ในทางคณิตศาสตร์จำนวนรอบหรือดัชนีรอบของเส้นโค้งปิดในระนาบ ที่หมุนรอบ จุดที่กำหนดคือจำนวนเต็มที่แสดงถึงจำนวนครั้งทั้งหมดที่เส้นโค้งหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุดนั้น กล่าวคือจำนวนรอบ ของเส้นโค้ง จำนวนรอบขึ้นอยู่กับทิศทางของเส้นโค้ง และจะมีค่าเป็นลบหากเส้นโค้งหมุนตามเข็มนาฬิการอบจุดนั้น

จำนวนการวนซ้ำเป็นวัตถุพื้นฐานในการศึกษาในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและมีบทบาทสำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์การวิเคราะห์เชิงซ้อนโทโพโลยีเชิงเรขาคณิตเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์ (เช่น ในทฤษฎีสตริง )

สมมติว่าเรามีเส้นโค้งปิดที่มีทิศทางใน ระนาบ xyเราสามารถจินตนาการว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุบางอย่าง โดยทิศทางบ่งบอกถึงทิศทางที่วัตถุเคลื่อนที่ ดังนั้น จำนวนรอบการหมุนของเส้นโค้งจึงเท่ากับจำนวนรอบทวนเข็มนาฬิกาทั้งหมดที่วัตถุหมุนรอบจุดกำเนิด

เมื่อนับจำนวนรอบทั้งหมด การหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะนับเป็นบวก ในขณะที่การหมุนตามเข็มนาฬิกาจะนับเป็นลบ ตัวอย่างเช่น หากวัตถุหมุนรอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา 4 รอบก่อน แล้วจึงหมุนรอบจุดกำเนิดตามเข็มนาฬิกาอีก 1 รอบ จำนวนรอบทั้งหมดของเส้นโค้งจะเป็น 3 รอบ

ตามหลักการนี้ เส้นโค้งที่ไม่หมุนรอบจุดกำเนิดเลยจะมีเลขการหมุนเป็นศูนย์ ในขณะที่เส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิดจะมีเลขการหมุนเป็นลบ ดังนั้น เลขการหมุนของเส้นโค้งจึงอาจเป็นจำนวนเต็ม ใดๆ ก็ได้ ภาพต่อไปนี้แสดงเส้นโค้งที่มีเลขการหมุนอยู่ระหว่าง -2 ถึง 3:

${\displaystyle \cdots }$
	−2	−1	0
				${\displaystyle \cdots }$
	1	2	3

ให้เป็นเส้นทางปิดต่อเนื่องบนระนาบเชิงซ้อน ลบด้วยจุดหนึ่งจุด จำนวนรอบของเส้นทางนี้วนรอบเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \mathbb {C} \setminus \{a\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\text{wind}}(\gamma ,a)=s(1)-s(0),}$

เส้นทางที่เขียนในพิกัดเชิงขั้วอยู่ที่ไหน กล่าวคือ เส้นทางที่ยกขึ้นผ่าน แผนที่ปกคลุม${\displaystyle (\rho ,s)}$

${\displaystyle p:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} \setminus \{a\}:(\rho _{0},s_{0})\mapsto a+\rho _{0}e^{i2\pi s_{0}}.}$

จำนวนรอบการวนซ้ำนั้นถูกกำหนดไว้อย่างดีเนื่องจากการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นทางยกขึ้น (โดยกำหนดจุดเริ่มต้นในปริภูมิปกคลุม) และเนื่องจากเส้นใยทั้งหมดของเส้นทางนั้นมีรูปแบบ(ดังนั้นนิพจน์ข้างต้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้น) และเป็นจำนวนเต็มเนื่องจากเส้นทางนั้นเป็นเส้นทางปิด ${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho _{0}\times (s_{0}+\mathbb {Z} )}$

จำนวนรอบมักถูกนิยามด้วยวิธีที่แตกต่างกันในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ คำนิยามทั้งหมดด้านล่างนี้มีความหมายเทียบเท่ากับคำนิยามที่ให้ไว้ข้างต้น:

กฎ เชิงการจัดเรียงแบบง่ายสำหรับการกำหนดเลขการวนรอบได้รับการเสนอโดยAugust Ferdinand Möbiusในปี 1865 ^{[ 1 ]} และอีกครั้งโดยอิสระโดยJames Waddell Alexander IIในปี 1928 ^{[ 2 ]} เส้นโค้งใดๆ จะแบ่งระนาบออกเป็นหลายบริเวณที่เชื่อมต่อกัน โดยที่บริเวณหนึ่งไม่มีขอบเขต เลขการวนรอบของเส้นโค้งรอบจุดสองจุดในบริเวณเดียวกันจะมีค่าเท่ากัน เลขการวนรอบ (จุดใดๆ ใน) บริเวณที่ไม่มีขอบเขตจะมีค่าเป็นศูนย์ สุดท้าย เลขการวนรอบสำหรับสองบริเวณที่อยู่ติดกันจะแตกต่างกันเพียง 1 เท่านั้น บริเวณที่มีเลขการวนรอบมากกว่าจะปรากฏอยู่ทางด้านซ้ายของเส้นโค้ง (เมื่อพิจารณาจากการเคลื่อนที่ลงไปตามเส้นโค้ง)

จำนวนรอบการวนซ้ำมีบทบาทสำคัญมากในคณิตศาสตร์เชิงซ้อน (ดูคำกล่าวของทฤษฎีบทเศษเหลือ ) ในบริบทของคณิตศาสตร์เชิงซ้อนจำนวนรอบการวนซ้ำของเส้นโค้งปิด ในระนาบเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในรูปของพิกัดเชิงซ้อนz = x + iyโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราเขียนz  =  re ^iθแล้ว ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta }$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}={\frac {dr}{r}}+i\,d\theta =d[\ln r]+i\,d\theta .}$

เนื่องจากเป็นเส้นโค้งปิด การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นปริมาณอินทิกรัลของจึงเท่ากับคูณด้วยการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในดังนั้น จำนวนรอบของเส้นทางปิดรอบจุดกำเนิดจึงกำหนดโดยนิพจน์^{[ 3 ]}${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln(r)}$${\textstyle {\frac {dz}{z}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}\,.}$

โดยทั่วไป หากเป็นเส้นโค้งปิดที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจำนวนรอบของรอบหรือที่รู้จักกันในชื่อดัชนีของเมื่อเทียบกับจะถูกกำหนดสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเป็น^{[ 4 ]}${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle t\in [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z_{0}\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])}$

${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z_{0}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z_{0}}}dt.}$

นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตรอินทิกรัลของโคชีอัน เลื่องชื่อ

คุณสมบัติพื้นฐานบางประการของเลขการวนรอบในระนาบเชิงซ้อนนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

ทฤษฎีบท. ให้เป็นเส้นทางปิด และให้เป็นเซตส่วนเติมเต็มของภาพของนั่นคือ แล้วดัชนีของเทียบกับคือ${\displaystyle \gamma :[\alpha ,\beta ]\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$(i) มีค่าเป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือสำหรับทุก; (ii) มีค่าคงที่เหนือแต่ละส่วนประกอบ (กล่าวคือ เซตย่อยที่เชื่อมต่อกันสูงสุด) ของ; และ (iii) มีค่าเป็นศูนย์ ถ้าอยู่ในส่วนประกอบที่ไม่จำกัดของ$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}},}$$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle z\in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Omega }$

ผลที่ตามมาโดยตรงคือ ทฤษฎีบทนี้ให้ค่าเลขจำนวนรอบของเส้นทางวงกลมรอบจุดหนึ่งตามที่คาดไว้ เลขจำนวนรอบจะนับจำนวนรอบ (ทวนเข็มนาฬิกา) ที่วนรอบจุดนั้น: ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle z}$

บทสรุป. ถ้าเป็นเส้นทางที่กำหนดโดยแล้ว${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|za|<r;\\0,&|za|>r.\end{cases}}}$

ในทางทอพอโลยีจำนวนการวนซ้ำ (winding number) เป็นอีกคำหนึ่งที่ ใช้เรียก ดีกรีของการแมปแบบต่อเนื่องในทางฟิสิกส์จำนวนการวนซ้ำมักถูกเรียกว่าจำนวนควอนตัมเชิงทอพอโลยี (topological quantum numbers ) ในทั้งสองกรณี แนวคิดเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้ได้

ตัวอย่างข้างต้นของเส้นโค้งที่วนรอบจุดนั้นมีการตีความทางโทโพโลยีที่เรียบง่าย ส่วนเติมเต็มของจุดในระนาบนั้นสมมูลแบบโฮโมโทปีกับวงกลมดังนั้นแผนที่จากวงกลมไปยังตัวมันเองจึงเป็นสิ่งเดียวที่ต้องพิจารณา สามารถแสดงได้ว่าแผนที่แต่ละแผนที่สามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างต่อเนื่องไปยัง (เป็นโฮโมโทปีกับ) แผนที่มาตรฐานหนึ่งแผนที่โดยการคูณในวงกลมนั้นกำหนดโดยการระบุว่าเป็นวงกลมหน่วยเชิงซ้อน เซต ของ ชั้นโฮโมโทปีของแผนที่จากวงกลมไปยังปริภูมิโทโพโลยีจะก่อตัวเป็นกลุ่มซึ่งเรียกว่ากลุ่มโฮโมโทปีแรกหรือกลุ่มพื้นฐานของปริภูมินั้น กลุ่มพื้นฐานของวงกลมคือกลุ่มการบวกของจำนวนเต็มZและจำนวนการวนของเส้นโค้งเชิงซ้อนก็คือชั้นโฮโมโทปีของมันนั่นเอง ${\displaystyle S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}}$

แผนที่จากทรงกลม 3 มิติไปยังตัวมันเองนั้น ยังถูกจำแนกด้วยจำนวนเต็มซึ่งเรียกว่าเลขการวนรอบ หรือบางครั้งเรียกว่าดัชนีปอนทรียาจิน

เราสามารถพิจารณาเลขการวนรอบของเส้นทางเทียบกับเส้นสัมผัสของเส้นทางนั้นได้เช่นกัน หากพิจารณาเส้นทางที่เคลื่อนที่ผ่านเวลา เลขการวนรอบนี้จะเป็นเลขการวนรอบเทียบกับจุดกำเนิดของเวกเตอร์ความเร็ว ในกรณีนี้ ตัวอย่างที่แสดงไว้ในตอนต้นของบทความนี้มีเลขการวนรอบเท่ากับ 3 เนื่องจากนับรวมวงรอบเล็กๆด้วย

สิ่งนี้ถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับเส้นทางที่ฝังตัวอยู่ (กล่าวคือ สำหรับเส้นทางที่หาอนุพันธ์ได้ซึ่งอนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์ในทุกจุด) และเป็นระดับของแผนที่เกาส์สัมผัส

สิ่งนี้เรียกว่าเลขการหมุนเลขการหมุน^{[ 6 ]} ดัชนีการหมุน^{[ 7 ]}หรือดัชนีของเส้นโค้งและสามารถคำนวณได้เป็นความโค้งทั้งหมดหารด้วย2 π

ในรูปหลายเหลี่ยมจำนวนการเลี้ยวเรียกว่าความหนาแน่นของรูปหลายเหลี่ยมสำหรับรูปหลายเหลี่ยมแบบนูน และโดยทั่วไปแล้วรูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย (ที่ไม่ตัดกันเอง) ความหนาแน่นคือ 1 ตามทฤษฎีเส้นโค้งจอร์แดน ในทางตรงกันข้าม สำหรับ รูปหลายเหลี่ยมดาวปกติ{ p / q } ความหนาแน่นคือ q

ไม่สามารถกำหนดหมายเลขการเลี้ยวสำหรับเส้นโค้งในอวกาศได้ เนื่องจากดีกรีต้องการมิติที่ตรงกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับเส้นโค้งในอวกาศแบบปิดและนูนเฉพาะที่ สามารถกำหนดเครื่องหมายการเลี้ยวสัมผัสได้เป็น โดยที่คือหมายเลขการเลี้ยวของการฉายภาพสเตอริโอ กราฟิก ของ อิน ดิเคทริกซ์ สัมผัส ค่าทั้งสองของมันสอดคล้องกับคลาส โฮโมโทปีที่ไม่เสื่อมสภาพสองคลาสของเส้นโค้งนูนเฉพาะที่^{[ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle (-1)^{d}}$${\displaystyle d}$

จำนวนรอบการหมุนมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสมการเฟอร์โรแมกเนตไฮเซนเบิร์กแบบต่อเนื่องในมิติ (2 + 1) และส่วนขยายที่สามารถหาปริพันธ์ได้ เช่นสมการอิชิโมริเป็นต้น คำตอบของสมการเหล่านี้ถูกจำแนกตามจำนวนรอบการหมุนหรือประจุเชิงทอพอโลยี ( ค่า คงที่เชิงทอพอโลยีและ/หรือเลขควอนตัมเชิงทอพอโลยี )

ค่าเลขการหมุนของจุดเทียบกับรูปหลายเหลี่ยมสามารถนำมาใช้แก้ ปัญหา จุดภายในรูปหลายเหลี่ยม (PIP) ได้ กล่าวคือ สามารถใช้เพื่อตรวจสอบว่าจุดนั้นอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมหรือไม่

โดยทั่วไปอัลกอริทึมการฉายรังสีเป็นทางเลือกที่ดีกว่าสำหรับปัญหา PIP เนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งแตกต่างจากอัลกอริทึมหมายเลขการหมุน อย่างไรก็ตาม อัลกอริทึมหมายเลขการหมุนสามารถเร่งความเร็วได้จนไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเช่นกัน^{[ 10 ]}เวอร์ชันที่เร่งความเร็วของอัลกอริทึม หรือที่รู้จักกันในชื่ออัลกอริทึมของซันเดย์ แนะนำให้ใช้ในกรณีที่ต้องพิจารณารูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ซับซ้อนด้วย

• เลขวนซ้ำที่PlanetMath