ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีโฮโมโทปีไฟเบอร์โฮโมโทปี (บางครั้งเรียกว่าไฟเบอร์การแมป ) ^{[ 1 ]} เป็นส่วนหนึ่งของการสร้างที่เชื่อมโยงไฟเบอร์กับฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ ของปริภูมิเชิงทอพอโล ยี มันทำหน้าที่เป็นแกนกลางทางทฤษฎีโฮโมโทปีของการแมปปริภูมิเชิงทอพอโลยีเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันให้ลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปี${\displaystyle f:A\to B}$

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n+1}(B)\to \pi _{n}({\text{Hofiber}}(f))\to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(B)\to \cdots }$

นอกจากนี้ ไฟเบอร์โฮโมโทปีสามารถพบได้ในบริบทอื่นๆ เช่นพีชคณิตโฮโมโลจีซึ่งมีสามเหลี่ยมที่โดดเด่น

${\displaystyle C(f)_{\bullet }[-1]\to A_{\bullet }\to B_{\bullet }\xrightarrow {[+1]} }$

ให้ลำดับที่แน่นอนยาวซึ่งคล้ายคลึงกับลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปี มีการสร้างแบบคู่ขนาน ที่เรียกว่า โฮโมโทปีโคไฟเบอร์

ไฟเบอร์โฮโมโทปีมีคำอธิบายที่เรียบง่ายสำหรับแผนที่ต่อเนื่องถ้าเราแทนที่ด้วยไฟเบอร์เรชัน ไฟเบอร์โฮโมโทปีก็จะเป็นเพียงไฟเบอร์ของไฟเบอร์เรชันที่ใช้แทนที่ เราจะนึกถึงการสร้างการแทนที่แผนที่ด้วยไฟเบอร์เรชันดังนี้: ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$

เมื่อกำหนดแผนที่ดังกล่าวแล้ว เราสามารถแทนที่ด้วยไฟเบอร์เรชัน ได้ โดยการกำหนดปริภูมิเส้นทางการแมป ให้เป็นเซตของคู่ที่และ (สำหรับ) เส้นทางที่เรากำหนดโทโพโลยีโดยกำหนดโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ให้ เป็นเซตย่อยของ(โดยที่คือปริภูมิของเส้นทางซึ่งในฐานะปริภูมิฟังก์ชันมีโทโพโลยีแบบกระชับและเปิด ) จากนั้นแผนที่ที่กำหนดโดยเป็นไฟเบอร์เรชัน ยิ่งไปกว่านั้นมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับดังนี้: ฝังเป็นปริภูมิย่อยของโดยที่คือเส้นทางคงที่ที่ จากนั้นการเปลี่ยนรูปจะหดกลับไปยังปริภูมิย่อยนี้โดยการหดตัวของเส้นทาง ${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle (a,\gamma )}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \gamma :I\to B}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle A\times B^{I}}$${\displaystyle B^{I}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E_{f}\to B}$${\displaystyle (a,\gamma )\mapsto \gamma (1)}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle a\mapsto \gamma _{a}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle E_{f}}$

ไฟเบอร์ของการสร้างไฟเบอร์นี้ (ซึ่งนิยามได้ดีเฉพาะในแง่ของความสมมูลแบบโฮโมโทปีเท่านั้น) คือไฟเบอร์โฮโมโทปี

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Hofiber}}(f)&\to &E_{f}\\&&\downarrow \\&&B\end{matrix}}}$

ซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีและเส้นทาง โดยที่และสำหรับจุดฐานคงที่บางจุดผลที่ตามมาจากการนิยามนี้คือ ถ้าจุดสองจุดของอยู่ในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางเดียวกัน เส้นใยโฮโมโทปีของจุดทั้งสองนั้นจะสมมูลกันในเชิงโฮโมโทปี ${\displaystyle (a,\gamma )}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \gamma :I\to B}$${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$${\displaystyle \gamma (1)=*}$${\displaystyle *\in B}$${\displaystyle B}$

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างไฟเบอร์โฮโมโทปีของแผนที่คือการพิจารณาขีดจำกัดโฮโมโทปี^{[ 2 ]หน้า 21}ของไดอะแกรม

${\displaystyle {\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}\right)\simeq F_{f}}$

เนื่องจากการคำนวณลิมิตโฮโมโทปีนั้นเทียบเท่ากับการหาพูลแบ็กของไดอะแกรม

${\displaystyle {\begin{matrix}&&B^{I}\\&&\downarrow \\A\times *&\xrightarrow {f} &B\times B\end{matrix}}}$

โดยที่แผนที่แนวตั้งคือแผนที่ต้นทางและปลายทางของเส้นทางดังนั้น${\displaystyle \gamma :I\to B}$

${\displaystyle \gamma \mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$

นี่หมายความว่าขีดจำกัดโฮโมโทปีอยู่ในชุดของแผนที่

${\displaystyle \left\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}:f(a)=\gamma (0){\text{ และ }}\gamma (1)=*\right\}}$

ซึ่งก็คือเส้นใยโฮโมโทปีตามที่นิยามไว้ข้างต้นนั่นเอง

ถ้าและสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในแล้วแผนภาพ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&x_{0}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{matrix}&&x_{1}\\&&\downarrow \\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

สมมูลกันทางโฮโมโทปีกับแผนภาพ

${\displaystyle {\begin{matrix}&&[0,1]\\&&\downarrow {\delta }\\A&\xrightarrow {f} &B\end{matrix}}}$

ดังนั้น เส้นใยโฮโมโทปีของและจึงสมมาตรกันในด้วยเหตุนี้ เราจึงมักพูดถึงเส้นใยโฮโมโทปีของแผนที่โดยไม่ระบุจุดฐาน ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle {\text{hoTop}}}$

ในกรณีพิเศษที่แผนที่ดั้งเดิมเป็นไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์แล้วความสมมูลของโฮโมโทปีที่ระบุไว้ข้างต้นจะเป็นแผนที่ของไฟเบอร์เหนือซึ่งจะเหนี่ยวนำให้เกิดมอร์ฟิซึมของลำดับที่แน่นอนยาวของกลุ่มโฮโมโทปีจากนั้น (โดยการใช้ทฤษฎีบทห้าประการเช่นเดียวกับที่ทำในลำดับของ Puppe ) จะเห็นได้ว่าแผนที่F → F _fเป็นความสมมูลแบบอ่อนดังนั้นโครงสร้างที่ระบุไว้ข้างต้นจึงสร้างประเภทโฮโมโทปีเดียวกันขึ้นมาใหม่หากมีอยู่แล้ว ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\to E_{f}}$${\displaystyle B}$

เส้นใยโฮโมโทปีเป็นคู่ตรงข้ามกับกรวยการแมปเช่นเดียวกับที่ปริภูมิเส้นทางการแมปเป็นคู่ตรงข้ามกับทรงกระบอกการแมป^{[ 3 ]}

กำหนดให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและการรวมจุดหนึ่ง${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :\{x_{0}\}\hookrightarrow X}$

เส้นใยโฮโมโทปีของแผนที่นี้คือ

${\displaystyle \left\{(x_{0},\gamma )\in \{x_{0}\}\times X^{I}:x_{0}=\gamma (0){\text{ และ }}\gamma (1)=x_{0}\right\}}$

ซึ่งก็คือพื้นที่วนซ้ำ ${\displaystyle \โอเมก้า เอ็กซ์}$

ดูเพิ่มเติม: การ สร้าง เส้นใยในพื้นที่เส้นทาง

เมื่อได้รับการคุ้มครองอย่างทั่วถึง

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}$

ไฟเบอร์โฮโมโทปีมีคุณสมบัติดังกล่าว${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\pi )}$

${\displaystyle \pi _{k}({\text{Hofiber}}(\pi ))={\begin{cases}\pi _{1}(X)&k=0\\0&k\geq 1\end{cases}}}$

ซึ่งสามารถเห็นได้จากการพิจารณาลำดับที่แน่นอนของกลุ่มโฮโมโทปีสำหรับการไฟเบรชัน เรื่องนี้จะได้รับการวิเคราะห์เพิ่มเติมในส่วนถัดไปโดยพิจารณาจากหอคอยไวท์เฮด

หนึ่งในแอปพลิเคชันหลักของไฟเบอร์โฮโมโทปีคือการสร้างหอคอยโพสต์นิ คอฟ สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ที่ดีพอ) เราสามารถสร้างลำดับของปริภูมิและแผนที่ที่${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \pi _{k}\left(X_{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\leq n\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

และ

${\displaystyle X\simeq {\underset {\leftarrow }{\text{lim}}}\left(X_{k}\right)}$

ตอนนี้ แผนที่เหล่านี้สามารถสร้างขึ้นซ้ำๆ ได้โดยใช้ไฟเบอร์โฮโมโทปีเนื่องจากเราสามารถใช้แผนที่ได้${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle X_{n-1}\to K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)}$

แสดงถึงคลาสโคฮอโมโลยีใน

${\displaystyle H^{n-1}\left(X_{n-1},\pi _{n}(X)\right)}$

และสร้างไฟเบอร์โฮโมโทปี

${\displaystyle {\underset {\leftarrow }{\text{holim}}}\left({\begin{matrix}&&*\\&&\downarrow \\X_{n-1}&\xrightarrow {f} &K\left(\pi _{n}(X),n-1\right)\end{matrix}}\right)\simeq X_{n}}$

นอกจากนี้ โปรดสังเกตว่าไฟเบอร์โฮโมโทปีของคือ${\displaystyle f_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle {\text{Hofiber}}\left(f_{n}\right)\simeq K\left(\pi _{n}(X),n\right)}$

แสดงให้เห็นว่าไฟเบอร์โฮโมโทปีทำหน้าที่เหมือนเคอร์เนลเชิงทฤษฎีโฮโมโทปี โปรดสังเกตว่าข้อเท็จจริงนี้สามารถแสดงได้โดยการพิจารณาลำดับที่แน่นอนยาวสำหรับการสร้างไฟเบอร์โฮโมโทปี

แนวคิดคู่ขนานของหอคอยโพสต์นิคอฟคือหอคอยไวท์เฮดซึ่งให้ลำดับของพื้นที่และแผนที่ที่${\displaystyle \{X^{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle f^{n}:X^{n}\to X^{n-1}}$

${\displaystyle \pi _{k}\left(X^{n}\right)={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\geq n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ดังนั้นถ้าเราใช้แผนที่เหนี่ยวนำ${\displaystyle X^{0}\simeq X}$

${\displaystyle f_{0}^{n+1}:X^{n+1}\to X}$

ไฟเบอร์โฮโมโทปีของแผนที่นี้จะกู้คืนการประมาณโพสต์นิคอฟลำดับที่ -th เนื่องจากลำดับที่แน่นอนยาวของไฟเบอร์เรชัน${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)&\to &X^{n+1}\\&&\downarrow \\&&X\end{matrix}}}$

เราได้รับ

${\displaystyle {\begin{matrix}\to &\pi _{k+1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k+1}(X^{n+1})&\to &\pi _{k+1}(X)&\to \\&\pi _{k}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k}(X)&\to \\&\pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)&\to &\pi _{k-1}\left(X^{n+1}\right)&\to &\pi _{k-1}(X)&\to \end{matrix}}}$

ซึ่งให้ไอโซมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \pi _{k-1}\left({\text{Hofiber}}\left(f_{0}^{n+1}\right)\right)\cong \pi _{k}(X)}$

สำหรับ. ${\displaystyle k\leq n}$

• โฮโมโทปี โคไฟเบอร์
• ควาซีไฟเบอร์
• มติของอดัมส์