ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่าง ยิ่ง ในแคลคูลัส หลายตัวแปร อินทิกรัลพื้นผิว เป็นการขยายความของอินทิกรัลหลายชั้นไปสู่การอิน ทิเกรต บนพื้นผิวอาจมองได้ว่าเป็นอิน ทิก รัลสองชั้น ที่เทียบได้กับอิน ทิกรัลเส้นเมื่อกำหนดพื้นผิวหนึ่งแล้ว เราสามารถอินทิเกรตฟิลด์สเกลาร์ (นั่นคือฟังก์ชันของตำแหน่งที่ให้ ค่าเป็นสเกลา ร์ ) หรือฟิลด์เวกเตอร์ (นั่นคือ ฟังก์ชันที่ให้ ค่าเป็น เวกเตอร์ ) บนพื้นผิวนั้นได้ ถ้าบริเวณ R ไม่แบนราบ ก็จะเรียกว่าพื้นผิวดังแสดงในภาพประกอบ

อินทิกรัลพื้นผิวมีการประยุกต์ใช้ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน ทฤษฎี คลาสสิกของแม่เหล็กไฟฟ้าและกลศาสตร์ ของไหล

สมมติว่าfเป็นฟิลด์สเกลาร์ เวกเตอร์ หรือเทนเซอร์ที่กำหนดบนพื้นผิวSในการหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับการอินทิกรัลพื้นผิวของfบนSเราจำเป็นต้องกำหนดพารามิเตอร์ ของ Sโดยการกำหนดระบบพิกัดโค้งบนSเช่นเดียวกับละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมให้การกำหนดพารามิเตอร์ดังกล่าวเป็นr ( s , t )โดยที่( s , t )เปลี่ยนแปลงในบางบริเวณTในระนาบจากนั้น การอินทิกรัลพื้นผิวจะกำหนดโดย

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} เสื้อ}$

โดยที่นิพจน์ระหว่างขีดบนด้านขวามือคือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อยของr ( s , t )และเรียกว่าองค์ประกอบ พื้นผิว (ซึ่งจะให้ค่าที่เล็กกว่า เช่น ใกล้ขั้วของทรงกลม ที่เส้นลองจิจูดมาบรรจบกันอย่างชัดเจนมากขึ้น และพิกัดละติจูดมีระยะห่างกันน้อยกว่า) ปริพันธ์พื้นผิวสามารถแสดงในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้เช่นกัน

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

โดยที่gคือดีเทอร์มิแนนต์ของรูปแบบพื้นฐานแรกของการแมปพื้นผิวr ( s , t ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราต้องการหาพื้นที่ผิวของกราฟของฟังก์ชันสเกลาร์บางฟังก์ชัน เช่นz = f ( x , y )เราจะได้

${\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

โดยที่r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ))ดังนั้นและดังนั้น ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นสูตรมาตรฐานสำหรับพื้นที่ผิวที่อธิบายด้วยวิธีนี้ เราสามารถสังเกตได้ว่าเวกเตอร์ในบรรทัดรองสุดท้ายข้างต้นคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว

เนื่องจากมีการปรากฏของผลคูณเชิงเวกเตอร์ สูตรข้างต้นจึงใช้ได้เฉพาะกับพื้นผิวที่ฝังอยู่ในพื้นที่สามมิติเท่านั้น

สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการรวมรูปแบบปริมาตรแบบรีมันน์บนพื้นผิวที่มีพารามิเตอร์ โดยที่เทนเซอร์เมตริกกำหนดโดยรูปแบบพื้นฐานแรกของพื้นผิว

พื้นผิวโค้งที่มีสนามเวกเตอร์พาดผ่าน ลูกศรสีแดง (เวกเตอร์) แสดงถึงขนาดและทิศทางของสนาม ณ จุดต่างๆ บนพื้นผิว${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

พื้นผิวถูกแบ่งออกเป็นส่วนเล็กๆโดยการกำหนดพารามิเตอร์ของพื้นผิว${\displaystyle dS=du\,dv}$${\displaystyle [u(\mathbf {x} ),v(\mathbf {x} )]}$

ฟลักซ์ที่ผ่านแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับส่วนประกอบปกติ (ตั้งฉาก) ของสนามณ ตำแหน่งของส่วนนั้นคูณด้วยพื้นที่ส่วนประกอบปกติมีค่าเท่ากับผลคูณดอทของกับเวกเตอร์ปกติหน่วย(ลูกศรสีฟ้า)${\displaystyle F_{n}(\mathbf {x} )=F(\mathbf {x} )\cos \theta }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle dS}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} )}$

ปริมาณการไหลรวมผ่านพื้นผิวหาได้จากการรวมค่าของแต่ละส่วนย่อย ในกรณีที่ส่วนย่อยมีขนาดเล็กมากจนแทบไม่มีนัยสำคัญ ค่าที่ได้จะเป็นปริมาณอินทิกรัลบนพื้นผิว${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \;dS}$${\textstyle \iint _{S}\mathbf {F\cdot n} \;dS}$

พิจารณาฟิลด์เวกเตอร์vบนพื้นผิวSซึ่งก็คือ สำหรับแต่ละr = ( x , y , z )ในSนั้นv ( r ) เป็นเวกเตอร์

ในส่วนก่อนหน้านี้ได้มีการนิยาม ปริพันธ์ของvบนSไว้แล้ว สมมติว่าตอนนี้เราต้องการหาปริพันธ์เฉพาะส่วนประกอบแนวตั้งฉากของสนามเวกเตอร์เหนือพื้นผิว ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าสเกลาร์ ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าฟลักซ์ที่ผ่านพื้นผิว ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าเรามีของเหลวไหลผ่านSโดยที่v ( r ) กำหนดความเร็วของของเหลวที่rฟลักซ์ถูกนิยามว่าเป็นปริมาณของของเหลวที่ไหลผ่านSต่อหน่วยเวลา

ภาพประกอบนี้แสดงให้เห็นว่า ถ้าเวกเตอร์ฟิลด์สัมผัสกับพื้นผิวSที่แต่ละจุด ฟลักซ์จะเป็นศูนย์ เพราะบนพื้นผิวSของเหลวจะไหลไปตามพื้น ผิว Sเท่านั้น ไม่ไหลเข้าหรือออก นอกจากนี้ยังหมายความว่า ถ้าvไม่ได้ไหลไปตามพื้นผิวSเท่านั้น นั่นคือ ถ้าvมีทั้งส่วนประกอบสัมผัสและส่วนประกอบตั้งฉาก จะมีเพียงส่วนประกอบตั้งฉากเท่านั้นที่ส่งผลต่อฟลักซ์ จากเหตุผลนี้ ในการหาฟลักซ์ เราต้องหาผลคูณดอทของ vกับเวกเตอร์หน่วย ตั้ง ฉากกับพื้นผิวSที่แต่ละจุด ซึ่งจะให้ค่าฟิลด์สเกลาร์ จากนั้นจึงทำการอินทิเกรตฟิลด์ที่ได้ดังที่กล่าวมาข้างต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องอินทิเกรตvเทียบกับเวกเตอร์องค์ประกอบพื้นผิวn ซึ่งเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้น ผิว Sที่จุดที่กำหนด โดยมีขนาดของมันคือ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} ={\mathbf {n} }\mathrm {d} s}$${\displaystyle \mathrm {d} s=\|\mathrm {d} {\mathbf {s} }\|.}$

เราพบสูตร

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}{\mathbf {v} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {s} }&=\iint _{S}\left({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\right)\,\mathrm {d} s\\&{}=\iint _{T}\left({\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot {{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}} \over \left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|}\right)\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&{}=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {r} (s,t))\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

ผลคูณเวกเตอร์ทางด้านขวามือของนิพจน์สุดท้ายคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์เอกลักษณ์) ที่กำหนดโดยการกำหนดพารามิเตอร์

สูตรนี้กำหนดปริมาณอินทิกรัลทางด้านซ้าย (โปรดสังเกตจุดและสัญลักษณ์เวกเตอร์สำหรับองค์ประกอบพื้นผิว)

เราอาจตีความสิ่งนี้ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของการอินทิเกรต 2-ฟอร์ม โดยที่เรากำหนดฟิลด์เวกเตอร์ให้เป็น 1-ฟอร์ม แล้วจึงอินทิเกรตHodge dual ของมัน บนพื้นผิว ซึ่งเทียบเท่ากับการอินทิเกรตบนพื้นผิวที่ฝังตัวอยู่ โดยที่คือฟอร์มปริมาตรเหนี่ยวนำบนพื้นผิว ซึ่งได้มาจากการคูณภายในของเมตริกแบบรีมันน์ของปริภูมิแวดล้อมกับเวกเตอร์ตั้งฉากภายนอกของพื้นผิว ${\displaystyle \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {n} \right\rangle \mathrm {d} S}$${\displaystyle \mathrm {d} S}$

อนุญาต

${\displaystyle f=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\,f_{z}+\mathrm {d} y\mathrm {d} z\,f_{x}+\mathrm {d} z\mathrm {d} x\,f_{y}}$

ให้ เป็นรูปแบบ 2 มิติเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดบนพื้นผิวSและให้

${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$

เป็นการกำหนดพารามิเตอร์แบบรักษาทิศทางของSภายในD การเปลี่ยนพิกัดจากเป็น รูป แบบเชิงอนุพันธ์จะแปลงเป็น ${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (s,t)}$

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial x}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial s}}\mathrm {d} s+{\frac {\partial y}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

ดังนั้นจะแปลงเป็นโดยที่หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนของฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่านจากไปการแปลงรูปแบบอื่นๆ ก็คล้ายกัน ${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\mathrm {d} s\mathrm {d} t}$${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}}$${\displaystyle (s,t)}$${\displaystyle (x,y)}$

จากนั้น อินทิกรัลพื้นผิวของfบนSจะได้จาก

${\displaystyle \iint _{D}\left[f_{z}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}+f_{x}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {r} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}$

คือองค์ประกอบพื้นผิวที่ตั้งฉากกับ S

โปรดทราบ ว่า ปริพันธ์พื้นผิวของ 2-ฟอร์มนี้เหมือนกับปริพันธ์พื้นผิวของสนามเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเป็น, และ${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$${\displaystyle f_{z}}$

สามารถอนุมานผลลัพธ์ที่มีประโยชน์ต่างๆ เกี่ยวกับปริพันธ์บนพื้นผิวได้โดยใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเวกเตอร์เช่นทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ฟลักซ์แม่เหล็กและทฤษฎีบทสโตกส์ซึ่ง เป็นการขยายความของทฤษฎีบทนี้

โปรดสังเกตว่าเราได้กำหนดนิยามของปริพันธ์พื้นผิวโดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ของพื้นผิวSเรารู้ว่าพื้นผิวที่กำหนดอาจมีการกำหนดพารามิเตอร์ได้หลายแบบ ตัวอย่างเช่น ถ้าเราย้ายตำแหน่งของขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้บนทรงกลม ละติจูดและลองจิจูดจะเปลี่ยนแปลงสำหรับทุกจุดบนทรงกลม คำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติก็คือ นิยามของปริพันธ์พื้นผิวขึ้นอยู่กับการกำหนดพารามิเตอร์ที่เลือกหรือไม่ สำหรับปริพันธ์ของสนามสเกลาร์ คำตอบของคำถามนี้ง่ายมาก ค่าของปริพันธ์พื้นผิวจะเท่ากันไม่ว่าเราจะใช้การกำหนดพารามิเตอร์แบบใดก็ตาม

สำหรับการอินทิกรัลของสนามเวกเตอร์นั้น สิ่งต่างๆ จะซับซ้อนกว่า เพราะเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว สามารถพิสูจน์ได้ว่า เมื่อกำหนดพารามิเตอร์สองแบบให้กับพื้นผิวเดียวกัน โดยที่เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวชี้ไปในทิศทางเดียวกัน จะได้ค่าอินทิกรัลพื้นผิวเดียวกันจากทั้งสองพารามิเตอร์ อย่างไรก็ตาม หากเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวของพารามิเตอร์ทั้งสองชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ค่าของอินทิกรัลพื้นผิวที่ได้จากพารามิเตอร์แบบหนึ่งจะเป็นค่าลบของค่าที่ได้จากพารามิเตอร์อีกแบบหนึ่ง ดังนั้น เมื่อกำหนดพื้นผิวแล้ว เราไม่จำเป็นต้องยึดติดกับพารามิเตอร์แบบใดแบบหนึ่ง แต่เมื่อทำการอินทิเกรตสนามเวกเตอร์ เราจำเป็นต้องตัดสินใจล่วงหน้าว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวจะชี้ไปในทิศทางใด แล้วจึงเลือกพารามิเตอร์ใดๆ ที่สอดคล้องกับทิศทางนั้น

อีกประเด็นหนึ่งคือ บางครั้งพื้นผิวไม่มีการกำหนดพารามิเตอร์ที่ครอบคลุมพื้นผิวทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนคือการแบ่งพื้นผิวนั้นออกเป็นหลายส่วน คำนวณปริพันธ์พื้นผิวบนแต่ละส่วน แล้วนำมารวมกันทั้งหมด นี่คือวิธีการทำงานที่ถูกต้อง แต่เมื่อทำการอินทิเกรตสนามเวกเตอร์ เราต้องระมัดระวังอีกครั้งในการเลือกเวกเตอร์ปกติที่ชี้ไปยังแต่ละส่วนของพื้นผิว เพื่อให้เมื่อนำส่วนต่างๆ มารวมกันแล้ว ผลลัพธ์จะสอดคล้องกัน สำหรับทรงกระบอก นั่นหมายความว่า ถ้าเราตัดสินใจว่าสำหรับบริเวณด้านข้าง เวกเตอร์ปกติจะชี้ออกนอกตัวทรงกระบอกแล้ว สำหรับส่วนวงกลมด้านบนและด้านล่าง เวกเตอร์ปกติก็ต้องชี้ออกนอกตัวทรงกระบอกด้วยเช่นกัน

สุดท้ายนี้ ยังมีพื้นผิวบางประเภทที่ไม่สามารถหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวได้ทุกจุดโดยให้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกัน (เช่นแถบโมเบียส ) หากเราแบ่งพื้นผิวดังกล่าวออกเป็นชิ้นๆ แล้วเลือกพารามิเตอร์และเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวที่สอดคล้องกันในแต่ละชิ้น จากนั้นนำชิ้นส่วนเหล่านั้นมาประกอบกันใหม่ เราจะพบว่าเวกเตอร์ตั้งฉากที่มาจากชิ้นส่วนต่างๆ นั้นไม่สามารถหาค่าที่ตรงกันได้ ซึ่งหมายความว่า ณ จุดเชื่อมต่อระหว่างสองชิ้นส่วน เราจะมีเวกเตอร์ตั้งฉากที่ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม พื้นผิวเช่นนี้เรียกว่าพื้นผิวที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้และบนพื้นผิวประเภทนี้ เราไม่สามารถพูดถึงการอินทิเกรตสนามเวกเตอร์ได้

• องค์ประกอบพื้นที่
• ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
• ทฤษฎีบทของสโตกส์
• อินทิกรัลเส้น
• องค์ประกอบเส้น
• องค์ประกอบปริมาตร
• ปริมาตรอินทิกรัล
• ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
• องค์ประกอบปริมาตรและพื้นที่ผิวในระบบพิกัดทรงกลม
• องค์ประกอบปริมาตรและพื้นที่ผิวในระบบพิกัดทรงกระบอก
• วิธีการโฮลสไตน์-เฮอร์ริ่ง

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ปริพันธ์พื้นผิว" . MathWorld .