ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโฮโมโทปีถูกใช้ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตเพื่อจำแนกปริภูมิโทโพโลยีกลุ่มโฮโมโทปีแรกและง่ายที่สุดคือกลุ่มพื้นฐานซึ่งบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับลูปในปริภูมิ โดย สัญชาตญาณกลุ่มโฮโมโทปีบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับรูปร่างพื้นฐานหรือรูของปริภูมิโทโพโลยี ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

ในการกำหนดกลุ่มโฮโมโทปีลำดับที่n แผนที่ที่รักษาจุดฐานจาก ทรงกลมn มิติ (มีจุดฐาน ) ไปยังปริภูมิที่กำหนด (มีจุดฐาน) จะถูกรวบรวมเป็นคลาสสมมูลเรียกว่าคลาสโฮโมโทปี การแมปสองแบบจะเป็นโฮโมโทปี หากแบบหนึ่งสามารถเปลี่ยนรูปเป็นอีกแบบหนึ่งได้อย่างต่อเนื่อง คลาสโฮโมโทปีเหล่านี้ประกอบกันเป็นกลุ่มเรียกว่ากลุ่มโฮโมโทปี ลำดับที่ nของปริภูมิX ที่กำหนด พร้อมจุดฐาน ปริภูมิโทโพโลยีที่มีกลุ่มโฮโมโทปีต่างกันจะไม่เป็นโฮโมมอร์ฟิกแต่ปริภูมิโทโพโลยีที่ไม่ใช่โฮโมมอ ร์ฟิก สามารถมีกลุ่มโฮโมโทปีเดียวกัน ได้ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

แนวคิดเรื่องโฮโมโทปีของเส้นทางได้รับการแนะนำโดยCamille Jordan [

ในทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เป็นเรื่องปกติที่จะศึกษาหมวดหมู่โดยการเชื่อมโยงวัตถุแต่ละชิ้นในหมวดหมู่นี้กับวัตถุที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งยังคงมีข้อมูลเพียงพอเกี่ยวกับวัตถุที่สนใจ กลุ่มโฮโมโทปีเป็นวิธีการเชื่อมโยงกลุ่มกับปริภูมิโทโพโลยี

ความเชื่อมโยงระหว่างโทโพโลยีและกลุ่มดังกล่าวทำให้นักคณิตศาสตร์สามารถนำข้อมูลเชิงลึกจากทฤษฎีกลุ่ม มาประยุกต์ ใช้กับโทโพโลยีได้ ยกตัวอย่างเช่น หากวัตถุโทโพโลยีสองชิ้นมีกลุ่มโฮโมโทปีต่างกัน วัตถุเหล่านั้นจะไม่สามารถมีโครงสร้างโทโพโลยีเดียวกันได้ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่อาจพิสูจน์ได้ยากโดยใช้วิธีการทางโทโพโลยีเพียงอย่างเดียว ตัวอย่างเช่นทอรัสแตกต่างจากทรงกลมกล่าวคือ ทอรัสมี "รู" แต่ทรงกลมไม่มี อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความต่อเนื่อง (แนวคิดพื้นฐานของโทโพโลยี) เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเฉพาะที่เท่านั้น จึงอาจเป็นเรื่องยากที่จะนิยามความแตกต่างโดยรวมที่เห็นได้ชัดอย่างเป็นทางการ อย่างไรก็ตาม กลุ่มโฮโมโทปีมีข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างโดยรวม

สำหรับตัวอย่าง: กลุ่มโฮโมโทปีแรกของทอรัสเกิดขึ้น เนื่องจากส่วนครอบคลุมสากลของทอรัสคือระนาบยูคลิดที่แมปกับทอรัสในที่นี้ ผลหารอยู่ในประเภทของปริภูมิโทโพโลยี ไม่ใช่กลุ่มหรือวงแหวน ในทางกลับกัน ทรงกลมก็เป็นไปตามนั้น: เพราะทุกวงลูปสามารถย่อให้เหลือแผนที่คงที่ได้ (ดูกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลมสำหรับตัวอย่างนี้และตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นของกลุ่มโฮโมโทปี) ดังนั้น ทอรัสจึงไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลม ${\displaystyle T}$$${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$${\displaystyle S^{2}}$$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

ในทรงกลมn เราเลือกจุดฐานaสำหรับปริภูมิXที่มีจุดฐานbเรากำหนดให้เป็นเซตของคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ ที่จับคู่จุดฐานaกับจุดฐานbโดยเฉพาะอย่างยิ่ง คลาสสมมูลกำหนดโดยโฮโมโทปีที่มีค่าคงที่บนจุดฐานของทรงกลม ในทางกลับกัน ให้กำหนดเป็นกลุ่มของคลาสโฮโมโทปีของแผนที่จากลูกบาศก์nไปยังXซึ่งมีขอบเขตของ ลูกบาศก์ nไปยัง b${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$$${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

สำหรับคลาสโฮโมโทปีจะสร้างกลุ่ม . ในการกำหนดการดำเนินการกลุ่ม โปรดจำไว้ว่าในกลุ่มพื้นฐานผลคูณของสองลูปถูกกำหนดโดยการตั้งค่า ${\displaystyle n\geq 1,}$${\displaystyle f\ast g}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$$${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

แนวคิดเรื่องการจัดองค์ประกอบในกลุ่มพื้นฐานคือการเดินตามเส้นทางแรกและเส้นทางที่สองติดต่อกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการวางโดเมนทั้งสองเข้าด้วยกัน แนวคิดเรื่องการจัดองค์ประกอบที่เราต้องการสำหรับ กลุ่มโฮโมโทปีที่ nนั้นเหมือนกัน ยกเว้นว่าโดเมนที่เรายึดติดกันจะเป็นลูกบาศก์ และเราต้องยึดโดเมนเหล่านั้นไว้กับหน้า ดังนั้น เราจึงนิยามผลรวมของแผนที่ด้วยสูตร ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$$${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

สำหรับคำจำกัดความที่สอดคล้องกันในแง่ของทรงกลม ให้กำหนดผลรวมของแผนที่ที่จะประกอบด้วยhโดยที่เป็นแผนที่จากผลรวมรูปลิ่มของ ทรงกลม nรูปที่ทำให้เส้นศูนย์สูตรยุบลง และhคือแผนที่จากผลรวมรูปลิ่มของ ทรงกลม nรูปถึงXซึ่งกำหนดให้เป็นfบนทรงกลมแรกและgบนทรงกลมที่สอง ${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle S^{n}}$

ถ้าเช่นนั้นก็คืออาเบเลียน [ นอกจากนี้ คล้ายกับกลุ่มพื้นฐาน สำหรับพื้นที่ที่เชื่อมต่อเส้นทาง ทางเลือกจุดฐานสองทางใดๆ จะทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิก${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะพยายามทำให้นิยามของกลุ่มโฮโมโทปีง่ายขึ้นโดยการละเว้นจุดฐาน แต่วิธีนี้มักจะใช้ไม่ได้กับปริภูมิที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันโดยตรงแม้แต่กับปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง เซตของคลาสโฮโมโทปีของแผนที่จากทรงกลมไปยังปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางไม่ใช่กลุ่มโฮโมโทปี แต่โดยพื้นฐานแล้วคือเซตของวงโคจรของกลุ่มพื้นฐานบนกลุ่มโฮโมโทปี และโดยทั่วไปแล้วไม่มีโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติ

ทางออกจากปัญหาเหล่านี้พบได้โดยการนิยาม กรู พอย ด์โฮโมโทปีระดับสูง ของปริภูมิที่ถูกกรองและของปริภูมิลูกบาศก์n สิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มโฮโมโทปีสัมพัทธ์และกลุ่มโฮโมโทปี nอะดิกตามลำดับ ทฤษฎีบทแวน แคมเปนของโฮโมโทปีระดับสูงทำให้สามารถได้รับข้อมูลใหม่ๆ เกี่ยวกับกลุ่มโฮโมโทปีและแม้กระทั่งเกี่ยวกับชนิดของโฮโมโทปี สำหรับข้อมูลพื้นฐานและเอกสารอ้างอิงเพิ่มเติม โปรดดู "ทฤษฎีกลุ่มมิติสูง" และเอกสารอ้างอิงด้านล่าง

ปริภูมิโทโพโลยีมีรูที่มี ขอบเขต dมิติ ถ้าและต่อเมื่อ ปริภูมินี้บรรจุ ทรงกลม dมิติ ซึ่งไม่สามารถหดลงอย่างต่อเนื่องให้เหลือเพียงจุดเดียวได้ ปริภูมินี้เป็นจริง ถ้าและต่อเมื่อ มีการแมป ที่ไม่เป็นโฮโมโทปิกกับฟังก์ชันค่าคงที่ปริภูมินี้เป็นจริง ถ้าและต่อเมื่อ กลุ่มโฮโมโทปี dของX นั้น ไม่ธรรมดา กล่าวโดยสรุปXมีรูที่มี ขอบเขต dมิติ ถ้าและต่อเมื่อ ${\textstyle S^{d}\to X}$${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

ให้ เป็น ไฟเบอร์ Serreที่รักษาจุดฐานไว้ด้วยไฟเบอร์นั่นคือแผนที่ที่มีคุณสมบัติการยกโฮโมโทปีเทียบกับคอมเพล็กซ์ CWสมมติว่าBเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง จากนั้นจะมีลำดับที่แน่นอนของกลุ่มโฮโมโทปี แบบยาว${\displaystyle p:E\to B}$${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

แผนที่ที่เกี่ยวข้องที่นี่ไม่ใช่ โฮโม มอ ร์ฟิซึมของกลุ่มเพราะว่าไม่ใช่กลุ่ม แต่พวกมันแม่นยำในความหมายที่ว่ารูปภาพเท่ากับเคอร์เนล${\displaystyle \pi _{0}}$${\displaystyle \pi _{0}}$

ตัวอย่าง: เส้นใยฮอปฟ์ให้Bเท่ากับและEเท่ากับให้pเป็นเส้นใยฮอปฟ์ซึ่งมีเส้นใยจากลำดับที่แน่นอนยาว ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{3}.}$${\displaystyle S^{1}.}$$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

และความจริงที่ว่าเราพบว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$${\displaystyle n\geq 3.}$${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

ในกรณีของพื้นที่ครอบคลุม เมื่อไฟเบอร์เป็นแบบแยกจากกัน เราจะเห็นว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกสำหรับที่ฝังแบบฉีดเข้าไปในค่าบวกทั้งหมดและกลุ่มย่อยของที่สอดคล้องกับการฝังของมี cosets ในลักษณะ bijectionกับองค์ประกอบของไฟเบอร์ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$${\displaystyle \pi _{n}(B)}$${\displaystyle n>1,}$${\displaystyle \pi _{n}(E)}$${\displaystyle \pi _{n}(B)}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

เมื่อเส้นใยเป็นเส้นใยการทำแผนที่หรือแบบคู่กัน เส้นใยร่วมจะเป็นกรวยการทำแผนที่ลำดับที่แน่นอนที่ได้ (หรือแบบคู่กัน โคเอ็กแอ็กต์) จะกำหนดโดยลำดับ Puppe

มีการรับรู้มากมายเกี่ยวกับทรงกลมในฐานะปริภูมิเนื้อเดียวกันซึ่งให้เครื่องมือที่ดีในการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีของกลุ่มลี และการจำแนกกลุ่มหลักบนปริภูมิที่สร้างจากทรงกลม

มีไฟเบรชัน ที่ให้ลำดับที่แน่นอนยาว ซึ่งคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีลำดับต่ำของfor เนื่องจากเชื่อมต่อกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีไฟเบรชัน $${\displaystyle \mathrm {SO} (n-1)\to \mathrm {SO} (n)\to \mathrm {SO} (n)/\mathrm {SO} (n-1)\cong S^{n-1}}$$$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(\mathrm {SO} (n-1))\to \cdots }$$${\displaystyle \pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\cong \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))}$${\displaystyle i<n-1,}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)\to \mathrm {SO} (4)\to S^{3}}$$ ซึ่งกลุ่มโฮโมโทปีที่ต่ำกว่าสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจน เนื่องจากมีไฟเบรชัน ที่เรามีสำหรับการใช้สิ่งนี้ และข้อเท็จจริงที่ว่าซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้ระบบโพสต์นิคอฟเราจึงมีลำดับที่แน่นอนที่ยาว ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$${\displaystyle \pi _{i}(\mathrm {SO} (3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$${\displaystyle i>1.}$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{4}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{2}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

เนื่องจากเรามีแถวกลางจึงให้เนื่องจากแผนที่เชื่อมต่อนั้นเรียบง่าย นอกจากนี้ เรายังรู้ได้ว่ามีแรงบิดสองระดับ ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$${\displaystyle \pi _{2}(\mathrm {SO} (4))=0.}$${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SO} (4))}$

มิลเนอร์ใช้ข้อเท็จจริงนี้ในการจำแนกกลุ่มทรงกลม 3 วง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาสามารถค้นพบทรงกลมแปลกปลอมซึ่งเป็นท่อร่วมแบบเรียบที่เรียกว่าทรงกลมของมิลเนอร์ซึ่งมีทั้งแบบโฮโมมอร์ฟิกและแบบดิฟฟีโอมอร์ฟิก เท่านั้น โปรดสังเกตว่ากลุ่มทรงกลมใดๆ สามารถสร้างจากกลุ่มเวกเตอร์ - ซึ่งมีโครงสร้างแบบกลุ่มเนื่องจากสามารถมีโครงสร้างของท่อร่วมรีมันเนียนแบบวางแนวได้ ${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{4},}$${\displaystyle S^{7},}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$${\displaystyle S^{3}}$

มีเส้นใย ที่ ทรง กลมหน่วยในลำดับนี้สามารถใช้เพื่อแสดงความเชื่อมโยงแบบง่ายของสำหรับทุก$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$${\displaystyle S^{2n+1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$${\displaystyle n.}$

โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณหมู่โฮโมโทปีนั้นยากกว่าค่าคงตัว โฮโมโทปีอื่นๆ ที่เรียนรู้ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตมาก ต่างจากทฤษฎีบท Seifert-van Kampenสำหรับหมู่มูลฐานและทฤษฎีบท excisionสำหรับเอกพจน์โฮโมโลยีและโคโฮโมโลยีไม่มีวิธีง่ายๆ ที่ทราบกันในการคำนวณหมู่โฮโมโทปีของปริภูมิโดยการแบ่งปริภูมิออกเป็นปริภูมิขนาดเล็ก อย่างไรก็ตาม วิธีการที่พัฒนาขึ้นในช่วงทศวรรษ 1980 ซึ่งใช้ทฤษฎีบท van Kampen สำหรับกรูพอยด์โฮโมโทปีระดับสูง ได้ทำให้สามารถคำนวณชนิดโฮโมโทปีและหมู่โฮโมโทปีใหม่ๆ ได้ ดูตัวอย่างผลการวิจัยได้จากบทความปี 2010 โดย Ellis และ Mikhailov

สำหรับปริภูมิบางประเภท เช่นโทริกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงทั้งหมด (นั่นคือ กลุ่มโฮโมโทปีระดับที่สองและระดับสูง) ล้วนเป็นคุณสมบัติที่ไม่สำคัญปริภูมิเหล่านี้เรียกว่าปริภูมิทรงกลม (aspherical space ) อย่างไรก็ตาม แม้จะมีการวิจัยอย่างเข้มข้นในการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม แม้แต่ในสองมิติก็ยังไม่สามารถระบุรายการที่สมบูรณ์ได้ การคำนวณแม้แต่กลุ่มโฮโมโทปีที่สี่ของทรงกลมหนึ่งๆ จำเป็นต้องใช้เทคนิคขั้นสูงกว่าที่นิยามไว้มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับสเปกตรัม Serreถูกสร้างขึ้นเพื่อจุดประสงค์นี้โดยเฉพาะ ${\displaystyle S^{2}}$

กลุ่มโฮโมโทปีบางกลุ่มของ ช่องว่าง ที่เชื่อมต่อกันแบบnสามารถคำนวณได้โดยการเปรียบเทียบกับกลุ่มโฮโมโลยีผ่านทฤษฎีบท Hurewicz

• ลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปีของไฟเบรชัน
• ทฤษฎีบทฮูเรวิชซึ่งมีหลายเวอร์ชัน
• ทฤษฎีบท Blakers–Masseyหรือเรียกอีกอย่างว่าการตัดออกสำหรับกลุ่มโฮโมโทปี
• ทฤษฎีบทการระงับของฟรอยเดนธัลซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากการตัดกลุ่มโฮโมโทปีออก

นอกจากนี้ ยังมีการสรุปทั่วไปที่มีประโยชน์ของกลุ่มโฮโมโทปีเรียกว่า กลุ่มโฮโมโทปีสัมพันธ์สำหรับคู่ที่Aเป็นปริภูมิย่อยของ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$${\displaystyle X.}$

การก่อสร้างนี้เกิดขึ้นจากการสังเกตว่าสำหรับการรวมกลุ่มจะมีแผนที่เหนี่ยวนำในแต่ละกลุ่มโฮโมโทปีซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่การฉีด อันที่จริง องค์ประกอบของเคอร์เนลเป็นที่รู้จักโดยการพิจารณาตัวแทนและนำโฮโมโทปีพื้นฐานไปใช้กับแผนที่คงที่หรืออีกนัยหนึ่งในขณะที่ข้อจำกัดต่อองค์ประกอบขอบเขตอื่นๆ ของนั้นไม่สำคัญ ดังนั้น เราจึงได้โครงสร้างดังต่อไปนี้: ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$${\displaystyle f:I^{n}\to X}$${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$${\displaystyle I^{n+1}}$

องค์ประกอบของกลุ่มดังกล่าวคือคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ฐานซึ่งนำขอบเขตไปยังAแผนที่สองอันจะถูกเรียกว่าโฮโมโทปิกเทียบกับAหากเป็นโฮโมโทปิกโดยโฮโมโทปีแบบรักษาจุดฐานไว้โดยที่สำหรับแต่ละp in และt in องค์ประกอบนั้นจะอยู่ในAโปรดสังเกตว่ากลุ่มโฮโมโทปีทั่วไปจะถูกกู้คืนสำหรับกรณีพิเศษ ซึ่งก็คือซิงเกิลตันที่มีจุดฐาน ${\displaystyle D^{n}\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle F(p,t)}$${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

กลุ่มเหล่านี้เป็นแบบอาเบเลียนแต่สำหรับการสร้างกลุ่มบนสุดของโมดูลที่ไขว้กับกลุ่มล่างสุด${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

ยังมีลำดับที่แน่นอนของกลุ่มโฮโมโทปีสัมพัทธ์ที่สามารถรับได้ผ่านลำดับ Puppe ด้วย :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

กลุ่มโฮโมโทปีเป็นพื้นฐานของทฤษฎีโฮโมโทปีซึ่งกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาหมวดหมู่แบบจำลองสามารถนิยามกลุ่มโฮโมโทปีเชิงนามธรรมสำหรับเซตซิมพลิเชียลได้

กลุ่มโฮโมโลยีมีความคล้ายคลึงกับกลุ่มโฮโมโทปี ตรงที่สามารถแทน "ช่องว่าง" ในปริภูมิโทโพโลยีได้ อย่างไรก็ตาม กลุ่มโฮโมโทปีมักมีความซับซ้อนและคำนวณได้ยาก ในทางตรงกันข้าม กลุ่มโฮโมโลยีมีการสับเปลี่ยน (เช่นเดียวกับกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูง) เมื่อกำหนดปริภูมิโทโพโลยี กลุ่มโฮโมโทปี ที่nจะถูกแทนด้วยและกลุ่มโฮโมโลยีปีที่nจะถูกแทนด้วยหรือ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \pi _{n}(X),}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} ).}$

• ภาวะเส้นใย
• เส้นใยฮอปฟ์
• ฮอปฟ์ไม่แปรเปลี่ยน
• ทฤษฎีปม
• คลาสโฮโมโทปี
• กลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม
• โทโพโลยีคงที่
• กลุ่มโฮโมโทปีที่มีค่าสัมประสิทธิ์
• ชุดแหลม