ในทางคณิตศาสตร์แฟรกทัลคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีโครงสร้างละเอียดในระดับเล็ก ๆ ที่กำหนดได้ โดยปกติจะมีมิติแฟรกทัลที่มากกว่ามิติทางโทโพโลยี อย่าง เคร่งครัด แฟรกทัลหลาย ๆ รูปปรากฏคล้ายกันในระดับต่าง ๆ ดังที่แสดงในการขยายต่อเนื่องของเซตแมนเดลบร็อต [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] การ}แสดงรูปแบบที่คล้ายกันในระดับที่เล็กลงเรื่อย ๆ นี้เรียกว่าความคล้ายคลึงในตัวเองหรือที่รู้จักกันในชื่อสมมาตรแบบขยายหรือสมมาตรแบบคลี่ออก หากการจำลองนี้เหมือนกันทุกประการในทุกระดับ เช่นในฟองน้ำเมนเจอร์รูปทรงนั้นเรียกว่าความคล้ายคลึงในตัวเองแบบแอฟฟิน^{[ 5 ]}เรขาคณิตแฟรกทัลเกี่ยวข้องกับสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีการวัดโดยมิติเฮาส์ดอร์ฟ ของ มัน

วิธีหนึ่งที่แฟรกทัลแตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิต อื่นๆ คือวิธีการปรับขนาดการเพิ่มความยาวขอบของรูปหลายเหลี่ยม ที่เติมเต็ม เป็นสองเท่าจะทำให้พื้นที่เพิ่มขึ้นเป็นสี่เท่า ซึ่งก็คือสอง (อัตราส่วนของความยาวด้านใหม่ต่อความยาวด้านเดิม) ยกกำลังสอง (มิติปกติของรูปหลายเหลี่ยมที่เติมเต็ม) ในทำนองเดียวกัน หากรัศมีของทรงกลมที่เติมเต็มเพิ่มขึ้น เป็นสองเท่า ปริมาตรจะเพิ่มขึ้นเป็นแปดเท่า ซึ่งก็คือสอง (อัตราส่วนของรัศมีใหม่ต่อรัศมีเดิม) ยกกำลังสาม (มิติปกติของทรงกลมที่เติมเต็ม) อย่างไรก็ตาม หากความยาวหนึ่งมิติของแฟรกทัลเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทั้งหมด เนื้อหาเชิงพื้นที่ของแฟรกทัลจะปรับขนาดด้วยกำลังที่ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มและโดยทั่วไปจะมากกว่ามิติปกติ^{[ 1 ]}กำลังนี้เรียกว่ามิติแฟรกทัลของวัตถุทางเรขาคณิต เพื่อแยกความแตกต่างจากมิติปกติ (ซึ่งเรียกอย่างเป็นทางการว่ามิติทางโทโพโลยี ) ^{[ 6 ]}

ในเชิงวิเคราะห์ แฟรกทัลจำนวนมากไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุก ที่ ^{[ 1 ] [ 4 ]}เส้นโค้งแฟรกทัลอนันต์สามารถจินตนาการได้ว่าคดเคี้ยวผ่านอวกาศแตกต่างจากเส้นตรงธรรมดา แม้ว่าในทางโทโพโลยีจะยังคงเป็นมิติเดียว แต่มิติแฟรกทัลของมันบ่งชี้ว่ามันเติมเต็มพื้นที่ในระดับท้องถิ่นได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าเส้นตรงธรรมดา^{[ 1 ] [ 6 ]}

นับตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 ด้วยแนวคิดเรื่องการเรียกซ้ำแฟรกทัลได้พัฒนาไปสู่การศึกษาทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดมากขึ้นเรื่อยๆ จนกระทั่งถึงการศึกษา ฟังก์ชัน ต่อเนื่องแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในศตวรรษที่ 19 โดยผลงานสำคัญของBernard Bolzano , Bernhard RiemannและKarl Weierstrass [ ^{7 ] และ}ต่อมาได้มีการบัญญัติคำว่าแฟรกทัลขึ้นในศตวรรษที่ 20 พร้อมกับความสนใจที่เพิ่มขึ้นอย่างมากในแฟรกทัลและการสร้างแบบจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ในศตวรรษที่ 20 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

มีความเห็นไม่ตรงกันในหมู่นักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการกำหนดแนวคิดของแฟรกทัลอย่างเป็นทางการ แมนเดลบร็อตเองสรุปไว้ว่า "สวยงาม ยากมาก และมีประโยชน์มากขึ้นเรื่อยๆ นั่นแหละคือแฟรกทัล" ^{[ 10 ]}ในปี 1982 แมนเดลบร็อตได้กำหนดแฟรกทัล อย่างเป็นทางการ ดังนี้: "แฟรกทัลตามคำจำกัดความคือเซตที่มิติเฮาส์ดอร์ฟ-เบซิโควิช มีค่ามากกว่า มิติทางโทโพโลยีอย่างเคร่งครัด" ^{[ 11 ]}ต่อมา เมื่อเห็นว่าคำจำกัดความนี้เข้มงวดเกินไป เขาจึงลดความซับซ้อนและขยายคำจำกัดความเป็นดังนี้: "แฟรกทัลคือรูปทรงเรขาคณิต ที่หยาบหรือแตก เป็นชิ้นๆ ซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ โดยแต่ละส่วนเป็น (อย่างน้อยโดยประมาณ) สำเนาที่มีขนาดเล็กลงของทั้งหมด" ^{[ 1 ]}ต่อมา แมนเดลบร็อตเสนอ "ให้ใช้แฟรกทัลโดยไม่ต้องมีคำจำกัดความที่เคร่งครัด ให้ใช้มิติแฟรกทัลเป็นคำทั่วไปที่ใช้ได้กับทุกรูปแบบ" ^{[ 12 ]}

นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เห็นพ้องกันว่าแฟรกทัลเชิงทฤษฎีเป็น โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ที่ซ้ำซ้อนและละเอียดอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งได้มีการกำหนดและศึกษาตัวอย่าง มากมาย ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แฟรกทัลไม่ได้จำกัดอยู่แค่รูปแบบทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังสามารถอธิบายกระบวนการในเวลาได้อีกด้วย^{[ 5 ] [ 4 ] [ 13 ] รูปแบบแฟรกทัลที่มีระดับความคล้ายคลึงกันในตัวเองที่แตกต่างกัน ได้} รับการนำเสนอ หรือศึกษาในสื่อภาพ สื่อกายภาพ และสื่อเสียง[ 14 ^{]และพบ}ได้ในธรรมชาติ [ ^{15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}เทคโนโลยี [ ^{19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ศิลปะ [ ^{23 ] [ 24 ] และสถาปัตยกรรม[ 25 ]}แฟรกทัลมีความเกี่ยวข้องเป็นพิเศษในสาขาทฤษฎีความโกลาหลเนื่องจากปรากฏในภาพเรขาคณิตของกระบวนการโกลาหลส่วนใหญ่ (โดยทั่วไปจะเป็นตัวดึงดูดหรือเป็นขอบเขตระหว่างแอ่งดึงดูด) ^{[ 26 ]}

คำว่า "แฟรกทัล" ถูกบัญญัติโดยนักคณิตศาสตร์Benoît Mandelbrotในปี 1975 ^{[ 27 ]} Mandelbrot อ้างอิงจากคำภาษาละตินfrāctusซึ่งหมายถึง "แตกหัก" หรือ "หัก" และใช้เพื่อขยายแนวคิดของมิติ เศษส่วนเชิงทฤษฎี ไปสู่รูปแบบทางเรขาคณิตในธรรมชาติ^{[ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]}

คำว่า "แฟรกทัล" มักมีความหมายที่แตกต่างกันสำหรับนักคณิตศาสตร์และคนทั่วไป โดยที่คนทั่วไปมักคุ้นเคยกับศิลปะแฟรกทัลมากกว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์ แนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้ยากที่จะนิยามอย่างเป็นทางการ แม้แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เอง แต่คุณลักษณะสำคัญๆ สามารถเข้าใจได้ด้วยพื้นฐานทางคณิตศาสตร์เพียงเล็กน้อย

คุณสมบัติของ "ความคล้ายคลึงในตัวเอง" นั้นเข้าใจได้ง่ายโดยเปรียบเทียบกับการซูมภาพด้วยเลนส์หรืออุปกรณ์อื่น ๆ ที่ซูมภาพดิจิทัลเพื่อเปิดเผยโครงสร้างใหม่ที่ละเอียดกว่าและมองไม่เห็นมาก่อน อย่างไรก็ตาม หากทำเช่นนี้กับแฟรกทัล จะไม่มีรายละเอียดใหม่ปรากฏขึ้น ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง และรูปแบบเดิมจะซ้ำแล้วซ้ำเล่า หรือสำหรับแฟรกทัลบางชนิด รูปแบบที่เกือบจะเหมือนกันจะปรากฏขึ้นซ้ำแล้วซ้ำเล่า ความคล้ายคลึงในตัวเองนั้นไม่จำเป็นต้องขัดกับสัญชาตญาณ (เช่น ผู้คนเคยพิจารณาความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างไม่เป็นทางการ เช่น ในการถดถอยอนันต์ในกระจกขนานหรือโฮมุนคูลัสซึ่งเป็นคนตัวเล็ก ๆ ที่อยู่ภายในหัวของคนตัวเล็ก ๆ ที่อยู่ภายในหัว...) ความแตกต่างสำหรับแฟรกทัลคือรูปแบบที่ทำซ้ำจะต้องมีรายละเอียด^{[ 1 ] : 166, 18 [ 2 ] [ 28 ]}

แนวคิดเรื่องรายละเอียดนี้เกี่ยวข้องกับคุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งที่สามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์มากนัก ตัวอย่างเช่น การมีมิติแฟรกทัลที่มากกว่ามิติเชิงโทโพโลยี หมายถึงวิธีการที่แฟรกทัลปรับขนาดเมื่อเทียบกับวิธี การรับรู้ รูปทรง เรขาคณิต โดยทั่วไป เส้นตรงโดยทั่วไปเข้าใจว่าเป็นหนึ่งมิติ หากรูปดังกล่าวถูกแบ่งออกเป็นชิ้น ๆ โดยแต่ละชิ้นมีความยาวเป็น 1/3 ของความยาวเดิม ก็จะมีสามชิ้นที่เท่ากันเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสทึบเข้าใจว่าเป็นสองมิติ หากรูปดังกล่าวถูกแบ่งออกเป็นชิ้น ๆ โดยแต่ละชิ้นมีขนาดเล็กลงด้วยปัจจัย 1/3 ในทั้งสองมิติ ก็จะมีทั้งหมด 3² ⁼ 9 ชิ้น

เราจะเห็นว่าสำหรับวัตถุที่คล้ายคลึงกันโดยทั่วไป การมีมิติ n หมายความว่า เมื่อนำมาเรียงต่อกันเป็นชิ้นๆ โดยแต่ละชิ้นย่อขนาดลงด้วยตัวประกอบการย่อส่วน 1/ rจะมีทั้งหมดr ⁿชิ้น ทีนี้ ลองพิจารณาเส้นโค้ง Kochมันสามารถเรียงต่อกันได้เป็นสี่สำเนาย่อย โดยแต่ละสำเนาย่อขนาดลงด้วยตัวประกอบการย่อส่วน 1/3 ดังนั้น โดยการเปรียบเทียบอย่างเคร่งครัด เราสามารถพิจารณา "มิติ" ของเส้นโค้ง Koch ว่าเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันDที่สอดคล้องกับ 3 ^D = 4 จำนวนนี้เรียกว่ามิติแฟรกทัลของเส้นโค้ง Koch ซึ่งไม่ใช่ขนาดมิติของเส้นโค้งที่เข้าใจกันโดยทั่วไป โดยทั่วไป คุณสมบัติสำคัญของแฟรกทัลคือ มิติแฟรกทัลแตกต่างจาก มิติ ที่เข้าใจกันโดยทั่วไป (เรียกอย่างเป็นทางการว่า มิติเชิงโทโพโลยี)

สิ่งนี้ยังนำไปสู่ความเข้าใจคุณลักษณะที่สาม นั่นคือ แฟรกทัลในฐานะสมการทางคณิตศาสตร์นั้น "ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่"ในแง่ที่เป็นรูปธรรม หมายความว่าแฟรกทัลไม่สามารถวัดได้ด้วยวิธีแบบดั้งเดิม^{[ 1 ] [ 4 ] [ 30 ]}เพื่ออธิบายเพิ่มเติม ในการพยายามหาความยาวของเส้นโค้งที่ไม่ใช่แฟรกทัลที่เป็นคลื่น เราอาจพบส่วนตรงของเครื่องมือวัดขนาดเล็กพอที่จะวางต่อกันบนคลื่นได้ โดยที่ชิ้นส่วนเหล่านั้นจะมีขนาดเล็กพอที่จะถือว่าสอดคล้องกับเส้นโค้งในลักษณะปกติของการวัดด้วยสายวัด แต่ในการวัดเส้นโค้งแฟรกทัลที่ "คดเคี้ยว" อย่างไม่มีที่สิ้นสุด เช่น เกล็ดหิมะ Koch เราจะไม่พบส่วนตรงขนาดเล็กพอที่จะสอดคล้องกับเส้นโค้งได้เลย เพราะรูปแบบที่ขรุขระจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในระดับที่เล็กมากโดยพลการ โดยพื้นฐานแล้วจะดึงสายวัดเข้าไปในความยาวทั้งหมดที่วัดได้ทุกครั้งที่เราพยายามปรับให้กระชับกับเส้นโค้งมากขึ้นเรื่อยๆ ผลก็คือต้องใช้เทปจำนวนอนันต์เพื่อปิดคลุมเส้นโค้งทั้งหมดได้อย่างสมบูรณ์ กล่าวคือเกล็ดหิมะมีเส้นรอบวงเป็นอนันต์^{[ 1 ]}

ประวัติศาสตร์ของแฟรกทัลเริ่มต้นจากการศึกษาเชิงทฤษฎีเป็นหลัก ไปจนถึงการประยุกต์ใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ สมัยใหม่ โดยมีบุคคลสำคัญหลายท่านได้สร้างรูปแบบแฟรกทัลที่เป็นมาตรฐานขึ้นมา^{[ 8 ] [ 9 ]} ธีมที่พบได้ทั่วไปในสถาปัตยกรรมแอฟริกัน ดั้งเดิม คือการใช้การปรับขนาดแบบแฟรกทัล โดยส่วนเล็กๆ ของโครงสร้างมักจะดูคล้ายกับส่วนที่ใหญ่กว่า เช่น หมู่บ้านทรงกลมที่สร้างจากบ้านทรงกลม^{[ 31 ]} ตามที่Pickover กล่าวไว้ คณิตศาสตร์เบื้องหลังแฟรกทัลเริ่มเป็นรูปเป็นร่างขึ้นในศตวรรษที่ 17 เมื่อ Gottfried Leibnizนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาได้พิจารณาถึงความคล้ายคลึงกันแบบวนซ้ำ (แม้ว่าเขาจะเข้าใจผิดคิดว่ามีเพียงเส้นตรง เท่านั้น ที่คล้ายคลึงกันในความหมายนี้) ^{[ 32 ]}

ในงานเขียนของเขา ไลบ์นิซใช้คำว่า "เลขชี้กำลังเศษส่วน" แต่เสียใจที่ "เรขาคณิต" ยังไม่รู้จักสิ่งเหล่านี้^{[ 1 ] : 405} อันที่จริง ตามบันทึกทางประวัติศาสตร์ต่างๆ หลังจากนั้น มีนักคณิตศาสตร์เพียงไม่กี่คนที่จัดการกับปัญหาเหล่านี้ และงานของผู้ที่ทำเช่นนั้นก็ยังคงถูกบดบังเป็นส่วนใหญ่เนื่องจากการต่อต้านแนวคิดที่เกิดขึ้นใหม่ที่ไม่คุ้นเคย ซึ่งบางครั้งถูกเรียกว่า "สัตว์ประหลาด" ทางคณิตศาสตร์^{[ 30 ] [ 8 ] [ 9 ]}ดังนั้น จนกระทั่งสองศตวรรษผ่านไป ในวันที่ 18 กรกฎาคม ค.ศ. 1872 คาร์ล ไวเออร์สตรัสได้นำเสนอนิยามแรกของฟังก์ชันที่มีกราฟซึ่งในปัจจุบันจะถือว่าเป็นแฟรกทัล โดยมีคุณสมบัติที่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณคือต่อเนื่องทุกที่แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ณ ราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งปรัสเซีย^{[ 8 ] : 7 [ 9 ]}

นอกจากนี้ ความแตกต่างของผลหารจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ เมื่อดัชนีผลรวมเพิ่มขึ้น^{[ 33 ]}ไม่นานหลังจากนั้น ในปี พ.ศ. 2326 Georg Cantorซึ่งเข้าร่วมฟังการบรรยายของ Weierstrass ^{[ 9 ]}ได้ตีพิมพ์ตัวอย่างของเซตย่อยของเส้นจำนวนจริงที่เรียกว่าเซต Cantorซึ่งมีคุณสมบัติที่ผิดปกติและปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นแฟรกทัล^{[ 8 ] : 11–24} นอกจากนี้ ในช่วงปลายศตวรรษนั้นFelix KleinและHenri Poincaréได้แนะนำประเภทของแฟรกทัลที่เรียกว่าแฟรกทัล "ผกผันตัวเอง" ^{[ 1 ] : 166}

หนึ่งในความก้าวหน้าครั้งสำคัญถัดมาเกิดขึ้นในปี 1904 เมื่อHelge von Kochได้ขยายแนวคิดของ Poincaré และไม่พอใจกับคำจำกัดความเชิงนามธรรมและเชิงวิเคราะห์ของ Weierstrass จึงได้ให้คำจำกัดความเชิงเรขาคณิตมากขึ้น ซึ่งรวมถึงภาพวาดด้วยมือของฟังก์ชันที่คล้ายกัน ซึ่งปัจจุบันเรียกว่า เกล็ด หิมะKoch ^{[ 8 ] : 25 [ 9 ]}ความก้าวหน้าครั้งสำคัญอีกประการหนึ่งเกิดขึ้นในอีกสิบปีต่อมาในปี 1915 เมื่อWacław Sierpińskiสร้างรูปสามเหลี่ยม ที่มีชื่อเสียงของเขา จากนั้นหนึ่งปีต่อมาเขาก็สร้างพรม ของเขา ในปี 1918 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสองคนPierre FatouและGaston Juliaแม้จะทำงานอย่างอิสระ แต่ก็ประสบความสำเร็จพร้อมๆ กันในการอธิบายสิ่งที่ปัจจุบันถือว่าเป็นพฤติกรรมแบบแฟรกทัลที่เกี่ยวข้องกับการแมปจำนวนเชิงซ้อนและฟังก์ชันแบบวนซ้ำ และนำไปสู่แนวคิดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวดึงดูดและตัวผลักดัน (เช่น จุดที่ดึงดูดหรือผลักดันจุดอื่นๆ) ซึ่งมีความสำคัญมากในการศึกษาแฟรกทัล^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]}

หลังจากที่ส่งผลงานนั้นไม่นาน ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2461 เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟได้ขยายคำจำกัดความของ "มิติ" ซึ่งมีความสำคัญต่อวิวัฒนาการของคำจำกัดความของแฟรกทัล โดยอนุญาตให้เซตมีมิติที่ไม่ใช่จำนวนเต็มได้^{[ 9 ]}แนวคิดของเส้นโค้งที่คล้ายคลึงกันได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยพอล เลวีซึ่งในบทความปี พ.ศ. 2481 เรื่อง เส้นโค้งและพื้นผิวระนาบหรืออวกาศที่ประกอบด้วยส่วนที่คล้ายกับทั้งหมดได้อธิบายเส้นโค้งแฟรกทัลใหม่ คือเส้นโค้งเลวี ซี^{[หมายเหตุ 1 ]}

นักวิจัยหลายคนตั้งสมมติฐานว่า หากปราศจากความช่วยเหลือจากกราฟิกคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ นักวิจัยในยุคแรกๆ จะถูกจำกัดอยู่เพียงสิ่งที่พวกเขาสามารถวาดได้ด้วยมือ จึงขาดวิธีการที่จะมองเห็นความสวยงามและชื่นชมความหมายแฝงของรูปแบบต่างๆ ที่พวกเขาค้นพบ (เช่น ชุด Julia สามารถมองเห็นได้ผ่านการทำซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งในรูปแบบภาพวาดที่เรียบง่ายมาก) ^{[ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ]}อย่างไรก็ตาม สิ่งนั้นเปลี่ยนไปในช่วงทศวรรษ 1960 เมื่อBenoit Mandelbrotเริ่มเขียนเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันในตัวเองในเอกสารต่างๆ เช่นHow Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [ ^{34 ] [ 35 ] ซึ่ง}สร้างขึ้นจากงานก่อนหน้านี้ของLewis Fry Richardson

ในปี พ.ศ. 2518 ^{[ 28 ]}แมนเดลบร็อตได้รวบรวมความคิดและการพัฒนาทางคณิตศาสตร์หลายร้อยปีไว้ด้วยกันในการบัญญัติคำว่า "แฟรกทัล" และแสดงให้เห็นคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของเขาด้วยภาพที่สร้างขึ้นด้วยคอมพิวเตอร์ที่น่าทึ่ง ภาพเหล่านี้ เช่นชุดแมนเดลบร็อต แบบแคนอนิกของเขา ได้ดึงดูดจินตนาการของผู้คนจำนวนมาก หลายภาพมีพื้นฐานมาจากการเรียกซ้ำ ซึ่งนำไปสู่ความหมายที่เป็นที่นิยมของคำว่า "แฟรกทัล" ^{[ 36 ] [ 30 ] [ 8 ] [ 32 ]}

ในปี พ.ศ. 2523 Loren Carpenterได้นำเสนอผลงานที่SIGGRAPHโดยเขาได้แนะนำซอฟต์แวร์ของเขาสำหรับการสร้างและแสดงผลภูมิทัศน์ที่สร้างขึ้นแบบแฟรกทัล^{[ 37 ]}

คำอธิบายที่มักถูกอ้างถึงซึ่ง Mandelbrot ตีพิมพ์เพื่ออธิบายแฟรกทัลเรขาคณิตคือ " รูปทรงเรขาคณิต ที่หยาบหรือแตกเป็นชิ้น ๆ ซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นส่วน ๆ โดยแต่ละส่วนเป็นสำเนาที่มีขนาดลดลง (อย่างน้อยโดยประมาณ) ของทั้งหมด" ^{[ 1 ]}ซึ่งโดยทั่วไปแล้วมีประโยชน์แต่มีข้อจำกัด ผู้เขียนมีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับคำจำกัดความที่แน่นอนของแฟรกทัลแต่ส่วนใหญ่มักจะอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของความคล้ายคลึงกันในตัวเองและความสัมพันธ์ที่ผิดปกติของแฟรกทัลกับพื้นที่ที่พวกมันฝังอยู่^{[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]}

ประเด็นหนึ่งที่เห็นพ้องกันคือ รูปแบบแฟรกทัลมีลักษณะเฉพาะด้วยมิติแฟรกทัลแต่ในขณะที่ตัวเลขเหล่านี้วัดความซับซ้อน (เช่น รายละเอียดที่เปลี่ยนแปลงไปตามขนาดที่เปลี่ยนแปลง) แต่ก็ไม่ได้อธิบายหรือระบุรายละเอียดวิธีการสร้างรูปแบบแฟรกทัลโดยเฉพาะอย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 39 ]}ในปี 1975 เมื่อแมนเดลบร็อตบัญญัติคำว่า "แฟรกทัล" เขาใช้คำนี้เพื่อหมายถึงวัตถุที่มีมิติเฮาส์ดอร์ฟ-เบซิโควิชมากกว่ามิติโทโพโลยี [ ^{28 ] อย่างไรก็ตาม}เส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่เช่นเส้นโค้งฮิลเบิร์ตไม่ตรงตามข้อกำหนดนี้^{[หมายเหตุ 2 ]}

เนื่องจากความยุ่งยากในการหาคำจำกัดความของแฟรกทัล บางคนจึงโต้แย้งว่าแฟรกทัลไม่ควรมีการกำหนดอย่างเคร่งครัดเลย ตามที่ฟอลคอนเนอร์ กล่าว แฟรกทัลควรมีลักษณะโดยทั่วไปตาม ลักษณะโดย รวมดังต่อไปนี้^{[ 2 ]}

• ความคล้ายคลึงในตัวเอง ซึ่งอาจรวมถึง:

• ความคล้ายคลึงในตัวเองอย่างสมบูรณ์: เหมือนกันทุกประการในทุกระดับ เช่นเกล็ดหิมะของโคช
• ความคล้ายคลึงในตัวเองแบบกึ่งๆ: เป็นการประมาณรูปแบบเดียวกันในระดับต่างๆ อาจมีสำเนาขนาดเล็กของแฟรกทัลทั้งหมดในรูปแบบที่บิดเบี้ยวและเสื่อมเสีย ตัวอย่างเช่น ดาวเทียมของ เซตแมนเดลบร็อตเป็นการประมาณของเซตทั้งหมด แต่ไม่ใช่สำเนาที่เหมือนกันทุกประการ
• ความคล้ายคลึงกันทางสถิติ: ทำซ้ำรูปแบบแบบสุ่มเพื่อให้การวัดเชิงตัวเลขหรือทางสถิติคงอยู่ข้ามระดับ เช่น แฟรกทัลที่สร้างขึ้นแบบสุ่มเช่น ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของชายฝั่งของบริเตนซึ่งเราไม่คาดว่าจะพบส่วนที่ถูกปรับขนาดและทำซ้ำอย่างเรียบร้อยเหมือนหน่วยที่ทำซ้ำซึ่งกำหนดแฟรกทัล เช่น เกล็ดหิมะ Koch ^{[ 4 ]}
• ความคล้ายคลึงกันเชิงคุณภาพ: เช่นเดียวกับในอนุกรมเวลา^{[ 13 ]}
• การปรับขนาด แบบมัลติแฟรกทัล : ลักษณะเฉพาะที่มีมิติแฟรกทัลหรือกฎการปรับขนาดมากกว่าหนึ่งแบบ

• โครงสร้างละเอียดหรือละเอียดที่ระดับเล็กตามอำเภอใจ ผลที่ตามมาของโครงสร้างนี้คือแฟรกทัลอาจมีคุณสมบัติที่เกิดขึ้นใหม่^{[ 40 ]} (เกี่ยวข้องกับเกณฑ์ถัดไปในรายการนี้)
• ความไม่สม่ำเสมอทั้งในระดับท้องถิ่นและระดับโลกที่ไม่สามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยภาษาของเรขาคณิตแบบยุคลิด ดั้งเดิม นอกเหนือจากขีดจำกัดของ ลำดับขั้นตอนที่กำหนดแบบเรียก ซ้ำสำหรับภาพของรูปแบบแฟรกทัล สิ่งนี้ได้ถูกแสดงออกมาด้วยวลีต่างๆ เช่น "พื้นผิวที่ซ้อนกันอย่างราบรื่น" และ "เกลียวซ้อนเกลียว" ^{[ 6 ]}ดูเทคนิคทั่วไปสำหรับการสร้างแฟรกทัล

โดยรวมแล้ว เกณฑ์เหล่านี้เป็นแนวทางในการยกเว้นกรณีบางอย่าง เช่น กรณีที่อาจมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองโดยไม่มีคุณลักษณะแฟรกทัลทั่วไปอื่นๆ เส้นตรงเป็นตัวอย่างหนึ่งที่คล้ายคลึงกันในตัวเองแต่ไม่ใช่แฟรกทัลเพราะขาดรายละเอียด และสามารถอธิบายได้ง่ายในภาษายูคลิดโดยไม่จำเป็นต้องใช้การเรียกซ้ำ^{[ 1 ] [ 4 ]}

เมื่อ Mandelbrot นำเสนอคำว่าแฟรกทัล เขาได้ยกเว้นช่วงการขยายเป็นลักษณะเฉพาะในการกำหนด เพื่อรองรับแฟรกทัลทางกายภาพที่มีช่วงจำกัดกว่าแฟรกทัลทางคณิตศาสตร์^{[ 41 ]}

สามารถสร้างภาพแฟรกทัลได้โดยใช้โปรแกรมสร้างแฟรกทัลเนื่องจากปรากฏการณ์ผีเสื้อขยับปีกการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรเพียงตัวเดียวอาจส่งผลลัพธ์ ที่คาดเดาไม่ ได้

• ระบบฟังก์ชันแบบวนซ้ำ (IFS) – ใช้กฎการแทนที่ทางเรขาคณิตแบบคงที่ อาจเป็นแบบสุ่มหรือแบบกำหนด ^{[ 42 ]}เช่นเกล็ดหิมะ Koch ,เซต Cantor , พรม Haferman, ^{[ 43 ]}พรม Sierpinski ,ปะเก็น Sierpinski ,เส้นโค้ง Peano ,เส้นโค้งมังกร Harter-Heighway ,สี่เหลี่ยมจัตุรัส T ,ฟองน้ำ Menger
• ตัวดึงดูดแปลกประหลาด – ใช้การวนซ้ำของแผนที่หรือคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์หรือสมการเชิงผลต่างค่าเริ่มต้นที่แสดงพฤติกรรมอลวน (เช่น ดู ภาพ มัลติแฟร็กทัลหรือแผนที่โลจิสติก )
• ระบบ L – ใช้การเขียนสตริงใหม่ อาจมีลักษณะคล้ายรูปแบบการแตกแขนง เช่น ในพืช เซลล์ชีวภาพ (เช่น เซลล์ประสาทและเซลล์ระบบภูมิคุ้มกัน ^{[ 18 ]} ) หลอดเลือด โครงสร้างปอด ^{[ 44 ]}เป็นต้น หรือ รูปแบบ กราฟิกเต่าเช่นเส้นโค้งที่เติมเต็มพื้นที่และการปูพื้น
• แฟรกทัลเวลาหลบหนี – ใช้สูตรหรือความสัมพันธ์เวียนเกิดณ แต่ละจุดในปริภูมิ (เช่นระนาบเชิงซ้อน ) โดยทั่วไปจะมีลักษณะคล้ายตนเอง หรือที่รู้จักกันในชื่อแฟรกทัล "วงโคจร" เช่นเซตแมนเด ลบร็ อ ต เซตจูเลีย แฟรกทั ลเรือเพลิง แฟรกทัลโนวาและแฟรกทัลลยาปูนอฟฟิลด์เวกเตอร์ 2 มิติที่สร้างขึ้นโดยการทำซ้ำสูตรเวลาหลบหนีหนึ่งหรือสองครั้ง ยังก่อให้เกิดรูปแบบแฟรกทัลเมื่อจุด (หรือข้อมูลพิกเซล) ถูกส่งผ่านฟิลด์นี้ซ้ำๆ
• แฟรกทัลแบบสุ่ม – ใช้กฎสุ่ม เช่นการบินของเลวีกลุ่มการ ซึมผ่าน การเดิน ที่หลีกเลี่ยงตัวเองภูมิทัศน์แฟรกทัลวิถีการเคลื่อนที่แบบบราว น์ และต้นไม้บราวน์ (เช่น แฟรกทัลแบบเดนไดรต์ที่สร้างขึ้นโดยการจำลองการรวมกลุ่มที่จำกัดการแพร่กระจายหรือกลุ่มการรวมกลุ่มที่จำกัดปฏิกิริยา) ^{[ 4 ]}

• กฎการแบ่งย่อยแบบจำกัด – ใช้ ขั้นตอนวิธีทาง โทโพโลยีแบบ เรียกซ้ำ เพื่อปรับปรุงการปูพื้น ^{[ 45 ]}และมีความคล้ายคลึงกับกระบวนการแบ่งเซลล์^{[ 46 ]}กระบวนการวนซ้ำที่ใช้ในการสร้างเซตแคนเตอร์และพรมเซียร์ปินสกีเป็นตัวอย่างของกฎการแบ่งย่อยแบบจำกัด เช่นเดียวกับการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก

รูปแบบแฟรกทัลได้รับการจำลองอย่างกว้างขวาง แม้ว่าจะอยู่ในช่วงขนาดที่จำกัดมากกว่าที่จะเป็นอนันต์ เนื่องจากข้อจำกัดทางเวลาและพื้นที่ทางกายภาพ แบบจำลองอาจจำลองแฟรกทัลเชิงทฤษฎีหรือปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่มีลักษณะแฟรกทัลผลลัพธ์ของกระบวนการจำลองอาจเป็นการแสดงผลทางศิลปะที่งดงาม ผลลัพธ์สำหรับการวิจัย หรือเกณฑ์มาตรฐานสำหรับการวิเคราะห์แฟรกทัลการประยุกต์ใช้แฟรกทัลในด้านเทคโนโลยีบางอย่างได้ระบุไว้ในที่อื่นแล้วโดยปกติแล้วภาพและผลลัพธ์อื่นๆ ของการจำลองจะถูกเรียกว่า "แฟรกทัล" แม้ว่าจะไม่มีลักษณะแฟรกทัลอย่างแท้จริง เช่น เมื่อสามารถซูมเข้าไปในบริเวณของภาพแฟรกทัลที่ไม่แสดงคุณสมบัติแฟรกทัลใดๆ นอกจากนี้ สิ่งเหล่านี้อาจรวมถึงสิ่งประดิษฐ์ จากการคำนวณหรือการแสดงผล ซึ่งไม่ใช่ลักษณะของแฟรกทัลที่แท้จริง

แฟรกทัลจำลองอาจเป็นเสียง^{[ 14 ]}ภาพดิจิทัล รูปแบบทางเคมีไฟฟ้า^{จังหวะ}ชีวภาพ [ ^{47 ]}เป็นต้น รูปแบบแฟรกทัลได้รับการสร้างใหม่ในพื้นที่ 3 มิติทางกายภาพ^{[ 21 ] : 10} และเสมือนจริง ซึ่งมักเรียกว่าการสร้างแบบจำลอง " in silico " ^{[ 44 ]}โดยทั่วไปแบบจำลองของแฟรกทัลจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้ซอฟต์แวร์สร้างแฟรกทัลที่ใช้เทคนิคต่างๆ เช่นที่กล่าวไว้ข้างต้น^{[ 4 ] [ 13 ] [ 21 ]}ตัวอย่างเช่น ต้นไม้ เฟิร์น เซลล์ของระบบประสาท^{[ 18 ]}หลอดเลือดและปอด^{[ 44 ]}และรูปแบบการแตกแขนงอื่นๆในธรรมชาติสามารถสร้างแบบจำลองบนคอมพิวเตอร์ได้โดยใช้อัลกอริธึมแบบ เรียกซ้ำ และเทคนิคL-systems ^{[ 18 ]}

ลักษณะการวนซ้ำของรูปแบบบางอย่างนั้นเห็นได้ชัดในตัวอย่างบางอย่าง เช่น กิ่งไม้หรือใบเฟิร์น เป็นแบบจำลองขนาดเล็กของสิ่งทั้งหมด ไม่เหมือนกันทุกประการ แต่คล้ายคลึงกันในธรรมชาติ ในทำนองเดียวกัน แฟรกทัล แบบสุ่มถูกนำมาใช้เพื่ออธิบาย/สร้างวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริงที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอสูง เช่น ชายฝั่งและภูเขา ข้อจำกัดของการสร้างแบบจำลองแฟรกทัลคือ ความคล้ายคลึงกันของแบบจำลองแฟรกทัลกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติไม่ได้พิสูจน์ว่าปรากฏการณ์ที่กำลังสร้างแบบจำลองนั้นเกิดขึ้นจากกระบวนการที่คล้ายคลึงกับอัลกอริธึมการสร้างแบบจำลอง

แฟรกทัลโดยประมาณที่พบในธรรมชาติแสดงความคล้ายคลึงกันในตัวเองในช่วงขนาดที่ขยายออกไปแต่มีขอบเขตจำกัด ตัวอย่างเช่น การเชื่อมโยงระหว่างแฟรกทัลและใบไม้กำลังถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดปริมาณคาร์บอนที่มีอยู่ในต้นไม้^{[ 48 ]}ปรากฏการณ์ที่ทราบกันว่ามีคุณสมบัติแฟรกทัล ได้แก่:

• 
  ผลึกน้ำแข็งที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติบนกระจกเย็นก่อให้เกิดลวดลายแบบแฟร็กทัล
• 
  ขอบเขตแอ่งแฟรกทัลในระบบออปติกเชิงเรขาคณิต^{[ 56 ]}
• 
  รูปทรงเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลเกิดขึ้นเมื่อดึงแผ่นอะคริลิก สองแผ่นที่เคลือบด้วยกาวออกจากกัน
• 
  การแตกตัวของแรงดันไฟฟ้าสูงภายในบล็อกกระจกอะคริลิกขนาด 4 นิ้ว (100 มม.) ทำให้เกิดรูปทรงลิชเทนเบิร์ก แบบแฟร็กทัล
• 
  บรอกโคลีโรมาเนสโกแสดง รูปทรง ที่คล้ายคลึงกันในตัวเองซึ่งใกล้เคียงกับแฟร็กทัลตามธรรมชาติ
• 
  ลวดลายการละลายน้ำแข็งแบบแฟร็กทัล บริเวณขั้วโลกของดาวอังคาร ลวดลายเหล่านี้เกิดจากการระเหิดของก๊าซคาร์บอนไดออกไซด์ที่แข็งตัว_ความกว้างของภาพประมาณหนึ่งกิโลเมตร
• 
  ราเมือกBrefeldia maximaเจริญเติบโตแบบแฟร็กทัลบนไม้
• 
  เดนไดรต์ไซโลเมลานในหินปูนโซลน์โฮเฟน

แฟรกทัลมักปรากฏในอาณาจักรของสิ่งมีชีวิต โดยเกิดขึ้นจากกระบวนการแตกแขนงและการสร้างรูปแบบที่ซับซ้อนอื่นๆ ริชาร์ด เทย์เลอร์และเพื่อนร่วมงานได้แสดงให้เห็นว่ากิ่งก้านเดนไดรต์ของเซลล์ประสาทสร้างรูปแบบแฟรกทัล^{[ 73 ]}เอียน หว่องและเพื่อนร่วมงานได้แสดงให้เห็นว่าเซลล์ที่เคลื่อนที่สามารถสร้างแฟรกทัลได้โดยการรวมกลุ่มและการแตกแขนง [ ^{74 ] เซลล์}ประสาททำงานผ่านกระบวนการที่พื้นผิวเซลล์ โดยมีปรากฏการณ์ที่เพิ่มขึ้นจากการเพิ่มอัตราส่วนพื้นผิวต่อปริมาตรอย่างมาก ส่งผลให้เซลล์ประสาทมักพบว่าก่อตัวเป็นรูปแบบแฟรกทัล^{[ 75 ]} กระบวนการเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อ สรีรวิทยาของเซลล์และพยาธิสภาพต่างๆ^{[ 76 ]}

โครงสร้างย่อยของเซลล์หลายชนิดยังพบว่าประกอบกันเป็นแฟรกทัลDiego Krapfได้แสดงให้เห็นว่า เส้นใย แอคตินในเซลล์มนุษย์ประกอบกันเป็นรูปแบบแฟรกทัล ผ่านกระบวนการแตกแขนง ^{[ 77 ]}ในทำนองเดียวกัน Matthias Weiss ได้แสดงให้เห็นว่าเอนโดพลาสมิกเรติคูลัมแสดงคุณสมบัติแฟรกทัล^{[ 78 ]}ความเข้าใจในปัจจุบันคือแฟรกทัลมีอยู่ทั่วไปในชีววิทยาของเซลล์ ตั้งแต่โปรตีนออร์แกเนลล์ไปจนถึงเซลล์ทั้งหมด

การแสดงออกเชิงแฟรกทัลใช้เพื่อแยกแยะศิลปะแฟรกทัลที่สร้างขึ้นโดยตรงจากศิลปินออกจากศิลปะแฟรกทัลที่สร้างขึ้นโดยใช้คณิตศาสตร์และ/หรือคอมพิวเตอร์^{[ 79 ]}

ตั้งแต่ปี 1999 กลุ่มวิจัยทางวิทยาศาสตร์จำนวนมากได้ทำการวิเคราะห์แฟรกทัลกับภาพวาดมากกว่า 50 ภาพที่สร้างสรรค์โดยแจ็กสัน พอลล็อกโดยการเทสีลงบนผืนผ้าใบแนวนอนโดยตรง ดูตัวอย่างเช่น^{[ 80 ] [ 81 ] [ 82 ] [ 83 ] [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] [ 89 ] [ 90 ] [ 91 ] [ 92 ] ในปี2015 การวิเคราะห์แฟ}รกทัลถูกนำมาใช้เพื่อให้ได้อัตราความสำเร็จ 93% ในการแยกแยะภาพวาดของพอลล็อกของแท้จากของเลียนแบบ^{[ 93 ]}การศึกษาในปี 2024 ใช้เทคนิคปัญญาประดิษฐ์ที่อิงตามแฟรกทัลเพื่อให้ได้อัตราความสำเร็จ 99% ^{[ 94 ]}

Decalcomaniaซึ่งเป็นเทคนิคที่ศิลปินอย่างMax Ernst ใช้ สามารถสร้างลวดลายคล้ายแฟรกทัลได้^{[ 95 ]}โดยเกี่ยวข้องกับการกดสีระหว่างพื้นผิวสองพื้นผิวแล้วดึงออกจากกัน

นักไซเบอร์เนติกส์รอน เอ็กแลชได้เสนอแนะว่าเรขาคณิตและคณิตศาสตร์แบบแฟรกทัลนั้นแพร่หลายในศิลปะเกมการทำนายการค้า และสถาปัตยกรรมของแอฟริกา บ้านทรงกลมปรากฏเป็นวงกลมซ้อนกัน บ้านทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าปรากฏเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าซ้อนกัน และอื่นๆ รูปแบบการปรับขนาดดังกล่าวสามารถพบได้ในสิ่งทอ ประติมากรรม และแม้แต่ทรงผมถักเปียของแอฟริกา^{[ 24 ] [ 96 ]}ฮ็อกกี ซิตุงกีร์ยังได้เสนอแนะคุณสมบัติที่คล้ายกันในศิลปะดั้งเดิมของอินโดนีเซีย ผ้าบาติกและเครื่องประดับที่พบในบ้านแบบดั้งเดิม^{[ 97 ] [ 98 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาติพันธุ์วิทยา รอน เอ็กแลช ได้หารือเกี่ยวกับการวางผังเมืองเบนินโดยใช้แฟรกทัลเป็นพื้นฐาน ไม่เพียงแต่ในตัวเมืองและหมู่บ้านเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในห้องต่างๆ ของบ้านด้วย เขาแสดงความคิดเห็นว่า "เมื่อชาวยุโรปมาถึงแอฟริกาครั้งแรก พวกเขาคิดว่าสถาปัตยกรรมนั้นไม่เป็นระเบียบและล้าสมัย พวกเขาไม่เคยคิดเลยว่าชาวแอฟริกันอาจใช้คณิตศาสตร์รูปแบบหนึ่งที่พวกเขายังไม่ค้นพบด้วยซ้ำ" ^{[ 99 ]}

ในการสัมภาษณ์กับไมเคิล ซิลเวอร์แบลตต์ใน ปี 1996 เดวิด ฟอสเตอร์ วอลเลซอธิบายว่าโครงสร้างของฉบับร่างแรกของInfinite Jestที่เขามอบให้ไมเคิล พีทช์ บรรณาธิการของเขานั้นได้รับแรงบันดาลใจจากแฟรกทัล โดยเฉพาะสามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี (หรือที่รู้จักกันในชื่อ Sierpinski gasket) แต่ว่านวนิยายที่ได้รับการแก้ไขนั้น "ดูเหมือน Sierpinsky Gasket ที่ไม่สมมาตรมากกว่า" ^{[ 23 ]}

ผลงานบางชิ้นของศิลปินชาวดัตช์MC Escherเช่นCircle Limit IIIประกอบด้วยรูปทรงที่ซ้ำกันไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยรูปทรงเหล่านั้นจะเล็กลงเรื่อยๆ เมื่อเข้าใกล้ขอบ ในรูปแบบที่แม้จะซูมเข้าไปใกล้ๆ ก็จะดูเหมือนเดิมเสมอ

• 
  รูปทรงเรขาคณิตแบบแฟร็กทัลที่จำลองพื้นผิวของภูเขา (ภาพเคลื่อนไหว)
• 
  ภาพสามมิติแบบวนซ้ำ
• 
  ภาพผีเสื้อแฟร็กทัลแบบวนซ้ำ
• 
  เปลวไฟแฟร็กทัล

แฟรกทัลชีวภาพเป็นรูปแบบที่ออกแบบมาเพื่อกระตุ้นประโยชน์ด้านสุขภาพและความเป็นอยู่ที่ดีที่เกี่ยวข้องกับการสัมผัสกับทิวทัศน์ของธรรมชาติ^{[ 100 ]}ซึ่งรวมถึงการลดความเครียดและเพิ่มขีดความสามารถในการรับรู้ นักออกแบบและสถาปนิกได้รวมแฟรกทัลชีวภาพเข้ากับสภาพแวดล้อมที่สร้างขึ้นเพื่อแก้ไขข้อเท็จจริงที่ว่าผู้คนใช้เวลา 92% อยู่ภายในอาคารและห่างไกลจากทิวทัศน์ของธรรมชาติ

โบสถ์แฟร็กทัล (Fractal Chapel) ที่โรงพยาบาลมหาวิทยาลัยในเมืองกราซ ประเทศออสเตรีย ซึ่งออกแบบโดยบริษัทสถาปัตยกรรม INNOCAD เป็นตัวอย่างที่โดดเด่นและได้รับรางวัลทั้ง IIDA (International Interior Design Association) Best of Competition 2025 และรางวัล World Interior of the Year 2025 จากงาน World Architecture Festival (WAF)

ความคล่องแคล่วแบบแฟรกทัลเป็น แบบจำลอง ทางประสาทวิทยาศาสตร์ที่เสนอว่า การสัมผัสกับทิวทัศน์แฟรกทัลของธรรมชาติ ทำให้ ระบบการมองเห็น ของมนุษย์ ปรับตัวเพื่อประมวลผลแฟรกทัลได้อย่างมีประสิทธิภาพและง่ายดาย การปรับตัวนี้เกิดขึ้นในหลายขั้นตอนของระบบการมองเห็น ตั้งแต่การเคลื่อนไหวของดวงตาไปจนถึงบริเวณของสมองที่ถูกกระตุ้น^{[ 101 ]}ความคล่องแคล่วทำให้ผู้ชมอยู่ใน 'เขตความสบาย' จึงก่อให้เกิดประสบการณ์ทางสุนทรียภาพ การทดลองทางประสาทวิทยาศาสตร์แสดงให้เห็นว่าภาพวาดแฟรกทัลของแจ็กสัน พอลล็อก ก่อให้เกิด การตอบสนอง ทางสรีรวิทยา เชิงบวก ในผู้สังเกตเช่นเดียวกับแฟรกทัลของธรรมชาติและแฟรกทัลทางคณิตศาสตร์^{[ 102 ]}สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าลัทธิแสดงออกแฟรกทัลมีความเกี่ยวข้องกับความคล่องแคล่วแบบแฟรกทัลโดยการให้แรงจูงใจแก่ศิลปิน เช่น พอลล็อก ในการใช้ลัทธิแสดงออกแฟรกทัลในงานศิลปะของพวกเขาเพื่อดึงดูดผู้คน

ดูเหมือนว่ามนุษย์จะปรับตัวได้ดีเป็นพิเศษในการประมวลผลรูปแบบแฟรกทัลที่มีมิติแฟรกทัลระหว่าง 1.3 ถึง 1.5 ^{[ 103 ]}เมื่อมนุษย์มองเห็นรูปแบบแฟรกทัลที่มีมิติแฟรกทัลในช่วงนี้ แฟรกทัลเหล่านี้จะช่วยลดความเครียดทางสรีรวิทยาและเพิ่มความสามารถทางปัญญา^{[ 104 ]}

• Stanley, Eugene H, Ostrowsky, N. (บรรณาธิการ); ว่าด้วยการเติบโตและรูปแบบแฟรกทัลรูปแบบแฟรกทัลและไม่ใช่แฟรกทัลในฟิสิกส์ สำนักพิมพ์ Martinus Nijhoff, 1986. ISBN 0-89838-850-3
• บาร์นสลีย์, ไมเคิล เอฟ. และ ไรซิง, ฮอว์ลีย์; แฟรกทัลทุกหนทุกแห่งบอสตัน: สำนักพิมพ์วิชาการระดับมืออาชีพ, 1993. ISBN 0-12-079061-0
• Duarte, German A.; การเล่าเรื่องแบบแฟร็กทัล เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและเทคโนโลยี และผลกระทบต่อพื้นที่การเล่าเรื่องบีเลเฟลด์: ทรานสคริปต์, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
• ฟอลโคเนอร์, เคนเนธ; เทคนิคในเรขาคณิตแฟรกทัล สำนักพิมพ์จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์, 1997. ISBN 0-471-92287-0
• เจอร์เกนส์, ฮาร์ทมุท; เพทเกน, ไฮนซ์-อ็อตโต ; และ Saupe, ดีทมาร์; Chaos and Fractals: ขอบเขตใหม่ของวิทยาศาสตร์ นิวยอร์ก: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
• แมนเดลบร็อต, เบอนัวต์ บี. ; เรขาคณิตแฟรกทัลของธรรมชาตินิวยอร์ก: ดับเบิลยูเอช ฟรีแมน แอนด์ โค, 1982. ISBN 0-7167-1186-9
• เพทเกน, ไฮนซ์-อ็อตโต; และ Saupe, ดีทมาร์; สหพันธ์.; ศาสตร์แห่งภาพแฟร็กทัล นิวยอร์ก: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
• Pickover, Clifford A. ; บรรณาธิการ; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
• โจนส์, เจสซี; แฟรกทัลสำหรับแมคอินทอช , สำนักพิมพ์เวทกรุ๊ป, คอร์เตมาเดรา, แคลิฟอร์เนีย, 1993. ISBN 1-878739-46-8.
• ลอว์เวอริเยร์, ฮันส์; แฟรกทัล: รูปทรงเรขาคณิตที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุดแปลโดย โซเฟีย กิลล์-ฮอฟสตัดต์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน พรินซ์ตัน รัฐนิวเจอร์ซีย์ ปี 1991 ISBN 0-691-08551-Xปกแข็งISBN 0-691-02445-6ปกอ่อน "หนังสือเล่มนี้เขียนขึ้นสำหรับผู้อ่านหลากหลายกลุ่ม..." มีตัวอย่างโปรแกรม BASIC อยู่ในภาคผนวก
• Sprott, Julien Clinton (2003). ความโกลาหลและการวิเคราะห์อนุกรมเวลา . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-850839-7.
• วาห์ล, เบิร์นท์; แวน รอย, ปีเตอร์; ลาร์เซน, ไมเคิล; และคัมแมน, เอริค; การสำรวจแฟร็กทัลบนเครื่องแมคอินทอช , แอดดิสัน เวสลีย์, 1995. ISBN 0-201-62630-6
• เลสโมร์-กอร์ดอน, ไนเจล; สีสันแห่งอนันต์: ความงาม พลัง และความหมายของแฟรกทัล 2004. ISBN 1-904555-05-5(หนังสือเล่มนี้มาพร้อมกับดีวีดีที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นสารคดีของอาร์เธอร์ ซี. คลาร์กที่แนะนำแนวคิดเรื่องแฟร็กทัลและเซตแมนเดลบร็อต )
• หลิว ฮวาเจี๋ย; ศิลปะแฟร็กทัล , ฉางชา: สำนักพิมพ์วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีหูหนาน, 1997, ISBN 9787535722348.
• กูเยต์, ฌอง-ฟรองซัวส์; ฟิสิกส์และโครงสร้างแฟรกทัล (คำนำโดย บี. แมนเดลบร็อต); มาสซง, 1996. ISBN 2-225-85130-1และนิวยอร์ก: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0หมดจากตลาดแล้ว สามารถดาวน์โหลดเป็นไฟล์ PDF ได้ที่" ฟิสิกส์และโครงสร้างแฟรกทัล" (ภาษาฝรั่งเศส) Jfgouyet.fr สืบค้นเมื่อ17 ตุลาคม 2010
• ฟอลโคเนอร์, เคนเนธ (2013). แฟรกทัลส์: บทนำฉบับย่อ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแฟร็กทัล

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: แฟรกทัล

• ภาพแฟรกทัลในคลังข้อมูลเว็บของหอสมุดรัฐสภา (เก็บถาวรเมื่อวันที่ 16 พฤศจิกายน 2544)
• " การตามล่ามิติที่ซ่อนเร้น " รายการ PBS NOVAออกอากาศครั้งแรกเมื่อวันที่ 24 สิงหาคม 2554
• Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness ( [1] ), TED , กุมภาพันธ์ 2010
• สมการของการวัดแฟร็กทัลที่คล้ายคลึงกันโดยอาศัยแคลคูลัสอันดับเศษส่วน (2007)
• แฟรกทัลธาตุทั้งห้าแบบตะวันออก