ในทางคณิตศาสตร์ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์คือตัวดำเนินการที่นิยามขึ้นจากฟังก์ชันของ ตัวดำเนินการ หาอนุพันธ์เพื่อความเข้าใจง่ายขึ้น ควรพิจารณาการหาอนุพันธ์เป็นโอเปอเรชันเชิงนามธรรมที่รับฟังก์ชัน หนึ่ง และส่งคืนอีกฟังก์ชันหนึ่ง (ในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันอันดับสูงในวิทยาการคอมพิวเตอร์ )

บทความนี้พิจารณา ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น เป็นหลัก ซึ่งเป็นประเภทที่พบได้บ่อยที่สุด อย่างไรก็ตาม ยังมีตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นอีกด้วย เช่นอนุพันธ์ชวาร์ซ

กำหนดให้ mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้นอันดับคือ ฟังก์ชันที่ส่งจากปริภูมิฟังก์ชัน หนึ่ง ไปยังอีกปริภูมิฟังก์ชันหนึ่งซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle m}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ โดยที่เป็นดัชนีหลายตัว ของ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ, , และสำหรับแต่ละ, เป็นฟังก์ชันบนโดเมนเปิดบางโดเมนใน ปริภูมิ nมิติ ตัวดำเนินการถูกตีความว่า ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$${\displaystyle D^{\alpha }}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชัน: ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

สัญลักษณ์ดัง กล่าวมีความเหมาะสม (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของการหาอนุพันธ์ ) เนื่องจากสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง${\displaystyle D^{\alpha }}$

พหุนามpที่ได้จากการแทนที่พหุนามย่อยด้วยตัวแปรในPเรียกว่าสัญลักษณ์รวมของP กล่าว คือ สัญลักษณ์รวมของPข้างต้นคือ: โดยที่ส่วนประกอบเอกพันธุ์สูงสุดของสัญลักษณ์ คือ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle \xi _{i}}$$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

เรียกว่าสัญลักษณ์หลักของP [ ^{1 ]}ในขณะที่สัญลักษณ์ทั้งหมดไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเนื้อแท้ แต่สัญลักษณ์หลักถูกกำหนดไว้โดยเนื้อแท้ (กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันบนมัดโคแทนเจนต์^{) [ 2 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ให้EและFเป็นเวกเตอร์บันเดิลบนแมนิโฟลด์Xแล้วตัวดำเนินการเชิงเส้น

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับถ้าในพิกัดท้องถิ่นบนXเรามี ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{พจน์ลำดับต่ำกว่า}}}$

โดยที่สำหรับแต่ละดัชนีหลายตัว α จะเป็นแผนที่บันเดิลซึ่งสมมาตรบนดัชนี α ${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

สัมประสิทธิ์ ลำดับ^ที่kของ การแปลง Pเป็นเทนเซอร์สมมาตร

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

โดเมนของมันคือผลคูณเทนเซอร์ของกำลังสมมาตรที่^k ของกลุ่มโคแทนเจนต์ของXกับEและโคโดเมนของมันคือFเทนเซอร์สมมาตรนี้เรียกว่าสัญลักษณ์หลัก (หรือเรียกสั้นๆ ว่าสัญลักษณ์ ) ของ P

ระบบพิกัดx ⁱอนุญาตให้ทำการทำให้กลุ่มโคแทนเจนต์เป็นแบบง่ายๆ ในระดับท้องถิ่นโดยใช้อนุพันธ์พิกัด d x ⁱซึ่งกำหนดพิกัดไฟเบอร์ ξ _iในแง่ของฐานของเฟรมe _μ , f _νของEและFตามลำดับ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Pจะถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

ในแต่ละส่วนuของEโดยที่P _νμคือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์สเกลาร์ที่กำหนดโดย

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\บางส่วน x^{\alpha }}}.}$

ด้วยการทำให้เรื่องง่ายขึ้นเช่นนี้ สัญลักษณ์หลักจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

ในปริภูมิโคแทนเจนต์เหนือจุดคงที่xของXสัญลักษณ์นี้กำหนดพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีkในโดยมีค่าอยู่ใน ${\displaystyle \sigma _{P}}$${\displaystyle T_{x}^{*}X}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์Pและสัญลักษณ์ของมันปรากฏขึ้นตามธรรมชาติเมื่อเชื่อมโยงกับการแปลงฟูริเยร์ดังต่อไปนี้ ให้ ƒ เป็นฟังก์ชันชวาร์ตซ์จากนั้นโดยการแปลงฟูริเยร์ผกผัน

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าPเป็น ตัว คูณฟูริเยร์ ฟังก์ชัน p ( x , ξ) ทั่วไปที่สอดคล้องกับเงื่อนไขการเติบโตแบบพหุนามใน ξ ซึ่งทำให้ปริพันธ์นี้มีพฤติกรรมที่ดีนั้น ประกอบด้วย ตัวดำเนินการ เชิง อนุพันธ์เทียม

• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า ตัวดำเนินการ เชิงวงรีถ้าสัญลักษณ์ของมันสามารถผกผันได้ กล่าวคือ สำหรับแต่ละค่าที่ไม่เป็นศูนย์แผนที่บัน เดิล สามารถผกผันได้ บนแมนิโฟลด์กระชับทฤษฎีเชิงวงรีสรุปได้ว่าPเป็นตัวดำเนินการเฟรดโฮล์ม กล่าวคือ มันมี เคอร์เนลและโคเคอร์เนลที่มีมิติจำกัด${\displaystyle P}$${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• ในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกและ พาราโบลิก ค่าศูนย์ของสัญลักษณ์หลักจะสอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนั้น
• ในการประยุกต์ใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพ ตัวดำเนินการต่างๆ เช่นตัวดำเนินการลาปลาสมีบทบาทสำคัญในการตั้งและแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ตัวดำเนินการอนุพันธ์ภายนอกและ ตัวดำเนิน การอนุพันธ์ลีมีความหมายในตัวของมันเอง
• ในพีชคณิตนามธรรมแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ช่วยให้สามารถวางนัยทั่วไปของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้ ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัส การวางนัยทั่วไปดังกล่าวถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตเชิงสลับที่ดูเพิ่มเติมที่Jet (คณิตศาสตร์ )
• ในการพัฒนาฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรเชิงซ้อนz = x + i yบางครั้งฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงสองตัวxและyโดยใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์ของเวิร์ตติงเกอร์ซึ่งเป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยวิธีการนี้ยังใช้ในการศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวและฟังก์ชันของตัวแปรมอเตอร์ด้วย$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เดล (del)หรือเรียกอีกอย่างว่านาบลา (nabla ) เป็น ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ เวกเตอร์ ที่สำคัญ ปรากฏบ่อยครั้งในวิชาฟิสิกส์เช่น ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ของสมการของแม็กซ์เวลล์ ใน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติเดลถูกนิยามดังนี้

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del เป็นตัวกำหนดค่าเกรเดียนต์และใช้ในการคำนวณค่าเคิร์ล ค่าไดเวอร์เจนซ์และค่าลาปลาเซียนของวัตถุต่างๆ

• ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไครัลสำหรับตอนนี้ โปรดดู[1]

ขั้นตอนเชิงแนวคิดของการเขียนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในฐานะสิ่งที่เป็นอิสระนั้นได้รับการยกให้เป็นผลงานของLouis François Antoine Arbogastในปี ค.ศ. 1800 ^{[ 3 ]}

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่พบได้บ่อยที่สุดคือการหา อนุพันธ์ สัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการหาอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับตัวแปรxได้แก่:

${\displaystyle {d \over dx}}$, , และ.${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{x},}$${\displaystyle \partial _{x}}$

เมื่อทำการหาอนุพันธ์อันดับสูงกว่า คือ อันดับที่ nตัวดำเนินการสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$, , , หรือ.${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle D_{x}^{n}}$${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันfที่มีตัวแปรxบางครั้งอาจเขียนได้ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

การใช้และการสร้าง สัญลักษณ์Dนั้นเป็นผลงานของOliver Heavisideซึ่งพิจารณาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

ในการศึกษาเรื่องสม การเชิงอนุพันธ์ ของเขา

หนึ่งในตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่พบเห็นได้บ่อยที่สุดคือตัวดำเนินการลาปลาเซียนซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการ Θ หรือตัวดำเนินการเธต้าซึ่งกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

บางครั้งสิ่งนี้ก็ถูกเรียกว่าตัวดำเนินการเอกพันธุ์ (homogeneity operator ) เนื่องจากฟังก์ชันเฉพาะ ของมัน คือเอกนามในz : $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

ใน ตัวแปร nตัว ตัวดำเนินการความเป็นเอกรูปจะกำหนดโดย $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

เช่นเดียวกับกรณีที่มีตัวแปรเดียวปริภูมิไอเกนของ Θ คือปริภูมิของฟังก์ชันเอกพันธุ์ ( ทฤษฎีบทฟังก์ชันเอกพันธุ์ของออยเลอร์ )

ในการเขียนตามหลักการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป อาร์กิวเมนต์ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์มักจะอยู่ทางด้านขวาของตัวดำเนินการนั้นเอง บางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์อื่น: ผลลัพธ์ของการใช้ตัวดำเนินการกับฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาของตัวดำเนินการ และผลต่างที่ได้จากการใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์กับฟังก์ชันทั้งสองด้าน จะแสดงด้วยลูกศรดังต่อไปนี้:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

สัญลักษณ์ลูกศรสองทิศทางเช่นนี้ มักใช้ในการอธิบายกระแสความน่าจะเป็นในกลศาสตร์ควอนตัม

เมื่อกำหนดตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแล้ว ตัวดำเนินการผกผันของตัวดำเนินการนี้จะถูกนิยามว่าคือตัวดำเนินการโดย ที่ ใช้ สัญลักษณ์ สำหรับ ผลคูณสเกลาร์หรือผลคูณภายในดังนั้นนิยามนี้จึงขึ้นอยู่กับนิยามของผลคูณสเกลาร์ (หรือผลคูณภายใน) ${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$${\displaystyle T^{*}}$$${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

ในปริภูมิฟังก์ชันของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วงจริง( a , b )ผลคูณสเกลาร์ถูกกำหนดโดย $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

โดยที่เส้นเหนือf ( x ) หมายถึงค่าสังยุคเชิงซ้อนของf ( x ) นอกจากนี้ หากเพิ่มเงื่อนไขว่าfหรือgหายไปเมื่อและเราสามารถกำหนดตัวผกผันของT ได้ โดย ${\displaystyle x\to a}$${\displaystyle x\to b}$$${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

สูตรนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับนิยามของผลคูณสเกลาร์โดยตรง ดังนั้นบางครั้งจึงถูกเลือกใช้เป็นนิยามของตัวดำเนินการผกผัน เมื่อ T ถูก กำหนดตามสูตรนี้ จะเรียกว่าตัวดำเนินการผกผันเชิงรูปธรรมของT${\displaystyle T^{*}}$

ตัวดำเนิน การสมมาตรในตัวเอง (ในเชิงรูปธรรม) คือตัวดำเนินการที่เท่ากับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง (ในเชิงรูปธรรม) ของมันเอง

ถ้า Ω เป็นโดเมนในR ⁿและPเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์บน Ω แล้ว ตัวดำเนินการผกผันของPจะถูกกำหนดในL ² (Ω)โดยความเป็นคู่ในลักษณะที่คล้ายคลึงกัน:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

สำหรับฟังก์ชัน เรียบ L ^{2 ทั้งหมด} f , gเนื่องจากฟังก์ชันเรียบมีความหนาแน่นในL ²ดังนั้นจึงกำหนดตัวผกผันบนเซตย่อยที่มีความหนาแน่นของL ² ได้ ดังนี้: P ^*เป็น ตัวดำเนินการ ที่ กำหนดอย่างหนาแน่น

ตัวดำเนินการ Sturm –Liouvilleเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองอย่างเป็นทางการ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองL นี้ สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้คำจำกัดความของตัวผกผันอย่างเป็นทางการข้างต้น^{[ 5 ]}

ตัวดำเนินการนี้เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎี Sturm–Liouvilleซึ่งพิจารณา ฟังก์ชันเฉพาะ (ซึ่งเทียบได้กับเวกเตอร์เฉพาะ ) ของตัวดำเนินการนี้

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้นกล่าวคือ

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

โดยที่fและgเป็นฟังก์ชัน และaเป็นค่าคงที่

พหุนามใดๆในDที่มีสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชัน ก็เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เช่นกัน เรายังสามารถประกอบตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎ

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องระมัดระวังบางประการ: ประการแรก สัมประสิทธิ์ฟังก์ชันใดๆ ในตัวดำเนินการD ₂จะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้หลายครั้งตามที่การประยุกต์ใช้D ₁ต้องการ เพื่อให้ได้วงแหวนของตัวดำเนินการดังกล่าว เราต้องสมมติอนุพันธ์ของสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในทุกอันดับ ประการที่สอง วงแหวนนี้จะไม่สลับที่ได้ : ตัวดำเนินการgDโดยทั่วไปจะไม่เหมือนกับDgตัวอย่างเช่น เรามีความสัมพันธ์พื้นฐานในกลศาสตร์ควอนตัม :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

ในทางตรงกันข้าม วงแหวนย่อยของตัวดำเนินการที่เป็นพหุนามในDที่มีสัมประสิทธิ์คงที่นั้น มีคุณสมบัติ การสลับที่ได้ สามารถอธิบายได้อีกวิธีหนึ่งคือ ประกอบด้วยตัวดำเนินการที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ยังเป็นไปตามทฤษฎีบทการเลื่อน อีก ด้วย

ถ้าRเป็นริง ให้เป็นริงพหุนามไม่สลับที่บนRในตัวแปรDและXและI เป็น ไอเดียลสองด้านที่สร้างขึ้นโดยDX − XD − 1 แล้วริงของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์พหุนามเอกตัวแปรบนRคือริงผลหารนี่คือริงเชิงเดี่ยวไม่สลับที่ทุกองค์ประกอบสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกันในรูป การรวมเชิงเส้น Rของเอกนามในรูปแบบมันรองรับสิ่งที่คล้ายกับการหารพหุนามแบบยุคลิด ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

โมดูลเชิงอนุพันธ์เหนือ( สำหรับการอนุพันธ์มาตรฐาน) สามารถระบุได้ด้วยโมดูลเหนือ${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

ถ้าRเป็นริง ให้เป็นริงพหุนามไม่สลับที่เหนือRในตัวแปรและIเป็นไอเดียลสองด้านที่สร้างขึ้นโดยสมาชิก ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

สำหรับทุกค่าของเดลต้าโครเนกเกอร์แล้ววงแหวนของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์พหุนามหลายตัวแปรเหนือRก็คือวงแหวนผลหาร${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

นี่คือริงแบบง่ายที่ไม่สลับที่กัน สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน โดยเป็น ผลรวมเชิงเส้น Rของเอกนามในรูปแบบ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมักจะสะดวกที่จะมีคำอธิบายที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ระหว่างเวกเตอร์บันเดิลสองชุดให้ E และ F เป็นเวกเตอร์บันเดิลสองชุดบน แมนิ โฟลด์เชิงอนุพันธ์M การแมปเชิงเส้น Rของส่วนP  : Γ( E ) → Γ( F )เรียกว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับkถ้ามันแยกตัวประกอบผ่านเจ็ทบันเดิลJ ^k ( E ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีการแมปเชิงเส้นของเวกเตอร์บันเดิลอยู่

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

โดยที่

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

โดย ที่j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E ))คือส่วนขยายที่เชื่อมโยงk -jet เข้ากับส่วนใดๆ ของE

นี่หมายความว่าสำหรับส่วนs ที่กำหนด ของEค่าของP ( s ) ณ จุดx  ∈  Mจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยพฤติกรรมอนันต์ลำดับที่k ของ sในxโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่หมายความว่าP ( s )( x ) ถูกกำหนดโดยเจิร์มของsในxซึ่งแสดงออกมาโดยการกล่าวว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เป็นตัวดำเนินการเฉพาะที่ ผลลัพธ์พื้นฐานคือทฤษฎีบทของ Peetreที่แสดงให้เห็นว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ตัวดำเนินการเฉพาะที่ (เชิงเส้น) ใดๆ ก็เป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์

คำอธิบายที่เทียบเท่ากัน แต่เป็นเพียงพีชคณิตของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น มีดังนี้: แผนที่เชิงเส้นR Pเป็นตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับที่k ถ้าสำหรับ  ฟังก์ชันเรียบk + 1 ใดๆ เรามี ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

ในที่นี้วงเล็บถูกกำหนดให้เป็นคอมมิวเทเตอร์ ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นนี้แสดงให้เห็นว่าพวกมันเป็นการแมปเฉพาะระหว่างโมดูลเหนือพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนซึ่งช่วยให้สามารถมองแนวคิดนี้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยนได้

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับอนันต์ (โดยประมาณ) คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัญลักษณ์รวมเป็นอนุกรมกำลังแทนที่จะเป็นพหุนาม

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลงคือ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่เป็นตัวดำเนินการไม่เปลี่ยนแปลงด้วย (เช่น สลับที่ได้กับการกระทำของกลุ่ม)

ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่กระทำกับฟังก์ชันสองฟังก์ชันเรียกว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์คู่แนวคิดนี้ปรากฏให้เห็น เช่น ในโครงสร้างพีชคณิตแบบเชื่อมโยงบนการหาปริมาณการเปลี่ยนรูปของพีชคณิตปัวซง^{[ 6 ]}${\displaystyle D(g,f)}$

ตัวดำเนินการไมโครดิฟเฟอเรนเชียลเป็นตัวดำเนินการประเภทหนึ่งบนเซตย่อยเปิดของบันเดิลโคแทนเจนต์ ตรงข้ามกับเซตย่อยเปิดของแมนิโฟลด์ โดยได้มาจากการขยายแนวคิดของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ไปยังบันเดิลโคแทนเจนต์^{[ 7 ]}

• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "สูตรดัชนีเชิงวิเคราะห์สำหรับตัวดำเนินการมุมวงรี" Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899– 982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310 .
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์
• "ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]