เดลหรือนาบลาเป็นตัวดำเนินการที่ใช้ในคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะในแคลคูลัสเวกเตอร์ ) ในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เวกเตอร์ ซึ่งโดยทั่วไปจะแทนด้วย∇ ( สัญลักษณ์นาบลา ) เมื่อใช้กับฟังก์ชันที่กำหนดบน โดเมน หนึ่งมิติ มันจะหมายถึง อนุพันธ์มาตรฐานของฟังก์ชันตามที่กำหนดไว้ในแคลคูลัสเมื่อใช้กับฟิลด์ (ฟังก์ชันที่กำหนดบนโดเมนหลายมิติ) มันอาจหมายถึงการดำเนินการใดการดำเนินการหนึ่งในสามอย่าง ขึ้นอยู่กับวิธีการใช้งาน ได้แก่เกรเดียนต์หรือความชันที่ชันที่สุด (ในระดับท้องถิ่น) ของฟิลด์สเกลาร์ (หรือบางครั้งของฟิลด์เวกเตอร์เช่นในสมการนาเวียร์-สโตกส์ ) ไดเวอร์เจนซ์ของฟิลด์เวกเตอร์ หรือเคิร์ล (การหมุน) ของฟิลด์เวกเตอร์

เดล (Del) เป็น สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่สะดวกมากสำหรับสามการดำเนินการ (เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ และเคิร์ล) ซึ่งทำให้สมการหลายสมการเขียนและจำได้ง่ายขึ้น สัญลักษณ์เดล (หรือนาบลา) สามารถ นิยาม อย่างเป็นทางการได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ซึ่งส่วนประกอบคือ ตัวดำเนินการ อนุพันธ์ย่อยที่ สอดคล้องกัน ในฐานะตัวดำเนินการเวกเตอร์ มันสามารถกระทำกับฟิลด์สเกลาร์และเวกเตอร์ได้สามวิธีที่แตกต่างกัน ทำให้เกิดการดำเนินการเชิงอนุพันธ์สามแบบที่แตกต่างกัน: ประการแรก มันสามารถกระทำกับฟิลด์สเกลาร์โดยการคูณสเกลาร์อย่างเป็นทางการ—เพื่อให้ได้ฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียกว่าเกรเดียนต์ ประการที่สอง มันสามารถกระทำกับฟิลด์เวกเตอร์โดยผลคูณดอท อย่างเป็นทางการ —เพื่อให้ได้ฟิลด์สเกลาร์ที่เรียกว่าไดเวอร์เจนซ์ และประการสุดท้าย มันสามารถกระทำกับฟิลด์เวกเตอร์โดยผลคูณไขว้ อย่างเป็นทางการ —เพื่อให้ได้ฟิลด์เวกเตอร์ที่เรียกว่าเคิร์ล ผลคูณอย่างเป็นทางการเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องสลับที่กับตัวดำเนินการหรือผลคูณอื่นๆ การใช้งานทั้งสามนี้สรุปได้ดังนี้:

• การไล่ระดับสี:${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• ความแตกต่าง:${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} =\nabla \cdot \mathbf {v} }$
• ลอน:${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {v} }$

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ที่มีพิกัดและฐานมาตรฐานเดล คือตัวดำเนินการเวกเตอร์ซึ่งส่วนประกอบคือตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อยกล่าวคือ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle {\partial \over \partial x_{1}},\dots ,{\partial \over \partial x_{n}}}$

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

โดยที่นิพจน์ในวงเล็บคือเวกเตอร์แถว ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติที่มีพิกัดและฐานมาตรฐานหรือเวกเตอร์หน่วยของแกนเดลจะเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}\}}$

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

ในฐานะตัวดำเนินการเวกเตอร์ เดล (del) กระทำต่อฟิลด์สเกลาร์โดยธรรมชาติผ่านการคูณสเกลาร์และกระทำต่อฟิลด์เวกเตอร์โดยธรรมชาติผ่านผลคูณจุดและผลคูณไขว้

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสามมิติ สำหรับฟิลด์สเกลาร์ใดๆและฟิลด์เวกเตอร์ใดๆหากเรากำหนด${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)f:={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}f)={\partial f \over \partial x_{i}}\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{i}{\partial \over \partial x_{i}}\right)\cdot \mathbf {F} :={\partial \over \partial x_{i}}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} )={\partial F_{i} \over \partial x_{i}}}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial x}(\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial y}(\mathbf {e} _{y}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})}$

${\displaystyle \left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)\times \mathbf {F} :={\partial \over \partial z}(\mathbf {e} _{z}\times \mathbf {F} )={\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0),}$

จากนั้นโดยใช้คำจำกัดความข้างต้นของเราอาจเขียนได้ว่า ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla f=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\right)f+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\right)f+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\right)f={\partial f \over \partial x}\mathbf {e} _{x}+{\partial f \over \partial y}\mathbf {e} _{y}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {e} _{z}}$

และ

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\cdot \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\cdot \mathbf {F} \right)={\partial F_{x} \over \partial x}+{\partial F_{y} \over \partial y}+{\partial F_{z} \over \partial z}}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &=\left(\mathbf {e} _{x}{\partial \over \partial x}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{y}{\partial \over \partial y}\times \mathbf {F} \right)+\left(\mathbf {e} _{z}{\partial \over \partial z}\times \mathbf {F} \right)\\&={\partial \over \partial x}(0,-F_{z},F_{y})+{\partial \over \partial y}(F_{z},0,-F_{x})+{\partial \over \partial z}(-F_{y},F_{x},0)\\&=\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\text{ }}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}}$

ตัวอย่าง:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{x}{\partial f \over \partial x}+\mathbf {e} _{y}{\partial f \over \partial y}+\mathbf {e} _{z}{\partial f \over \partial z}=\left(1,1,1\right)}$

นอกจากนี้ Del ยังสามารถแสดงในระบบพิกัดอื่นๆ ได้อีกด้วย ดูตัวอย่างเช่นDel ในระบบพิกัดทรงกระบอกและระบบพิกัดทรงกลม

Del เป็นรูปแบบย่อที่ใช้เพื่อลดรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ยาวๆ หลายๆ นิพจน์ โดยส่วนใหญ่มักใช้เพื่อลดรูปนิพจน์สำหรับเกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ลอนุพันธ์ทิศทางและลาปลาเซียน

เก รเดียนต์ของสนามสเกลาร์ คือ อนุพันธ์ของสนามสเกลาร์นั้นในรูปของสนามเวกเตอร์ ลัพธ์ และสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \nabla f={\partial f \over \partial x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\partial f \over \partial y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\partial f \over \partial z}{\hat {\mathbf {z} }}=\operatorname {grad} f}$

ค่าความชันจะชี้ไปในทิศทางที่มีการเพิ่มขึ้นมากที่สุด เสมอ และมีขนาดเท่ากับอัตราการเพิ่มขึ้นสูงสุด ณ จุดนั้น—เช่นเดียวกับอนุพันธ์ทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเนินเขาถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันความสูงบนระนาบ xy ค่าความชัน ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งจะเป็นเวกเตอร์ในระนาบ xy (สามารถมองเห็นได้เป็นลูกศรบนแผนที่) ที่ชี้ไปตามทิศทางที่ชันที่สุด ขนาดของค่าความชันคือค่าของความชันที่ชันที่สุดนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle h(x,y)}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สัญลักษณ์นี้มีประสิทธิภาพมาก เนื่องจากกฎผลคูณ เกรเดียนต์ ดูคล้ายกับกรณีอนุพันธ์ 1 มิติมาก:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

อย่างไรก็ตาม กฎสำหรับการหาผลคูณดอทนั้นกลับไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

${\displaystyle \nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )}$

ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ เป็นสนามสเกลาร์และสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {v} ={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot \mathbf {v} }$

ค่าไดเวอร์เจนซ์โดยประมาณคือการวัดการเพิ่มขึ้นของสนามเวกเตอร์ในทิศทางที่มันชี้ไป แต่ที่ถูกต้องกว่านั้นคือการวัดแนวโน้มของสนามนั้นที่จะลู่เข้าหาหรือลู่ออกจากจุดใดจุดหนึ่ง

พลังของสัญลักษณ์เดลแสดงให้เห็นได้จากกฎการคูณต่อไปนี้:

${\displaystyle \nabla \cdot (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\cdot \mathbf {v} +f(\nabla \cdot \mathbf {v} )}$

สูตรสำหรับผลคูณเวกเตอร์นั้นเข้าใจยากกว่าเล็กน้อย เนื่องจากผลคูณนี้ไม่เป็นไปตามคุณสมบัติการสลับที่:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(\nabla \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} -\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )}$

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์เป็น ฟังก์ชัน เวกเตอร์และสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {v} =\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\hat {\mathbf {x} }}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\hat {\mathbf {y} }}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\hat {\mathbf {z} }}=\nabla \times \mathbf {v} }$

ความโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่งนั้นแปรผันตรงกับแรงบิดตามแกนที่กังหันลมขนาดเล็กจะได้รับหากมันอยู่ตรงกลาง ณ จุดนั้น

การดำเนินการคูณเวกเตอร์สามารถมองเห็นได้ในรูปของดีเทอร์มิแนนต์เสมือน :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\left|{\begin{matrix}{\hat {\mathbf {x} }}&{\hat {\mathbf {y} }}&{\hat {\mathbf {z} }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

พลังของสัญลักษณ์นี้แสดงให้เห็นอีกครั้งโดยกฎการคูณ:

${\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {v} )=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )}$

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์นั้นกลับไม่ง่ายอย่างที่คิด:

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} }$

อนุพันธ์เชิงทิศทางของฟิลด์สเกลาร์ในทิศทางนั้น นิยามได้ดังนี้: ${\displaystyle f(x,y,z)}$${\displaystyle \mathbf {a} (x,y,z)=a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )f=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+a_{x}h,y+a_{y}h,z+a_{z}h)-f(x,y,z)}{h}}.}$

ซึ่งเท่ากับสิ่งต่อไปนี้เมื่อมีค่าความชันอยู่

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}=\mathbf {a} \cdot (\nabla f)}$

สิ่งนี้แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของสนามในทิศทางของ โดยปรับขนาดตามขนาดของในสัญกรณ์ตัวดำเนินการ องค์ประกอบในวงเล็บสามารถถือได้ว่าเป็นหน่วยที่สอดคล้องกันหน่วยเดียวพลศาสตร์ของไหลใช้แบบแผนนี้อย่างกว้างขวาง โดยเรียกว่าอนุพันธ์การพาความร้อน — อนุพันธ์ "เคลื่อนที่" ของของไหล ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$

โปรดทราบว่าเป็นตัวดำเนินการที่แปลงค่าสเกลาร์เป็นค่าสเกลาร์ สามารถขยายให้ใช้กับสนามเวกเตอร์ได้โดยการใช้ตัวดำเนินการกับแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \nabla )}$

ตัวดำเนินการลาปลาสเป็นตัวดำเนินการสเกลาร์ที่สามารถนำไปใช้กับฟิลด์เวกเตอร์หรือฟิลด์สเกลาร์ได้ สำหรับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนนั้นนิยามได้ดังนี้:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

และนิยามสำหรับระบบพิกัดทั่วไปอื่นๆ นั้นได้ระบุไว้ในตัวดำเนินการลาปลาเซียนเวกเตอร์

ตัวดำเนินการลาปลาเซียนพบได้ทั่วไปในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ สมัยใหม่ ตัวอย่างเช่น ปรากฏในสมการลาปลาสสมการปัวซง สมการความร้อน สมการคลื่นและสมการชโรดิงเกอร์

โดยปกติแล้ว จะแทนเมท ริก ซ์ลาปลาเซียนแต่บางครั้งก็อาจแทนเมทริกซ์เฮสเซียน ได้ เช่นกัน แบบแรกหมายถึงผลคูณภายในของในขณะที่แบบหลังหมายถึงผลคูณไดอะดิกของ: ${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

ดังนั้น การจะหมายถึงเมทริกซ์ลาปลาเซียนหรือเมทริกซ์เฮสเซียนนั้น ขึ้นอยู่กับบริบท ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

เดล (Del) สามารถนำไปใช้กับสนามเวกเตอร์ได้เช่นกัน โดยผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเทนเซอร์อนุพันธ์เทนเซอร์ของสนามเวกเตอร์(ในสามมิติ) คือเทนเซอร์อันดับสองที่มี 9 เทอม – นั่นคือเมทริกซ์ 3×3 – แต่สามารถเขียนแทนได้ง่ายๆ ด้วย โดยที่แทนผลคูณไดอะดิกปริมาณนี้เทียบเท่ากับเมทริกซ์สลับตำแหน่งของเมทริกซ์จาโคเบียนของสนามเวกเตอร์เทียบกับปริภูมิ จากนั้นไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์สามารถแสดงได้เป็นร่องรอยของเมทริกซ์นี้ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$${\displaystyle \otimes }$

สำหรับการกระจัดเล็กน้อยการเปลี่ยนแปลงของสนามเวกเตอร์จะกำหนดโดย: ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \delta \mathbf {v} =(\nabla \otimes \mathbf {v} )^{T}\cdot \delta \mathbf {r} }$

สำหรับแคลคูลัสเวกเตอร์ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \times (\nabla \times \mathbf {v} )+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {u} )+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {u} \\\nabla \cdot (f\mathbf {v} )&=f(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {v} \cdot (\nabla \times \mathbf {u} )-\mathbf {u} \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (f\mathbf {v} )&=(\nabla f)\times \mathbf {v} +f(\nabla \times \mathbf {v} )\\\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )&=\mathbf {u} \,(\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mathbf {v} \,(\nabla \cdot \mathbf {u} )+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\,\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \nabla )\,\mathbf {v} \end{aligned}}}$

สำหรับแคลคูลัสเมทริกซ์ (ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้): ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} ^{\text{T}}\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}\mathbf {u} &=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {u} \right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}}$

ความสัมพันธ์ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง (ดูตัวอย่างเช่นสมการออยเลอร์ ) คือความสัมพันธ์ต่อไปนี้ โดยที่คือ เทนเซอร์ ผลคูณภายนอก : ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} \end{aligned}}}$

เมื่อฟังก์ชัน del ทำงานกับปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นปริมาณสเกลาร์หรือเวกเตอร์ เนื่องจากความหลากหลายของผลคูณเวกเตอร์ (สเกลาร์ ดอท และครอส) การใช้ del เพียงครั้งเดียวก็ทำให้เกิดอนุพันธ์หลักสามแบบแล้ว ได้แก่ เกรเดียนต์ (ผลคูณสเกลาร์) ไดเวอร์เจนซ์ (ผลคูณดอท) และเคิร์ล (ผลคูณครอส) การนำอนุพันธ์ทั้งสามแบบนี้มาใช้ร่วมกันอีกครั้งจะทำให้เกิดอนุพันธ์อันดับสองได้ห้าแบบ สำหรับฟิลด์สเกลาร์fหรือฟิลด์เวกเตอร์vการใช้ลาปลา เซียนสเกลาร์ และลาปลาเซียนเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เพิ่มเติมอีกสองแบบ

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} \mathbf {v} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {v} )\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\Delta \mathbf {v} &=\nabla ^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}$

สิ่งเหล่านี้มีความน่าสนใจเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากพวกมันไม่ได้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวหรือเป็นอิสระต่อกันเสมอไป ตราบใดที่ฟังก์ชันมีพฤติกรรมที่ดี ( ในกรณีส่วนใหญ่) ฟังก์ชันสองในนั้นจะมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์เสมอ: ${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} \mathbf {v} )&=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0\end{aligned}}}$

สองสิ่งนั้นมักจะเท่ากันเสมอ:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

อนุพันธ์เวกเตอร์ที่เหลืออีก 3 ตัวมีความสัมพันธ์กันโดยสมการ:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {v} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\nabla ^{2}\mathbf {v} }$

และหนึ่งในนั้นยังสามารถแสดงได้ด้วยผลคูณเทนเซอร์ หากฟังก์ชันเหล่านั้นมีคุณสมบัติที่เหมาะสม:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )=\nabla \cdot (\mathbf {v} \otimes \nabla )}$

คุณสมบัติเวกเตอร์ส่วนใหญ่ข้างต้น (ยกเว้นคุณสมบัติที่อาศัยคุณสมบัติเชิงอนุพันธ์ของเดลโดยตรง เช่น กฎการคูณ) อาศัยเพียงการจัดเรียงสัญลักษณ์ใหม่ และจะต้องเป็นจริงเสมอหากแทนที่สัญลักษณ์เดลด้วยเวกเตอร์อื่นใด นี่คือส่วนหนึ่งของประโยชน์ที่ได้รับจากการแสดงตัวดำเนินการนี้ในเชิงสัญลักษณ์ด้วยเวกเตอร์

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วเราสามารถแทนที่เดลด้วยเวกเตอร์และได้เอกลักษณ์เวกเตอร์ ซึ่งทำให้เอกลักษณ์เหล่านั้นจำได้ง่าย แต่การทำในทางกลับกันนั้นอาจไม่น่าเชื่อถือเสมอไป เพราะเดลไม่สลับที่กันโดยทั่วไป

ตัวอย่างค้านที่แสดงให้เห็นว่าการล divergence ( ) และตัวดำเนินการการพา ( ) ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )f&\equiv (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )f\\(\nabla \cdot \mathbf {v} )f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\(\mathbf {v} \cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {v} )f&\neq (\mathbf {v} \cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

ตัวอย่างค้านที่อาศัยคุณสมบัติเชิงอนุพันธ์ของเดล:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=(\mathbf {e} _{x}\cdot 1+\mathbf {e} _{y}\cdot 0+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\times (\mathbf {e} _{x}\cdot 0+\mathbf {e} _{y}\cdot 1+\mathbf {e} _{z}\cdot 0)\\&=\mathbf {e} _{x}\times \mathbf {e} _{y}\\&=\mathbf {e} _{z}\\(\mathbf {u} x)\times (\mathbf {u} y)&=xy(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )\\&=xy\mathbf {0} \\&=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

จุดสำคัญของความแตกต่างเหล่านี้คือข้อเท็จจริงที่ว่า del ไม่ใช่เพียงแค่เวกเตอร์ แต่เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ในขณะที่เวกเตอร์เป็นวัตถุที่มีทั้งขนาดและทิศทาง แต่ del ไม่มีทั้งขนาดและทิศทางจนกว่าจะดำเนินการกับฟังก์ชัน

ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับ del จึงต้องทำด้วยความระมัดระวัง โดยใช้ทั้งเอกลักษณ์ของเวกเตอร์และ เอกลักษณ์ ของการหาอนุพันธ์เช่น กฎการคูณ

• พิกัด Del ในระบบพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม
• ตัวดำเนินการ Dirac
• สมการของแม็กซ์เวลล์
• สัญลักษณ์นาบลา
• สมการนาเวียร์-สโตกส์
• สัญลักษณ์สำหรับการหาอนุพันธ์
• ผู้ดำเนินการ Quabla
• ตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์

• ไท่ เฉินโต (1994). การสำรวจการใช้ ∇ อย่างไม่เหมาะสมในการวิเคราะห์เวกเตอร์ (รายงาน). ห้องปฏิบัติการรังสีวิทยา มหาวิทยาลัยมิชิแกน. hdl : 2027.42/7869 .