ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์การทดสอบอนุกรมสลับเครื่องหมายพิสูจน์ว่าอนุกรมสลับเครื่องหมายลู่เข้าเมื่อพจน์ของมันลดลงอย่างต่อเนื่องในค่าสัมบูรณ์และเข้าใกล้ศูนย์ในลิมิต การทดสอบนี้คิดค้นโดยGottfried Leibnizและบางครั้งเรียกว่าการทดสอบของ Leibniz กฎของ Leibnizหรือเกณฑ์ของLeibnizการทดสอบนี้เพียงพอเท่านั้น ไม่ใช่จำเป็น ดังนั้นอนุกรมสลับเครื่องหมายที่ลู่เข้าบางชุดอาจไม่ผ่านการทดสอบส่วนแรก^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

สำหรับการสรุปโดยทั่วไป โปรดดู การ ทดสอบของ Dirichlet ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

ไลบ์นิซได้อภิปรายเกณฑ์ดังกล่าวในหนังสือDe quadratura arithmeticaที่ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2319 ^{[ 7 ] [ 8 ]}และได้แบ่งปันผลลัพธ์ของเขากับยาคอบ เฮอร์มันน์ในเดือนมิถุนายน พ.ศ. 2348 ^{[ 9 ]}และกับโยฮันน์ เบอร์นูลลีในเดือนตุลาคม พ.ศ. 2356 ^{[ 10 ]}ซึ่งได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2536 เท่านั้น^{[ 11 ] [ 12 ]}

ชุดของรูปแบบ

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$$

อนุกรมที่ค่าa และ_n ทั้งหมด เป็นบวก หรือค่าa และ_n ทั้งหมด เป็นลบ เรียกว่าอนุกรม สลับเครื่องหมาย

การทดสอบอนุกรมสลับรับประกันว่าอนุกรมสลับจะลู่เข้าหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

1. ${\displaystyle |a_{n}|}$ลดลงอย่างต่อเนื่อง^{[ a ]} ​​เช่นและ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

ยิ่งไปกว่านั้น ให้Lแทนผลรวมของอนุกรม จากนั้นผลรวมย่อยจะประมาณค่าLโดยมีข้อผิดพลาดที่จำกัดโดยพจน์ที่ถูกละเว้นถัดไป: ${\textstyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!}$

$${\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k+1}\right\vert =a_{k+1}.\!}$$

สมมติว่าเราได้รับอนุกรมในรูปแบบโดยที่และสำหรับจำนวนธรรมชาติn ทั้งหมด (กรณีนี้เกิดขึ้นจากการใช้ค่าลบ) ^{[ 14 ]}${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}\!}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!}$

เราจะพิสูจน์ว่าผลรวมย่อยทั้งที่มีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่และเลขคู่ ต่างก็ลู่เข้าสู่จำนวนเดียวกันคือ Lดังนั้น ผลรวมย่อยแบบปกติจึงลู่เข้าสู่L ด้วยเช่น กัน ${\textstyle S_{2m+1}=\sum _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{2m}=\sum _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$${\textstyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$

ผลรวมย่อยคี่จะลดลงอย่างต่อเนื่อง:

$${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1}}$$

ในขณะที่ผลรวมย่อยที่เป็นเลขคู่จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง:

$${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}}$$

ทั้งสองกรณีเป็นเพราะค่า_nลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อn เพิ่ม ขึ้น

นอกจากนี้ เนื่องจากnเป็นค่าบวก ดังนั้น. ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถรวบรวมข้อเท็จจริงเหล่านี้เพื่อสร้างอสมการที่น่าสนใจดังต่อไปนี้ _:${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}\geq 0}$

$${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$$

ทีนี้ โปรดสังเกตว่าa ₁ − a ₂เป็นขอบล่างของลำดับที่ลดลงอย่างต่อเนื่องS _2m+1ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนจึงบ่งชี้ว่าลำดับนี้จะลู่เข้าเมื่อmเข้าใกล้อินฟินิตี้ ในทำนองเดียวกัน ลำดับของผลรวมย่อยคู่ก็ลู่เข้าเช่นกัน

สุดท้ายแล้ว ตัวเลขทั้งสองจะต้องลู่เข้าสู่จำนวนเดียวกัน เพราะ. ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0}$

เรียกค่าลิมิตว่าLจากนั้นทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนยังให้ข้อมูลเพิ่มเติมแก่เราอีกด้วยว่า

$${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$$

สำหรับค่า m ใดๆ ก็ตาม นั่นหมายความว่าผลรวมย่อยของอนุกรมสลับเครื่องหมายจะ "สลับเครื่องหมาย" อยู่เหนือและใต้ค่าจำกัดสุดท้าย กล่าวคือ เมื่อจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ (เลขคู่) กล่าวคือ พจน์สุดท้ายเป็นพจน์บวก (ลบ) ผลรวมย่อยจะอยู่เหนือ (ใต้) ค่าจำกัดสุดท้าย

ความเข้าใจนี้จะนำไปสู่ขอบเขตความคลาดเคลื่อนของผลรวมย่อยได้ทันที ดังแสดงด้านล่าง

เราต้องการแสดงให้เห็นโดยการแบ่งออกเป็นสองกรณี ${\displaystyle \left|S_{k}-L\right|\leq a_{k+1}\!}$

เมื่อk = 2m + 1 นั่นคือจำนวนคี่ แล้ว

$${\displaystyle \left|S_{2m+1}-L\right|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$$

เมื่อk = 2m นั่นคือเป็นจำนวนคู่แล้ว

$${\displaystyle \left|S_{2m}-L\right|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}}$$

ตามความต้องการ

ทั้งสองกรณีนี้อาศัยอสมการสุดท้ายที่ได้มาจากการพิสูจน์ก่อนหน้านี้เป็นหลัก

Philip Calabrese (1962) ^{[ 15 ]}และ Richard Johnsonbaugh (1979) ^{[ 16 ]}ได้พบขอบเขตที่แคบลง^{[ 17 ]}

อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

ตรงตามเงื่อนไขทั้งสองข้อสำหรับการทดสอบอนุกรมสลับและลู่เข้า

เงื่อนไขทั้งสองข้อในการทดสอบต้องเป็นไปตามที่กำหนดจึงจะถือว่าข้อสรุปนั้นเป็นจริง ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุกรมต่อไปนี้

$${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots \ .}$$

เครื่องหมายสลับกันและพจน์มีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ไม่มีความเป็นเอกพันธุ์ และเราไม่สามารถใช้การทดสอบได้ อันที่จริง อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากผลรวมย่อยเรามีซึ่งเป็นสองเท่าของผลรวมย่อยของอนุกรมฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า ดังนั้น อนุกรมดั้งเดิมจึงเป็นอนุกรมลู่เข้า ${\textstyle S_{2n}}$$S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$

ความเป็นเอกรูปของการทดสอบของไลบ์นิซไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็น ดังนั้นการทดสอบนั้นจึงเป็นเพียงเงื่อนไขที่เพียงพอ แต่ไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็น

ตัวอย่างของอนุกรมที่ไม่เป็นไปตามลำดับเดียวแต่ลู่เข้า ได้แก่:

$${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}\quad {\text{และ}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\cos ^{2}n}{n^{2}}}\ .}$$

ในความเป็นจริง สำหรับอนุกรมโมโนโทนิกทุกชุด เป็นไปได้ที่จะได้รับอนุกรมที่ไม่ใช่โมโนโทนิกจำนวนอนันต์ที่ลู่เข้าสู่ผลรวมเดียวกันโดยการสลับพจน์ของอนุกรมนั้นด้วยการสลับที่ตรงตามเงื่อนไขใน ทฤษฎีบท ของAgnew ^{[ 18 ]}

• อนุกรมสลับ
• การทดสอบของ Dirichlet