ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตและตรีโกณมิติทรงกลมที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เชิงเมตริกซ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมทรงกลมซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงออกโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติบนทรง กลม เส้นทาง ที่สั้นที่สุด ( geodesic)คือวงกลมใหญ่ตรีโกณมิติทรงกลมมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณในดาราศาสตร์ธรณีวิทยาและการเดินเรือ

ที่มาของตรีโกณมิติเชิงทรงกลมในคณิตศาสตร์กรีกและการพัฒนาที่สำคัญในคณิตศาสตร์อิสลามนั้นได้มีการกล่าวถึงอย่างละเอียดในหนังสือ ประวัติศาสตร์ตรีโกณมิติและคณิตศาสตร์ในอิสลามยุคกลางวิชาดังกล่าวได้เจริญรุ่งเรืองในยุคสมัยใหม่ตอนต้นด้วยการพัฒนาที่สำคัญโดยจอห์น เนเปียร์เดอแลมเบรและคนอื่นๆ นับตั้งแต่นั้นมา การพัฒนาที่สำคัญได้แก่ การประยุกต์ใช้วิธีเวกเตอร์ วิธีควอเทอร์เนียนและการใช้วิธีการเชิงตัวเลข

รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมคือรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่บนพื้นผิวของทรงกลม ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมนี้เป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ซึ่งเทียบเท่ากับส่วนของเส้นตรง ในเรขาคณิตระนาบ ในเรขาคณิต ทรงกลม

รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวอาจมีจำนวนด้านมากกว่า 1 ด้านได้ รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมสองด้าน— เช่น รูปพระจันทร์เสี้ยว ( lunes) หรือที่เรียกว่า รูปสามเหลี่ยม (digonsหรือbi-angles) —ถูกล้อมรอบด้วยส่วนโค้งวงกลมใหญ่สองส่วน ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือพื้นผิวโค้งที่หันออกด้านนอกของส่วนหนึ่งของส้ม ส่วนโค้งสามส่วนใช้ในการกำหนดรูปสามเหลี่ยมทรงกลม ซึ่งเป็นหัวข้อหลักของบทความนี้ รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านมากกว่า (รูปสี่เหลี่ยมทรงกลม 4 ด้าน รูปห้าเหลี่ยมทรงกลม 5 ด้าน เป็นต้น) ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ในทำนองเดียวกันกับรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบ รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมที่มีมากกว่า 3 ด้านสามารถถือได้ว่าเป็นผลรวมของรูปสามเหลี่ยมทรงกลมเสมอ

รูปหลายเหลี่ยมทรงกลมที่มีคุณสมบัติน่าสนใจอย่างหนึ่งคือ เพนทา แกรมมา มิริฟิคัม (pentagramma mirificum ) ซึ่งเป็น รูปหลายเหลี่ยมดาวห้าแฉกทรงกลมที่มีมุมฉากที่ทุกจุดยอด

จากจุดนี้เป็นต้นไปในบทความ การอภิปรายจะจำกัดอยู่เฉพาะรูปสามเหลี่ยมทรงกลม ซึ่งจะเรียกสั้นๆ ว่ารูป สามเหลี่ยม

• ทั้งจุดยอดและมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่เดียวกัน คือA , BและCแทน
• ความยาวด้านบนทรงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็ก: a , bและcความยาวด้านและมุมพิมพ์เล็กจะเท่ากันเมื่อวัดมุมเป็นเรเดียน (ดูความยาวส่วนโค้ง ) ตามธรรมเนียมแล้ว ด้านของ สามเหลี่ยมทรงกลม แท้จะมีค่าน้อยกว่าπเรเดียน และ(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32)$${\displaystyle 0<a+b+c<2\pi }$$
• มุมA (หรือBและC ตามลำดับ ) อาจถือได้ว่าเป็นมุมไดเฮดรัล ระหว่าง ระนาบ สองระนาบที่ตัดกับทรงกลมที่จุดยอด Aหรือเทียบเท่ากับมุมระหว่างเส้นสัมผัสของส่วนโค้งวงกลมใหญ่ที่มาบรรจบกันที่จุดยอด มุมของ สามเหลี่ยมทรงกลม ที่แท้จริง (ตามธรรมเนียม) จะน้อยกว่าπเรเดียน และ(Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.22,32)$${\displaystyle \pi <A+B+C<3\pi }$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมบนทรงกลมจะมีค่ามากกว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่กำหนดบนระนาบยุคลิด ซึ่งมีค่าเท่ากับπเรเดียน เสมอ

• รัศมีของทรงกลมถือว่ามีค่าเท่ากับหนึ่ง สำหรับปัญหาในทางปฏิบัติเฉพาะบนทรงกลมที่มีรัศมีRความยาวด้านที่วัดได้จะต้องถูกหารด้วยRก่อนที่จะใช้เอกลักษณ์ที่ให้ไว้ด้านล่าง ในทำนองเดียวกัน หลังจากคำนวณบนทรงกลมหน่วยแล้ว ความยาวด้านa , b และ c จะต้องถูกคูณด้วย  R

สามเหลี่ยมเชิงขั้วที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม△ ABCถูกกำหนดดังนี้ พิจารณาวงกลมใหญ่ที่ประกอบด้วยด้าน  BCวงกลมใหญ่นี้ถูกกำหนดโดยจุดตัดของระนาบเส้นผ่านศูนย์กลางกับพื้นผิว ลากเส้นตั้งฉากกับระนาบนั้นที่จุดศูนย์กลาง เส้นตั้งฉากนี้จะตัดกับพื้นผิวที่สองจุด และจุดที่อยู่ด้านเดียวกับจุดA บนระนาบ นั้น (ตามธรรมเนียม) เรียกว่า ขั้วของAและใช้สัญลักษณ์A'จุดB'และC'ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน

สามเหลี่ยม△ A'B'C'คือสามเหลี่ยมเชิงขั้วที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม  △ ABCมุมและด้านของสามเหลี่ยมเชิงขั้วกำหนดโดย (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.27) ดังนั้น หากมีการพิสูจน์เอกลักษณ์ใด ๆ สำหรับ△ ABCแล้ว เราสามารถหาเอกลักษณ์ที่สองได้ทันทีโดยการใช้เอกลักษณ์แรกกับสามเหลี่ยมเชิงขั้วโดยการแทนที่ข้างต้น นี่คือวิธีการหาอนุพันธ์ของสมการโคไซน์เสริมจากสมการโคไซน์ ในทำนองเดียวกัน เอกลักษณ์สำหรับสามเหลี่ยมควอดแรนต์สามารถหาได้จากเอกลักษณ์สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมเชิงขั้วของสามเหลี่ยมเชิงขั้วคือสามเหลี่ยมดั้งเดิม $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$$

ถ้าเมทริกซ์3 × 3 Mมีตำแหน่งA , BและCเป็นคอลัมน์แล้ว แถวของเมทริกซ์ผกผันM ⁻¹เมื่อทำให้มีความยาวหนึ่งหน่วย จะเป็นตำแหน่งA′ , B′และC′โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อ△ A′B′C′เป็นรูปสามเหลี่ยมเชิงขั้วของ△ ABCแล้ว△ ABCก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมเชิงขั้วของ△ A′B′C′ด้วย

กฎโคไซน์เป็นเอกลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติเชิงทรงกลม: เอกลักษณ์อื่นๆ ทั้งหมด รวมถึงกฎไซน์ สามารถอนุมานได้จากกฎโคไซน์: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\\[2pt]\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\\[2pt]\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C.\end{aligned}}}$$

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นการขยายกฎโคไซน์ของตรีโกณมิติระนาบซึ่งสมมูลกันในเชิงอะซิมโทติกเมื่อมุมภายในมีขนาดเล็ก (บนทรงกลมหน่วย ถ้ากำหนด และอื่นๆ ดูกฎโคไซน์ทรงกลม ) ${\displaystyle a,b,c\rightarrow 0}$${\displaystyle \sin a\approx a}$${\displaystyle \cos a\approx 1-{\frac {a^{2}}{2}}}$

กฎไซน์ทรงกลมกำหนดโดยสูตร เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นการประมาณกฎไซน์ของตรีโกณมิติ ระนาบ เมื่อด้านต่างๆ มีขนาดเล็กกว่ารัศมีของทรงกลมมาก $${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

สูตรโคไซน์ทรงกลมได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยใช้เรขาคณิตพื้นฐานและกฎโคไซน์ระนาบ (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.37) เขายังให้การพิสูจน์โดยใช้เรขาคณิตพิกัดอย่างง่ายและกฎโคไซน์ระนาบ (Art.60) แนวทางที่อธิบายไว้ในที่นี้ใช้ วิธี เวกเตอร์ ที่ง่ายกว่า (วิธีการเหล่านี้ยังกล่าวถึงในกฎโคไซน์ทรงกลมด้วย )

พิจารณาเวกเตอร์หน่วยสามตัวOA → , OB → , OC →ที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดยอดของสามเหลี่ยม (บนทรงกลมหน่วย) ส่วนโค้งBCรองรับมุมที่มีขนาดaที่จุดศูนย์กลาง ดังนั้นOB → · OC → = cos aกำหนดฐานคาร์ทีเซียนโดยให้OA →อยู่ตาม แกน zและOB →อยู่ใน ระนาบ xzทำมุมcกับ แกน zเวกเตอร์OC →ฉายไปยังONใน ระนาบ xyและมุมระหว่างONกับ แกน xคือAดังนั้น เวกเตอร์ทั้งสามมีส่วนประกอบดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {OA}}:&\quad (0,\,0,\,1)\\{\vec {OB}}:&\quad (\sin c,\,0,\,\cos c)\\{\vec {OC}}:&\quad (\sin b\cos A,\,\sin b\sin A,\,\cos b).\end{aligned}}}$$

ผลคูณเชิงสเกลาร์OB → · OC →ในรูปของส่วนประกอบคือ การเทียบสองนิพจน์สำหรับผลคูณเชิงสเกลาร์จะได้ สมการนี้สามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้ได้นิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับมุมในรูปของด้านต่างๆ: $${\displaystyle {\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}=\sin c\sin b\cos A+\cos c\cos b.}$$$${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.}$$$${\displaystyle \cos A={\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}}$$

กฎโคไซน์อื่นๆ ได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร

การพิสูจน์นี้แสดงไว้ใน Todhunter ^{[ 1 ]} (Art.40) จากเอกลักษณ์และนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับcos Aที่ให้ไว้ข้างต้น เนื่องจากด้านขวามือไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรของa , bและcกฎไซน์ทรงกลมจึงตามมาทันที ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\cos c}{\sin b\sin c}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(1-\cos ^{2}b)(1-\cos ^{2}c)-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[5pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$

มีหลายวิธีในการหาที่มาของกฎโคไซน์และไซน์พื้นฐานและกฎอื่นๆ ที่พัฒนาขึ้นในส่วนต่อไปนี้ ตัวอย่างเช่น Todhunter ^{[ 1 ]}ให้การพิสูจน์กฎโคไซน์สองแบบ (บทความที่ 37 และ 60) และการพิสูจน์กฎไซน์สองแบบ (บทความที่ 40 และ 42) หน้าเกี่ยวกับกฎโคไซน์ทรงกลมให้การพิสูจน์กฎโคไซน์ที่แตกต่างกันสี่แบบ ตำราเรียนเกี่ยวกับธรณีวิทยา^{[ 2 ]}และดาราศาสตร์ทรงกลม^{[ 3 ]}ให้การพิสูจน์ที่แตกต่างกัน และแหล่งข้อมูลออนไลน์ของMathWorldก็มีเพิ่มเติมอีก^{[ 4 ]}ยังมีวิธีการหาที่มาที่แปลกใหม่กว่า เช่น วิธีการของ Banerjee ^{[ 5 ]}ซึ่งหาที่มาของสูตรโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นของเมทริกซ์การฉายภาพ และยังอ้างถึงวิธีการในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และทฤษฎีกลุ่มของการหมุน อีกด้วย

การพิสูจน์กฎโคไซน์ที่นำเสนอข้างต้นมีข้อดีคือความเรียบง่ายและตรงไปตรงมา และการพิสูจน์กฎไซน์เน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าไม่จำเป็นต้องมีการพิสูจน์แยกต่างหากนอกเหนือจากกฎโคไซน์ อย่างไรก็ตาม เรขาคณิตข้างต้นอาจใช้เพื่อพิสูจน์กฎไซน์ได้อย่างอิสระ ผลคูณสามตัวแบบสเกลาร์OA → · ( OB → × OC → )จะมีค่าเป็นsin b sin c sin Aในฐานที่แสดงไว้ ในทำนองเดียวกัน ในฐานที่วาง แนวแกน zไปตามOB →ผลคูณสามตัวOB → · ( OC → × OA → )จะมีค่าเป็นsin c sin a sin Bดังนั้น ความไม่เปลี่ยนแปลงของผลคูณสามตัวภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักรทำให้ได้sin b sin A = sin a sin Bซึ่งเป็นกฎไซน์ข้อแรก ดูการเปลี่ยนแปลงแบบโค้งของกฎไซน์เพื่อดูรายละเอียดของการพิสูจน์นี้

เมื่อทราบค่าความแตกต่างสามค่าใดๆ จากda , db , dc , dA , dB , dCแล้ว สามารถใช้สมการต่อไปนี้ ซึ่งได้มาจากการหาอนุพันธ์ของกฎโคไซน์และใช้กฎไซน์ เพื่อคำนวณค่าอีกสามค่าโดยวิธีกำจัด: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}da=\cos C\ db+\cos B\ dc+\sin b\ \sin C\ dA,\\db=\cos A\ dc+\cos C\ da+\sin c\ \sin A\ dB,\\dc=\cos B\ da+\cos A\ db+\sin a\ \sin B\ dC.\\\end{aligned}}}$$

การใช้กฎโคไซน์กับสามเหลี่ยมขั้วจะให้ผลลัพธ์ดังนี้ (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.47) กล่าวคือ แทนที่ Aด้วยπ − a , aด้วยπ − Aเป็นต้น $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos A&=-\cos B\,\cos C+\sin B\,\sin C\,\cos a,\\\cos B&=-\cos C\,\cos A+\sin C\,\sin A\,\cos b,\\\cos C&=-\cos A\,\cos B+\sin A\,\sin B\,\cos c.\end{aligned}}}$$

ส่วนทั้งหกของสามเหลี่ยมอาจเขียนตามลำดับวงจร ได้ เป็น ( aCbAcB ) สูตรโคแทนเจนต์หรือสูตรสี่ส่วนเชื่อมโยงด้านสองด้านและมุมสองมุมที่สร้าง ส่วน ต่อเนื่อง สี่ ส่วนรอบสามเหลี่ยม เช่น ( aCbA ) หรือ(BaCb ) ในชุดดังกล่าวมีส่วนด้านในและส่วนด้านนอก ตัวอย่างเช่น ในชุด ( BaCb ) มุมด้านในคือCด้านด้านในคือaมุมด้านนอกคือBด้านด้านนอกคือbกฎโคแทนเจนต์อาจเขียนได้เป็น (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.44) และสมการที่เป็นไปได้หกสมการคือ (โดยชุดที่เกี่ยวข้องแสดงไว้ทางด้านขวา): เพื่อพิสูจน์สูตรแรก เริ่มจากกฎโคไซน์ข้อแรกและทางด้านขวามือแทนค่าcos cจากกฎโคไซน์ข้อที่สาม: ผลลัพธ์ได้มาจากการหารด้วยsin a sin bเทคนิคที่คล้ายกันกับกฎโคไซน์อีกสองข้อให้ CT3 และ CT5 สมการอีกสามสมการได้มาจากการใช้กฎ 1, 3 และ 5 กับสามเหลี่ยมขั้ว $${\displaystyle \cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\cos \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}=\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{side}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}-\cot \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{outer}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\sin \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}{\text{inner}}\\{\text{angle}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )},}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\text{(CT1)}}&&\qquad \cos b\,\cos C&=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C\qquad &&(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&&\cos b\,\cos A&=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A&&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&&\cos c\,\cos A&=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A&&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&&\cos c\,\cos B&=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B&&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&&\cos a\,\cos B&=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B&&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&&\cos a\,\cos C&=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C&&(BaCb)\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}}$$

ด้วยและ${\displaystyle 2s=(a+b+c)}$${\displaystyle 2S=(A+B+C),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\sin {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}&\qquad \qquad \sin {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\cos {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}&\cos {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\cos(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}&\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{alignedat}}}$$

เอกลักษณ์อีกสิบสองอย่างสามารถหาได้จากการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบ

Todhunter ^{[ 7 ]} (Art 45) ได้มาจากสูตรครึ่งมุมสำหรับมุมและด้านในแง่ของด้านและมุมตามลำดับ หนังสือของเขามีให้ในรูปแบบอีบุ๊กในโดเมนสาธารณะจากProject Gutenbergสมการแรกสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎของโคไซน์สำหรับด้าน a ในแง่ของด้าน b และ c และมุม A โดยใช้เอกลักษณ์และโดยการแสดงผลคูณของไซน์สองค่าเป็นครึ่งหนึ่งของผลต่างของโคไซน์ของมุมที่ต่างกันลบด้วยโคไซน์ของผลรวมของมุม (ดูเอกลักษณ์ผลรวมเป็นผลคูณ ) โดยละเอียด: ${\displaystyle 2\sin ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1-\cos A,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}2\,\sin(s-b)\,\sin(s-c)&=\cos((s-b)-(s-c))-\cos((s-b)+(s-c))\\&=\cos(c-b)-\cos(a)\\&=\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)-(\cos(b)\cos(c)+\sin(b)\sin(c)\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)(1-\cos(A))\\&=\sin(b)\sin(c)\,{\bigg (}2\,\sin ^{2}{\bigg (}{\frac {A}{2}}{\bigg )}{\bigg )}\end{aligned}}}$$

สูตรที่สองใช้เอกลักษณ์สูตรที่สามเป็นผลหาร และส่วนที่เหลือได้มาจากการนำผลลัพธ์ไปใช้กับสามเหลี่ยมเชิงขั้ว ${\displaystyle 2\cos ^{2}\!{\tfrac {A}{2}}=1+\cos A,}$

การเปรียบเทียบของเดอลัมเบร (เรียกอีกอย่างว่าการเปรียบเทียบของเกาส์) ได้รับการตีพิมพ์โดยอิสระโดยเดอลัมเบร เกาส์ และโมลไวเด ในปี พ.ศ. 2450–2452 ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad \qquad &{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\\[2ex]{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}c}}&\qquad &{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}C}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}c}}\end{aligned}}}$$ เอกลักษณ์อีกแปดอย่างสามารถหาได้จากการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบ

พิสูจน์โดยการขยายตัวเศษและใช้สูตรมุมครึ่ง (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.54 และ Delambre ^{[ 9 ]} )

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\\[2ex]\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}\cot {\tfrac {1}{2}}C&\qquad &\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}\tan {\tfrac {1}{2}}c\end{aligned}}}$$

เอกลักษณ์อีกแปดอย่างสามารถหาได้จากการเรียงสับเปลี่ยนแบบวนรอบ

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นไปตามการแบ่งสูตรของ Delambre (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.52)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สูตรเนเปียร์สูตรแรกและสูตรที่สองมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทรงกลม เมื่อทราบค่า ab AB สามค่า แต่ไม่ทราบค่า c หรือ C สูตรทั้งสองนี้ให้ค่าในรูปของ ab AB ซึ่งสามเหลี่ยมทรงกลมนี้ไม่สามารถแก้ได้โดยตรงโดยใช้เพียงกฎโคไซน์และกฎไซน์เท่านั้น ${\displaystyle \cot {\tfrac {1}{2}}C}$

การนำผลหารของสิ่งเหล่านี้มารวมกันจะได้กฎของเส้นสัมผัส ซึ่ง นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนาซีร์ อัล-ดิน อัล-ตูซี (ค.ศ. 1201–1274) เป็นผู้กล่าวไว้เป็นคนแรก

$${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(A-B)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}}$$

เมื่อมุมใดมุมหนึ่ง เช่น มุมC ของสามเหลี่ยมทรงกลม มีค่าเท่ากับπ /2 เอกลักษณ์ต่างๆ ที่กล่าวมาข้างต้นจะง่ายขึ้นอย่างมาก มีเอกลักษณ์สิบอย่างที่เชื่อมโยงองค์ประกอบสามตัวที่เลือกจากเซตa , b , c , AและB

Napier ^{[ 10 ]} ได้จัดเตรียมตัว ช่วยจำที่สง่างามสำหรับสมการอิสระทั้งสิบสมการ: ตัวช่วยจำนี้เรียกว่าวงกลมของ Napier หรือรูปห้าเหลี่ยมของ Napier (เมื่อวงกลมในรูปด้านบนทางขวาถูกแทนที่ด้วยรูปห้าเหลี่ยม)

ขั้นแรก ให้เขียนส่วนประกอบทั้งหกของสามเหลี่ยม (มุมยอดสามมุม มุมโค้งสามมุมของด้าน) ตามลำดับที่ปรากฏรอบวงจรใดๆ ของสามเหลี่ยม: สำหรับสามเหลี่ยมที่แสดงด้านบนซ้าย การหมุนตามเข็มนาฬิกาโดยเริ่มจากaจะได้aCbAcBจากนั้นแทนที่ส่วนประกอบที่ไม่ติดกับC (นั่นคือA , cและB ) ด้วยส่วนประกอบเสริมของมัน แล้วลบมุมCออกจากรายการ ส่วนที่เหลือสามารถวาดเป็นห้าส่วนเท่าๆ กันของรูปห้าเหลี่ยมหรือวงกลม ดังแสดงในรูปด้านบน (ขวา) สำหรับส่วนประกอบสามส่วนที่อยู่ติดกันใดๆ ส่วนหนึ่ง ( ส่วนตรง กลาง ) จะอยู่ติดกับสองส่วนและอยู่ตรงข้ามกับอีกสองส่วน กฎสิบข้อของเนเปียร์มีดังนี้

• ค่าไซน์ของส่วนตรงกลาง = ผลคูณของค่าแทนเจนต์ของส่วนที่อยู่ติดกัน
• ค่าไซน์ของส่วนตรงกลาง = ผลคูณของค่าโคไซน์ของส่วนตรงข้าม

กุญแจสำคัญในการจดจำว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดใช้กับส่วนใดคือการดูที่สระตัวแรกของประเภทของส่วนนั้น: ส่วนตรงกลางใช้ไซน์ ส่วนที่อยู่ติดกันใช้แทนเจนต์ และส่วนตรงข้ามใช้โคไซน์ ตัวอย่างเช่น เริ่มจากส่วนที่ประกอบด้วยaเราจะได้: ชุดกฎทั้งหมดสำหรับสามเหลี่ยมทรงกลมมุมฉากคือ (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.62) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a&=\tan({\tfrac {\pi }{2}}-B)\,\tan b\\[2pt]&=\cos({\tfrac {\pi }{2}}-c)\,\cos({\tfrac {\pi }{2}}-A)\\[2pt]&=\cot B\,\tan b\\[4pt]&=\sin c\,\sin A.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$$

รูปสามเหลี่ยมทรงกลมควอดแรนต์ หมายถึง รูปสามเหลี่ยมทรงกลมที่ด้านหนึ่งทำมุมπ /2 เรเดียนที่จุดศูนย์กลางของทรงกลม กล่าวคือ บนทรงกลมหน่วย ด้านนั้นมีความยาวπ /2 ในกรณีที่ด้าน cมีความยาวπ /2 บนทรงกลมหน่วย สมการที่ควบคุมด้านและมุมที่เหลือสามารถหาได้โดยการใช้กฎสำหรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมมุมฉากในส่วนก่อนหน้ากับรูปสามเหลี่ยมเชิงขั้ว△ A'B'C'ที่มีด้านa', b', c'โดยที่A' = π − a , a' = π − Aเป็นต้น ผลลัพธ์ที่ได้คือ: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$$

เมื่อนำกฎโคไซน์ข้อที่สองมาแทนในกฎโคไซน์ข้อแรกแล้วทำการลดรูปจะได้: เมื่อตัดตัวประกอบsin cออกไปจะได้ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=(\cos a\,\cos c+\sin a\,\sin c\,\cos B)\cos c+\sin b\,\sin c\,\cos A\\[4pt]\cos a\,\sin ^{2}c&=\sin a\,\cos c\,\sin c\,\cos B+\sin b\,\sin c\,\cos A\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \cos a\sin c=\sin a\,\cos c\,\cos B+\sin b\,\cos A}$$

การแทนที่ในลักษณะเดียวกันในสูตรโคไซน์และโคไซน์เสริมอื่นๆ จะให้กฎ 5 ส่วนที่หลากหลายมาก แต่ไม่ค่อยได้ใช้กัน

การคูณกฎโคไซน์แรกด้วยcos A จะได้ ในทำนองเดียวกัน การคูณกฎโคไซน์เสริมแรกด้วยcos a จะได้ การลบทั้งสองและสังเกตว่าเป็นไปตามกฎไซน์ จะได้สมการของ Cagnoli ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนทั้งหกของสามเหลี่ยมทรงกลม^{[ 11 ]}$${\displaystyle \cos a\cos A=\cos b\,\cos c\,\cos A+\sin b\,\sin c-\sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A.}$$$${\displaystyle \cos a\cos A=-\cos B\,\cos C\,\cos a+\sin B\,\sin C-\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a.}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c\,\sin ^{2}A=\sin B\,\sin C\,\sin ^{2}a}$$${\displaystyle \sin b\,\sin c+\cos b\,\cos c\,\cos A=\sin B\,\sin C-\cos B\,\cos C\,\cos a}$$

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมเป็นจุดประสงค์หลักของตรีโกณมิติเชิงทรงกลม กล่าวคือ เมื่อกำหนดองค์ประกอบสาม สี่ หรือห้าอย่างของรูปสามเหลี่ยมแล้ว ให้หาองค์ประกอบอื่นๆ กรณีที่กำหนดองค์ประกอบห้าอย่างนั้นง่ายมาก เพียงแค่ใช้กฎไซน์เพียงครั้งเดียว สำหรับกรณีที่กำหนดองค์ประกอบสี่อย่าง จะมีกรณีที่ซับซ้อนอยู่หนึ่งกรณี ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป สำหรับกรณีที่กำหนดองค์ประกอบสามอย่าง จะมีหกกรณี ได้แก่ ด้านสามด้าน ด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง ด้านสองด้านและมุมตรงข้าม มุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง มุมสองมุมและด้านตรงข้าม หรือมุมสามมุม (กรณีสุดท้ายนี้ไม่มีในตรีโกณมิติเชิงระนาบ) รูปด้านล่างแสดงเจ็ดกรณีที่ซับซ้อน ในแต่ละกรณี ด้านที่กำหนดจะถูกทำเครื่องหมายด้วยเส้นขวาง และมุมที่กำหนดจะถูกทำเครื่องหมายด้วยส่วนโค้ง (องค์ประกอบที่กำหนดจะแสดงอยู่ด้านล่างของรูปสามเหลี่ยมด้วย) ในสัญลักษณ์สรุปเช่น ASA นั้น A หมายถึงมุมที่กำหนด และ S หมายถึงด้านที่กำหนด และลำดับของ A และ S ในสัญลักษณ์หมายถึงลำดับที่สอดคล้องกันในรูปสามเหลี่ยม

• กรณีที่ 1: กำหนดให้มีสามด้าน (SSS) สามารถใช้กฎโคไซน์เพื่อหาค่ามุมA , BและCได้ แต่เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม จึงนิยมใช้สูตรครึ่งมุมมากกว่า
• กรณีที่ 2: กำหนดให้มีสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น (SAS)กฎของโคไซน์จะให้ค่าaจากนั้นเราก็จะกลับไปสู่กรณีที่ 1
• กรณีที่ 3: กำหนดให้มีสองด้านและมุมตรงข้ามหนึ่งมุม (SSA)กฎของไซน์ให้ค่าCจากนั้นเราจะได้กรณีที่ 7 ซึ่งจะมีคำตอบหนึ่งหรือสองคำตอบ
• กรณีที่ 4: กำหนดให้มีมุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างมุมทั้งสอง (ASA)สูตรโคแทนเจนต์สี่ส่วนสำหรับเซต ( cBaC ) และ ( BaCb ) จะให้ค่าcและbจากนั้น ค่า Aจะได้มาจากกฎไซน์
• กรณีที่ 5: กำหนดให้สองมุมและด้านตรงข้าม (AAS)กฎของไซน์ให้ค่าbจากนั้นเราจะได้กรณีที่ 7 (หมุน) ซึ่งจะมีคำตอบหนึ่งหรือสองคำตอบ
• กรณีที่ 6: กำหนดมุมสามมุม (AAA)สามารถใช้กฎโคไซน์เสริมเพื่อหาค่าด้านa , bและcได้ แต่เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม จึงนิยมใช้สูตรครึ่งด้านมากกว่า
• กรณีที่ 7: กำหนดให้มีมุมสองมุมและด้านตรงข้ามสองด้าน (SSAA) ให้ใช้การเปรียบเทียบของเนเปียร์สำหรับaและAหรือใช้กรณีที่ 3 (SSA) หรือกรณีที่ 5 (AAS)

วิธีการแก้ปัญหาที่ระบุไว้ในที่นี้ไม่ใช่ทางเลือกเดียวที่เป็นไปได้ ยังมีวิธีอื่นๆ อีกมากมาย โดยทั่วไปแล้วควรเลือกวิธีการที่หลีกเลี่ยงการใช้ฟังก์ชันไซน์ผกผัน เนื่องจากอาจเกิดความกำกวมระหว่างมุมและมุมเสริมของมุมนั้น การใช้สูตรครึ่งมุมมักเป็นสิ่งที่แนะนำ เพราะครึ่งมุมจะมีค่าน้อยกว่าπ /2 และจึงปราศจากความกำกวม มีการอธิบายอย่างละเอียดใน Todhunter บทความSolution of triangles#Solving spherical trianglesนำเสนอวิธีการต่างๆ เหล่านี้โดยใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันเล็กน้อย

มีการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของสามเหลี่ยมเฉียงใน Todhunter ^{[ 1 ] : บทที่ VI} ดูการอธิบายใน Ross ด้วย^{[ 12 ]} Nasir al-Din al-Tusiเป็นคนแรกที่ระบุกรณีที่แตกต่างกันหกกรณี (2–7 ในแผนภาพ) ของสามเหลี่ยมมุมฉากในตรีโกณมิติเชิงทรง กลม ^{[ 13 ]}

อีกวิธีหนึ่งคือการแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวอย่างกรณีที่ 3 ที่กำหนดค่าb , cและB มาให้ สร้างวงกลมใหญ่จากจุด Aที่ตั้งฉากกับด้านBCที่จุดDใช้กฎของเนเปียร์ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยม△ ABD : ใช้ ค่า cและBเพื่อหาความยาวด้านADและBDและมุม∠ BADจากนั้นใช้กฎของเนเปียร์ในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยม△ ACD : นั่นคือใช้ค่า ADและbเพื่อหาความยาวด้านDCและมุมCและ∠ DACมุมAและด้านaหาได้จากการบวก

กฎที่ได้มาทั้งหมดไม่ได้มีความแม่นยำทางตัวเลขเสมอไปในกรณีสุดขั้ว เช่น เมื่อมุมเข้าใกล้ศูนย์หรือ  πปัญหาและวิธีแก้ปัญหาอาจต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขียนโค้ดเพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ใดๆ ก็ตาม

พิจารณา รูปหลายเหลี่ยมทรงกลม Nด้าน และให้A _nแทนมุมภายในที่nพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะกำหนดโดย (Todhunter, ^{[ 1 ]} Art.99) $${\displaystyle {{\text{Area of polygon}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E_{N}={\biggl (}\sum _{n=1}^{N}A_{n}{\biggr )}-(N-2)\pi .}$$

โดยการใช้การสร้างรูปสามเหลี่ยมบนรูปหลายเหลี่ยมทรงกลม การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สามารถลดรูปลงเหลือการพิสูจน์สำหรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมได้ สำหรับกรณีของสามเหลี่ยมทรงกลมที่มีมุมA , BและCนี่คือทฤษฎีบทของ Girard โดยที่Eคือปริมาณที่ผลรวมของมุมเกินπเรเดียน เรียกว่าส่วนเกินทรงกลมของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามผู้แต่งคือAlbert Girard [ ^{14 ] มี}การพิสูจน์ก่อนหน้านี้ แต่ไม่ได้ตีพิมพ์ โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษThomas Harriotในปี 1603 ^{[ 15 ]}บนทรงกลมรัศมีR ^{นิพจน์}พื้นที่ทั้งสองข้างต้นจะถูกคูณด้วยR²คำจำกัดความของส่วนเกินไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของทรงกลม $${\displaystyle {{\text{Area of triangle}} \atop {\text{(on the unit sphere)}}}\equiv E=E_{3}=A+B+C-\pi ,}$$

ผลลัพธ์ตรงกันข้ามสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle A+B+C=\pi +{\frac {4\pi \times {\text{Area of triangle}}}{\text{Area of the sphere}}}.}$$

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นลบได้ ส่วนเกินทรงกลมจึงเป็นบวกเสมอ ไม่จำเป็นต้องเล็กเสมอไป เพราะผลรวมของมุมอาจถึง 5π ( 3π สำหรับมุมแท้ ) ตัวอย่างเช่น อ็อกแทนต์ของทรงกลมเป็นสามเหลี่ยมทรงกลมที่มีมุมฉากสามมุม ดังนั้นส่วนเกินจึงเป็นπ /2 ในการใช้งานจริง มัก จะเล็ก ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมในการสำรวจทางธรณีวิทยาโดยทั่วไปจะมีส่วนเกินทรงกลมน้อยกว่า 1' ของอาร์คมาก^{[ 16 ]}บนโลก ส่วนเกินของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 21.3 กม. (และพื้นที่ 393 กม. ^² ) มีค่าประมาณ 1 อาร์คเซคอนด์

มีสูตรมากมายสำหรับส่วนเกิน ตัวอย่างเช่น Todhunter ^{[ 1 ]} (Art.101—103) ให้ตัวอย่างสิบตัวอย่างรวมถึงสูตรของL'Huilier : โดยที่สูตรนี้ชวนให้นึกถึงสูตรของ Heronสำหรับสามเหลี่ยมระนาบ $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{4}}E={\sqrt {\tan {\tfrac {1}{2}}s\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-a)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-b)\,\tan {\tfrac {1}{2}}(s-c)}}}$$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

เนื่องจากสามเหลี่ยมบางรูปไม่สามารถระบุลักษณะเฉพาะของด้านได้อย่างชัดเจน (เช่น ถ้า) จึงมักจะดีกว่าที่จะใช้สูตรสำหรับส่วนเกินในรูปของด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสองนั้น ${\textstyle a=b\approx {\frac {1}{2}}c}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E={\frac {\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\sin C}{1+\tan {\frac {1}{2}}a\tan {\frac {1}{2}}b\cos C}}.}$$

เมื่อสามเหลี่ยม△ ABCเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากอยู่ที่Cแล้วcos C = 0และsin C = 1ดังนั้นจึงลดรูปเหลือดังนี้ $${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E=\tan {\tfrac {1}{2}}a\tan {\tfrac {1}{2}}b.}$$

ใน เรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกนิยาม ของ การ ขาดดุลมุม นั้นคล้ายคลึงกัน

ส่วนเกินทรงกลมของรูปสี่เหลี่ยมทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยเส้นศูนย์สูตร เส้นเมริเดียนสองเส้นที่มีลองจิจูดและ และส่วนโค้งวงกลมใหญ่ระหว่างสองจุดที่มีลองจิจูดและละติจูดและคือ ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2},}$${\displaystyle (\lambda _{1},\varphi _{1})}$${\displaystyle (\lambda _{2},\varphi _{2})}$$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}E_{4}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\lambda _{2}-\lambda _{1}).}$$

ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการเปรียบเทียบแบบหนึ่งของเนเปียร์ ในกรณีที่ค่าทั้งหมดมีขนาดเล็ก ผลลัพธ์นี้จะลดลงเหลือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่คุ้นเคย นั่นคือ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}}$${\textstyle E_{4}\approx {\frac {1}{2}}(\varphi _{2}+\varphi _{1})(\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปประเภทข้างต้น จาก (ในทำนองเดียวกัน) รูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปที่ล้อมรอบด้วยส่วนของรูปหลายเหลี่ยมและเส้นเมริเดียนสองเส้น^{[ 17 ]}โดยใช้ปริพันธ์เส้นด้วยทฤษฎีบทของกรีน [ ^{18 ] หรือ}ผ่านการฉายภาพพื้นที่เท่ากันดังที่ทำกันทั่วไปใน GIS อัลกอริทึมอื่นๆ ยังคงสามารถใช้ได้กับความยาวด้านที่คำนวณโดยใช้สูตร ระยะทางวงกลมใหญ่

• การเดินอากาศ
• การนำทางด้วยดวงดาว
• ตรีโกณมิติทรงรี
• ระยะทางตามเส้นโค้งใหญ่หรือระยะทางทรงกลม
• สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก
• ทรงกลมเลนาร์ท
• สามเหลี่ยมชวาร์ซ
• เรขาคณิตทรงกลม
• ทรงหลายเหลี่ยมทรงกลม
• การหาพิกัดสามเหลี่ยม (การสำรวจ)

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ตรีโกณมิติเชิงทรงกลม" . MathWorld .รายการเอกลักษณ์ที่ละเอียดกว่า พร้อมด้วยที่มาบางส่วน
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "สามเหลี่ยมทรงกลม" . แมธเวิลด์ .รายการเอกลักษณ์ที่ละเอียดกว่า พร้อมด้วยที่มาบางส่วน
• TriSphเป็นซอฟต์แวร์ฟรีสำหรับแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมทรงกลม สามารถปรับแต่งให้เหมาะสมกับการใช้งานจริงต่างๆ และตั้งค่าไว้สำหรับระบบพิกัดโนมอนิก
• "การทบทวนตรีโกณมิติเชิงทรงกลมด้วยโปรเจคเตอร์เชิงตั้งฉาก"โดย Sudipto Banerjee บทความนี้ได้พิสูจน์กฎโคไซน์และกฎไซน์เชิงทรงกลมโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นและเมทริกซ์การฉายภาพ
• "การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Girard ด้วยภาพ"โครงการสาธิตของ Wolframโดย โอเค อาริก
• "ตำราว่าด้วยระนาบเบี่ยงเบนและระนาบธรรมดา"เป็นเอกสารเขียนด้วยภาษาอาหรับที่เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1740 ซึ่งกล่าวถึงตรีโกณมิติเชิงทรงกลม พร้อมภาพประกอบ
• บทความเรื่อง "อัลกอริทึมบางอย่างสำหรับรูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม"โดย Robert G. Chamberlain และ William H. Duquette จาก Jet Propulsion Laboratory ได้พัฒนาและอธิบายสูตรที่มีประโยชน์มากมาย โดยอาจเน้นไปที่การนำทางและการทำแผนที่
• การคำนวณรูปสามเหลี่ยมทรงกลมแบบออนไลน์