รูปห้าเหลี่ยมดาวสองประเภท

{5/2}	|5/2|
รูปห้าเหลี่ยมดาวปกติ{5/2} มีจุดยอดห้าจุด (ปลายมุม) และขอบตัดกันห้าเส้น ในขณะที่รูป สิบเหลี่ยมเว้า |5/2| มีขอบสิบเส้นและจุดยอดสองชุด ชุดละห้าจุด รูปแรกใช้ในการนิยามรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวและการปูพื้นแบบสม่ำเสมอ ของดาว ในขณะที่รูปที่สองบางครั้งใช้ในการปูพื้นระนาบ
ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวเล็ก	การเรียงตัวของรูปทรงเรขาคณิต

ในทางเรขาคณิตรูปหลายเหลี่ยมดาวเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ไม่นูนรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วน ในขณะที่รูปหลายเหลี่ยมดาวโดยทั่วไปดูเหมือนจะไม่มีนิยามที่เป็นทางการ แต่รูปหลายเหลี่ยมดาวที่โดดเด่นบางรูปสามารถเกิดขึ้นได้จากการตัดทอนรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาหรือรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ

Branko Grünbaumระบุการใช้งานหลักสองประการของคำศัพท์นี้โดยJohannes Keplerประการหนึ่งสอดคล้องกับรูปหลายเหลี่ยมดาวปกติที่มีขอบตัดกันซึ่งไม่สร้างจุดยอดใหม่ และอีกประการหนึ่งสอดคล้องกับ รูปหลายเหลี่ยม เว้าแบบง่ายไอโซทอก ซั ล^{[ 1 ]}

รูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม เช่นรูปห้าเหลี่ยม (pentagram ) แต่ยังรวมถึงรูปทรงผสม เช่นรูปหกเหลี่ยม (hexagram ) ด้วย

นิยามหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมดาวที่ใช้ในกราฟิกเต่าคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีq ≥ 2 รอบ ( qเรียกว่าจำนวนรอบหรือความหนาแน่น ) เช่นในสไปโรลาเทอรัล^{[ 2 ]}

ชื่อรูปหลายเหลี่ยมดาวจะรวมคำนำหน้าตัวเลขเช่นpenta-เข้ากับคำต่อท้ายภาษากรีก-gram (ในกรณีนี้จะสร้างคำว่าpentagram ) คำนำหน้ามักจะเป็นจำนวนนับ ภาษากรีก แต่ก็มีคำพ้องความหมายที่ใช้คำนำหน้าอื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมเก้าแฉกหรือenneagramเรียกอีกอย่างว่าnonagramโดยใช้คำลำดับnonaจากภาษาละติน คำต่อ ท้าย -gramมาจากγραμμή ( grammḗ ) ซึ่งหมายถึงเส้น^{[ 3 ]}ชื่อรูปหลายเหลี่ยมดาวสะท้อนถึงความคล้ายคลึงของรูปทรงเหล่านี้กับแฉกการเลี้ยวเบนของดาวฤกษ์จริง

{5/2}

{7/2}

{7/3}

...

รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ คือ รูปหลายเหลี่ยมที่ตัดกันเอง มีด้านเท่าและมุมเท่าเท่ากัน

รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติจะใช้ สัญลักษณ์ Schläfliแทนด้วย{ p / q } โดยที่p (จำนวนจุดยอด) และq ( ความหนาแน่น ) เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน) และq ≥ 2 ความหนาแน่นของรูปหลายเหลี่ยมอาจเรียกว่าเลขการหมุนได้ เช่นกัน คือ ผลรวมของมุมการหมุนของจุดยอดทั้งหมด หารด้วย 360°

กลุ่มสมมาตรของ { p / q } คือกลุ่มไดเฮดรัล D _pซึ่งมีอันดับ 2 pและ ไม่ขึ้นอยู่กับq

รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติได้รับการศึกษาอย่างเป็นระบบครั้งแรกโดยThomas Bradwardineและต่อมาโดยJohannes Kepler ^{[ 4 ]}

รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติสามารถสร้างได้โดยการเชื่อมจุดยอด หนึ่ง ของรูปหลายเหลี่ยมp ด้านปกติเข้ากับจุดยอดอื่นที่ไม่ติดกับจุดยอดแรก และดำเนินการต่อไปจนกว่าจะถึงจุดยอดเดิมอีกครั้ง ^{[ 5 ]}หรืออีกทางหนึ่ง สำหรับจำนวนเต็มpและqสามารถพิจารณาได้ว่าสร้างขึ้นโดยการเชื่อม จุดที่ q ทุก จุดจาก จุด p จุดที่เว้น ระยะห่างอย่างสม่ำเสมอในตำแหน่งวงกลม^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น ในรูปห้าเหลี่ยมปกติ สามารถสร้างดาวห้าแฉกได้โดยการลากเส้นจากจุดยอดที่ 1 ไปยังจุดยอดที่ 3 จากจุดยอดที่ 3 ไปยังจุดยอดที่ 5 จากจุดยอดที่ 5 ไปยังจุดยอดที่ 2 จากจุดยอดที่ 2 ไปยังจุดยอดที่ 4 และจากจุดยอดที่ 4 ไปยังจุดยอดที่ 1

ถ้าq ≥ p /2 การสร้าง { p / q } จะได้รูปหลายเหลี่ยมเดียวกันกับ { p /( p − q )} การเชื่อมต่อจุดยอดที่สามของรูปห้าเหลี่ยมจะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกับการเชื่อมต่อจุดยอดที่สอง อย่างไรก็ตาม จุดยอดจะอยู่ในทิศทางตรงกันข้าม ซึ่งทำให้เกิดความแตกต่างเมื่อรวมรูปหลายเหลี่ยมแบบย้อนกลับเข้ากับรูปหลายเหลี่ยมที่มีมิติสูงกว่า ตัวอย่างเช่น แอนติปริซึมที่เกิดจากเพนทาแกรมแบบไปข้างหน้า {5/2} จะได้ แอนติปริซึมเพนทาแกรมการสร้างที่คล้ายกันจาก "เพนทาแกรมไขว้" แบบย้อนกลับ {5/3} จะได้แอนติปริซึมไขว้เพนทาแกรมอีกตัวอย่างหนึ่งคือเตตระเฮมิเฮกซาเฮดรอนซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นคิวพลอยด์ "สามเหลี่ยมไขว้" {3/2 }

ถ้าpและqไม่ใช่จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน จะทำให้เกิดรูปหลายเหลี่ยมเสื่อมสภาพที่มีจุดยอดและขอบที่ทับซ้อนกัน ตัวอย่างเช่น {6/2} จะปรากฏเป็นรูปสามเหลี่ยม แต่สามารถกำหนดป้ายกำกับด้วยชุดจุดยอดสองชุด ได้แก่ 1–3 และ 4–6 ซึ่งไม่ควรมองว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ทับซ้อนกัน แต่เป็นรูปหกเหลี่ยมเดี่ยวแบบวนสองทาง^{[ 7 ] [ 8 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติสามารถได้มาจากการสร้างดาว เรียงต่อกัน จาก รูปหลายเหลี่ยมแกน กลาง ปกติแบบ นูน การสร้างโดยใช้การสร้างดาวเรียงต่อกันยังช่วยให้ได้รูปหลายเหลี่ยมประกอบปกติในกรณีที่ความหนาแน่นqและจำนวน จุดยอด pไม่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน อย่างไรก็ตาม เมื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมดาวจากการสร้างดาวเรียงต่อกัน ถ้าq > p /2 เส้นจะแยกออกจากกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด และถ้าq = p /2 เส้นจะขนานกัน ซึ่งทั้งสองกรณีจะไม่เกิดจุดตัดกันอีกต่อไปในปริภูมิยูคลิด อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวบางรูปในปริภูมิทรงกลม คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยมด้านเดียวและสองด้านรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวยังไม่ได้รับการศึกษาอย่างละเอียด

เมื่อลบส่วนของเส้นตรงที่ตัดกันออกจากรูปดาวnด้านปกติ รูปทรงที่ได้จะไม่ใช่รูปปกติอีกต่อไป แต่สามารถมองได้ว่าเป็นรูป2n ด้านเว้าแบบไอโซทอกซัลที่ มีจุดยอดสลับกันที่รัศมีสองค่าที่แตกต่างกันบรังโก กรุนบอมในหนังสือ Tilings and patternsได้แทนรูปดาวดังกล่าวที่ตรงกับโครงร่างของรูปหลาย เหลี่ยมปกติ { n / d } ด้วย | n / d | หรือโดยทั่วไปแล้วด้วย { n _𝛼 } ซึ่งหมายถึง รูป 2n ด้านเว้าหรือนูนแบบไอโซทอกซัลที่มีมุมภายใน ภายนอก 𝛼

• สำหรับ | n / d | มุมภายในภายนอก𝛼 = 180(1 − 2 d / n )องศาอย่างแน่นอน และจุดยอดภายใน (ใหม่) จะมีมุมภายนอกβ _ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ]องศาอย่างแน่นอน
• สำหรับ { n _𝛼 } มุมภายในภายนอกและมุมภายนอกภายใน ซึ่งแสดงด้วย 𝛼 และβ _extไม่จำเป็นต้องตรงกับมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ { n / d } ใดๆ อย่างไรก็ตาม𝛼 < 180(1 − 2/ n )องศา และβ _ext < 180°อย่างแน่นอน (ในที่นี้ { n _𝛼 } เป็นเว้า) ^{[ 1 ]}

ตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยมแบบง่ายของดาวไอโซทอกซัล

| n / d | { n 𝛼 }	|9/4| {9 20° }	{3 30° }	{6 30° }	|5/2| {5 36° }	{4 45° }	|8/3| {8 45° }	|6/2| {6 60° }	{5 72° }
𝛼	20°	30°		36°	45°		60°	72°
เบต้าเอ็กซ์ที	60°	150°	90°	108°	135°	90°	120°	144°
ไอโซทอก ซัล ดาว nแฉกแบบง่าย
โพลีแกรมปกติที่เกี่ยวข้อง{ n / d }	{9/4}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		รูปดาว 2{3}	{10/3}

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มักพบเห็นได้ในรูปแบบการปูพื้น มุมพาราเมตริก 𝛼 (ในหน่วยองศาหรือเรเดียน) สามารถเลือกให้ตรงกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกันในรูปแบบการปูพื้นได้ ในงานHarmonice Mundi ปี 1619 ของ โยฮันเนส เคปเลอร์นอกจากรูปแบบการปูพื้นแบบเป็นคาบแล้วยังมีรูปแบบการปูพื้นแบบไม่เป็นคาบ เช่น รูปแบบที่มีรูปห้าเหลี่ยมปกติสามรูปและรูปห้าเหลี่ยมดาวปกติหนึ่งรูปที่พอดีกับจุดยอดบางจุด 5.5.5.5/2 ซึ่งเกี่ยวข้องกับรูปแบบการปูพื้นแบบเพนโรสใน ปัจจุบัน ^{[ 9 ]}

ตัวอย่างของการปูพื้นแบบไอโซโกนัลด้วยดาวไอโซทอกซัลแบบง่าย^{[ 10 ]}

ดาว n แฉก แบบง่ายที่มีไอโซทอกซอล	ดาวรูปสามเหลี่ยม( n = 3)	ดาว "สี่เหลี่ยม" ( n = 4)	ดาว "หกเหลี่ยม" ( n = 6)			ดาว "แปดเหลี่ยม" ( n = 8)
ภาพกระเบื้องปูพื้น
การกำหนดค่าจุดยอด	3.3* 𝛼.3.3** 𝛼	8.4* π/4.8.4* π/4	6.6* π/3.6.6* π/3	3.6* π/3.6** π/3	3.6.6* π/3.6	ไม่ใช่แบบเต็มพื้นที่

ภายในของรูปหลายเหลี่ยมดาวสามารถจัดการได้หลายวิธี ตัวอย่างการจัดการสามวิธีดังกล่าวแสดงให้เห็นสำหรับรูปห้าเหลี่ยมBranko Grünbaumและ Geoffrey Shephard พิจารณาสองวิธี ได้แก่ รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติnด้าน และรูปหลายเหลี่ยมเว้าแบบง่าย2n ด้านแบบไอ โซ ทอก ซัล^{[ 9 ]}

วิธีการรักษาทั้งสามวิธีนี้ ได้แก่:

• เมื่อมีส่วนของเส้นตรงเกิดขึ้น ด้านหนึ่งจะถือว่าเป็นด้านนอกและอีกด้านหนึ่งถือว่าเป็นด้านใน ดังแสดงในภาพประกอบด้านซ้าย และเป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในการเรนเดอร์กราฟิกเวกเตอร์ ด้วยคอมพิวเตอร์
• จำนวนครั้งที่เส้นโค้งรูปหลายเหลี่ยมพันรอบบริเวณที่กำหนดจะเป็นตัวกำหนดความหนาแน่น ของบริเวณนั้น บริเวณภายนอกมีความหนาแน่นเป็น 0 และบริเวณใดๆ ที่มีความหนาแน่นมากกว่า 0 จะถือว่าเป็นบริเวณภายใน ดังแสดงในภาพประกอบตรงกลาง และมักพบเห็นได้ทั่วไปในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของทรงหลายเหลี่ยม (อย่างไรก็ตาม สำหรับทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ความหนาแน่นสามารถพิจารณาได้เฉพาะค่าโมดูลัส 2 เท่านั้น ดังนั้น ในกรณีเหล่านั้น เพื่อความสอดคล้อง จึงมักใช้การคำนวณแบบแรกแทน)
• ไม่ว่าเส้นตรงจะลากผ่านด้านสองด้านใดก็ตาม บริเวณที่เส้นตรงนั้นพาดผ่านจะถือว่าอยู่ภายในรูปทรงนั้น ดังแสดงในภาพประกอบด้านขวา และเป็นสิ่งที่พบเห็นได้ทั่วไปในการสร้างแบบจำลองทางกายภาพ

เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม วิธีการแต่ละวิธีจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน

รูปหลายเหลี่ยมรูปดาวปรากฏให้เห็นอย่างเด่นชัดในงานศิลปะและวัฒนธรรม รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยม ปกติหรือไม่ก็ได้แต่โดยทั่วไปแล้วจะมีความสมมาตร สูง ตัวอย่างเช่น:

• รูปห้าเหลี่ยมดาว {5/2} ( เพนทาแกรม ) หรือที่รู้จักกันในชื่อเพนทัลฟาหรือเพนแทงเกิล ในอดีตนั้น ลัทธิ เวทมนตร์และศาสนา หลายแห่ง ถือว่ามีความสำคัญทางไสยศาสตร์
• รูปหลายเหลี่ยมดาว {7/2} และ {7/3} ( เฮปตาแกรม ) ยังมีความสำคัญในศาสตร์ลึกลับ โดยเฉพาะในคาบาล่าห์และวิคคา
• รูปหลายเหลี่ยมดาว 8/3 ( รูปแปดเหลี่ยม ) เป็นลวดลายเรขาคณิตที่พบได้บ่อยในศิลปะและสถาปัตยกรรม อิสลาม สมัยราชวงศ์โมกุล โดยรูปแรกปรากฏอยู่บนตราสัญลักษณ์ของอาเซอร์ไบจาน
• ดาวสิบเอ็ดแฉกที่เรียกว่าเฮนเดคาแกรมถูกใช้บนสุสานของชาห์เนมาโตลลาห์วาลี^{[ 11 ]}

รูปแปดเหลี่ยม {8/3} ที่สร้างขึ้นในรูปแปดเหลี่ยม ปกติ

ตราประทับของโซโลมอนที่มีวงกลมและจุด (รูปดาว)

• ดาวห้าแฉก  – สัญลักษณ์ที่พบเห็นได้ทั่วไปในวัฒนธรรมสมัยใหม่
• รายชื่อโพลีโทปปกติและสารประกอบ § ดาว
• ดาวมหัศจรรย์  – การจัดเรียงตัวเลขพิเศษบนรูปดาว
• ดาวโมราเวีย  – ของตกแต่งคริสต์มาส
• Pentagramma mirificum  – รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว 5 ด้าน
• ดาวปกติ 4 เหลี่ยม
• รูบ เอล ฮิซบ์  – สัญลักษณ์อิสลามรูปทรงแปดเหลี่ยม
• ดาว (กราฟีม)  – สัญลักษณ์ทางด้านการพิมพ์
• ทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว  – ทรงหลายเหลี่ยมที่มีรูปแบบความไม่นูนบางอย่าง
  • ทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์  – ทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวปกติ 4 แบบใดๆ ก็ได้
  • ทรงหลายเหลี่ยมดาวเอกรูป  – ทรงหลายเหลี่ยมเอกรูปที่ตัดกันเอง
• ดาวทะเล  – สัตว์ทะเลในวงศ์เอคิโนเดอร์ม

Hart, Vi (2015). "การวาดเล่นในห้องเรียนคณิตศาสตร์: ดวงดาว" . Vimeo .