ในทางโทโพโลยีการคลุมหรือการฉายภาพคลุมคือแผนที่ระหว่างปริภูมิโทโพโลยีที่โดยสัญชาตญาณแล้วทำหน้าที่เหมือนการฉายภาพสำเนาหลายๆ ชุดของปริภูมิหนึ่งลงบนตัวมันเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การคลุมเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ แบบพิเศษ ถ้าเป็นการคลุมจะเรียกว่าปริภูมิคลุมหรือตัวคลุมของและจะเรียกว่าฐานของการคลุมหรือเรียกง่ายๆ ว่าฐานในทางศัพท์ที่ไม่เคร่งครัดนักบาง ครั้ง และอาจถูกเรียกว่าปริภูมิคลุมได้ เช่นกัน เนื่องจากการคลุมเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ ดังนั้น ปริภูมิคลุมจึงเป็น ปริภูมิเอตาเล่แบบพิเศษชนิดหนึ่ง ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle p}$

พื้นที่ครอบคลุมเกิดขึ้นครั้งแรกในบริบทของการวิเคราะห์เชิงซ้อน (โดยเฉพาะเทคนิคการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ ) ซึ่ง Riemannได้นำเสนอ พื้นที่เหล่านี้ ในฐานะโดเมนที่ ฟังก์ชันเชิงซ้อน ที่มีค่าหลายค่า ตามธรรมชาติ กลายเป็นฟังก์ชันค่าเดียว พื้นที่เหล่านี้ในปัจจุบันเรียกว่า พื้น ผิวRiemann ^{[ 1 ] : 10}

ปริภูมิปกคลุมเป็นเครื่องมือสำคัญในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ในเรขาคณิต สมัยใหม่ ปริภูมิปกคลุม (หรือปริภูมิปกคลุมแบบแตกแขนงซึ่งมีเงื่อนไขที่อ่อนกว่าเล็กน้อย) ถูกใช้ในการสร้างแมนิโฟลด์ ออ ร์บิโฟลด์และมอร์ฟิซึมระหว่างกัน ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตปริภูมิปกคลุมมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับกลุ่มพื้นฐาน : ประการแรก เนื่องจากปริภูมิปกคลุมทั้งหมดมีคุณสมบัติการยกโฮโมโทปีปริภูมิปกคลุมจึงเป็นเครื่องมือสำคัญในการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีตัวอย่างมาตรฐานในแนวทางนี้คือการคำนวณกลุ่มพื้นฐานของวงกลมโดยใช้ปริภูมิปกคลุมของ( ดูด้านล่าง ) ^{[ 2 ] : 29} ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ปริภูมิปกคลุมยังแสดงการสอดคล้องแบบกาโลอิสกับกลุ่มย่อยของกลุ่มพื้นฐาน ด้วย${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี การคลุมของคือแผนที่ต่อเนื่อง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

โดยที่สำหรับทุกๆจะมีย่านเปิดของและปริภูมิแยกย่อยโดยที่เป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนและเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิ ซึม สำหรับทุกๆเซตเปิดเรียกว่าชีทซึ่งถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ถ้าเป็น เซตที่เชื่อม ต่อกัน^{[ 2 ] : 56} สำหรับแต่ละตัวเซตแยกย่อยเรียกว่าไฟเบอร์ของถ้าเป็นเซตที่เชื่อมต่อกัน (และไม่ว่างเปล่า) สามารถแสดงได้ว่าเป็นฟังก์ชันทั่วถึงและจำนวนสมาชิกของ มีค่า เท่ากันสำหรับทุกๆค่านี้เรียกว่าดีกรีของการคลุม ถ้าเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางการคลุมนั้นเรียกว่าการคลุมที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางคำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับข้อความที่ว่า เป็น มัดไฟเบอร์ ที่ไม่สำคัญ ใน ระดับท้องถิ่น${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})}$${\displaystyle \displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$${\displaystyle d\in D_{x}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle U_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle D_{x}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle \pi }$

ผู้เขียนบางคนยังต้องการให้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงในกรณีที่ไม่ได้เชื่อมต่อกัน^{[ 3 ]}${\displaystyle \pi }$${\displaystyle X}$

• สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิแผนที่เอกลักษณ์เป็นการปกคลุม ในทำนองเดียวกัน สำหรับปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องใดๆการฉายภาพที่ใช้ ก็เป็นการปกคลุมเช่นกัน การปกคลุมประเภทนี้เรียกว่าการปกคลุมแบบไม่สำคัญถ้ามีสมาชิกจำนวนจำกัด (เช่น) การปกคลุมนั้นเรียกว่าการปกคลุมแบบไม่สำคัญแบบแผ่นของ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

• แผนที่ที่มีเป็นการคลุมวงกลมหน่วยฐานของการคลุมคือและปริภูมิการคลุมคือสำหรับจุดใดๆที่เซตเป็นย่านเปิดของภาพผกผันของภายใต้คือ ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$${\displaystyle x_{1}>0}$${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

และแผ่นของวัสดุหุ้มนั้นใช้สำหรับเส้นใยของ ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• การครอบคลุมวงกลมหน่วยอีกแบบหนึ่งคือแผนที่ที่มีค่าบวกบางค่าสำหรับย่านเปิดของค่าหนึ่ง จะได้ว่า:${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• แผนที่ซึ่งเป็นการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่แต่ไม่ใช่การคลุมวงกลมหน่วย คือแผนที่ที่มี มีระนาบของย่านใกล้เคียงแบบเปิดของซึ่งไม่ได้ถูกแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิกไปยัง${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle U}$

• ให้เป็นจำนวนคี่ แผนที่ที่กำหนดโดยเป็นการครอบคลุมสองชั้นแบบโฮโมมอร์ฟิก${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle p:\mathrm {O} (n)\to \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle p(Q)=(\det Q)Q}$

เนื่องจากการครอบคลุมจะแมปเซตเปิดที่ไม่ซ้ำกันแต่ละเซตของไปยังมันแบบโฮมีโอเมอร์ฟิก ดังนั้น โฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่จึง เป็นการแมปแบบต่อเนื่อง และสำหรับทุกๆจะมีย่านใกล้เคียงแบบเปิดของ อยู่ซึ่งเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ${\displaystyle \pi :E\ลูกศรขวา X}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V\subset E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

ดังนั้น พื้นที่ปกคลุมและพื้นที่ฐานจึงมีคุณสมบัติร่วมกันในระดับท้องถิ่น ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

• ถ้าเป็นแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันและไม่สามารถกำหนดทิศทางได้จะมีการครอบคลุมที่มีดีกรีโดยที่เป็นแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันและสามารถกำหนดทิศทางได้^{[ 2 ] : 234} ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• ถ้าเป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกัน ก็จะมีตัวคลุมซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม Lieและเป็นกลุ่ม Lie ด้วย ^{[ 4 ​​] : 174} ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ เป็นเส้นทางใน X ที่มี }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ โมดูลัสโฮโมโทปีที่มีปลายคงที่}}\}}$
• ถ้าเป็นกราฟก็จะได้การครอบคลุมที่เป็นกราฟเช่นกัน^{[ 2 ] : 85} ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :E\ลูกศรขวา X}$${\displaystyle E}$
• ถ้าเป็นแมนิโฟลด์ ที่เชื่อมต่อกัน ก็จะมีตัวคลุมซึ่งทำให้ เป็น แมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันอย่างง่าย^{[ 5 ] : 32} ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• ถ้าเป็นพื้นผิวรีมันน์ ที่เชื่อมต่อกัน แล้ว จะมีการปกคลุมซึ่งเป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิกด้วย^{[ 5 ] : 22} และเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันอย่างง่าย^{[ 5 ] : 32} ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$

ให้และเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางและเชื่อมต่อกันเฉพาะที่ด้วยเส้นทาง และและเป็นแผนที่ต่อเนื่อง โดยที่แผนภาพ ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p,q}$${\displaystyle r}$

การเดินทางไปทำงาน

• ถ้าและเป็นสิ่งปกคลุม ดังนั้น ก็ต้องเป็นสิ่งปกคลุมเช่นกัน${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$
• ถ้าและเป็นสิ่งปกคลุม ดังนั้นก็เช่นกัน[ ^{6 ] : 485} ${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q}$

ให้และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และและเป็นการคลุม แล้ว โดยที่เป็นการคลุม^{[ 6 ] : 339} อย่างไรก็ตาม การคลุมของไม่ได้มีรูปแบบนี้ทั้งหมดโดยทั่วไป ${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$${\displaystyle X\times X'}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และและเป็นการคลุม การคลุมทั้งสองเรียกว่าสมมูลกันถ้ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึม อยู่จริงซึ่งทำให้แผนภาพ เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

สลับที่ได้ ถ้ามีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมดังกล่าวอยู่จริง เราจะเรียกปริภูมิปกคลุมและว่าสมสัณฐานกัน ${\displaystyle E}$${\displaystyle E'}$

วัสดุหุ้มทั้งหมดต้องมีคุณสมบัติในการยกตัวได้กล่าวคือ:

ให้เป็นช่วงหน่วยและเป็นการครอบคลุม ให้เป็นแผนที่ต่อเนื่อง และเป็นการยกขึ้นของกล่าวคือ เป็นแผนที่ต่อเนื่องที่ แล้วจะมีแผนที่ต่อเนื่องที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์สำหรับ ซึ่งและ ซึ่งเป็นการยกขึ้นของ กล่าวคือ[ ^{2 ] : 60} ${\displaystyle I}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

ถ้าเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อด้วยเส้นทางแล้ว จะได้ว่าแผนที่เป็นการยกขึ้นของเส้นทางในและสำหรับเป็นการยกขึ้นของโฮโมโทปีของเส้นทางใน ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=\{0\}}$${\displaystyle {\tilde {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=I}$${\displaystyle X}$

ด้วยเหตุนี้ จึงสามารถแสดงได้ว่ากลุ่มพื้นฐาน ของวงกลมหน่วยเป็นกลุ่มวัฏจักรอนันต์ซึ่งสร้างขึ้นโดยคลาสโฮโมโทปีของลูปที่มี[ ^{2 ] : 29} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

ให้เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง และเป็นการปกคลุมที่เชื่อมต่อกัน ให้ และเป็นจุดสองจุดใดๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางนั่นคือและให้เป็นการยกขึ้นที่ไม่ซ้ำกันของแล้วแผนที่ ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$กับ${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง [ ^{2 ] : 69}

ถ้าเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง และเป็นการปกคลุมที่เชื่อมต่อกัน แล้วโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม เหนี่ยวนำ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$กับ,${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและกลุ่มย่อย ของประกอบด้วยคลาสโฮโมโทปีของลูปในซึ่งการยกของลูปเหล่านั้นเป็นลูปใน[ ^{2 ] : 61} ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$

ให้และเป็นพื้นผิวรีมันน์ กล่าวคือ แมนิ โฟลด์เชิงซ้อน หนึ่งมิติ และให้เป็นแผนที่ต่อเนื่องเป็นโฮโลมอร์ฟิกที่จุดถ้าสำหรับแผนภูมิ ใดๆ ของและของโดยที่แผนที่เป็นโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

ถ้าเป็นโฮโลมอร์ฟิกเราจะกล่าวว่าเป็นโฮโลมอร์ฟิก${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f}$

แผนที่นี้เรียกว่าการ แสดงออกเฉพาะที่ของin${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$

ถ้าเป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ระหว่างพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับแล้วจะเป็น แผนที่ ทั่วถึงและเป็นแผนที่เปิด^{[ 5 ] : 11} กล่าวคือ สำหรับทุกเซตเปิดภาพ ก็จะเป็น เซตเปิดเช่นกัน ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle f(U)\subset Y}$

ให้เป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ระหว่างพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับ สำหรับทุก ๆจะมีแผนภูมิสำหรับและและจะมี ที่กำหนดอย่างไม่ซ้ำกันซึ่งนิพจน์ท้องถิ่นของในอยู่ในรูปแบบ[ ^{5 ] : 10} จำนวนเรียกว่าดัชนีการแตกแขนงของในและจุดเรียกว่าจุดแตกแขนงถ้าถ้าสำหรับแล้วจะไม่มีแขนงจุดภาพของจุดแตกแขนงเรียกว่าจุดสาขา${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle k_{x}\geq 2}$${\displaystyle k_{x}=1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

ให้เป็นแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ระหว่างพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับ ดีกรี ของ คือ จำนวนสมาชิกของไฟเบอร์ของจุดที่ไม่แตกแขนงนั่นคือ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y=f(x)\in Y}$${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

ตัวเลขนี้ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี เนื่องจากสำหรับเส้นใย ทุกเส้น จะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 5 ] : 20} และสำหรับจุดที่ไม่แตกแขนงสองจุดใดๆ ก็ตาม ตัวเลข นี้คือ:${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$^{[ 5 ] : 29}

แผนที่ต่อเนื่องเรียกว่าการปกคลุมแบบแตกแขนง (branched covering ) ถ้ามีเซตปิดที่มีส่วนเติมเต็มหนาแน่น (density complement) อยู่ ซึ่งเป็นการปกคลุม ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle E\subset Y}$${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

• ให้และแล้วโดยที่เป็นการครอบคลุมแบบแตกแขนงที่มีดีกรีโดยที่เป็นจุดแตกแขนง${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z=0}$
• ทุกแผนที่โฮโลมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ระหว่างพื้นผิวรีมันน์กระชับที่มีดีกรีเป็นการปกคลุมแบบแตกแขนงที่มีดีกรี${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

ให้เป็นการ ปกคลุม แบบเชื่อมต่อเชิงเดี่ยวถ้าเป็นการปกคลุมแบบเชื่อมต่อเชิงเดี่ยวอีกแบบหนึ่งแล้ว จะมีโฮมีโอเมอร์ฟิซึมที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์เช่นนั้น แผนภาพ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

การเดินทาง^{[ 6 ] : 482}

นี่หมายความว่าถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันจนถึงความเท่าเทียมกัน และด้วยคุณสมบัติสากล นี้ จึง ถูก เรียกว่าเป็นการครอบคลุมสากลของปริภูมิ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

การครอบคลุมแบบสากลไม่ได้มีอยู่เสมอไป ทฤษฎีบทต่อไปนี้รับประกันการมีอยู่ของการครอบคลุมแบบสากลสำหรับปริภูมิฐานบางประเภท

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันอย่างง่ายในระดับท้องถิ่นแล้วจะมีปริภูมิปกคลุมสากลอยู่${\displaystyle X}$${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X.}$

เซตถูกกำหนดโดยที่เป็นจุดฐานที่เลือกไว้ แผนที่ถูกกำหนดโดย^{[ 2 ] : 64} ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{homotopy with fixed ends}},}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$${\displaystyle p([\gamma ])=\gamma (1).}$

โครงสร้างโทโพโลยีบนถูกสร้างขึ้นดังนี้: ให้เป็นเส้นทางที่มีให้เป็นย่านใกล้เคียงที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายของจุดปลายจากนั้น สำหรับทุก ๆจะมีเส้นทางภายในจากไปยังซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงโฮโมโทปี ทีนี้พิจารณาเซตข้อจำกัดที่มีเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และสามารถเพิ่มโทโพโลยีสุดท้ายของ ได้${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x=\gamma (1).}$${\displaystyle y\in U,}$${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\tilde {U}}=\{\gamma \sigma _{y}:y\in U\}/{\text{homotopy with fixed ends}}.}$${\displaystyle p|_{\tilde {U}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$${\displaystyle p([\gamma \sigma _{y}])=\gamma \sigma _{y}(1)=y}$${\displaystyle {\tilde {U}}}$${\displaystyle p|_{\tilde {U}}.}$

กลุ่มพื้นฐานกระทำการอย่างอิสระต่อและปริภูมิวงโคจรมีลักษณะสมมาตรกับผ่านแผนที่${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma {\tilde {x}}],}$${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [\Gamma {\tilde {x}}]\mapsto {\tilde {x}}(1).}$

• ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to S^{1}}$โดยที่คือขอบเขตสากลของวงกลมหน่วย${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$โดยที่คือการปกคลุมสากลของปริภูมิเชิงฉายสำหรับ${\displaystyle p(x)=[x]}$${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle n>1}$

• ${\displaystyle p:\mathrm {SU} (n)\times \mathbb {R} \to U(n)}$ซึ่งเป็นการครอบคลุมสากลของกลุ่มเอกภาพ$${\displaystyle p(A,t)=\exp(2\pi it)A}$$${\displaystyle U(n)}$

• เนื่องจากจึงสรุปได้ว่าแผนที่ผลหารคือการปกคลุมสากลของ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$$${\displaystyle p:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)/\mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

• พื้นที่โทโพโลยีที่ไม่มีการครอบคลุมสากลคือต่างหูฮาวาย : สามารถแสดงได้ว่าไม่มีย่านใกล้เคียงของจุดกำเนิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย^{[ 6 ] : 487, ตัวอย่าง 1} $${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$${\displaystyle (0,0)}$

ให้Gเป็นกลุ่มดิสครีตที่กระทำบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีXนั่นหมายความว่า สมาชิกg แต่ละตัว ของGจะเชื่อมโยงกับโฮมีโอเมอร์ฟิซึม H _gของXไปยังตัวมันเอง โดยที่ H _{g h}จะเท่ากับ H _g H _h เสมอ สำหรับสมาชิก gและhสองตัวใดๆของG (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง การกระทำของกลุ่มGบนปริภูมิXก็คือโฮโมเมอร์ฟิซึมของกลุ่มGไปยังกลุ่ม Homeo( X ) ของโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตัวเองของX ) เป็นเรื่องปกติที่จะถามว่าภายใต้เงื่อนไขใด การฉายภาพจากXไปยังปริภูมิวงโคจรX / Gเป็นแผนที่ครอบคลุม สิ่งนี้ไม่เป็นจริงเสมอไป เนื่องจากการกระทำอาจมีจุดตรึง ตัวอย่างเช่น กลุ่มวัฏจักรอันดับ 2 ที่กระทำบนผลคูณX × Xโดยการกระทำแบบบิดเบี้ยว โดยที่สมาชิกที่ไม่ใช่เอกลักษณ์กระทำโดย( x , y ) ↦ ( y , x )ดังนั้น การศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มพื้นฐานของXและX / Gจึงไม่ใช่เรื่องง่ายนัก ${\displaystyle \circ }$

อย่างไรก็ตาม กลุ่มGกระทำการต่อกรุปอยด์ พื้นฐาน ของXดังนั้นการศึกษาจึงควรพิจารณากลุ่มที่กระทำต่อกรุปอยด์และกรุปอยด์วงโคจร ที่สอดคล้องกัน ทฤษฎีสำหรับเรื่องนี้ได้กล่าวไว้ในบทที่ 11 ของหนังสือTopology and groupoidsที่อ้างถึงด้านล่าง ผลลัพธ์หลักคือ สำหรับการกระทำที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มGบนปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟXซึ่งยอมรับการปกคลุมสากล กรุปอยด์พื้นฐานของปริภูมิวงโคจรX / Gจะสมสัณฐานกับกรุปอยด์วงโคจรของกรุปอยด์พื้นฐานของXกล่าวคือ ผลหารของกรุปอยด์นั้นโดยการกระทำของกลุ่มGสิ่งนี้จะนำไปสู่การคำนวณที่ชัดเจน เช่น กลุ่มพื้นฐานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมมาตรของปริภูมิ

ให้EและMเป็นแมนิโฟลด์เรียบที่มีหรือไม่มีขอบเขตการคลุม (covering) เรียกว่าการคลุมเรียบ (smooth covering)ถ้าเป็นการแมปเรียบ (smooth map)และระนาบ (sheets) ถูกแมปแบบ ดิฟเฟโอเมอร์ ฟิก (diffeomorphically)ไปยังเซตเปิดที่สอดคล้องกันของM (ซึ่งแตกต่างจากนิยามของการคลุม (covering) ที่เพียงแค่ต้องการว่าระนาบถูกแมปแบบ โฮมีโอเมอร์ฟิก (homeomorphically ) ไปยังเซตเปิดที่สอดคล้องกัน) ${\displaystyle \pi :E\to M}$

ให้เป็นการปกคลุมการแปลงเด็คคือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมโดยที่แผนภาพของแผนที่ต่อเนื่อง ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

การเดินทางไปกลับเมื่อรวมกับองค์ประกอบของแผนที่ ชุดของการแปลงดาดฟ้าจะก่อให้เกิดกลุ่ม ซึ่ง เหมือนกับ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

สมมติว่าเป็นแผนที่ปกคลุม และ(และด้วยเหตุนี้) เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อเส้นทางในระดับท้องถิ่น การกระทำของบนแต่ละไฟเบอร์เป็นอิสระถ้าการกระทำนี้ถ่ายทอดได้บนไฟเบอร์บางเส้น ก็จะถ่ายทอดได้บนไฟเบอร์ทั้งหมด และเราเรียกการปกคลุมนี้ว่าปกติ (หรือปกติหรือกาโลอิส ) การปกคลุมปกติทุกแบบดังกล่าวเป็นบันเดิลหลักโดยที่ถือว่าเป็นกลุ่มโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle p:C\to X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

ปกสากลทุกปกเป็นแบบปกติ โดยกลุ่มการแปลงสำรับไพ่จะมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มพื้นฐาน${\displaystyle p:D\to X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

• ให้เป็นการปกคลุมสำหรับบางอย่างแล้วแผนที่สำหรับคือการแปลงสำรับไพ่และ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• ให้เป็นการปกคลุมจากนั้นแผนที่สำหรับคือการแปลงเด็คและ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• อีกตัวอย่างที่สำคัญคือ พิจารณาระนาบเชิงซ้อนและระนาบเชิงซ้อนลบจุดกำเนิด แผนที่ที่มีเป็นการปกคลุมปกติ การแปลงสำรับไพ่เป็นการคูณด้วย ราก ที่ n ของเอกภาพและกลุ่มการแปลงสำรับไพ่จึงสม isomorphic กับกลุ่มวัฏจักร ในทำนองเดียวกัน แผนที่ที่มีเป็นการปกคลุมสากล${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p(z)=z^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

ให้เป็นพื้นที่ที่เชื่อมต่อเส้นทาง และเป็นการครอบคลุมที่เชื่อมต่อกัน เนื่องจากการแปลงเด็คเป็นการ แปลง แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จึง สลับตำแหน่งขององค์ประกอบไฟเบอร์ด้วยและถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยตำแหน่งที่ส่งจุดเดียวไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีเพียงแผนที่เอกลักษณ์เท่านั้นที่ตรึงจุดไว้ในไฟเบอร์^{[ 2 ] : 70} เนื่องจากคุณสมบัตินี้ การแปลงเด็คทุกแบบจึงกำหนดการกระทำของกลุ่มบน กล่าวคือ ให้เป็นย่านใกล้เคียงแบบเปิดของและ เป็น ย่านใกล้เคียงแบบเปิดของแล้วเป็นการกระทำ ของกลุ่ม${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$${\displaystyle p^{-1}(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

การคลุมเรียกว่าปกติ ถ้านั่นหมายความว่า สำหรับทุกๆและสองใดๆจะมีการแปลงสำรับไพ่ อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$${\displaystyle d:E\rightarrow E}$${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

ให้เป็น ปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง และเป็นการคลุมที่เชื่อมต่อกัน ให้เป็นกลุ่มย่อยของแล้วเป็นการคลุมปกติก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มย่อยปกติของ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

ถ้าเป็นการปกคลุมแบบปกติและ แล้ว${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

ถ้าเป็นการครอบคลุมที่เชื่อมต่อเส้นทางและแล้วโดยที่คือตัวทำให้ปกติของ^{[ 2 ] : 71} ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$${\displaystyle N(H)}$${\displaystyle H}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี กลุ่มหนึ่งกระทำแบบไม่ต่อเนื่องบนถ้าทุก ๆมีย่านใกล้เคียงแบบเปิด ที่มีโดยที่สำหรับทุก ๆที่ มี จะ มี${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V\subset E}$${\displaystyle V\neq \emptyset }$${\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma }$${\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset }$${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

ถ้ากลุ่มกระทำการแบบไม่ต่อเนื่องบนพื้นที่โทโพโลยีแผนที่ผลหารที่มีเป็นการครอบคลุมปกติ^{[ 2 ] : 72} โดยที่คือพื้นที่ผลหารและคือวงโคจรของการกระทำของกลุ่ม ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

• การคลุมด้วยวัสดุนี้เป็นการคลุมแบบปกติสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle q(z)=z^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ฉนวนหุ้มแบบต่อสายอย่างง่ายทุกชนิดเป็นฉนวนหุ้มแบบปกติ

ให้เป็นกลุ่มที่กระทำแบบไม่ต่อเนื่องบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีและให้เป็นการคลุมปกติ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• ถ้าเป็นเส้นทางที่เชื่อมต่อแล้ว[ ^{2 ] : 72} ${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• ถ้าเชื่อมต่อแบบง่ายๆ แล้ว[ ^{2 ] : 71} ${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

• ให้. แผนที่แอนติโพดัลที่มีจะสร้างกลุ่มขึ้นมาพร้อมกับการประกอบของแผนที่และเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำของกลุ่มซึ่งกระทำอย่างไม่ต่อเนื่องบน. ด้วยเหตุนี้จึงสรุปได้ว่า แผนที่ผลหารเป็นการคลุมปกติ และสำหรับการคลุมสากล ดังนั้นสำหรับ.${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$${\displaystyle g(x)=-x}$${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$${\displaystyle n>1}$
• ให้เป็นกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษแล้วแผนที่เป็นการปกคลุมปกติ และเนื่องจาก จึงเป็นการปกคลุมสากลดังนั้น${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• ด้วยการกระทำร่วมกันของกลุ่มโดยที่เป็นผลคูณแบบกึ่งทางตรงจะได้การปกคลุมแบบสากลของขวดไคลน์ดังนั้น ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• ให้เป็นทอรัสที่ฝังอยู่ในแล้วจะได้โฮมีโอเมอร์ฟิซึมซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดการกระทำของกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องโดยที่เป็นผลให้แผนที่เป็นการปกคลุมปกติของขวดไคลน์ดังนั้น${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• ให้ฝังอยู่ในเนื่องจากการกระทำของกลุ่มไม่ต่อเนื่อง โดยที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แผนที่เป็นการปกคลุมสากลของปริภูมิเลนส์ดังนั้น${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$${\displaystyle L_{p,q}}$${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

ให้เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อและเชื่อมต่อแบบง่ายเฉพาะที่จากนั้นสำหรับทุกกลุ่มย่อย จะมี ครอบคลุมที่เชื่อมต่อเส้นทางด้วย[ ^{2 ] : 66} ${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

ให้ และเป็นการคลุมที่เชื่อมต่อเส้นทางสองแบบ แล้วการคลุมทั้งสองจะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยและเป็น กลุ่ม คู่สมซึ่งกันและกัน^{[ 6 ] : 482} ${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

ให้เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันและเชื่อมต่อกันอย่างง่ายในระดับท้องถิ่น จากนั้น ภายใต้ความสมมูลระหว่างการปกคลุม จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงดังนี้: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\end{matrix}}}$

สำหรับลำดับของกลุ่มย่อยจะได้ลำดับของการคลุมสำหรับกลุ่มย่อยที่มีดัชนีการคลุมจะมีดีกรี. ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$${\displaystyle d}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี วัตถุของหมวดหมู่คือการคลุมของและมอร์ฟิซึมระหว่างการคลุมสองอันและเป็นแผนที่ต่อเนื่องโดยที่แผนภาพ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:E\rightarrow X}$${\displaystyle q:F\rightarrow X}$${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

การเดินทางไปทำงาน

ให้เป็นกลุ่มเชิงทอพอโลยีหมวดหมู่คือหมวดหมู่ของเซตที่เป็นเซต G มอร์ฟิซึม คือแผนที่ Gระหว่างเซต G มอร์ฟิซึมเหล่านี้สอดคล้องกับเงื่อนไขสำหรับทุก ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$${\displaystyle g\in G}$

ให้เป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อและเชื่อมต่อกันอย่างง่ายในระดับท้องถิ่นและเป็นกลุ่มพื้นฐานของเนื่องจากกำหนด โดยการยกเส้นทางและประเมินที่จุดปลายของการยก การกระทำของกลุ่มบนไฟเบอร์ของการปกคลุมฟังก์ชันจึงเป็นความสมมูลของหมวดหมู่ [ ^{2 ] : 68–70} ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติที่สำคัญของพื้นที่ครอบคลุมเกิดขึ้นในแผนภูมิบน SO(3)ซึ่งเป็นกลุ่มการหมุนกลุ่มนี้พบได้ทั่วไปในงานวิศวกรรม เนื่องจากการหมุนสามมิติถูกนำไปใช้อย่างมากในการนำทาง วิศวกรรมทางทะเลและวิศวกรรมการบินและอวกาศรวมถึงการใช้งานอื่นๆ อีกมากมาย ในทางโทโพโลยี SO(3) คือปริภูมิเชิงฉายจริงRP ³ที่มีกลุ่มพื้นฐานZ /2 และปริภูมิครอบคลุมเพียงแห่งเดียว (ที่ไม่ใช่ปริภูมิธรรมดา) คือไฮเปอร์สเฟียร์S ³ซึ่งเป็นกลุ่มSpin(3)และแสดงโดยควอเทอร์เนียน หน่วย ดังนั้นควอเทอร์เนียนจึงเป็นวิธีการที่นิยมใช้ในการแสดงการหมุนเชิงพื้นที่ – ดูควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องการแทนการหมุนด้วยชุดตัวเลขสามตัวที่เรียกว่ามุมออยเลอร์ (ในรูปแบบต่างๆ มากมาย) ทั้งเพราะมันง่ายกว่าในเชิงแนวคิดสำหรับผู้ที่คุ้นเคยกับการหมุนในระนาบ และเพราะเราสามารถสร้างการรวมกันของแกนหมุน สามแกนเพื่อสร้างการหมุนในสามมิติ ^ได้ในทางโทโพโลยี สิ่งนี้สอดคล้องกับแผนที่จากทอรัส 3 มิติ^T₃ ของมุมสามมุมไปยังปริภูมิเชิงฉายจริงRP₃ของการหมุน และแผนที่ที่ได้นั้นมีข้อบกพร่องเนื่องจากแผนที่นี้ไม่สามารถเป็นแผนที่ครอบคลุมได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความล้มเหลวของแผนที่ในการเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่ในบางจุดเรียกว่าการล็อกแกนหมุนและแสดงให้เห็นในภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวา – ในบางจุด (เมื่อแกนอยู่บนระนาบเดียวกัน) อันดับของแผนที่คือ 2 แทนที่จะเป็น 3 ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างการหมุนได้เพียง 2 มิติจากจุดนั้นโดยการเปลี่ยนมุม สิ่งนี้ก่อให้เกิดปัญหาในการใช้งาน และถูกกำหนดเป็นทางการโดยแนวคิดของปริภูมิครอบคลุม

• แลตทิซเบธคือการปกคลุมสากลของกราฟเคย์ลีย์
• กราฟปกคลุม (Covering graph ) คือปริภูมิปกคลุมสำหรับกราฟแบบไม่มีทิศทางและกรณีพิเศษคือปริภูมิปกคลุมคู่แบบทวิภาค (Bipartite double cover)
• กลุ่มครอบคลุม
• การเชื่อมต่อกาโลอิส
• ปริภูมิผลหาร (โทโพโลยี)