ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันแบบฉีด (หรือที่รู้จักกันในชื่อการฉีดหรือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง^{[ 1 ]} ) คือฟังก์ชันfที่แมป องค์ประกอบ ที่แตกต่างกันของโดเมนไปยังองค์ประกอบที่แตกต่างกันของโคโดเมน กล่าวคือx ₁ ≠ x ₂หมายความว่าf ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ ) (หรือเทียบเท่าโดยการผกผันf ( x ₁ ) = f ( x ₂ )หมายความว่าx ₁ = x ₂ ) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโคโดเมน ของฟังก์ชัน เป็นภาพขององค์ประกอบในโดเมนอย่างมากที่สุด หนึ่ง องค์ประกอบ^{[ 2 ]}คำว่าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งต้องไม่สับสนกับการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งที่หมายถึงฟังก์ชันแบบไบเจกที ฟ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่แต่ละองค์ประกอบในโคโดเมนเป็นภาพขององค์ประกอบในโดเมน เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างพีชคณิตคือฟังก์ชันที่เข้ากันได้กับการดำเนินการของโครงสร้าง สำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปทั้งหมด และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปริภูมิเวกเตอร์โฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีดเรียกว่าโมโนมอร์ฟิซึมอย่างไรก็ตาม ในบริบททั่วไปของทฤษฎีหมวดหมู่นิยามของโมโนมอร์ฟิซึมจะแตกต่างจากนิยามของโฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด^{[ 3 ]}ดังนั้น นี่จึงเป็นทฤษฎีบทที่แสดงว่าทั้งสองอย่างเทียบเท่ากันสำหรับโครงสร้างพีชคณิต ดูโฮโมมอร์ฟิซึม § โมโนมอร์ฟิซึมสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันหลายต่อหนึ่ง^{[ 2 ]}${\displaystyle f}$

ให้f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต⁠ ⁠ฟังก์ชัน f กล่าวได้ว่าเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective)ก็ต่อเมื่อสำหรับทุก x และ y ใน เซต ⁠ ⁠ ถ้า⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠นั่นคือ f หมายความว่าf ⁠ ⁠หรือเทียบเท่ากับถ้า⁠ ⁠แล้ว f ⁠ ใน ประโยค แย้ง (contrapositive statement) ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

ในเชิงสัญลักษณ์ ซึ่งเทียบเท่ากับข้อความแย้งเชิงตรรกะ [ ^{4 ] ฟังก์ชันแบบฉีด (}หรือโดยทั่วไปคือโมโนมอร์ฟิซึม) มักจะแสดงโดยใช้ลูกศรเฉพาะ ↣ หรือ ↪ (ตัวอย่างเช่นหรือ⁠ ⁠ ) แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะสงวน ↪ ไว้สำหรับแผนที่การรวม โดยเฉพาะ ก็ตาม^{[ 5 ]}$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$${\displaystyle f:A\rightarrowtail B}$${\displaystyle f:A\hookrightarrow B}$

สำหรับตัวอย่างภาพประกอบ ผู้อ่านสามารถดูได้ในส่วนแกลเลอรี

• สำหรับเซตใดๆและเซตย่อยใดๆแผนที่การรวม(ซึ่งส่งสมาชิกใดๆไปยังตัวมันเอง) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันเอกลักษณ์เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ (และในความเป็นจริงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง)${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S\to X}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle X\to X}$
• ถ้าโดเมนของฟังก์ชันคือเซตว่างฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันว่างซึ่งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function)
• ถ้าโดเมนของฟังก์ชันมีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว (กล่าวคือ เป็นเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ) ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ
• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจาก (ตัวอย่างเช่น) อย่างไรก็ตาม หากกำหนดนิยามใหม่ให้โดเมนเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ[0, +∞)แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle g(x)=x^{2}}$${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ที่กำหนดโดยเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึงเนื่องจากไม่มีค่าจริงใดที่แปลงเป็นจำนวนลบได้)${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• ฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติที่กำหนดโดย เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective)${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• ฟังก์ชันที่กำหนดโดยไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เนื่องจากตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ .${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$${\displaystyle g(0)=g(1)=0}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อและต่างก็เป็นเส้นจำนวนจริง⁠ ⁠แล้ว ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งคือฟังก์ชันที่กราฟจะไม่ถูกตัดด้วยเส้นแนวนอนมากกว่าหนึ่งครั้ง หลักการนี้เรียกว่า การ ทดสอบเส้นแนวนอน^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

ฟังก์ชันที่มีอินเวอร์สซ้ายจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ นั่นคือ กำหนดให้⁠ ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$ถ้ามีฟังก์ชันเช่นนั้นสำหรับทุก⁠ ⁠ , ⁠ ⁠แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง การพิสูจน์คือ ${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(a)=f(b)\rightarrow g(f(a))=g(f(b))\rightarrow a=b.}$$

ในกรณีนี้เรียกว่าการถอนตัวของ⁠ ⁠ในทางกลับกันเรียกว่า การตัด ส่วนของ⁠ ⁠ตัวอย่างเช่นถูกถอนตัวโดย⁠ ⁠${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},x\mapsto (1,m)^{\intercal }x}$${\displaystyle g:y\mapsto {\frac {(1,m)}{1+m^{2}}}y}$

ในทางกลับกัน การฉีดทุกตัวที่มีโดเมนที่ไม่ว่างเปล่าจะมีอินเวอร์สซ้ายซึ่งสามารถกำหนดได้โดยการเลือกองค์ประกอบในโดเมนของและตั้งค่าเป็นองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันของพรีอิมเมจ(ถ้าโดเมนไม่ว่างเปล่า) หรือเป็น(มิเช่นนั้น) ^{[ 6 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g(y)}$${\displaystyle f^{-1}[y]}$${\displaystyle a}$

ตัวผกผันซ้ายไม่จำเป็นต้องเป็นตัวผกผันของเพราะการประกอบในลำดับอื่นอาจแตกต่างจากเอกลักษณ์บนกล่าว อีกนัย หนึ่งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสามารถ "กลับด้าน" ได้ด้วยตัวผกผันซ้าย แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวผกผันได้ซึ่งต้องอาศัยว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง${\displaystyle g}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle Y}$

อันที่จริง การเปลี่ยนฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (และผกผันได้) นั้น เพียงแค่แทนที่โคโดเมนด้วยภาพจริงของฟังก์ชันนั้นก็เพียงพอแล้วกล่าวคือ ให้เป็นเช่นนั้นสำหรับทุก;แล้ว เป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่งทั่วถึง อันที่จริงสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น โดยที่คือฟังก์ชันการรวมจากไปยัง.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle J=f(X).}$${\displaystyle g:X\to J}$${\displaystyle g(x)=f(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g}$${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle Y}$

โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันบางส่วนแบบ หนึ่งต่อหนึ่ง จะเรียกว่า ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแบบบางส่วน (partial bijections )

• ถ้าและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั้งคู่ แล้วก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เช่นกัน${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\circ g}$
• ถ้าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้ ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งได้เช่นกัน (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป)${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) ก็ ต่อเมื่อ เมื่อกำหนดฟังก์ชันใดๆเมื่อ${\displaystyle g}$ใดก็ตามที่แล้วกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็คือฟังก์ชันเอกพันธุ์(monomorphism) ในหมวดหมู่เซตของเซต (Set of sets) นั่นเอง${\displaystyle h:W\to X}$${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$${\displaystyle g=h}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และเป็นเซตย่อยของแล้วดังนั้นสามารถกู้คืนได้จากภาพของมัน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A)}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และและต่างก็เป็นเซตย่อยของ⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠ .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$
• ทุกฟังก์ชันสามารถแยกส่วนได้โดยใช้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึงที่เหมาะสมการแยกส่วนนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมและอาจคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันการรวมของช่วงของเป็นเซตย่อยของโคโดเมนของ${\displaystyle h:W\to Y}$${\displaystyle h=f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h(W)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h}$
• ถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) แล้วจะมีสมาชิกอย่างน้อยเท่ากับในแง่ของจำนวนเชิงคาร์ดินัลโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามีการเติมเต็มแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จาก ไปยังแล้วและจะมีจำนวนเชิงคาร์ดินัลเท่ากัน (นี่คือสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทแคนเตอร์-เบิร์นสไตน์-ชโรเดอร์ )${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ถ้าทั้งและเป็นเซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง)${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างพีชคณิตสองโครงสร้างเรียกว่าการฝังตัว (embedding )
• ต่างจากความเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjectivity) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างกราฟของฟังก์ชันกับโคโดเมน (codomain) ของฟังก์ชันนั้น ความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injectivity) เป็นคุณสมบัติของกราฟของฟังก์ชันเพียงอย่างเดียว กล่าวคือ สามารถตัดสินได้ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่โดยพิจารณาจากกราฟ (ไม่ใช่โคโดเมน) ของฟังก์ชัน เท่านั้น${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

การพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการนำเสนอฟังก์ชันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดโดยสูตรบางอย่างจะมีแนวคิดพื้นฐาน เราใช้นิยามของความเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือถ้า⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠ ^{[ 7 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x=y}$

นี่คือตัวอย่าง: $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

บทพิสูจน์: ให้⁠ ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$สมมติว่า⁠ ⁠${\displaystyle f(x)=f(y)}$ดังนั้น จึงหมายความว่า⁠ ⁠ซึ่งหมายความว่า⁠ ⁠ดังนั้น จากนิยามจึงสรุปได้ว่าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$${\displaystyle 2x=2y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle f}$

มีวิธีการอื่น ๆ อีกมากมายในการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective function) ตัวอย่างเช่น ในแคลคูลัส ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และกำหนดไว้บนช่วงใดช่วงหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าอนุพันธ์นั้นเป็นบวกเสมอหรือเป็นลบเสมอในช่วงนั้น ในพีชคณิตเชิงเส้น ถ้า f เป็นการแปลงเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะแสดงว่าเคอร์เนลของ f ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์เพียงเวกเตอร์เดียว ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนจำกัด ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบรายการภาพของแต่ละองค์ประกอบในโดเมนและตรวจสอบว่าไม่มีภาพใดปรากฏซ้ำกันในรายการ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

วิธีการทางกราฟิกสำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงคือการทดสอบเส้นแนวนอนถ้าเส้นแนวนอนทุกเส้นตัดกับเส้นโค้งของฟังก์ชันไม่เกินหนึ่งจุด แสดงว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective หรือ one-to-one) ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection), การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Injection) และการจับคู่แบบทั่วถึง (Surjection)  – คุณสมบัติของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• ปริภูมิเมตริกแบบฉีด  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเมตริก
• ฟังก์ชันโมโนโทนิก  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่รักษาลำดับ
• ฟังก์ชันเอกภาค  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์

Wikimedia Commons มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับInjectivity

ลองค้นหาคำว่า injectiveใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำในยุคแรกเริ่ม: บทความเรื่อง การส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Injection), การส่งแบบทั่วถึง (Surjection) และการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection) จะกล่าวถึงประวัติของการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
• Khan Academy – ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) และฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective): บทนำเกี่ยวกับฟังก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง