ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตการจัดเรียงเส้นทางของปริภูมิเส้นทางเหนือปริภูมิจุด^{[ 1 ]}เป็นการจัดเรียง เส้นทาง ในรูปแบบ^{[ 2 ]}${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle \Omega X\hookrightarrow PX{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}X}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle PX}$คือปริภูมิเส้นทางพื้นฐาน ของปริภูมิที่ชี้ไปยังจุดใดจุดหนึ่งกล่าวคือมีโทโพโลยีแบบกะทัดรัดและเปิด${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle PX=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{ต่อเนื่อง}},f(0)=*\}}$
• ${\displaystyle \โอเมก้า เอ็กซ์}$คือเส้นใยของเหนือจุดฐานของ; ดังนั้นจึงเป็นพื้นที่วงรอบของ${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$${\displaystyle (X,*)}$${\displaystyle (X,*)}$

ปริภูมิเส้นทางอิสระ ของ Xซึ่งก็คือประกอบด้วยแผนที่ทั้งหมดจากIไปยังXที่ไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นที่จุดฐาน และไฟเบรชันที่กำหนดโดย เช่นเรียกว่า ไฟเบร ชัน ของปริภูมิเส้นทางอิสระ${\displaystyle \operatorname {Map} (I,X)=X^{I}}$${\displaystyle X^{I}\to X}$${\displaystyle \chi \mapsto \chi (1)}$

การจัดเรียงเส้นทางในปริภูมิไฟเบอร์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการจัดเรียงแบบกรวยแมปปิ้งไฟเบอร์ของการจัดเรียงแบบไฟเบอร์พื้นฐานเรียกว่าไฟเบอร์แมปปิ้ง หรือเรียกอีกอย่างว่าไฟเบอร์โฮโมโทปี

ถ้าเป็นแผนที่ใดๆพื้นที่เส้นทางการแมปของคือการดึงกลับของไฟเบอร์ตาม(พื้นที่เส้นทางการแมปเป็นไปตามคุณสมบัติสากลที่เป็นคู่ตรงข้ามกับทรงกระบอกการแมปซึ่งเป็นพุชเอาท์ ด้วยเหตุนี้ พื้นที่เส้นทางการแมปจึงเรียกว่าโคไซลินเดอร์การแมปด้วย^{[ 3 ]} ) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle P_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$${\displaystyle f}$

เนื่องจากฟิเบรชันดึงกลับไปยังฟิเบรชัน ถ้าYเป็นฐาน ก็จะได้ฟิเบรชัน

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

โดยที่และคือเส้นใยโฮโมโทปีซึ่งเป็นการดึงกลับของการสร้างเส้นใยตามแนว ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\longrightarrow }}Y}$${\displaystyle f}$

โปรดสังเกต องค์ประกอบ ด้วย${\displaystyle f}$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\to }}P_{f}{\overset {p}{\to }}Y}$

โดยที่แผนที่แรกส่งxไปยัง; ในที่นี้หมายถึงเส้นทางคงที่ที่มีค่า เห็นได้ชัดว่าเป็นความสมมูลแบบโฮโมโทปีดังนั้น การแยกส่วนข้างต้นจึงกล่าวว่า แผนที่ใดๆ ก็เป็นไฟเบรชันได้จนถึงความสมมูลแบบโฮโมโทปี ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$${\displaystyle c_{f(x)}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi }$

ถ้าเป็นไฟเบอร์ตั้งแต่แรก แผนที่จะเป็นความสมมูลของไฟเบอร์-โฮโมโทปีและด้วยเหตุนี้^{[ 4 ]}ไฟเบอร์ของเหนือส่วนประกอบเส้นทางของจุดฐานจึงสมมูลกับไฟเบอร์โฮโมโทปี ของ${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{f}}$${\displaystyle f}$

ตามนิยาม เส้นทางในปริภูมิXคือแผนที่จากช่วงหน่วยIไปยังXและตามนิยามอีกครั้ง ผลคูณของเส้นทางสองเส้นโดยที่คือเส้นทางที่กำหนดโดย: ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \alpha (1)=\beta (0)}$${\displaystyle \beta \cdot \alpha \colon I\to X}$

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$.

โดยทั่วไปแล้ว ผลิตภัณฑ์นี้ไม่สามารถเชื่อมโยงกันได้โดยตรงดังที่เห็นได้โดยตรง วิธีแก้ปัญหาหนึ่งสำหรับความล้มเหลวนี้คือการเปลี่ยนไปใช้คลาสโฮโมโทปี : เรามี อีกวิธีหนึ่งคือการทำงานกับเส้นทางที่มีความยาวตามอำเภอใจ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของปริภูมิเส้นทางของมัวร์และไฟเบอร์ปริภูมิเส้นทางของมัวร์ ซึ่งอธิบายไว้ด้านล่าง^{[ 5 ]} (วิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนกว่าคือการคิดใหม่ เกี่ยวกับ การประกอบ: ทำงานกับตระกูลการประกอบตามอำเภอใจ ดูบทนำของบทความของลูรี^{[ 6 ]}ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของโอเปอราด ) ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha \neq \gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )}$${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$

เมื่อกำหนดพื้นที่ฐานแล้ว เราจะให้ ${\displaystyle (X,*)}$

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*\}.}$

สมาชิกfของเซตนี้มีการขยายเฉพาะไปยังช่วงเช่นนั้นดังนั้น เซต จึงสามารถระบุได้ว่าเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิที่ได้เรียกว่าปริภูมิเส้นทางมัวร์ของXตามชื่อของจอห์น โคลแมน มัวร์ผู้ริเริ่มแนวคิดนี้ จากนั้น เช่นเดียวกับก่อนหน้านี้ ก็มีการสร้างไฟเบอร์ขึ้นมา ซึ่งก็คือการสร้างไฟเบอร์ของปริภูมิเส้นทางมัวร์ : ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$${\displaystyle \operatorname {Map} ([0,\infty ),X)}$

${\displaystyle \Omega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\to }}X}$

โดยที่pส่งแต่ละไปยังและคือไฟเบอร์ ปรากฏว่าและมีความสมมูลกันแบบโฮโมโทปี ${\displaystyle f:[0,r]\to X}$${\displaystyle f(r)}$${\displaystyle \Omega 'X=p^{-1}(*)}$${\displaystyle \Omega X}$${\displaystyle \Omega 'X}$

ต่อไป เราจะกำหนดแผนผังผลิตภัณฑ์

${\displaystyle \mu :P'X\times \Omega 'X\to P'X}$

โดย: สำหรับและ, ${\displaystyle f\colon [0,r]\to X}$${\displaystyle g\colon [0,s]\to X}$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$.

ผลิตภัณฑ์นี้มีคุณสมบัติการเชื่อมโยงอย่างชัดเจน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อμถูกจำกัดไว้ที่ Ω ' X × Ω ' Xเราจะได้ว่า Ω ' Xเป็นโมโนอิดเชิงทอพอโลยี (ในหมวดหมู่ ของปริภูมิทั้งหมด) ^ยิ่งไปกว่านั้น โมโนอิด Ω ' X นี้ กระทำต่อP ' X ผ่านทาง μดั้งเดิมอันที่จริงเป็นΩ' X -fibration [ ^{7 ]}${\displaystyle p:P'X\to X}$