ในทางคณิตศาสตร์การ จับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijection ), ฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ( bijective function ) หรือความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence ) คือฟังก์ชันระหว่างสองเซตโดยที่แต่ละองค์ประกอบของเซตที่สอง (โคโดเมน ) เป็นภาพขององค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียวในเซตแรก ( โดเมน ) เมื่อกำหนดฟังก์ชันภาพขององค์ประกอบคือองค์ประกอบในโคโดเมน ส่วนภาพต้นแบบ (pre-image) ขององค์ประกอบคือองค์ประกอบใดๆในโดเมนที่ ∈ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งคือความสัมพันธ์ระหว่างสองเซต โดยที่แต่ละองค์ประกอบของเซตใดเซตหนึ่งจะจับคู่กับองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียวในอีกเซตหนึ่ง ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f(a)\in B}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle f(a)=b}$

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective function) ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้กล่าวคือ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันผกผันของf โดยที่วิธีการ ประกอบฟังก์ชันทั้งสองวิธีนั้นให้ ผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ( identity function ) สำหรับแต่ละค่าในและสำหรับแต่ละค่าใน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to X,}$${\displaystyle g(f(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(g(y))=y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y.}$

ตัวอย่างเช่นการคูณด้วยสองกำหนดความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนคู่ซึ่งมีการหารด้วยสองเป็นฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( injectiveหรือ one-to-one ) ซึ่งหมายความว่าแต่ละองค์ประกอบในโคโดเมนจะถูกแมปจากองค์ประกอบในโดเมนได้ไม่เกินหนึ่งองค์ประกอบ และเป็น ฟังก์ชันทั่วถึง ( surjectiveหรือonto ) ซึ่งหมายความว่าแต่ละองค์ประกอบในโคโดเมนจะถูกแมปจากองค์ประกอบในโดเมนอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ คำว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งไม่ควรสับสนกับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งซึ่งหมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันทั่วถึงเสมอไป

การดำเนินการพื้นฐานของการนับสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากเซตจำกัด บางเซตไปยัง จำนวนธรรมชาติ แรก(1, 2, 3, ...)โดยไม่จำกัดจำนวนสมาชิกในเซตที่นับ ดังนั้น เซตจำกัดสองเซตจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากันก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตทั้งสอง โดยทั่วไปแล้ว เซตสองเซตจะมีจำนวนสมาชิก เท่ากันก็ต่อ เมื่อมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตทั้งสอง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากเซตหนึ่งไปยังตัวมันเองเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน^{[ 1 ]}และเซตของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของเซตหนึ่งจะก่อตัวเป็นกลุ่มสมมาตร ของเซต นั้น

การจับคู่แบบหนึ่ง ต่อหนึ่งทั่วถึงบางประเภทที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมได้รับชื่อเฉพาะ ซึ่งรวมถึงออโตมอร์ฟิซึมไอโซมอร์ฟิซึมโฮมีโอมอร์ฟิซึม ดิฟฟี โอมอร์ฟิ ซึมการเรียงสับเปลี่ยนและการแปลงทางเรขาคณิต ส่วนใหญ่ การจับคู่แบบกาลัวส์เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีลักษณะแตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัด

สำหรับความสัมพันธ์ทวิภาคที่จับคู่สมาชิกของเซตXกับสมาชิกของเซตYให้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จะต้องมีคุณสมบัติสี่ประการดังนี้:

1. แต่ละองค์ประกอบของXจะต้องจับคู่กับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของY
2. ห้าม จับคู่สมาชิกX มากกว่าหนึ่ง ตัว กับสมาชิก Y มากกว่าหนึ่งตัว
3. แต่ละองค์ประกอบของYจะต้องจับคู่กับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของXและ
4. ห้าม จับคู่สมาชิกY มากกว่าหนึ่ง ตัว กับสมาชิก X มากกว่าหนึ่งตัว

การปฏิบัติตามคุณสมบัติ (1) และ (2) หมายความว่าการจับคู่เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนXโดยทั่วไปแล้วมักจะเห็นคุณสมบัติ (1) และ (2) เขียนเป็นข้อความเดียว: ทุกองค์ประกอบของXจับคู่กับองค์ประกอบY เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัติ (3) เรียกว่า " ทั่วถึงY " และเรียกว่าฟังก์ชันทั่วถึง (หรือฟังก์ชันแบบทั่วถึง ) ฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัติ (4) เรียกว่า " ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง " และเรียกว่าฟังก์ชันฉีด (หรือฟังก์ชันแบบฉีด ) ^{[ 2 ]}ด้วยคำศัพท์นี้ ฟังก์ชันแบบไบเจกชันคือฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันฉีด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันแบบไบเจกชันคือฟังก์ชันที่เป็นทั้ง "หนึ่งต่อหนึ่ง" และ "ทั่วถึง" ^{[ 3 ]}

ทุกแผนที่จากเซตว่างไปยังตัวมันเองเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection)

ลองพิจารณารายชื่อผู้เล่นในทีมเบสบอลหรือคริกเก็ต (หรือรายชื่อผู้เล่นทั้งหมดในทีมกีฬาใดๆ ก็ตาม ที่ผู้เล่นแต่ละคนมีตำแหน่งเฉพาะในรายชื่อ) เซตXจะเป็นผู้เล่นในทีม (ขนาดเก้าคนในกรณีของเบสบอล) และเซตYจะเป็นตำแหน่งในลำดับการตี (ที่ 1, ที่ 2, ที่ 3 เป็นต้น) "การจับคู่" กำหนดโดยผู้เล่นคนใดอยู่ในตำแหน่งใดในลำดับนี้ คุณสมบัติ (1) เป็นจริงเนื่องจากผู้เล่นแต่ละคนอยู่ในรายการ คุณสมบัติ (2) เป็นจริงเนื่องจากไม่มีผู้เล่นคนใดตีในสอง (หรือมากกว่า) ตำแหน่งในลำดับ คุณสมบัติ (3) กล่าวว่าสำหรับแต่ละตำแหน่งในลำดับ จะมีผู้เล่นคนใดคนหนึ่งตีในตำแหน่งนั้น และคุณสมบัติ (4) ระบุว่าผู้เล่นสองคนขึ้นไปจะไม่ตีในตำแหน่งเดียวกันในรายการ

ในห้องเรียนมีที่นั่งจำนวนหนึ่ง กลุ่มนักเรียนเดินเข้ามาในห้อง และอาจารย์ขอให้นักเรียนนั่งลง หลังจากมองไปรอบๆ ห้องอย่างรวดเร็ว อาจารย์ก็ประกาศว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกลุ่มนักเรียนกับกลุ่มที่นั่ง โดยที่นักเรียนแต่ละคนจับคู่กับที่นั่งที่พวกเขานั่งอยู่ สิ่งที่อาจารย์สังเกตเห็นเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปนี้คือ:

1. นักเรียนทุกคนนั่งอยู่กับที่ (ไม่มีใครยืนอยู่)
2. นักเรียนแต่ละคนนั่งในที่นั่งเพียงที่เดียวเท่านั้น
3. ทุกที่นั่งมีคนนั่งอยู่ (ไม่มีที่นั่งว่าง) และ
4. ไม่มีที่นั่งใดมีนักเรียนนั่งเกินหนึ่งคน

อาจารย์ผู้สอนสามารถสรุปได้ว่าจำนวนที่นั่งเท่ากับจำนวนนักเรียน โดยไม่ต้องนับทั้งสองชุด

พิจารณาตัวอย่างบุคคล 100 คนที่แตกต่างกัน และชุดลายนิ้วมือ ที่สอดคล้องกันของบุคคลเหล่านั้น สมมติว่าไม่มีบุคคลสองคนใดในตัวอย่างนั้นมีลายนิ้วมือเหมือนกัน ชุดลายนิ้วมือจึงเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง) นอกจากนี้ ไม่มีลายนิ้วมือใดที่ไม่มีบุคคลที่เกี่ยวข้อง ชุดลายนิ้วมือจึงเป็นการจับคู่แบบทั่วถึง (ฟังก์ชันทั่วถึง) เนื่องจากทั้งสองชุดมีจำนวนสมาชิก เท่ากัน และชุดลายนิ้วมือเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง ดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างชุดลายนิ้วมือของบุคคลและชุดลายนิ้วมือของพวกเขา

• สำหรับเซตX ใดๆ ฟังก์ชันเอกลักษณ์1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = xเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective)
• ฟังก์ชันผกผันการคูณจะให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของช่วงหน่วย (0, 1) กับช่วงกึ่งอนันต์ (1, +∞)
• ฟังก์ชันf : R → R , f ( x ) = 2 x + 1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เนื่องจากสำหรับแต่ละyจะมีx = ( y − 1)/2 เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้f ( x ) = yโดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันเชิงเส้น ใดๆ บนจำนวนจริงf : R → R , f ( x ) = ax + b (โดยที่aไม่เป็นศูนย์) ก็เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นกัน จำนวนจริงy แต่ละตัวได้ มาจาก (หรือจับคู่กับ) จำนวนจริงx = ( y − b )/ a
• ฟังก์ชันf : R → (−π/2, π/2) ที่กำหนดโดยf ( x ) = arctan( x ) เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) เนื่องจากจำนวนจริงx แต่ละตัว จะจับคู่กับมุมy เพียงมุมเดียว ในช่วง (−π/2, π/2) โดยที่ tan( y ) = x (นั่นคือy = arctan( x )) หาก ขยาย ช่วงโดเมน (−π/2, π/2) ให้ครอบคลุมจำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของ π/2 ฟังก์ชันนี้จะไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) อีกต่อไป เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่สามารถจับคู่กับผลคูณของ π/2 โดยฟังก์ชัน arctan นี้ได้
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังg : R → R , g ( x ) = e ^x , ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ( bijective): ตัวอย่างเช่น ไม่มีxในRที่ทำให้g ( x ) = −1 ซึ่งแสดงว่าgไม่ใช่ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) อย่างไรก็ตาม ถ้าโดเมนร่วม (codomain) ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนจริงบวกgก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และฟังก์ชันผกผันของมัน (ดูด้านล่าง) คือ ฟังก์ชัน ลอการิทึมธรรมชาติ ln${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$
• ฟังก์ชันh : R → R ⁺ , h ( x ) = x ²ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective): ตัวอย่างเช่นh (−1) = h (1) = 1 ซึ่งแสดงว่าhไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) อย่างไรก็ตาม ถ้าโดเมนถูกจำกัดไว้ที่แล้วhจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะฟังก์ชันผกผันของมันคือฟังก์ชันรากที่สองบวก${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$
• ตามทฤษฎีบทของ Schröder–BernsteinหากกำหนดเซตสองเซตใดๆXและYและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองฟังก์ชันf : X → Yและg : Y → X จะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง h : X → Y อยู่

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง fที่มีโดเมนX (ระบุโดยf : X → Yในสัญกรณ์ฟังก์ชัน ) ยังกำหนดความสัมพันธ์ผกผันที่เริ่มต้นในYและไปที่X (โดยการกลับทิศทางลูกศร) กระบวนการ "กลับทิศทางลูกศร" สำหรับฟังก์ชันใดๆโดยทั่วไปแล้ว จะไม่ ก่อให้เกิดฟังก์ชัน แต่คุณสมบัติ (3) และ (4) ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกล่าวว่าความสัมพันธ์ผกผันนี้เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนYยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติ (1) และ (2) ยังกล่าวว่าฟังก์ชัน ผกผันนี้ เป็นฟังก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง นั่นคือฟังก์ชันผกผันมีอยู่และเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงด้วย ฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันผกผันเรียกว่า ฟังก์ชันที่ผกผัน ได้ฟังก์ชันจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

กล่าวโดยสรุปในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันf : X → Yจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

สำหรับทุกyในYจะมีx ที่ไม่ซ้ำกัน ในXที่มีy = f ( x )

จากตัวอย่างการจัดลำดับการตีเบสบอล ฟังก์ชันที่กำลังถูกกำหนดจะรับชื่อของผู้เล่นคนหนึ่งเป็นอินพุต และส่งออกตำแหน่งของผู้เล่นคนนั้นในลำดับการตี เนื่องจากฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) จึงมีฟังก์ชันผกผันซึ่งรับตำแหน่งในลำดับการตีเป็นอินพุต และส่งออกผู้เล่นที่จะตีในตำแหน่งนั้น

การประกอบกัน ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงสองฟังก์ชันและ คือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ซึ่งฟังก์ชันผกผันของมันกำหนดโดยคือ${\displaystyle g\,\circ \,f}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\,\circ \,f}$${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$

ในทางกลับกัน ถ้าการประกอบกันของฟังก์ชันสองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็จะได้เพียงว่าfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและgเป็นฟังก์ชัน ทั่วถึง${\displaystyle g\,\circ \,f}$

ถ้าXและYเป็นเซตจำกัดแล้ว จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตXและY ก็ต่อเมื่อXและYมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน ที่จริงแล้ว ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์นี่ถือเป็นนิยามของ "จำนวนสมาชิกเท่ากัน" ( equinumerosity ) และการขยายความนิยามนี้ไปยังเซตอนันต์นำไปสู่แนวคิดของจำนวนเชิงคาร์ดินัลซึ่งเป็นวิธีหนึ่งในการแยกแยะขนาดต่างๆ ของเซตอนันต์

เซตอนันต์ใดๆที่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับจำนวนธรรมชาติเรียกว่า เซตอนันต์ที่นับได้ ในทำนองเดียวกัน เซตอนันต์ใดๆ ที่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะก็เรียกว่า เซตอนันต์ที่นับได้เช่นกัน เนื่องจากจำนวนเหล่านั้นก็มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับจำนวนธรรมชาติด้วย แนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพิจารณาว่าฟังก์ชันบางฟังก์ชันสามารถนับได้หรือไม่

ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนเต็มคู่ทั้งหมด f(n)=2n เป็นเซตที่นับได้อนันต์ เนื่องจากมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างจำนวนเต็มคู่กับจำนวนธรรมชาติ

• ฟังก์ชันf : R → Rเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) ก็ต่อเมื่อกราฟ ของฟังก์ชันนั้น ตัดกับเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้งทุกเส้นเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
• ถ้าXเป็นเซต ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากXไปยังตัวมันเอง พร้อมด้วยการดำเนินการประกอบฟังก์ชัน ( ) จะก่อให้เกิดกลุ่มกลุ่มสมมาตรของXซึ่งเขียนแทนด้วย S( X ), S _XหรือX ! ( X แฟกทอเรียล )${\displaystyle \circ }$
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจะรักษาจำนวนสมาชิกของเซตไว้ได้: สำหรับเซตย่อยAของโดเมนที่มีจำนวนสมาชิก | A | และเซตย่อยBของโคโดเมนที่มีจำนวนสมาชิก | B | จะได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

  | f ( A )| = | A | และ | f ⁻¹ ( B )| = | B |

• ถ้าXและYเป็นเซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และf : X → Yแล้ว ข้อความต่อไปนี้จะสมมูลกัน:
  1. fเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection)
  2. fเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjection )
  3. fคือการฉีด
• สำหรับเซตจำกัดSจะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างเซตของการเรียงลำดับทั้งหมดของสมาชิกในเซตกับเซตของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากSไปยังSกล่าวคือ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิกในSเท่ากับจำนวนการเรียงลำดับทั้งหมดของเซตนั้น ซึ่งก็คือn !

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection) คือไอโซมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่เซตของเซตและฟังก์ชันเซต อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงไม่ได้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมเสมอไปสำหรับหมวดหมู่ที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ในหมวดหมู่กลุ่ม Grp มอร์ฟิซึมจะต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเนื่องจากต้องรักษาสภาพโครงสร้างของกลุ่ม ดังนั้นไอโซมอร์ฟิซึมจึงเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มซึ่งเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

แนวคิดของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจะขยายไปสู่ฟังก์ชันบางส่วนซึ่งเรียกว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วน แม้ว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนจะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้น เหตุผลของการผ่อนปรนนี้คือฟังก์ชันบางส่วน (ที่เหมาะสม) นั้นไม่นิยามสำหรับส่วนหนึ่งของโดเมนอยู่แล้ว ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะบังคับให้ฟังก์ชันผกผันเป็นฟังก์ชันทั้งหมดกล่าวคือ นิยามได้ทุกที่ในโดเมน เซตของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนทั้งหมดบนเซตฐานที่กำหนดเรียกว่า เซมิกรุ ปผกผันสมมาตร^{[ 4 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการนิยามแนวคิดเดียวกันคือกล่าวว่าการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนจากAไปยังBคือความสัมพันธ์ R ใดๆ (ซึ่งกลายเป็นฟังก์ชันบางส่วน) ที่มีคุณสมบัติว่าRเป็นกราฟของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง^f : A ′ → B ′ โดยที่A ′เป็นเซตย่อยของAและB ′เป็นเซตย่อยของB [ ^{5 ]}

เมื่อการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนอยู่บนเซตเดียวกัน บางครั้งเรียกว่าการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วน [ ^{6 ] ตัวอย่าง}เช่นการแปลงโมเบียสที่กำหนดไว้บนระนาบเชิงซ้อน แทนที่จะเป็นการเติมเต็มไปยังระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออกไป^{[ 7 ]}

• ทฤษฎีบทแอกซ์-โกรเทนดิค
• การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง (Bijection), การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Injection) และการจับคู่แบบทั่วถึง (Surjection)
• การนับแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
• การพิสูจน์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
• ทฤษฎีหมวดหมู่
• ฟังก์ชันหลายค่า

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับ ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง (Bijectivity )

• "การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง" . MathWorld .
• การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำในยุคแรกเริ่ม: บทความเรื่อง การส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Injection), การส่งแบบทั่วถึง (Surjection) และการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection) จะกล่าวถึงประวัติของการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง