ในทฤษฎีโฮโมโทปีซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของโทโพโลยีเชิงพีชคณิตระบบโพสต์นิคอฟ (หรือหอคอยโพสต์นิคอฟ ) คือวิธีการแยกส่วนปริภูมิโทโพโลยีโดยการกรองประเภทโฮโมโทปีสำหรับปริภูมิหนึ่งนี่คือรายการของปริภูมิที่${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ สำหรับ }}k\leq n\\0&{\text{ สำหรับ }}k>n\end{cases}}}$

และชุดแผนที่ที่เป็นไฟเบอร์เรชันโดยใช้ ปริภูมิ Eilenberg-MacLaneเป็นไฟเบอร์ กล่าวโดยสรุป เรากำลังแยกประเภทโฮโมโทปีโดยใช้ระบบผกผันของปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งประเภทโฮโมโทปีที่ระดับสอดคล้องกับประเภทโฮโมโทปีที่ถูกตัดทอนของปริภูมิเดิมระบบ Postnikov ถูกนำเสนอโดยและตั้งชื่อตามMikhail Postnikov ${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

มีโครงสร้างที่คล้ายกันเรียกว่าหอคอยไวท์เฮด (นิยามไว้ด้านล่าง) ซึ่งแทนที่จะมีพื้นที่ที่มีประเภทโฮโมโทปีสำหรับดีกรีพื้นที่เหล่านี้จะมีกลุ่มโฮโมโทปีว่างสำหรับดีกรี ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq n}$${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$${\displaystyle 1<k<n}$

ระบบโพสต์นิคอฟของปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง คือระบบผกผันของปริภูมิ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

โดยมีลำดับของแผนที่ที่เข้ากันได้กับระบบผกผันดังนี้ ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. แผนที่นี้ก่อให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับทุกๆ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$สำหรับ. ^{[ 1 ] : 410} ${\displaystyle i>n}$
3. แผนที่แต่ละอันเป็นไฟเบอร์เรชันดังนั้นไฟเบอร์จึงเป็นปริภูมิไอเลนเบิร์ก-แมคเลน${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

เงื่อนไขสองข้อแรกบ่งชี้ว่าก็เป็นปริภูมิ เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเชื่อมต่อกัน แล้วก็เป็นปริภูมิ และ ทั้งหมดสำหรับสามารถหดตัวได้โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขข้อที่สามนั้น บางผู้เขียนใส่เข้ามาโดยสมัครใจเท่านั้น ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i<n}$

ระบบ Postnikov มีอยู่บนคอมเพล็กซ์ CW ที่เชื่อมต่อกัน ^{[ 1 ]} : ³⁵⁴ และมีความสมมูลโฮโมโทปีอ่อนระหว่างและขีดจำกัดผกผัน ของมัน ดังนั้น ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

แสดงให้เห็นว่าเป็นการประมาณค่า CWของลิมิตผกผัน สามารถสร้างได้บนคอมเพล็กซ์ CW โดยการกำจัดกลุ่มโฮโมโทปีซ้ำๆ ถ้าเรามีแผนที่ที่แสดงถึงคลาสโฮโมโทปีเราสามารถทำการพุชเอาท์ตามแผนที่ขอบเขตเพื่อกำจัดคลาสโฮโมโทปี สำหรับกระบวนการนี้ สามารถทำซ้ำได้สำหรับทุกค่าทำให้ได้ปริภูมิที่มีกลุ่มโฮโมโทปีเป็นศูนย์โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถสร้างได้จากโดยการกำจัดแผนที่โฮโมโทปีทั้งหมด เรา จะ ได้แผนที่${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S^{n}\to X}$${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$${\displaystyle X_{m}}$${\displaystyle n>m}$${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$${\displaystyle X_{n-1}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

หนึ่งในคุณสมบัติหลักของหอคอยโพสต์นิคอฟ ซึ่งทำให้มีประสิทธิภาพอย่างมากในการศึกษาขณะคำนวณโคฮอโมโลยี คือข้อเท็จจริงที่ว่าปริภูมิเหล่านี้เป็นโฮโมโทปิกกับคอมเพล็กซ์ CW ซึ่งแตกต่างกันเพียงแค่เซลล์ที่มีมิติเท่านั้น ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \geq n+2}$

ลำดับของไฟเบอร์^{[ 2 ]}มีตัวแปรคงที่ที่กำหนดโดยโฮโมโทปี ซึ่งหมายความว่าคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ให้ประเภทโฮโมโทปีที่กำหนดไว้อย่างดีคลาสโฮโมโทปีของมาจากการพิจารณาคลาสโฮโมโทปีของแผนที่จำแนกสำหรับไฟเบอร์แผนที่จำแนกที่เกี่ยวข้องคือ ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle [X]\in \ชื่อผู้ดำเนินการ {Ob} (hTop)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

ดังนั้น คลาสโฮโมโทปีจึงถูกจำแนกโดยคลาสโฮโมโทปี ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

เรียกว่าค่าคงที่โพสต์นิคอฟลำดับที่nของเนื่องจากคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ไปยังปริภูมิไอเลนเบิร์ก-แมคเลนให้โคโฮโมโลยีที่มีสัมประสิทธิ์ในกลุ่มอาเบเลียนที่ เกี่ยวข้อง${\displaystyle X}$

กรณีพิเศษอย่างหนึ่งของการจำแนกประเภทโฮโมโทปีคือ คลาสโฮโมโทปีของปริภูมิซึ่งมีไฟเบอร์เรชันอยู่ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

โดยให้ประเภทโฮโมโทปีที่มีกลุ่มโฮโมโทปีที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยสองกลุ่ม คือ, และจากนั้น จากการอภิปรายก่อนหน้านี้ แผนที่ไฟเบรชันจะให้คลาสโคโฮโมโลยีใน ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

ซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นคลาสโคฮอโมโลยีของกลุ่ม ได้เช่นกัน พื้นที่นี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบ โลคัลระดับสูง${\displaystyle X}$

กรณีที่ง่ายที่สุดในเชิงแนวคิดกรณีหนึ่งของหอคอยโพสต์นิคอฟคือพื้นที่ไอเลนเบิร์ก-แมคเลนซึ่งให้หอคอยที่มี ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{สำหรับ }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{สำหรับ }}i\geq n\end{matrix}}}$

หอคอยโพสต์นิคอฟสำหรับทรงกลมเป็นกรณีพิเศษซึ่งสามารถเข้าใจพจน์แรก ๆ ได้อย่างชัดเจน เนื่องจากเรามีกลุ่มโฮโมโทปีแรก ๆ จากการเชื่อมต่ออย่างง่ายของ ทรงกลม ทฤษฎีดีกรีของทรงกลม และการไฟเบอร์แบบฮอปฟ์ซึ่งให้สำหรับดังนั้น ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

จากนั้นและมาจากลำดับการดึงกลับ ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

ซึ่งเป็นองค์ประกอบใน

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

ถ้าสิ่งนี้เป็นเรื่องเล็กน้อย มันจะหมายความว่า. แต่ไม่ใช่เช่นนั้น! อันที่จริง นี่เป็นสาเหตุที่กลุ่มอนันต์ที่เข้มงวดไม่จำลองประเภทโฮโมโทปี^{[ 3 ]}การคำนวณค่าคงที่นี้ต้องใช้ความพยายามมากขึ้น แต่สามารถหาได้อย่างชัดเจน^{[ 4 ]}นี่คือรูปแบบกำลังสองบน ที่ได้มาจาก Hopf fibration โปรดทราบว่าแต่ละองค์ประกอบในให้ประเภทโฮโมโทปี 3 ที่แตกต่างกัน ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

การประยุกต์ใช้หอคอย Postnikov อย่างหนึ่งคือการคำนวณ กลุ่ม โฮโมโทปีของทรงกลม^{[ 5 ]}สำหรับทรงกลมมิติ nเราสามารถใช้ทฤษฎีบท Hurewiczเพื่อแสดงว่าแต่ละทรงกลมสามารถหดตัวได้สำหรับn เนื่องจากทฤษฎีบทบ่งชี้ว่ากลุ่มโฮโมโทปีล่างเป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ โปรดจำไว้ว่ามีลำดับสเปกตรัมสำหรับไฟเบอร์เร ใดๆ เช่น ไฟเบอร์เร ${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S_{i}^{n}}$${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

จากนั้นเราสามารถสร้างลำดับสเปกตรัมโฮโมโลจิคัลที่มีเทอม - ได้ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$.

และแผนที่ที่ไม่ใช่แผนที่ธรรมดาแผนแรกไปยัง, ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$,

เขียนได้เทียบเท่าว่า

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

ถ้าการคำนวณและ นั้นง่าย เราก็จะได้รับข้อมูลเกี่ยวกับลักษณะของแผนที่นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นการสมมาตร เราจะได้การคำนวณของสำหรับกรณีนี้ สามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนโดยใช้ไฟเบอร์เส้นทางสำหรับคุณสมบัติหลักของหอคอยโพสต์นิคอฟสำหรับ(ซึ่งให้และทฤษฎีสัมประสิทธิ์สากลซึ่งให้ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากทฤษฎีการแขวนลอยของฟรอยเดนทัลสิ่งนี้จึงให้กลุ่มโฮโมโทปีที่เสถียรเนื่องจากเสถียรสำหรับ ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle n\geq k+2}$

โปรดทราบว่าสามารถใช้เทคนิคที่คล้ายกันได้โดยใช้หอคอยไวท์เฮด (ด้านล่าง) สำหรับการคำนวณและซึ่งจะให้กลุ่มโฮโมโทปีเสถียรที่ไม่ธรรมดาสองกลุ่มแรกของทรงกลม ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

นอกจากหอคอย Postnikov แบบคลาสสิกแล้ว ยังมีแนวคิดเกี่ยวกับหอคอย Postnikov ในทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียรที่สร้างขึ้นบนสเปกตรัม^{[ 6 ]หน้า} 85-86

สำหรับสเปกตรัมหอคอยโพสต์นิคอฟของคือ แผนภาพในหมวดหมู่โฮโมโทปีของสเปกตรัมซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

พร้อมแผนที่

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

การเดินทางโดยใช้แผนที่ ดังนั้น หอคอยนี้จึงเรียกว่าหอคอยโพสต์นิคอฟ หากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$สำหรับ,${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับ${\displaystyle i\leq n}$

กลุ่มโฮโมโทปีที่เสถียรของสเปกตรัมอยู่ ที่ไหนปรากฏว่าสเปกตรัมทุกอันมีหอคอยโพสต์นิคอฟ และหอคอยนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้วิธีการอุปนัยแบบเดียวกันกับที่กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

เมื่อกำหนดคอมเพล็กซ์ CW แล้วจะมีการสร้างแบบคู่ขนานกับหอคอยโพสต์นิคอฟที่เรียกว่าหอคอยไวท์เฮดแทนที่จะกำจัดกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงทั้งหมด หอคอยไวท์เฮดจะกำจัดกลุ่มโฮโมโทปีระดับต่ำกว่าทีละขั้นตอน ซึ่งกำหนดโดยหอคอยของคอมเพล็กซ์ CW ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

ที่ไหน

1. กลุ่มโฮโมโทปีล่างมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นสำหรับ.${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$${\displaystyle i\leq n}$
2. แผนที่ที่เหนี่ยวนำนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมสำหรับ${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$${\displaystyle i>n}$
3. แผนที่เหล่านี้เป็นการสร้างเส้นใยด้วยเส้นใย${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

โปรดสังเกตว่า เป็นพื้นที่ปกคลุมสากลของเนื่องจากเป็นพื้นที่ปกคลุมที่มีการเชื่อมต่อแบบง่าย นอกจากนี้ แต่ละยังเป็นพื้นที่ปกคลุมแบบเชื่อมต่อสากลของด้วย ${\displaystyle X_{1}\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

พื้นที่ในหอคอยไวท์เฮดถูกสร้างขึ้นแบบอุปนัย หากเราสร้างโดยการกำจัดกลุ่มโฮโมโทปีระดับสูงใน[ ^{7 ] เรา}จะได้การฝังตัวหากเราปล่อยให้ ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

สำหรับจุดฐาน คงที่บางจุด แผนที่ที่เหนี่ยวนำจะเป็นมัดไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์แบบโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

และด้วยเหตุนี้เราจึงมีภาวะหัวใจเต้นผิดจังหวะแบบเซอร์เร (Serre fibration)

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

โดยใช้ ลำดับที่แน่นอนยาวในทฤษฎีโฮโมโทปี เราจะได้ว่าสำหรับ, สำหรับ, และสุดท้ายจะมีลำดับที่แน่นอน ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$${\displaystyle i\geq n+1}$${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

โดยที่ถ้ามอร์ฟิซึมตรงกลางเป็นไอโซมอร์ฟิซึม กลุ่มอีกสองกลุ่มจะเป็นศูนย์ สามารถตรวจสอบได้โดยการพิจารณาการรวมและสังเกตว่าปริภูมิ Eilenberg–Maclane มีการแบ่งส่วนแบบเซลลูลาร์ ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; ดังนั้น,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

อีกวิธีหนึ่งในการมองส่วนประกอบในหอคอยไวท์เฮดคือการมองเป็นเส้นใยโฮโมโทปีถ้าเราพิจารณา

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

จากหอคอยโพสต์นิคอฟ เราจะเห็นพื้นที่ซึ่งมี ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

แนวคิดคู่ขนานของหอคอยไวท์เฮดสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้เส้นใยโฮโมโทปีในหมวดหมู่ของสเปกตรัม ถ้าเราให้

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

จากนั้นสามารถจัดระเบียบสิ่งนี้เป็นหอคอยที่ให้การปกคลุมสเปกตรัมที่เชื่อมต่อกัน นี่เป็นโครงสร้างที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}ในทฤษฎีบอร์ดิซึมเนื่องจากการปกคลุมของสเปกตรัมโคบอร์ดิซึมที่ไม่กำหนดทิศทางทำให้เกิดทฤษฎีบอร์ดิซึมอื่นๆ^{[ 10 ]}${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

เช่นโรคบอร์ดิซึม แบบเส้น

ในเรขาคณิตสปิน กลุ่ม นี้ถูกสร้างขึ้นเป็นผลรวมสากลของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษดังนั้นจึงเป็นไฟเบรชัน ซึ่งให้พจน์แรกในหอคอยไวท์เฮด มีการตีความที่เกี่ยวข้องทางกายภาพสำหรับส่วนที่สูงกว่าในหอคอยนี้ ซึ่งสามารถอ่านได้ดังนี้${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

โดยที่คือการปกคลุมที่เชื่อมต่อกันของเรียกว่ากลุ่มสตริงและคือการปกคลุมที่เชื่อมต่อกันของ เรียกว่ากลุ่มไฟว์เบรน^{[ 11 ] [ 12 ]}${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$${\displaystyle 7}$

• ลำดับสเปกตรัมของอดัมส์
• พื้นที่ไอเลนเบิร์ก-แมคเลน
• คอมเพล็กซ์ CW
• ทฤษฎีการขัดขวาง
• ทฤษฎีโฮโมโทปีเสถียร
• กลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม
• กลุ่มที่สูงกว่า
• ทฤษฎีบทฮอปฟ์-วิทนีย์การประยุกต์ใช้ในการคำนวณชั้นโฮโมโทปี