ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันของตัวแปรจริงคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตย่อยของฟังก์ชันจริงจำนวนมากที่พบได้บ่อยจะมีโดเมนประกอบด้วยช่วง ที่มีสมาชิก ภายในไม่ว่างเปล่าและอาจมีความต่อเนื่องหรือมีความเรียบ ในระดับหนึ่ง บนช่วงหนึ่งช่วงหรือมากกว่านั้น ซึ่งแต่ละช่วงมีสมาชิกภายในไม่ว่างเปล่า ในตำราเก่าๆ ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงมักมีความหมายเหมือนกับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า การวิเคราะห์ เชิง จริง${\displaystyle \mathbb {R} }$

ฟังก์ชันที่ได้รับการพิจารณาอย่างกว้างขวางที่สุดคือฟังก์ชันจริงซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง กล่าวคือ ฟังก์ชันของตัวแปรจริงที่มีโดเมนร่วมเป็นเซตของจำนวนจริง

อย่างไรก็ตาม โคโดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรจริงอาจเป็นเซตใดก็ได้ แต่โดยทั่วไปมักสันนิษฐานว่ามีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือจำนวนจริง กล่าวคือ โคโดเมนอาจเป็นปริภูมิยุคลิดเวกเตอร์พิกัดเซตของเมทริก ซ์ ของจำนวนจริงที่มีขนาดที่กำหนด หรือพีชคณิตเช่นจำนวนเชิงซ้อนหรือควอเทอร์เนียนโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของโคโดเมนเหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์บนฟังก์ชัน หากโคโดเมนมีโครงสร้างเป็นพีชคณิต ก็จะเป็นเช่นเดียวกันสำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ภาพของฟังก์ชันของตัวแปรจริงคือเส้นโค้งในโคโดเมน ในบริบทนี้ ฟังก์ชันที่กำหนดเส้นโค้งเรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นโค้ง

เมื่อโคโดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจำกัดฟังก์ชันนั้นอาจมองได้ว่าเป็นลำดับของฟังก์ชันจริง ซึ่งมักใช้ในการประยุกต์ใช้งาน

ฟังก์ชันจริงคือฟังก์ชันจากเซตย่อยของไปยังโดยที่แทนเซตของจำนวนจริง ตามปกติ นั่นคือโดเมนของฟังก์ชันจริงคือเซตย่อยและโคโดเมน ของมัน คือโดยทั่วไปแล้วจะถือว่าโดเมนประกอบด้วยช่วงที่มีความยาวเป็นบวก ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

สำหรับฟังก์ชันจริงที่ใช้กันทั่วไปหลายๆ ฟังก์ชัน โดเมนคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดในโดเมน กล่าวได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดไว้ ต่อเนื่อง และหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ นี่คือกรณีของ:

• ฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดรวมถึงฟังก์ชันค่าคงที่และฟังก์ชันเชิงเส้น
• ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันมีค่าคงที่ทุกที่ แต่ไม่ต่อเนื่องที่บางจุด ตัวอย่างเช่น

• ฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideนั้นนิยามได้ทุกที่ แต่ไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันนั้นนิยามได้และต่อเนื่องทุกที่ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ตัวอย่างเช่น

• ค่าสัมบูรณ์นั้นนิยามได้และต่อเนื่องทุกที่ และสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ยกเว้นที่ศูนย์
• รากที่สามนั้นนิยามได้และต่อเนื่องทุกที่ และสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ ยกเว้นที่ศูนย์

ฟังก์ชันทั่วไปหลายฟังก์ชันไม่ได้ถูกนิยามไว้ทุกที่ แต่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ที่มีการนิยามไว้ ตัวอย่างเช่น:

• ฟังก์ชันตรรกยะคือ ผลหารของฟังก์ชันพหุนามสองฟังก์ชัน และไม่สามารถหาค่าได้ที่รากของตัวส่วน
• ฟังก์ชันแทนเจนต์ไม่นิยามไว้สำหรับกรณีที่kเป็นจำนวนเต็มใดๆ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• ฟังก์ชันลอการิทึมใช้ได้เฉพาะกับค่าบวกของตัวแปรเท่านั้น

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันมีความต่อเนื่องตลอดทั้งโดเมน และไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่บางจุด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อไปนี้:

• รากที่สองนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้เฉพาะกับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรเท่านั้น และไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ 0 (แต่สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับค่าบวกทั้งหมดของตัวแปร)

ฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงคือฟังก์ชันที่รับค่าจำนวนจริง ซึ่ง โดยทั่วไปแทนด้วยตัวแปรx เป็นอินพุต เพื่อให้ได้ค่าจำนวนจริงอีกค่าหนึ่ง ซึ่งก็คือค่าของฟังก์ชัน โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์f ( x ) เพื่อความง่าย ในบทความนี้จะเรียกฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงว่าฟังก์ชันเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม ฟังก์ชันประเภทอื่นๆ ที่อาจเกิดขึ้นจะถูกระบุอย่างชัดเจน

ฟังก์ชันบางฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของตัวแปร (กล่าวได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ทุกที่) แต่ฟังก์ชันบางฟังก์ชันถูกกำหนดไว้เฉพาะเมื่อค่าของตัวแปรอยู่ในเซตย่อยXของซึ่งเป็นโดเมนของฟังก์ชัน และโดเมนนี้จะต้องมีช่วงที่มีความยาวเป็นบวกเสมอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงคือฟังก์ชัน ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

โดยที่โดเมนX ของเซตนั้น เป็นเซตย่อยของเซตที่ประกอบด้วยช่วงที่มีความยาวเป็นบวก ${\displaystyle \mathbb {R} }$

ตัวอย่างง่ายๆ ของฟังก์ชันในตัวแปรเดียวอาจเป็นดังนี้:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

ซึ่ง ก็คือรากที่สองของx

ภาพของฟังก์ชันคือเซตของค่าทั้งหมดของfเมื่อตัวแปรxเคลื่อนที่ในโดเมนทั้งหมดของf สำหรับฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่อง (ดูคำจำกัดความด้านล่าง) ที่มีโดเมนเชื่อมต่อกัน ภาพของฟังก์ชันจะเป็นช่วงหรือค่าเดียว ในกรณีหลัง ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ${\displaystyle f(x)}$

ภาพผกผันของจำนวนจริงy ที่กำหนดให้ คือเซตของคำตอบของสม การy = f ( x )

โดเมนของฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวคือเซตย่อยของซึ่งบางครั้งอาจมีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน ในความเป็นจริง หากเราจำกัดโดเมนXของฟังก์ชันfให้เป็นเซตย่อยY ⊂ X เราจะได้ฟังก์ชันที่แตกต่างออกไป ใน เชิงรูปแบบ นั่นคือการจำกัดfให้อยู่บนYซึ่งเขียนแทนด้วยf _{| Y} ในทางปฏิบัติ การระบุ fและf _{| Y} ให้เหมือนกัน และละเว้นตัวห้อย_{| Y}มักจะไม่เป็นอันตราย${\displaystyle \mathbb {R} }$

ในทางกลับกัน บางครั้งก็สามารถขยายขอบเขตของฟังก์ชันที่กำหนดให้ได้โดยธรรมชาติ เช่น โดยอาศัยความต่อเนื่องหรือการขยายเชิงวิเคราะห์ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องกำหนดขอบเขตของฟังก์ชันของตัวแปรจริงอย่างชัดเจน

สามารถนำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไปใช้กับฟังก์ชันได้ในลักษณะต่อไปนี้:

• สำหรับจำนวนจริงrทุกตัว ฟังก์ชันคงที่ จะถูกนิยามได้ทุกที่${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• สำหรับจำนวนจริงr ทุกตัว และฟังก์ชันf ทุกตัว ฟังก์ชันจะมีโดเมนเดียวกันกับf (หรือสามารถหาค่าได้ทุกที่หากr = 0)${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีโดเมน X และ Y ตามลำดับโดยที่ X ∩ Y ประกอบด้วยเซตเปิดย่อยของแล้วและเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนซึ่งประกอบด้วยX ∩ Y${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

ดังนั้น ฟังก์ชันของ ตัวแปร nตัวที่นิยามได้ทุกที่ และฟังก์ชันของ ตัวแปร nตัวที่นิยามได้ในบริเวณใกล้เคียงจุดที่กำหนด ต่างก็ก่อให้เกิดพีชคณิตสลับที่ได้บนจำนวนจริง ( พีชคณิต n ตัว) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

เราอาจกำหนดในทำนองเดียวกันได้ว่า เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อเซตของจุด( x )ในโดเมนของfซึ่งf ( x ) ≠ 0ประกอบด้วยเซตย่อยเปิดของข้อจำกัดนี้บ่งชี้ว่าพีชคณิตทั้งสองข้างต้นไม่ใช่ฟิลด์${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

จนกระทั่งช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์พิจารณา เฉพาะ ฟังก์ชันต่อเนื่อง เท่านั้น ในเวลานั้น แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องได้รับการพัฒนาสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงหนึ่งตัวหรือหลายตัวเป็นเวลานานก่อนที่จะมีการนิยามอย่างเป็นทางการของปริภูมิ เชิงทอพอโลยีและแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี เนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรจริงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ จึงควรที่จะนิยามแนวคิดนี้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแนวคิดทั่วไปของแผนที่ต่อเนื่องระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ในการกำหนดความต่อเนื่องนั้น เป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาฟังก์ชันระยะทางของซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดได้ทุกที่ของตัวแปรจริง 2 ตัว: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

ฟังก์ชันfต่อเนื่องที่จุดซึ่งอยู่ภายในโดเมนของฟังก์ชันนั้น ถ้าสำหรับทุกจำนวนจริงบวกεจะมีจำนวนจริงบวกδ อยู่ เช่นนั้นสำหรับทุก ค่า ε ที่ทำให้δมีค่าเล็กพอที่จะทำให้ภาพของ ฟังก์ชัน fบนช่วงรัศมีδ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ε อยู่ภายในช่วงความยาว2εที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่εฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น ${\displaystyle a}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงมีดังนี้^{[ 1 ]}ให้aเป็นจุดในการปิดเชิงโทโพโลยีของโดเมนXของฟังก์ชันfฟังก์ชันfมีลิมิตLเมื่อxมีแนวโน้มเข้าสู่aซึ่งแสดงด้วย

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

ถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับทุกจำนวนจริงบวก ε > 0 จะมีจำนวนจริงบวก δ > 0 อยู่ด้วย ซึ่ง

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

สำหรับทุกxในโดเมนที่

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

ถ้าลิมิตมีอยู่ ลิมิตนั้นจะมีเพียงหนึ่งเดียว ถ้าaอยู่ภายในโดเมน ลิมิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันต่อเนื่องที่a เท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะได้

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

เมื่อaอยู่ในขอบเขตของโดเมนของfและถ้าfมีลิมิตที่aสูตรหลังนี้จะช่วยให้สามารถ "ขยายโดเมนของfไปยังa โดยอาศัยความต่อเนื่อง" ได้

เราสามารถรวบรวมฟังก์ชันจำนวนหนึ่งซึ่งแต่ละฟังก์ชันมีตัวแปรจริงเป็นตัวกำหนดได้ เช่น

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

แปลงเป็นเวกเตอร์ที่กำหนดพารามิเตอร์โดยx :

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

อนุพันธ์ของเวกเตอร์yคืออนุพันธ์เวกเตอร์ของf _i ( x ) สำหรับi = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

เราสามารถทำการอินทิกรัลตามเส้นโค้งในปริภูมิที่กำหนดโดยพารามิเตอร์xโดยมีเวกเตอร์ตำแหน่งr = r ( x ) โดยการอินทิเกรตเทียบกับตัวแปรxได้ เช่นกัน

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

โดยที่ · คือผลคูณดอทและx = aและx = bคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นโค้ง

ด้วยนิยามของการอินทิเกรตและอนุพันธ์ เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทสำคัญๆ ได้ รวมถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสการอินทิเกรตโดยส่วนและทฤษฎีบทของเทย์เลอร์การประเมินค่าส่วนผสมของการอินทิเกรตและอนุพันธ์สามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

ฟังก์ชันโดยปริยายค่าจริงของตัวแปรจริงไม่ได้เขียนในรูปแบบ " y = f ( x )" แต่การแมปจะเป็นจากปริภูมิ²ไปยังองค์ประกอบศูนย์ใน(เพียงแค่ศูนย์ธรรมดา 0) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

และ

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

เป็นสมการในตัวแปร ฟังก์ชันโดยปริยายเป็นวิธีที่ทั่วไปกว่าในการแสดงฟังก์ชัน เนื่องจากถ้า:

${\displaystyle y=f(x)}$

จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้เสมอว่า:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

แต่ในทางกลับกันนั้นไม่สามารถเกิดขึ้นได้เสมอไป กล่าวคือ ฟังก์ชันโดยปริยายบางฟังก์ชันไม่ได้มีรูปแบบเหมือนสมการนี้

กำหนดให้ฟังก์ชันr ₁ = r ₁ ( t ) , r ₂ = r ₂ ( t ) , ..., r _n = r _n ( t )ทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรt ร่วมกัน โดยที่:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

หรือเมื่อนำมารวมกัน:

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

จากนั้น n -tuple ที่มีพารามิเตอร์

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

อธิบายถึง เส้นโค้งในปริภูมิหนึ่งมิติ

ณ จุดr ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n )สำหรับค่าคงที่t = c บาง ค่า สมการของเส้นสัมผัสหนึ่งมิติของเส้นโค้ง ณ จุดนั้น จะแสดงในรูปของอนุพันธ์สามัญของr ₁ ( t ), r ₂ ( t ), ..., r _n ( t ) และrเทียบกับt ดังนี้ :

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

สมการของระนาบไฮเปอร์nมิติที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสที่r = aคือ:

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

หรือในแง่ของผลคูณดอท :

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

โดยที่p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n )เป็นจุดในระนาบไม่ใช่จุดบนเส้นโค้งในอวกาศ

การตีความทางกายภาพและทางเรขาคณิตของd r ( t )/ dtคือ " ความเร็ว " ของ อนุภาคจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางr ( t ) โดยถือว่าrเป็นพิกัดเวกเตอร์ตำแหน่ง ในอวกาศ ที่กำหนดโดยเวลาtและเป็นเวกเตอร์สัมผัสกับเส้นโค้งในอวกาศสำหรับทุกค่าtในทิศทางการเคลื่อนที่ ณ ขณะนั้น ที่t = cเส้นโค้งในอวกาศมีเวกเตอร์สัมผัสd r ( t )/ dt | _{t = c}และระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับเส้นโค้งในอวกาศที่t = cก็ตั้งฉากกับเวกเตอร์สัมผัสที่t = cด้วย เวกเตอร์ใดๆ ในระนาบนี้ ( p − a ) จะต้องตั้งฉากกับd r ( t )/ dt | _{t = c}

ในทำนองเดียวกันd ² r ( t )/ dt ²คือ " ความเร่ง " ของอนุภาค และเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับเส้นโค้งซึ่งมีทิศทางตามรัศมีของความโค้ง

เมทริกซ์ยังสามารถเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียวได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์การหมุนใน 2 มิติ:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

เป็นฟังก์ชันเมทริกซ์ที่มีค่าเป็นมุมการหมุนรอบจุดกำเนิด ในทำนองเดียวกัน ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ เมทริกซ์ การแปลงลอเรนซ์สำหรับการเพิ่มความเร็วแบบบริสุทธิ์ (โดยไม่มีการหมุน):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

เป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์การเร่งความเร็วβ = v / cโดยที่vคือความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างกรอบอ้างอิง (ตัวแปรต่อเนื่อง) และcคือความเร็วแสงซึ่งเป็นค่าคงที่

โดยสรุปจากหัวข้อก่อนหน้า ผลลัพธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงสามารถอยู่ในปริภูมิบานาคหรือปริภูมิฮิลเบิร์ตได้เช่นกัน ในปริภูมิเหล่านี้ การหาร การคูณ และลิมิตล้วนได้รับการกำหนดไว้ ดังนั้นแนวคิดต่างๆ เช่น อนุพันธ์และปริพันธ์จึงยังคงใช้ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นบ่อยครั้งโดยเฉพาะในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเราหาอนุพันธ์ของเกตหรือตัวดำเนินการตัวอย่างเช่น เกิดขึ้นในสมการชโรดิงเกอร์ ทั่วไปที่ขึ้นอยู่กับเวลา :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

โดยที่ทำการอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งสามารถเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แตกต่างกันได้หลายแบบ

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนของตัวแปรจริงอาจถูกกำหนดได้โดยการผ่อนปรนข้อจำกัดของโคโดเมนให้อยู่เฉพาะจำนวนจริงในนิยามของฟังก์ชันค่าจริง และอนุญาตให้มีค่า เชิงซ้อน ได้

ถ้าf ( x )เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนดังกล่าว ก็สามารถแยกส่วนประกอบได้ดังนี้

ฉ ( x ) =ก. ( x ) + iH ( x ) ,

โดยที่gและhเป็นฟังก์ชันค่าจริง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การศึกษาฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนสามารถลดทอนลงเหลือการศึกษาคู่ของฟังก์ชันค่าจริงได้อย่างง่ายดาย

จำนวนสมาชิกของเซตของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงคือซึ่งมากกว่าจำนวนสมาชิกของคอนติเนียม (กล่าวคือ เซตของจำนวนจริงทั้งหมด) อย่างชัดเจน ข้อเท็จจริงนี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยใช้เลขคณิตเชิงจำนวน: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

นอกจากนี้ ถ้าเป็นเซตที่แล้วจำนวนสมาชิกของเซตก็คือ เช่นกันเนื่องจาก ${\displaystyle X}$${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

อย่างไรก็ตาม เซตของฟังก์ชันต่อเนื่อง มีจำนวนสมาชิกน้อยกว่าอย่างเห็นได้ชัด ซึ่งก็คือจำนวนสมาชิกของคอนติเนียมซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของมันบนเซตย่อยซึ่งหนาแน่นในโดเมนของฟังก์ชัน ในกรณีนี้คือ^{[ 2 ]} ดังนั้น จำนวนสมาชิกของเซตของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนจำนวนจริงจึงไม่มากกว่าจำนวนสมาชิกของเซตของฟังก์ชันค่าจริงบนจำนวนตรรกยะ โดยเลขคณิตเชิงจำนวน: ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

ในทางกลับกัน เนื่องจากมีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่ชัดเจน ระหว่างและเซตของฟังก์ชันคงที่ซึ่งเป็นเซตย่อยของจึงต้องเป็นจริงด้วยเช่นกันดังนั้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

• การวิเคราะห์จริง
• ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัว
• การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน
• ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว