโคจรจะเบี่ยงเบนเมื่อพารามิเตอร์ a เกินช่วงนี้ ทั้งในด้านลบและด้านบวก

สำหรับแผนที่โลจิสติกส์ที่มีพารามิเตอร์เฉพาะ นั้น ได้ รับคำตอบที่แม่นยำซึ่งรวมถึงเวลาและค่าเริ่มต้น อย่างชัดเจน ดังต่อไปนี้${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}}$

เมื่อ r = 4

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1-\cos \left[2^{n}\arccos(1-2x_{0})\right]}{2}}}}$

3-19

เมื่อ r = 2

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1-\exp \left[2^{n}\log(1-2x_{0})\right]}{2}}}}$

3-20

เมื่อ r = −2

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-\cos \left\{{\frac {1}{3}}\left[\pi -(-2)^{n}\left(\pi -3\arccos({\frac {1}{2}}-x_{0})\right)\right]\right\}}}$

3-21

เมื่อพิจารณาคำตอบที่ถูกต้องทั้งสามข้อข้างต้นแล้ว ทั้งหมดนั้นก็คือ...

${\displaystyle {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}\left\{1-f\left[a^{n}f^{-1}(1-2x_{0})\right]\right\}}}$

3-22

ความเรียบง่ายของแผนที่โลจิสติกส์ทำให้เป็นจุดเริ่มต้นที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิจารณาแนวคิดเรื่องความโกลาหล คำอธิบายคร่าวๆ ของความโกลาหลคือระบบโกลาหลแสดงให้เห็นดังนี้: ^{[ Devaney 1989 3 ]} (ดูพลวัตโกลาหล )

• มีความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นสูงมากกล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยหรือเพียงเล็กน้อยในเงื่อนไขเริ่มต้น อาจส่งผลกระทบอย่างมากและมีค่าแน่นอน
• มีคุณสมบัติการถ่ายทอดเชิงโทโพโลยี : กล่าวคือ ระบบมีแนวโน้มที่จะครอบครองสถานะที่มีอยู่ทั้งหมดในลักษณะที่คล้ายกับการผสมของไหล^{[ 15 ]}
• ระบบนี้แสดงให้เห็นวงโคจรคาบที่หนาแน่น

นี่คือคุณสมบัติของแผนที่โลจิสติกสำหรับค่าr ส่วนใหญ่ ระหว่างประมาณ 3.57 ถึง 4 (ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) ^{[ May, Robert M. (1976) 1 ]} แหล่งที่มาทั่วไปของความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นดังกล่าวคือแผนที่แสดงถึงการพับและการยืดซ้ำๆ ของพื้นที่ที่กำหนด ในกรณีของแผนที่โลจิสติกสมการผลต่างกำลังสอง ที่อธิบายอาจคิดได้ว่าเป็นการดำเนินการยืดและพับบนช่วง(0,1 ) ^{[ 4 ]}

รูปต่อไปนี้แสดงการยืดและการพับเหนือลำดับการทำซ้ำของแผนที่ รูป (ก) ทางซ้าย แสดงแผนภาพปวงกาเร สองมิติของ ปริภูมิสถานะของแผนที่โลจิสติกสำหรับr = 4และแสดงให้เห็นเส้นโค้งกำลังสองของสมการความแตกต่าง ( 1 ) อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราสามารถฝังลำดับเดียวกันลงในปริภูมิสถานะสามมิติ เพื่อตรวจสอบโครงสร้างที่ลึกกว่าของแผนที่ รูป (ข) แสดงให้เห็นสิ่งนี้ โดยแสดงให้เห็นว่าจุดเริ่มต้นที่อยู่ใกล้เคียงกันเริ่มแยกออกจากกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริเวณx _tที่สอดคล้องกับส่วนที่ชันกว่าของแผนภาพ

การยืดและการพับนี้ไม่เพียงแต่ทำให้ลำดับของการทำซ้ำค่อยๆ เบี่ยงเบนออกไปเท่านั้น แต่ยังทำให้เกิด การเบี่ยงเบนแบบเลขชี้กำลัง (ดู เลขชี้กำลัง Lyapunov ) ซึ่งเห็นได้จาก ความซับซ้อนและความไม่สามารถคาดเดาได้ของแผนที่โลจิสติกส์แบบอลวน อันที่จริง การเบี่ยงเบนแบบเลขชี้กำลังของลำดับของการทำซ้ำอธิบายถึงความเชื่อมโยงระหว่างความอลวนและความไม่สามารถคาดเดาได้ กล่าวคือ ข้อผิดพลาดเล็กน้อยในสถานะเริ่มต้นที่คาดการณ์ไว้ของระบบจะมีแนวโน้มที่จะสอดคล้องกับข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในภายหลังในวิวัฒนาการของระบบ ดังนั้น การคาดการณ์เกี่ยวกับสถานะในอนาคตจึงแย่ลงเรื่อยๆ (ที่จริงแล้วเป็นแบบเลขชี้กำลัง ) เมื่อมีข้อผิดพลาดเล็กน้อยในความรู้ของเราเกี่ยวกับสถานะเริ่มต้น คุณสมบัติของความไม่สามารถคาดเดาได้และความสุ่มที่เห็นได้ชัดนี้ทำให้สมการแผนที่โลจิสติกส์ถูกใช้เป็นตัวสร้างตัวเลขสุ่มเทียมในคอมพิวเตอร์ยุคแรก^{[ 4 ]}

ที่r = 2 ฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดสูงสุดพอดี ดังนั้นการลู่เข้าสู่จุดสมดุลจึงอยู่ในลำดับของ. ด้วยเหตุนี้ จุดสมดุลจึงเรียกว่า "เสถียรยิ่งยวด" ค่าเลขชี้กำลัง Lyapunov ของมันคือ. การให้เหตุผลที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่ามีค่าเสถียรยิ่งยวดภายในแต่ละช่วงที่ระบบพลวัตมีวัฏจักรที่เสถียร สิ่งนี้สามารถเห็นได้ในกราฟเลขชี้กำลัง Lyapunov เป็นการลดลงอย่างรวดเร็ว^{[ 16 ]}${\displaystyle rx(1-x)}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle \delta ^{2^{n}}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle r}$

เนื่องจากแผนที่ถูกจำกัดอยู่ในช่วงบนเส้นจำนวนจริง มิติของแผนที่จึงน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง การประมาณค่าเชิงตัวเลขให้ค่ามิติความสัมพันธ์เท่ากับ0.500 ± 0.005 ( Grassberger , 1983) มิติเฮาส์ดอร์ฟประมาณ 0.538 ( Grassberger 1981) และมิติข้อมูลประมาณ 0.5170976 ( Grassberger 1983) สำหรับr ≈ 3.5699456 (จุดเริ่มต้นของความโกลาหล) หมายเหตุ: สามารถแสดงได้ว่ามิติความสัมพันธ์นั้นอยู่ระหว่าง 0.4926 และ 0.5024 อย่างแน่นอน

อย่างไรก็ตาม มักจะเป็นไปได้ที่จะระบุข้อความที่แม่นยำและถูกต้องเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของสถานะในอนาคตในระบบที่วุ่นวาย หากระบบไดนามิก (ที่อาจวุ่นวาย) มีตัวดึงดูดก็จะมีมาตรวัดความน่าจะเป็นที่ให้สัดส่วนระยะยาวของเวลาที่ระบบใช้ในภูมิภาคต่างๆ ของตัวดึงดูด ในกรณีของแผนที่โลจิสติกที่มีพารามิเตอร์r = 4และสถานะเริ่มต้นใน(0,1)ตัวดึงดูดก็คือช่วง(0,1)และมาตรวัดความน่าจะเป็นจะสอดคล้องกับการแจกแจงเบต้าที่มีพารามิเตอร์a = 0.5และb = 0.5โดยเฉพาะอย่างยิ่ง^{[ 17 ]}มาตรวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงคือ

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}.}$$

ความไม่แน่นอนไม่ใช่ความบังเอิญ แต่ในบางสถานการณ์ดูคล้ายคลึงกันมาก ดังนั้น โชคดีที่แม้ว่าเราจะรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับสถานะเริ่มต้นของแผนที่โลจิสติก (หรือระบบอลวนอื่นๆ) เราก็ยังสามารถพูดถึงการกระจายของสถานะในอนาคตที่ไกลออกไปได้ และใช้ความรู้นี้เพื่อประกอบการตัดสินใจโดยอิงจากสถานะของระบบ

แผนภาพการแยกสาขาสำหรับแผนที่โลจิสติกส์สามารถแสดงภาพได้ด้วยโค้ด Python ต่อไปนี้:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltช่วงเวลา= ( 2.8 , 4 ) # เริ่มต้น, สิ้นสุดความแม่นยำ= 0.0001reps = 600 # จำนวนครั้งที่ทำซ้ำnumtoplot = 200lims = np.zeros ( reps )​​fig , biax = plt . subplots ()fig.set_size_inches ( 16 , 9 )​​lims [ 0 ] = np . random . rand ()สำหรับr ในnp.arange ( interval [ 0 ] , interval [ 1 ], accuracy ) :สำหรับi ในช่วง( reps - 1 ):lims [ i + 1 ] = r * lims [ i ] * ( 1 - lims [ i ])biax.plot ([ r ] * numtoplot , lims [ reps - numtoplot : ], "b. " , markersize = 0.02 )biax.set ( xlabel = "r" , ylabel = " x" , title = "logistic map " )plt.show ( )​

แม้ว่าคำตอบที่แน่นอนสำหรับความสัมพันธ์เวียนเกิดจะมีให้เฉพาะในกรณีจำนวนเล็กน้อยเท่านั้น แต่ขอบเขตบนแบบปิดของแผนที่โลจิสติกเป็นที่ทราบกันดีเมื่อ0 ≤ r ≤ 1 [ ^{18 ] มี}สองแง่มุมของพฤติกรรมของแผนที่โลจิสติกที่ควรถูกจับโดยขอบเขตบนในระบอบนี้: การลดลงทางเรขาคณิตแบบไม่จำกัดด้วยค่าr คงที่ และการลดลงเริ่มต้นอย่างรวดเร็วเมื่อx ₀ใกล้เคียงกับ 1 ซึ่งขับเคลื่อนโดย เทอม (1 − x _n )ในความสัมพันธ์เวียนเกิด ขอบเขตต่อไปนี้จับผลกระทบทั้งสองนี้ไว้:

$${\displaystyle \forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.}$$

กรณีพิเศษของr = 4สามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำ เช่นเดียวกับกรณีของr = 2 [ ^{19 ] อย่างไรก็ตาม}กรณีทั่วไปสามารถคาดการณ์ได้ทางสถิติเท่านั้น^{[ 20 ]} คำตอบเมื่อr = 4คือ: ^{[ 19 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),}$$

โดยที่พารามิเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นθกำหนดโดย

$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).}$$

สำหรับθ ที่เป็นจำนวนตรรกยะ หลังจากจำนวนรอบการทำซ้ำที่จำกัดx _nจะกลายเป็นลำดับคาบ แต่θ เกือบทั้งหมด เป็นจำนวนอตรรกยะ และสำหรับθ ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ x _n จะไม่ซ้ำตัวเอง – มันไม่เป็นคาบ สมการคำตอบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน ถึงคุณลักษณะสำคัญสองประการของความโกลาหล – การยืดและการพับ: ตัวประกอบ2 ⁿแสดงถึงการเติบโตแบบเลขชี้กำลังของการยืด ซึ่งส่งผลให้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมากในขณะที่ฟังก์ชันไซน์กำลังสองทำให้x _nพับอยู่ในช่วง[0,1 ]

สำหรับr = 4วิธีแก้ปัญหาที่เทียบเท่ากันในแง่ของจำนวนเชิงซ้อนแทนฟังก์ชันตรีโกณมิติคือ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}}$$

โดยที่αคือจำนวนเชิงซ้อนอย่างใดอย่างหนึ่ง

$${\displaystyle \alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}}$$

โดยมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 เช่นเดียวกับที่ฟังก์ชันไซน์กำลังสองในวิธีแก้ปัญหาเชิงตรีโกณมิติไม่ทำให้เซตของจุดที่เยี่ยมชมหดตัวหรือขยายตัว ในวิธีแก้ปัญหาแบบหลังนี้ ผลกระทบดังกล่าวเกิดขึ้นได้ด้วยค่าสัมบูรณ์หนึ่งหน่วยของ α

ในทางตรงกันข้าม วิธีแก้ปัญหาเมื่อr = 2คือ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}}$$

สำหรับx ₀ ∈ [0,1)เนื่องจาก(1 − 2 x ₀ ) ∈ (−1,1)สำหรับค่าx ₀ ใดๆ ที่ไม่ใช่จุดคงที่ที่ไม่เสถียร 0 เทอม(1 − 2 x ₀ ) ^{2 n}จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อnเข้าสู่∞ ดังนั้นx _nจะมีค่าเข้าใกล้จุดคงที่ที่เสถียร1/2⁠ .

สำหรับ กรณี r = 4ลำดับการวนซ้ำเกือบทั้งหมดจะมีลักษณะอลหม่าน อย่างไรก็ตาม มีเงื่อนไขเริ่มต้นจำนวนอนันต์ที่นำไปสู่รอบ และแท้จริงแล้วมีรอบที่มีความยาวkสำหรับจำนวนเต็มk > 0 ทุกตัวเราสามารถใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ของแผนที่โลจิสติกกับการแปลงไดอะดิก (หรือที่เรียกว่าแผนที่เลื่อนบิต ) เพื่อค้นหารอบที่มีความยาวใดๆ ก็ได้ ถ้าxเป็นไปตามแผนที่โลจิสติกx _{n + 1} = 4 x _n (1 − x _n )และyเป็นไปตามการแปลงไดอะดิก

$${\displaystyle y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}}$$

ดังนั้นทั้งสองจึงมีความสัมพันธ์กันโดยโฮมีโอมอร์ฟิซึม

$${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).}$$

เหตุผลที่การแปลงแบบไดอะดิก (dyadic transformation) เรียกว่าแผนที่เลื่อนบิต (bit-shift map) ก็เพราะว่าเมื่อ เขียน yในรูปแบบเลขฐานสอง แผนที่นี้จะเลื่อนจุดทศนิยมเลขฐานสองไปทางขวาหนึ่งตำแหน่ง (และถ้าบิตทางซ้ายของจุดทศนิยมเลขฐานสองกลายเป็น "1" "1" นี้จะเปลี่ยนเป็น "0") ตัวอย่างเช่น วงจรที่มีความยาว 3 จะเกิดขึ้นหากค่าที่วนซ้ำมีลำดับบิตซ้ำ 3 บิตในการขยายเลขฐานสอง (ซึ่งไม่ใช่ลำดับบิตซ้ำ 1 บิต): 001, 010, 100, 110, 101 หรือ 011 ค่าที่วนซ้ำ 001001001... จะถูกแปลงเป็น 010010010... ซึ่งจะถูกแปลงเป็น 100100100... ซึ่งในทางกลับกันจะถูกแปลงเป็น 001001001... เดิม ดังนั้นนี่คือวงจร 3 ของแผนที่เลื่อนบิต และลำดับการขยายเลขฐานสองซ้ำอีกสามลำดับจะให้วัฏจักร 3 หลักดังนี้ 110110110... → 101101101... → 011011011... → 110110110.... วัฏจักร 3 หลักเหล่านี้สามารถแปลงเป็นรูปเศษส่วนได้ เช่น วัฏจักร 3 หลักแรกที่ให้มาสามารถเขียนได้เป็น⁠1/7→​​2/7→​​4/7→​​1/7การใช้การแปลงข้างต้นจากแผนที่การเลื่อนบิตไปยังแผนที่โลจิสติก จะได้วงจรโลจิสติกที่สอดคล้องกันดังนี้ 0.611260467... → 0.950484434... → 0.188255099... → 0.611260467.... เราสามารถแปลงวงจรการเลื่อนบิต 3 วงอื่นๆ ไปเป็นวงจรโลจิสติกที่สอดคล้องกันได้ในทำนองเดียวกัน วงจรที่มีความยาว k ใดๆ ก็สามารถพบได้ในแผนที่การเลื่อนบิต แล้วจึงแปลงเป็นวงจรโลจิสติกที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle r=4}$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากตัวเลขเกือบทั้งหมดในช่วง[0,1)เป็นจำนวนอตรรกยะ เงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมดของแผนที่การเลื่อนบิตจึงนำไปสู่ความไม่เป็นคาบของความโกลาหล นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเห็นว่าแผนที่โลจิสติกr = 4มีความโกลาหลสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด

จำนวนรอบที่มีความยาว (ขั้นต่ำ) k = 1, 2, 3,…สำหรับแผนที่โลจิสติกที่มีr = 4 ( แผนที่เต็นท์ที่มีμ = 2 ) คือลำดับจำนวนเต็มที่ทราบแล้ว (ลำดับA001037ในOEIS ): 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161.... นี่บอกเราว่าแผนที่โลจิสติกที่มีr = 4มีจุดคงที่ 2 จุด, รอบที่มีความยาว 2 จำนวน 1 รอบ, รอบที่มีความยาว 3 จำนวน 2 รอบ และอื่นๆ ลำดับนี้มีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษสำหรับจำนวนเฉพาะk : 2 ⋅ ⁠2 ^{k − 1} − 1/เคตัวอย่างเช่น: 2 ⋅  ⁠2 ^{13 − 1} − 1/13= 630 คือจำนวนรอบที่มีความยาว 13 เนื่องจากกรณีของแผนที่โลจิสติกส์นี้มีความวุ่นวายสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ดังนั้นรอบที่มีความยาวจำกัดเหล่านี้ทั้งหมดจึงไม่เสถียร

รูปแบบการแยกสาขาที่แสดงไว้ข้างต้นสำหรับแผนที่โลจิสติกส์ไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะแผนที่โลจิสติกส์เท่านั้น มันปรากฏในแผนที่หลายประเภทที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ ระบบพลวัตต่อไปนี้ที่ใช้ฟังก์ชันไซน์เป็นตัวอย่างหนึ่ง:

${\displaystyle {\displaystyle x_{n+1}=b\sin \pi x_{n}}}$

4-1

ในที่นี้ โดเมนคือ 0 ≤ b ≤ 1 และ 0 ≤ x ≤ 1 แผนที่ไซน์ (4-1) แสดงพฤติกรรมที่เหมือนกันในเชิงคุณภาพกับแผนที่โลจิสติก (1-2) เช่นเดียวกับแผนที่โลจิสติก มันก็กลายเป็นความโกลาหลผ่านเส้นทางการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าเมื่อพารามิเตอร์ b เพิ่มขึ้น และยิ่งไปกว่านั้น เช่นเดียวกับแผนที่โลจิสติก มันยังแสดงหน้าต่างในบริเวณโกลาหลอีกด้วย

ทั้งแผนที่โลจิสติกและแผนที่ไซน์เป็นแผนที่หนึ่งมิติที่แปลงช่วง [0, 1] ไปยัง [0, 1] และมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ เรียกว่า แผนที่แบบโมดอลเดียว

${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$แผนที่นี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ และมีจุดวิกฤต c ที่ไม่ซ้ำกันใน [0, 1] เช่นนั้นโดยทั่วไป ถ้าแผนที่หนึ่งมิติที่มีพารามิเตอร์หนึ่งตัวและตัวแปรหนึ่งตัวเป็นแบบ unimodal และจุดยอดสามารถประมาณได้ด้วยพหุนามอันดับสองแล้ว ไม่ว่ารูปแบบเฉพาะของแผนที่จะเป็นอย่างไร การแตกแขนงแบบอนันต์ของคาบเวลาสองเท่าจะเกิดขึ้นสำหรับช่วงพารามิเตอร์ 3 ≤ r ≤ 3.56994... และอัตราส่วน δ ที่กำหนดโดยสมการ ( 3-13 ) จะเท่ากับค่าคงที่ของ Feigenbaum 4.669... ${\displaystyle f'(c)=0}$

รูปแบบของวงโคจรคาบเสถียรที่เกิดขึ้นจากแผนที่โลจิสติกนั้นเป็นสากลเช่นกัน สำหรับแผนที่แบบโมดอลเดียวที่มีพารามิเตอร์ c วงโคจรคาบเสถียรที่มีคาบต่างๆ จะยังคงเกิดขึ้นในช่วงพารามิเตอร์ที่จุดคงที่สองจุดไม่เสถียร และรูปแบบของการเกิดขึ้น (จำนวนวงโคจรคาบเสถียรที่มีคาบที่กำหนดและลำดับการปรากฏ) เป็นที่ทราบกันว่าเหมือนกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับแผนที่ประเภทนี้ ลำดับของวงโคจรคาบเสถียรจะเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงรูปแบบเฉพาะของแผนที่ สำหรับแผนที่โลจิสติก ช่วงพารามิเตอร์คือ 3 < a < 4 แต่สำหรับแผนที่ไซน์ ( 4-1 ) ช่วงพารามิเตอร์สำหรับลำดับทั่วไปของวงโคจรคาบเสถียรคือ 0.71... < b < 1 ลำดับสากลของวงโคจรคาบเสถียรนี้เรียกว่าลำดับ U ${\displaystyle x_{n+1}=cf(x_{n})}$

นอกจากนี้ แผนที่โลจิสติกส์ยังมีคุณสมบัติที่ว่าอนุพันธ์ชวาร์เซียนของมันจะเป็นลบเสมอในช่วง [0, 1] อนุพันธ์ชวาร์เซียนของแผนที่ f (ของคลาส C3) คือ

${\displaystyle {\displaystyle Sf(x)={\frac {f'''(x)}{f'(x)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(x)}{f'(x)}}\right)^{2}}}$

4-2

อันที่จริง เมื่อเราคำนวณอนุพันธ์ชวาร์เซียนของแผนที่โลจิสติก เราจะได้

${\displaystyle {\displaystyle S(ax(1-x))={\frac {-6}{(1-2x)^{2}}}<0}}$

4-3

โดยที่อนุพันธ์ Schwarzian มีค่าเป็นลบโดยไม่คำนึงถึงค่าของ a และ x เป็นที่ทราบกันว่า หากการแมปแบบหนึ่งมิติจาก [0, 1] ไปยัง [0, 1] เป็นแบบโมดอลเดียวและมีอนุพันธ์ Schwarzian เป็นลบ จะมีวงโคจรคาบที่เสถียรอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งวงเท่านั้น

ให้สัญลักษณ์ ∘ แทนการประกอบกันของแผนที่ โดยทั่วไปแล้ว สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี X, Y แผนที่สองแผนที่ f : X → X และ g : Y → Y จะประกอบกันโดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม h : X → Y

${\displaystyle {\displaystyle h\circ f=g\circ h}}$

4-4

กล่าวได้ว่า f และ g เป็นคู่เฟสกัน หากพวกมันสอดคล้องกับความสัมพันธ์ แนวคิดเรื่องคู่เฟสมีบทบาทสำคัญในการศึกษาระบบพลวัต คู่เฟส f และ g แสดงพฤติกรรมที่เหมือนกันโดยพื้นฐาน และถ้าพฤติกรรมของ f เป็นคาบ g ก็จะเป็นคาบด้วย และถ้าพฤติกรรมของ f เป็นแบบอลวน g ก็จะเป็นแบบอลวนด้วย

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าโฮมีโอเมอร์ฟิซึม h เป็นเชิงเส้นแล้ว f และ g จะเรียกว่าเป็นคู่สังยุคเชิงเส้น ฟังก์ชันกำลังสองทุกฟังก์ชันเป็นคู่สังยุคเชิงเส้นกับฟังก์ชันกำลังสองอื่นทุกฟังก์ชัน ดังนั้น

${\displaystyle {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}^{2}+b}}$

4-5

${\displaystyle {\displaystyle x_{n+1}=1-cx_{n}^{2}}}$

4-6

${\displaystyle {\displaystyle x_{n+1}=d-x_{n}^{2}}}$

4-7

เป็นคอนจูเกตเชิงเส้นของแผนที่โลจิสติกสำหรับพารามิเตอร์ a ใดๆ สมการ (4-6) และ (4-7) เรียกอีกอย่างว่าแผนที่โลจิสติก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปแบบ (4-7) เหมาะสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขที่ใช้เวลานาน เนื่องจากต้องใช้ความพยายามในการคำนวณน้อยกว่า

นอกจากนี้ แผนที่โลจิสติกสำหรับยังมีความสัมพันธ์เชิงโทโพโลยีกับแผนที่เต็นท์ T ( x ) และแผนที่การเลื่อนเบอร์นูลลี B ( x ) ต่อไปนี้ ${\displaystyle f_{a=4}}$${\displaystyle r=4}$

${\displaystyle {\displaystyle T(x_{n})={\begin{cases}2x_{n}&\left(0\leq x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\right)\\2(1-x_{n})&\left({\frac {1}{2}}\leq x_{n}\leq 1\right)\end{cases}}}}$

4-8

${\displaystyle {\displaystyle B(x_{n})={\begin{cases}2x_{n}&\left(0\leq x_{n}<{\frac {1}{2}}\right)\\2x_{n}-1&\left({\frac {1}{2}}\leq x_{n}\leq 1\right)\end{cases}}}}$

4-9

ความสัมพันธ์คู่เฟสเหล่านี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่าแผนที่โลจิสติกส์เป็นความโกลาหลอย่างเคร่งครัดและเพื่อหาคำตอบที่แน่นอน (3-19) ของ ${\displaystyle f_{a=4}}$${\displaystyle f_{r=4}}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง โดยการนำแนวคิดของระบบพลวัตเชิงสัญลักษณ์มาใช้ ให้พิจารณาแผนที่การเลื่อน σ ต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดไว้บนปริภูมิสตริงเชิงสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยสตริงของ 0 และ 1 ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น:

${\displaystyle {\displaystyle \sigma (s_{0}s_{1}s_{2}\cdots )=(s_{1}s_{2}\cdots )}}$

4-10

ที่นี่คือ 0 หรือ 1 บนเซตที่แนะนำในสมการ (3-18) แผนที่โลจิสติกส์เป็นคู่กันทางโทโพโลยีกับแผนที่การเลื่อน ดังนั้นเราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อสรุปได้ว่าบนนั้นวุ่นวาย ${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle f_{r>4}}$${\displaystyle f_{r>4}}$${\displaystyle \Lambda }$

ในแผนที่โลจิสติก เรามีฟังก์ชันและเราต้องการศึกษาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราวนซ้ำแผนที่หลายๆ ครั้ง แผนที่อาจตกอยู่ในจุดคงที่ วงจรคงที่ หรือความโกลาหล เมื่อแผนที่ตกอยู่ในวงจรคงที่ที่เสถียรซึ่งมีความยาวเราจะพบว่ากราฟของและกราฟของตัดกันที่จุด และความชันของกราฟของมีค่าอยู่ในช่วง ที่จุดตัดเหล่านั้น ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{r}^{n}}$${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{r}^{n}}$${\displaystyle (-1,+1)}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อเราจะมีจุดตัดเพียงจุดเดียว โดยมีความชันที่ถูกจำกัดไว้ในซึ่งบ่งชี้ว่าเป็นจุดคงที่จุดเดียวที่มีเสถียรภาพ ${\displaystyle r=3.0}$${\displaystyle (-1,+1)}$

เมื่อค่าเพิ่มขึ้นเกินค่าหนึ่ง จุดตัดจะแยกออกเป็นสองจุด ซึ่งเป็นการเพิ่มระยะเวลาเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น เมื่อค่าหนึ่งมีค่ามากกว่าอีกค่าหนึ่ง จะมีจุดตัดสามจุด โดยจุดตรงกลางไม่เสถียร และอีกสองจุดเสถียร ${\displaystyle r}$${\displaystyle r=3.0}$${\displaystyle r=3.4}$

เมื่อเข้าใกล้ค่าหนึ่ง การเพิ่มคาบเวลาเป็นสองเท่าอีกครั้งจะเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน การเพิ่มคาบเวลาเป็นสองเท่าจะเกิดขึ้นบ่อยขึ้นเรื่อยๆ จนกระทั่งถึงค่าหนึ่ง การ เพิ่มคาบเวลาเป็นสองเท่า จะกลายเป็นอนันต์ และแผนที่ก็จะกลายเป็นอนาธิปไตย นี่คือเส้นทางการเพิ่มคาบเวลาเป็นสองเท่าสู่ความโกลาหล ${\displaystyle r}$${\displaystyle r=3.45}$${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อใดก่อนที่การแยกสาขาแบบเพิ่มระยะเวลาเป็นสองเท่าจะเกิดขึ้น วงโคจรจะลู่เข้าสู่จุดคงที่${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle a=2.7}$${\displaystyle x_{f2}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อความชันของเส้นสัมผัสที่จุดคงที่ มีค่าเท่ากับ 1 พอดี และเกิดการแยกสาขาแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle a=3}$${\displaystyle x_{f2}}$

ความสัมพันธ์ระหว่างและเมื่อจุดคงที่กลายเป็นไม่เสถียร แยกออกเป็นวัฏจักรเสถียรแบบคาบ 2${\displaystyle x_{n+2}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle a=3.3}$${\displaystyle x_{f2}}$

เมื่อเราจะมีจุดตัดเพียงจุดเดียว โดยมีความชันเท่ากับซึ่งบ่งชี้ว่ากำลังจะเกิดการเพิ่มคาบเป็นสองเท่า${\displaystyle r=3.0}$${\displaystyle +1}$

เมื่อ จะมีจุดตัดสามจุด โดยจุดตรงกลางไม่เสถียร และอีกสองจุดเสถียร${\displaystyle r=3.4}$

เมื่อมีจุดตัดสามจุด โดยจุดตรงกลางไม่เสถียร และอีกสองจุดมีค่าความชันเท่ากับซึ่งบ่งชี้ว่ากำลังจะเกิดการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าอีกครั้ง${\displaystyle r=3.45}$${\displaystyle +1}$

เมื่อนั้นจะมีจุดตัดกันเป็นจำนวนอนันต์ และเราได้มาถึงความโกลาหลผ่านเส้นทางการเพิ่มระยะเวลาเป็นสองเท่า${\displaystyle r\approx 3.56994567}$

เมื่อพิจารณาภาพแล้ว จะเห็นได้ว่า ณ จุดที่เกิดความโกลาหลเส้นโค้งมีลักษณะคล้ายรูปทรงเรขาคณิตแบบแฟร็กทัล ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อเราทำซ้ำการเพิ่มคาบเป็นสองเท่ากราฟจะดูคล้ายกันมากขึ้น ยกเว้นว่ากราฟจะหดตัวลงบริเวณตรงกลาง และหมุนไป 180 องศา ${\displaystyle r^{*}=3.5699\cdots }$${\displaystyle f_{r^{*}}^{\infty }}$${\displaystyle f_{r^{*}}^{1},f_{r^{*}}^{2},f_{r^{*}}^{4},f_{r^{*}}^{8},f_{r^{*}}^{16},\dots }$

สิ่งนี้ชี้ให้เห็นถึงขีดจำกัดของการปรับขนาด: ถ้าเราเพิ่มฟังก์ชันเป็นสองเท่าซ้ำ ๆ แล้วปรับขนาดขึ้นด้วยค่าคงที่ค่าหนึ่ง: ในที่สุด เราจะได้ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ เงื่อนไข นี่คือฟังก์ชัน Feigenbaumซึ่งปรากฏในเส้นทางการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าส่วนใหญ่ที่นำไปสู่ความโกลาหล (ดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างของความเป็นสากล ) ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อช่วงเวลาการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าสั้นลงเรื่อย ๆ อัตราส่วนระหว่างช่วงเวลาการเพิ่มคาบเป็นสองเท่าสองช่วงจะลู่เข้าสู่ขีดจำกัด ซึ่งก็คือค่าคงที่ Feigenbaum ตัวแรก${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle f(x)\mapsto -\alpha f(f(-x/\alpha ))}$$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(x)=-\alpha g(g(-x/\alpha ))}$${\displaystyle \delta =4.6692016\cdots }$

ค่าคงที่นี้สามารถหาได้โดยการลองค่าที่เป็นไปได้หลายๆ ค่า สำหรับค่าที่ไม่ถูกต้อง แผนที่จะไม่ลู่เข้าสู่ค่าจำกัด แต่เมื่อเป็นค่าที่เหมาะสม แผนที่จะลู่เข้า นี่คือค่าคงที่ของ Feigenbaum ตัวที่สอง ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =2.5029\dots }$