ในพีชคณิตเชิง เส้น เวกเตอร์พิกัดคือการแสดงเวกเตอร์เป็นรายการตัวเลขเรียงลำดับ ( ทูเปิล ) ที่อธิบายเวกเตอร์ในแง่ของฐานเรียงลำดับเฉพาะ^{[ 1 ]}ตัวอย่างง่ายๆ อาจเป็นตำแหน่งเช่น (5, 2, 1) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ โดยมีฐานเป็นแกนของระบบนี้ พิกัดจะถูกระบุโดยสัมพันธ์กับฐานเรียงลำดับเสมอ ฐานและการแสดงพิกัดที่เกี่ยวข้องช่วยให้เราตระหนักถึงปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้นได้อย่างเป็นรูปธรรมในรูปของเวกเตอร์คอลัมน์เวกเตอร์แถวและเมทริกซ์ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการคำนวณ

แนวคิดของเวกเตอร์พิกัดสามารถนำไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ได้เช่นกัน ดังที่จะกล่าวถึงต่อไป

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติn เหนือฟิลด์F และให้

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

เป็นฐานเรียงลำดับสำหรับVแล้วสำหรับทุกๆจะมีการรวมเชิงเส้น ที่ไม่ซ้ำกัน ของเวกเตอร์ฐานซึ่งเท่ากับ: ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

เวกเตอร์พิกัดที่สัมพันธ์กับBคือลำดับของพิกัด${\displaystyle v}$

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

สิ่งนี้เรียกอีกอย่างว่าการแสดงแทนของโดยสัมพันธ์กับ B${\displaystyle v}$หรือการแสดงแทนของ B บน B${\displaystyle v}$เรียกว่าพิกัดของ ลำดับของฐานมีความสำคัญในที่นี้ เนื่องจากเป็นตัวกำหนดลำดับที่สัมประสิทธิ์จะถูกแสดงในเวกเตอร์พิกัด ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle v}$

เวกเตอร์พิกัดของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ในรูป เวกเตอร์ คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวได้ ในสัญลักษณ์ข้างต้น เราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

และ

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

โดยที่คือเมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์นั้น ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$${\displaystyle [v]_{B}}$

เราสามารถทำให้การแปลงข้างต้นเป็นไปโดยอัตโนมัติได้โดยการกำหนดฟังก์ชันที่เรียกว่าการแสดงมาตรฐานของ V เทียบกับ Bซึ่งจะแปลงเวกเตอร์ทุกตัวไปเป็นการแสดงพิกัด: จากนั้นจะเป็นการแปลงเชิงเส้นจากVไปยังF ⁿที่จริงแล้วมันคือไอโซมอร์ฟิซึมและผกผัน ของมัน ก็คือ ง่ายๆ ก็คือ ${\displaystyle \phi _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}(วี)=[วี]_{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\ถึง V}$

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราอาจกำหนดให้เป็นฟังก์ชันข้างต้นตั้งแต่แรก แล้วตระหนักว่าเป็นการสมมาตร และกำหนดให้เป็นฟังก์ชันผกผันของมัน ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$${\displaystyle \phi _{B}}$

ให้เป็นปริภูมิของพหุนาม พีชคณิตทั้งหมด ที่มีดีกรีไม่เกิน 3 (กล่าวคือ เลขชี้กำลังสูงสุดของxสามารถเป็น 3 ได้) ปริภูมินี้เป็นปริภูมิเชิงเส้นและถูกสร้างขึ้นโดยพหุนามต่อไปนี้: ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

การจับคู่

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

จากนั้นเวกเตอร์พิกัดที่สอดคล้องกับพหุนาม

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

เป็น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

ตามการแสดงนั้นตัวดำเนินการหาอนุพันธ์d / dxซึ่งเราจะใช้สัญลักษณ์Dจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ ต่อไปนี้ :

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

ด้วยวิธีการดังกล่าว เราสามารถสำรวจคุณสมบัติของตัวดำเนินการได้อย่างง่ายดาย เช่นความสามารถในการผกผัน ตัว ดำเนินการเฮอ ร์มิเชียนหรือแอนติเฮอร์มิเชียน หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่างสเปกตรัมและค่าลักษณะเฉพาะและอื่นๆ อีกมากมาย

เมทริกซ์ Pauliซึ่งแสดงถึง ตัวดำเนินการ สปินเมื่อแปลงสถานะไอเกน ของสปิน เป็นพิกัดเวกเตอร์

ให้BและCเป็นฐานที่แตกต่างกันสองฐานของปริภูมิเวกเตอร์Vและให้เรากำหนดเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ประกอบด้วยการแทนฐานCของเวกเตอร์ฐานb ₁ , b ₂ , …, b _n : ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์การแปลงฐานจากBไปยังCสามารถมองได้ว่าเป็นออโตมอร์ฟิ ซึม เหนือเวกเตอร์v ใดๆ ที่แสดงอยู่ในBสามารถแปลงไปเป็นการแสดงอยู่ในCได้ดังนี้: ${\displaystyle F^{n}}$

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

ภายใต้การแปลงฐาน ตัวยกบนเมทริกซ์การแปลงMและตัวห้อยบนเวกเตอร์พิกัดvจะเหมือนกัน และดูเหมือนจะหักล้างกัน เหลือเพียงตัวห้อยที่เหลืออยู่ แม้ว่าสิ่งนี้อาจช่วยจำได้ง่าย แต่สิ่งสำคัญคือไม่มีการหักล้างหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นจริง

เมทริกซ์Mเป็นเมทริกซ์ที่ผกผันได้และM ⁻¹คือเมทริกซ์การแปลงฐานจากCไปยังBกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

สมมติว่าVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์เหนือฟิลด์Fถ้ามิติเป็นκแล้วจะมีฐานที่มี สมาชิก κตัวสำหรับVหลังจากเลือกอันดับแล้ว ฐานนั้นสามารถถือได้ว่าเป็นฐานที่มีลำดับ สมาชิกของVเป็นผลรวมเชิงเส้นจำกัดของสมาชิกในฐาน ซึ่งทำให้เกิดการแสดงพิกัดที่ไม่ซ้ำกันอย่างที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวคือเซตดัชนีสำหรับพิกัดไม่จำกัด เนื่องจากเวกเตอร์v ที่กำหนด เป็น ผลรวมเชิงเส้น จำกัดของสมาชิกในฐาน ดังนั้นค่าที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวของเวกเตอร์พิกัดสำหรับvจะเป็นสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของผลรวมเชิงเส้นที่แสดงvดังนั้นเวกเตอร์พิกัดสำหรับvจึงเป็นศูนย์ ยกเว้นในจำนวนจำกัดของค่าต่างๆ

การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ (หรืออาจจะอนันต์) สามารถจำลองได้ในลักษณะเดียวกับกรณีที่มีมิติจำกัด โดยใช้เมทริกซ์อนันต์กรณีพิเศษของการแปลงจากVไปเป็นVจะอธิบายไว้ในบทความเกี่ยว กับวงแหวนเชิงเส้นฉบับเต็ม

• การเปลี่ยนฐาน
• พื้นที่พิกัด