ในแคลคูลัสเวกเตอร์เมทริกซ์จาโคเบียน ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) ของฟังก์ชันเวกเตอร์ที่มีตัวแปรหลายตัว คือเมทริกซ์ ของ อนุพันธ์ย่อยอันดับแรกทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นถ้าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์จัตุรัสนั่นคือ ถ้าจำนวนตัวแปรเท่ากับจำนวนส่วนประกอบของค่าฟังก์ชัน ดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ จะเรียกว่า ดี เทอร์มิแนนต์จาโคเบียนทั้งเมทริกซ์และ (ถ้ามี) ดีเทอร์มิแนนต์ มักจะเรียกง่ายๆ ว่าจาโคเบียน^{[ 4 ]}โดยตั้งชื่อตามคาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (ค.ศ. 1804-1851)

เมทริกซ์จาโคเบียนเป็นการขยายความตามธรรมชาติของอนุพันธ์และ ดิ ฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันปกติไปสู่ฟังก์ชันเวกเตอร์ของตัวแปรหลายตัว การขยายความนี้รวมถึงการขยายความของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายโดยที่ความเป็นไม่เป็นศูนย์ของอนุพันธ์ถูกแทนที่ด้วยความเป็นไม่เป็นศูนย์ของดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียน และตัวผกผันการคูณของอนุพันธ์ถูกแทนที่ด้วยตัวผกผันของเมทริกซ์จาโคเบียน

โดยพื้นฐานแล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนถูกนำมาใช้สำหรับการเปลี่ยนตัวแปรใน อินทิกรั ล หลายชั้น

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์ย่อยอันดับแรกแต่ละตัวมีอยู่บนฟังก์ชันนี้รับเวกเตอร์⁠ ⁠เป็นอินพุตและสร้างเวกเตอร์⁠ ⁠เป็นเอาต์พุต เมทริกซ์จาโคเบียนของfซึ่งเขียนแทนด้วยJ _fคือ เมทริกซ์ ⁠ ⁠ ที่มี สมาชิก ( i , j )เป็นโดย ที่คือเมทริกซ์สลับแถว (transpose) ของเกรเดียนต์ของส่วนประกอบที่ i ${\textstyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\ldots ,f_{m}(\mathbf {x} ))\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m\times n}$${\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}};}$$${\displaystyle \mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \nabla ^{\mathsf {T}}f_{i}}$${\displaystyle i}$

เมทริกซ์ Jacobian ซึ่งมีสมาชิกเป็นฟังก์ชันของxจะถูกแสดงในรูปแบบต่างๆ สัญลักษณ์ทั่วไปอื่นๆ ได้แก่D f , , และ. ^{[ 5 ] [ 6 ]}ผู้เขียนบางคนกำหนด Jacobian ว่าเป็นเมทริกซ์สลับตำแหน่งของรูปแบบที่ให้ไว้ข้างต้น ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$${\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

เมทริกซ์จาโคเบียนแสดงถึงอนุพันธ์รวมของfที่ทุกจุดที่fสามารถหาอนุพันธ์ได้ โดยละเอียดแล้ว ถ้าhเป็นเวกเตอร์การกระจัดที่แสดงด้วยเมทริกซ์คอลัมน์ผลคูณเมทริกซ์J _f ( x ) ⋅ hจะเป็นเวกเตอร์การกระจัดอีกตัวหนึ่ง ซึ่งเป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดของการเปลี่ยนแปลงของfตามhในบริเวณใกล้เคียงของxถ้าf ( x )สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่x ^{[ a ]} ​​ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่แมปyไปยังf ( x ) + J _f ( x ) ⋅ ( y – x )เป็นการประมาณเชิงเส้นที่ดี ที่สุด ของf ( y )สำหรับทุกจุดyที่อยู่ใกล้xแผนที่เชิงเส้นh → J _f ( x ) ⋅ hเรียกว่าอนุพันธ์หรือดิฟ เฟอเร น เชียลของfที่x

เมื่อx = 0 เมทริกซ์จาโคเบียนเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ ของ เมทริกซ์จาโคเบียนจึงเป็นฟังก์ชันที่นิยามได้ดีของxซึ่งเรียกว่า ดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียน ของf ดีเทอร์มิแนนต์ นี้บรรจุข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับพฤติกรรมเฉพาะที่ของfโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันfจะมีฟังก์ชันผกผัน ที่หาอนุพันธ์ได้ ในบริเวณใกล้เคียงจุดxก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนมีค่าไม่เป็นศูนย์ที่x (ดูทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับคำอธิบายในเรื่องนี้ และข้อสันนิษฐานจาโคเบียนสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ การหาฟังก์ชันผกผันได้ ทั่วโลก ) ดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนยังปรากฏขึ้นเมื่อเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลหลายตัวแปร (ดูหลักการแทนที่สำหรับตัวแปรหลายตัว ) ${\textstyle m=n}$

เมื่อนั่นคือเมื่อเป็นฟังก์ชันค่าสเกลาร์เมทริกซ์จาโคเบียนจะลดรูปเหลือเพียงเวกเตอร์แถว เวกเตอร์แถวนี้ซึ่งประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกทั้งหมดของคือเมทริกซ์สลับแถวของเกรเดี ยนต์ของ นั่นคือ เมื่อนั่นคือเมื่อเป็นฟังก์ชันค่าสเกลาร์ ของตัวแปรเดียว เมทริก ซ์จา โคเบียนจะมีค่าเพียงค่าเดียว ค่านี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน${\textstyle m=1}$${\textstyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla ^{\mathsf {T}}f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{\mathsf {T}}f}$${\textstyle m=n=1}$${\textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$

เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันเวกเตอร์ในหลายตัวแปรเป็นการขยายความชันของ ฟังก์ชัน สเกลาร์ในหลายตัวแปร ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นการขยายความชันของฟังก์ชันสเกลาร์ในตัวแปรเดียว กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันสเกลาร์ในหลายตัวแปรคือ (เมทริกซ์สลับแถวและคอลัมน์ของ) ความชันของฟังก์ชันนั้น และความชันของฟังก์ชันสเกลาร์ในตัวแปรเดียวคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

ณ จุดที่ฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันนั้นสามารถมองได้ว่าเป็นการอธิบายปริมาณ "การยืด" "การหมุน" หรือ "การแปลง" ที่ฟังก์ชันนั้นกระทำในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าใช้( x ′, y ′) = f ( x , y ) ในการแปลงภาพอย่างราบรื่น เมทริกซ์จาโคเบียน J _f ( x , y )จะอธิบายว่าภาพในบริเวณใกล้เคียง( x , y )ถูกแปลง อย่างไร

ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดจุดหนึ่ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นจะแสดงในพิกัดโดยใช้เมทริกซ์จาโคเบียน อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้เพื่อให้เมทริกซ์จาโคเบียนถูกกำหนด เนื่องจากต้องการ เพียงแค่ ค่าอนุพันธ์ย่อย อันดับแรกเท่านั้น

ถ้าfสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดpในR ⁿแล้วอนุพันธ์ ของ f จะถูกแทนด้วยJ _f ( p )ในกรณีนี้การแปลงเชิงเส้นที่แสดงด้วยJ _f ( p )คือการประมาณเชิงเส้น ที่ดีที่สุด ของfใกล้จุดpในแง่ที่ว่า

$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}$$

โดยที่o (‖ x − p ‖)เป็นปริมาณที่เข้าใกล้ศูนย์เร็วกว่าระยะห่างระหว่างxและpเมื่อxเข้าใกล้pมาก การประมาณค่านี้จำเพาะเจาะจงกับการประมาณค่าฟังก์ชันสเกลาร์ของตัวแปรเดียวด้วยพหุนามเทย์เลอร์ดีกรีหนึ่ง กล่าวคือ

$${\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(xp)+o(xp)\quad ({\text{เมื่อ }}x\to p).}$$

ในแง่นี้ เมทริกซ์จาโคเบียนอาจถือได้ว่าเป็น " อนุพันธ์อันดับหนึ่ง " ชนิดหนึ่งของฟังก์ชันเวกเตอร์ที่มีหลายตัวแปร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นั่นหมายความว่าเกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ที่มีหลายตัวแปรก็อาจถือได้ว่าเป็น "อนุพันธ์อันดับหนึ่ง" ของฟังก์ชันนั้นเช่นกัน

ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ที่ประกอบกันได้f :  R n ^→ R m ^และ g :  R m ^→ R k ^{สอดคล้อง}กับกฎลูกโซ่กล่าวคือสำหรับxในR ⁿ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

เมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์ของฟังก์ชันสเกลาร์ของตัวแปรหลายตัวมีชื่อเรียกเฉพาะว่าเมทริกซ์เฮสเซียนซึ่งในแง่หนึ่งก็คือ " อนุพันธ์อันดับสอง " ของฟังก์ชันนั้นๆ

ถ้าm = nแล้วfเป็นฟังก์ชันจากR ⁿไปยังตัวมันเอง และเมทริกซ์จาโคเบียนเป็นเมทริกซ์จัตุรัสจากนั้นเราสามารถสร้างดีเทอร์มิแนนต์ ของมัน ซึ่งเรียกว่าดี เทอร์ มิแนนต์จาโคเบียน ดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนบางครั้งเรียกสั้น ๆ ว่า "จาโคเบียน"

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ให้ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชันfใกล้จุดนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน fที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง จะหาฟังก์ชันผกผันได้ใกล้จุดp ∈ R ⁿถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน ณ จุดpมีค่าไม่เป็นศูนย์ นี่คือทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันยิ่งไปกว่านั้น ถ้าดี เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน ณ จุด pมีค่าเป็นบวก ฟังก์ชัน fจะรักษาทิศทางไว้ใกล้จุดp แต่ถ้ามี ค่าเป็น ลบ ฟังก์ชัน fจะเปลี่ยน ทิศทาง ค่าสัมบูรณ์ ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียน ณ จุดpจะให้ปัจจัยที่ฟังก์ชันfขยายหรือหดตัวในปริมาตรใกล้จุดp นี่คือเหตุผลที่มันปรากฏใน กฎการแทนที่ ทั่วไป

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนถูกใช้เมื่อมีการเปลี่ยนตัวแปรในการประเมินค่าอินทิกรัลหลายชั้นของฟังก์ชันเหนือบริเวณภายในโดเมนของฟังก์ชันนั้น เพื่อรองรับการเปลี่ยนพิกัด ขนาดของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนจึงปรากฏเป็นตัวคูณภายในอินทิกรัล เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วองค์ประกอบdV nมิติ จะเป็น ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานในระบบพิกัดใหม่ และ ปริมาตร nมิติของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นคือดีเทอร์มิแนนต์ของเวกเตอร์ขอบของมัน

นอกจากนี้ ยังสามารถใช้เมทริกซ์จาโคเบียนในการพิจารณาเสถียรภาพของจุดสมดุลสำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์โดยการประมาณพฤติกรรมใกล้จุดสมดุลได้ อีกด้วย

ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันผกผันได้f  : R ⁿ → R ⁿคือเมทริกซ์จาโคเบียนของ ฟังก์ชัน ผกผันนั้น กล่าวคือ เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันผกผัน ณ จุดpคือ

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},}$$

และดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนคือ

$${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}}.}$$

ถ้าเมทริกซ์จาโคเบียนมีความต่อเนื่องและไม่มีจุดเอกฐานที่จุดpในR ⁿแล้ว ฟังก์ชัน fจะหาฟังก์ชันผกผันได้เมื่อจำกัดอยู่ในบริเวณ ใกล้เคียง จุดpกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนไม่เป็นศูนย์ที่จุดใดจุดหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะหาฟังก์ชันผกผันได้เฉพาะที่บริเวณใกล้จุดนั้น

ข้อสันนิษฐานของจาโคเบียน (ที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์) เกี่ยวข้องกับความสามารถในการหาฟังก์ชันผกผันได้ทั่วโลกในกรณีของฟังก์ชันพหุนาม ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่กำหนดโดยพหุนามn ตัว ใน ตัวแปร nตัว ข้อสันนิษฐานนี้กล่าวว่า ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (หรือเทียบเท่ากับว่าไม่มีศูนย์เชิงซ้อน) แล้วฟังก์ชันนั้นจะหาฟังก์ชันผกผันได้ และฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันนั้นก็เป็นฟังก์ชันพหุนามเช่นกัน

ถ้าf  : R ⁿ → R ^mเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จุดวิกฤตของfคือจุดที่อันดับของเมทริกซ์จาโคเบียนไม่ใช่ค่าสูงสุด ซึ่งหมายความว่าอันดับที่จุดวิกฤตต่ำกว่าอันดับที่จุดข้างเคียงบางจุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้kเป็นมิติสูงสุดของทรงกลมเปิดที่อยู่ในภาพของf แล้วจุดนั้นจะเป็นจุดวิกฤตก็ต่อเมื่อ ไมเนอร์ทั้งหมดที่มีอันดับkของfเป็นศูนย์

ในกรณีที่m = n = kจุดนั้นจะเป็นจุดวิกฤตก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนเป็นศูนย์

พิจารณาฟังก์ชันf  : R ² → R ³โดยที่ ( x , y ) ↦ ( f ₁ ( x , y ), f ₂ ( x , y ), f ₃ ( x , y ))ซึ่งกำหนดโดย

$${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\\f_{3}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\\4y\end{bเมทริกซ์}}.}$$

เมทริกซ์จาโคเบียนของfคือ

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\\0&4\end{bmatrix}}}$$

การแปลงจากพิกัดเชิงขั้ว( r , φ )ไปยังพิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y ) กำหนดโดยฟังก์ชันF : R ⁺ × [0, 2π ) → R ²โดยมีส่วนประกอบ

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนเท่ากับrซึ่งสามารถใช้แปลงอินทิกรัลระหว่างระบบพิกัดทั้งสองได้:

$${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

การแปลงจากพิกัดทรงกลม( ρ , φ , θ ) ^{[ 7 ]}ไปเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y , z ) จะแสดงด้วยฟังก์ชันF : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ที่มีส่วนประกอบ

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$$

เมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับการเปลี่ยนพิกัดนี้คือ

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}$$

ดีเทอร์มิแนนต์คือρ ² sin φเนื่องจากdV = dx dy dzคือปริมาตรขององค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (เพราะปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือผลคูณของด้าน) เราจึงสามารถตีความdV = ρ ² sin φ dρ dφ dθว่าเป็นปริมาตรขององค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ ทรงกลม ซึ่งแตกต่างจากปริมาตรขององค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริมาตรขององค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์นี้ไม่คงที่ และแปรผันตามพิกัด ( ρและφ ) สามารถใช้ในการแปลงอินทิกรัลระหว่างระบบพิกัดทั้งสองได้:

$${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$$

เมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันF  : R ³ → R ⁴ที่มีส่วนประกอบ

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$$

เป็น

$${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์จาโคเบียนไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส

ดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนของฟังก์ชันF  : R ³ → R ³พร้อมส่วนประกอบ

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$$

เป็น

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$$

จากสิ่งนี้เราจะเห็นว่าFกลับทิศทางใกล้จุดที่x ₁และx ₂มีเครื่องหมายเดียวกัน ฟังก์ชันนี้ สามารถผกผัน ได้เฉพาะที่ทุกที่ยกเว้นใกล้จุดที่x ₁ = 0หรือx ₂ = 0โดยสัญชาตญาณแล้ว หากเริ่มต้นด้วยวัตถุขนาดเล็กบริเวณจุด(1, 2, 3)และใช้Fกับวัตถุนั้น เราจะได้วัตถุที่มีปริมาตรประมาณ40 × 1 × 2 = 80เท่าของวัตถุเดิม โดยมีทิศทางกลับด้าน

พิจารณาระบบพลวัตในรูปแบบโดยที่คืออนุพันธ์ (แบบแยกส่วน) ของเทียบกับพารามิเตอร์วิวัฒนาการ (เวลา) และสามารถหาอนุพันธ์ได้ ถ้าแล้วคือจุดนิ่ง (เรียกอีกอย่างว่าสถานะคงที่ ) ตามทฤษฎีบทของ Hartman–Grobmanพฤติกรรมของระบบใกล้จุดนิ่งเกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะของ ซึ่ง เป็นเมทริกซ์ Jacobian ของที่จุดนิ่ง^{[ 8 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดมีส่วนจริงเป็นลบ ระบบจะเสถียรใกล้จุดนิ่ง ถ้าค่าลักษณะเฉพาะใดๆ มีส่วนจริงเป็นบวก จุดนั้นจะไม่เสถียร ถ้าส่วนจริงที่ใหญ่ที่สุดของค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ เมทริกซ์ Jacobian จะไม่อนุญาตให้ประเมินความเสถียรได้^{[ 9 ]}${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}$${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}$${\displaystyle F}$

ระบบสมการเชิงซ้อนไม่เชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของนิวตัน แบบวนซ้ำ วิธีนี้ใช้เมทริกซ์จาโคเบียนของระบบสมการ

เมทริกซ์ Jacobian ทำหน้าที่เป็นเมทริกซ์ออกแบบ เชิงเส้น ในการถดถอย ทางสถิติ และการปรับเส้นโค้งดูการกำลังสองน้อยที่สุดแบบไม่เชิงเส้นเมทริกซ์ Jacobian ยังใช้ในเมทริกซ์สุ่ม โมเมนต์ ความไวเฉพาะที่ และการวินิจฉัยทางสถิติ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• ท่อร่วมกลาง
• เมทริกซ์เฮสเซียน
• พุชฟอร์เวิร์ด (ดิฟเฟอเรนเชียล)

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "สถิติเปรียบเทียบและหลักการความสอดคล้อง" . พลวัตทางเศรษฐศาสตร์ (ฉบับที่สาม). เบอร์ลิน: Springer. หน้า  305–330 . ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H. ; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp.  412– 420. ISBN 0-387-96058-9.

• "Jacobian" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworldคำอธิบายเชิงเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับเมทริกซ์จาโคเบียน