ในทางเรขาคณิตตำแหน่งหรือเวกเตอร์ตำแหน่งหรือที่รู้จักกันในชื่อเวกเตอร์ตำแหน่งหรือเวกเตอร์รัศมีคือเวกเตอร์ยุคลิดที่แสดงจุดPในอวกาศความยาวของเวกเตอร์แสดงถึงระยะทางที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด อ้างอิง O ที่กำหนด และทิศทาง ของเวกเตอร์ แสดงถึงการวางแนวเชิงมุมที่สัมพันธ์กับแกนอ้างอิงที่กำหนด โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์x , rหรือsซึ่งสอดคล้องกับส่วนของเส้นตรงจากOไปยังPกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการกระจัดหรือการเลื่อนที่แมปจุดกำเนิดไปยังP : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.}$

คำว่าเวกเตอร์ตำแหน่งส่วนใหญ่ใช้ในสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์กลศาสตร์และบางครั้งก็แคลคูลัสเวกเตอร์มักใช้ใน พื้นที่ สองมิติหรือสามมิติแต่สามารถขยายไปสู่พื้นที่ยุคลิดและพื้นที่เชิงเส้นตรง^ของมิติใดๆก็ได้^[ 2 ^]

ตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดQเทียบกับจุดPคือเวกเตอร์ยุคลิดที่ได้จากการลบเวกเตอร์ตำแหน่งสัมบูรณ์ทั้งสอง (โดยแต่ละเวกเตอร์เทียบกับจุดกำเนิด):

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},}$

โดยที่ทิศทางระหว่างสองจุดคือตำแหน่งสัมพัทธ์ของจุดทั้งสองที่ถูกทำให้เป็นเวกเตอร์ หน่วย${\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}$

ในสามมิติชุดพิกัดสามมิติใดๆ และเวกเตอร์ฐานที่สอดคล้องกันสามารถใช้กำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศได้ โดยสามารถเลือกใช้ชุดที่ง่ายที่สุดสำหรับงานนั้นๆ ได้

โดยทั่วไป เรามักใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ที่คุ้นเคย หรือบางครั้งอาจ ใช้ ระบบพิกัดทรงกลมหรือระบบพิกัดทรงกระบอก :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

โดยที่tเป็นพารามิเตอร์เนื่องมาจากสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือวงกลม พิกัดที่แตกต่างกันเหล่านี้และเวกเตอร์ฐานที่สอดคล้องกันแสดงถึงเวกเตอร์ตำแหน่งเดียวกันอาจใช้พิกัดโค้ง ทั่วไปแทนได้ และใช้ในบริบทต่างๆ เช่น กลศาสตร์ต่อเนื่องและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (ในกรณีหลังจำเป็นต้องมีพิกัดเวลาเพิ่มเติม)

พีชคณิตเชิงเส้นช่วยให้สามารถสร้าง เวกเตอร์ตำแหน่ง nมิติได้ เวกเตอร์ตำแหน่งสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของ เวกเตอร์ ฐาน ได้ : ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

เซตของเวกเตอร์ตำแหน่งทั้งหมดก่อให้เกิดปริภูมิตำแหน่ง ( ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบเป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง) เนื่องจากสามารถบวกตำแหน่ง ( การบวกเวกเตอร์ ) และปรับขนาดความยาว ( การคูณสเกลาร์ ) เพื่อให้ได้เวกเตอร์ตำแหน่งอีกตัวในปริภูมิ แนวคิดของ "ปริภูมิ" นั้นเข้าใจได้ง่าย เนื่องจากx _i ( i = 1, 2, …, n ) แต่ละตัวสามารถมีค่าใดก็ได้ ชุดของค่าเหล่านี้จึงกำหนดจุดในปริภูมิ

มิติ ของ ปริภูมิตำแหน่งคือn (หรือเขียนแทนด้วย dim( R ) = n ) พิกัดของเวกเตอร์rเทียบกับเวกเตอร์ฐานe _iคือx _iเวกเตอร์พิกัดประกอบเป็นเวกเตอร์พิกัดหรือn - tuple ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )

แต่ละพิกัดx _i สามารถกำหนดค่า พารามิเตอร์ ได้หลายตัวt พารามิเตอร์ x _i ( t ) หนึ่งตัวจะอธิบายเส้นทางโค้ง 1 มิติ พารามิเตอร์ x _i ( t ₁ , t ₂ ) สองตัวจะอธิบายพื้นผิวโค้ง 2 มิติ พารามิเตอร์ x _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) สามตัวจะอธิบายปริมาตรโค้ง 3 มิติของพื้นที่ และอื่นๆ

ช่วงเชิงเส้นของเซตฐานB = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } เท่ากับปริภูมิตำแหน่งRซึ่งเขียนแทนด้วย span( B ) = R

ฟิลด์เวกเตอร์ตำแหน่งใช้เพื่ออธิบายเส้นโค้งในอวกาศที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งในกรณีนี้พารามิเตอร์อิสระไม่จำเป็นต้องเป็นเวลา แต่สามารถเป็น (เช่น) ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งได้

ในสมการการเคลื่อนที่ ใดๆ เวกเตอร์ตำแหน่งr ( t ) มักจะเป็นปริมาณที่ต้องการมากที่สุด เนื่องจากฟังก์ชันนี้กำหนดการเคลื่อนที่ของอนุภาค (เช่นมวลจุด ) ซึ่งก็คือตำแหน่งของมันเทียบกับระบบพิกัดที่กำหนด ณ เวลาt ใด ๆ

ในการกำหนดการเคลื่อนที่ในแง่ของตำแหน่ง แต่ละพิกัดอาจถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยเวลา เนื่องจากค่าเวลาที่ต่อเนื่องกันแต่ละค่าสอดคล้องกับลำดับของตำแหน่งเชิงพื้นที่ที่ต่อเนื่องกันซึ่งกำหนดโดยพิกัด ดังนั้นขีดจำกัดต่อเนื่องของตำแหน่งที่ต่อเนื่องกันจำนวนมากจึงเป็นเส้นทางที่อนุภาคเคลื่อนที่ไป

ในกรณีที่มีมิติเดียว ตำแหน่งจะมีองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นจึงลดรูปไปเป็นพิกัดสเกลาร์โดยปริยาย อาจจะเป็นเวกเตอร์ใน ทิศทาง xหรือทิศทางรัศมีrก็ได้ สัญลักษณ์ที่เทียบเท่ากันได้แก่

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$

สำหรับเวกเตอร์ตำแหน่งrที่เป็นฟังก์ชันของเวลาtนั้น สามารถคำนวณ อนุพันธ์เทียบกับเวลาได้ อนุพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ทั่วไปในการศึกษาจลศาสตร์ ทฤษฎีการควบคุมวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์อื่นๆ

ความเร็ว

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},}$

โดยที่ d rคือการกระจัด (เวกเตอร์)ที่มีขนาดเล็กมากจนนับไม่ถ้วน

การเร่งความเร็ว

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

ฉุด

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.}$

ชื่อเหล่านี้สำหรับอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง สอง และสามของตำแหน่งมักใช้ในจลนศาสตร์พื้นฐาน^{[ 5 ]}โดยการขยาย อนุพันธ์อันดับสูงกว่าสามารถคำนวณได้ในลักษณะเดียวกัน การศึกษาอนุพันธ์อันดับสูงกว่าเหล่านี้สามารถปรับปรุงการประมาณฟังก์ชันการกระจัดดั้งเดิมได้ จำเป็นต้องมีพจน์อันดับสูงกว่าดังกล่าวเพื่อแสดงฟังก์ชันการกระจัดอย่างแม่นยำเป็นผลรวมของลำดับอนันต์ซึ่งช่วยให้สามารถใช้เทคนิคการวิเคราะห์หลายอย่างในวิศวกรรมและฟิสิกส์ได้

• พื้นที่แอฟฟิน
• ระบบพิกัด
• ตำแหน่งแนวนอน
• องค์ประกอบเส้น
• พื้นผิวพาราเมตริก
• การกำหนดตำแหน่ง
• ตำแหน่งเวกเตอร์สี่ตัว
• หกองศาอิสระ
• ตำแหน่งแนวตั้ง

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่ง (เรขาคณิต)ในวิกิมีเดียคอมมอนส์