ประวัติศาสตร์ของแคลคูลัสเต็มไปด้วยการถกเถียงเชิงปรัชญาเกี่ยวกับความหมายและความถูกต้องเชิงตรรกะของฟลักซ์ชันหรือ จำนวน อนันต์วิธีมาตรฐานในการแก้ไขการถกเถียงเหล่านี้คือการกำหนดการดำเนินการของแคลคูลัสโดยใช้ลิมิตแทนที่จะ ใช้จำนวนอนันต์ การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}กลับปรับปรุงแคลคูลัสใหม่โดยใช้แนวคิดที่เข้มงวดเชิงตรรกะของจำนวน อนันต์

การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานมีต้นกำเนิดในช่วงต้นทศวรรษ 1960 โดยนักคณิตศาสตร์Abraham Robinson [ ^{4 ] [ 5 ] เขา}เขียนว่า:

...แนวคิดเรื่องปริมาณที่เล็กมากจนเป็นอนันต์หรือ ปริมาณ อนันต์เล็กจิ๋วดูเหมือนจะสอดคล้องกับสัญชาตญาณของเราโดยธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม การใช้ปริมาณอนันต์เล็กจิ๋วแพร่หลายมากในช่วงเริ่มต้นของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงปริพันธ์ ส่วนข้อโต้แย้งที่ว่า...ระยะห่างระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนที่แตกต่างกันนั้นไม่สามารถเล็กเป็นอนันต์ได้กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซโต้แย้งว่าทฤษฎีของปริมาณอนันต์เล็กจิ๋วหมายถึงการแนะนำจำนวนในอุดมคติ ซึ่งอาจเล็กเป็นอนันต์หรือใหญ่เป็นอนันต์เมื่อเทียบกับจำนวนจริง แต่จะต้องมีคุณสมบัติเช่นเดียวกับจำนวนจริง

โรบินสันแย้งว่ากฎความต่อเนื่องของไลบ์นิซนี้เป็นต้นแบบของหลักการถ่ายโอนโรบินสันกล่าวต่อว่า:

อย่างไรก็ตาม ทั้งตัวเขาและศิษย์และผู้สืบทอดของเขาไม่สามารถพัฒนาระบบประเภทนี้ได้อย่างมีเหตุผล ส่งผลให้ทฤษฎีอนันต์ค่อยๆ เสื่อมเสียชื่อเสียงและในที่สุดก็ถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีลิมิตแบบคลาสสิก^{[ 6 ]}

โรบินสันกล่าวต่อว่า:

... แนวคิดของไลบ์นิซสามารถพิสูจน์ได้อย่างสมบูรณ์ และ... นำไปสู่แนวทางใหม่และมีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์แบบคลาสสิกและสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์อีกมากมาย หัวใจสำคัญของวิธีการของเรามาจากการวิเคราะห์อย่างละเอียดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างภาษาคณิตศาสตร์และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีแบบจำลอง ร่วม สมัย

ในปี พ.ศ. 2516 Arend Heyting นักสัญชาตญาณนิยม ยกย่องการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานว่าเป็น "แบบจำลองมาตรฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ" ^{[ 7 ]}

สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของฟิลด์เรียงลำดับ จะเรียกว่าอนันต์เล็ก (infinitesimal) ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ ของมัน น้อยกว่าสมาชิกใดๆ ของ ฟิลด์เรียง ลำดับที่มีรูปแบบสำหรับจำนวนธรรมชาติมาตรฐานฟิลด์เรียงลำดับที่มีสมาชิกอนันต์เล็กเรียกว่าฟิลด์ไม่อาร์คิมีเดียน (non-Archimedean ) โดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์ แบบไม่มาตรฐาน (nonstandard analysis ) คือคณิตศาสตร์รูปแบบใดๆ ที่อาศัยแบบจำลองที่ไม่มาตรฐานและหลักการถ่ายโอน (transfer principle ) ฟิลด์ที่สอดคล้องกับหลักการถ่ายโอนสำหรับจำนวนจริงเรียกว่าฟิลด์ปิดจริง (real closed field ) และการวิเคราะห์จริงแบบ ไม่มาตรฐาน ใช้ฟิลด์เหล่านี้เป็นแบบจำลองที่ไม่มาตรฐานของจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$

แนวทางดั้งเดิมของโรบินสันนั้นอิงตามแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานของสาขาจำนวนจริง หนังสือพื้นฐานคลาสสิกของเขาเกี่ยวกับเรื่องนี้คือNonstandard Analysisได้รับการตีพิมพ์ในปี 1966 และยังคงวางจำหน่ายอยู่^{[ 8 ]}ในหน้า 88 โรบินสันเขียนว่า:

การมีอยู่ของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นมาตรฐานนั้นถูกค้นพบโดยThoralf Skolem (1934) วิธีการของ Skolem เป็นลางบอกเหตุถึง การสร้าง เลขยกกำลังพิเศษ [...]

จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาทางเทคนิคหลายประการในการพัฒนาแคลคูลัสของปริมาณอนันต์ขนาดเล็ก ตัวอย่างเช่น การสร้างฟิลด์เรียงลำดับที่มีปริมาณอนันต์ขนาดเล็กนั้นไม่เพียงพอ โปรดดูบทความเรื่องจำนวนไฮเปอร์เรียลสำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับแนวคิดที่เกี่ยวข้องบางประการ

ในส่วนนี้ เราจะอธิบายวิธีการที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการกำหนดฟิลด์ไฮเปอร์เรียลให้เป็นฟิลด์ของจำนวนจริง และให้เป็นเซมิริงของจำนวนธรรมชาติ ให้ แทนเซตของลำดับของจำนวนจริง ฟิลด์ถูกนิยามเป็นผลหารที่เหมาะสมของดังต่อไปนี้ พิจารณาอัลตราฟิลเตอร์ ที่ไม่ใช่หลัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งประกอบด้วยฟิลเตอร์ Fréchetพิจารณาคู่ของลำดับ ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle F\subseteq P(\mathbb {N} )}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

เรากล่าวว่าและเทียบเท่ากัน หากทั้งสองตรงกันบนเซตของดัชนีที่เป็นสมาชิกของอัลตราฟิลเตอร์ หรือในสูตร: ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :u_{n}=v_{n}\}\in F}$

ผลหารของโดยความสัมพันธ์สมมูลที่ได้นั้นเป็นฟิลด์ไฮเปอร์เรียลซึ่ง เป็นสถานการณ์ที่สรุปได้ด้วยสูตร${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} ={\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}/{F}}$

มีเหตุผลอย่างน้อยสามประการที่ควรพิจารณาการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน ได้แก่ เหตุผลทางประวัติศาสตร์ ทางการศึกษา และทางเทคนิค

การพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในช่วงแรกๆ โดยนิวตันและไลบ์นิซส่วนใหญ่ถูกกำหนดขึ้นโดยใช้การแสดงออกเช่นจำนวนเชิงอนุพันธ์และปริมาณที่หายไปการกำหนดเหล่านี้ได้รับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกว้างขวางโดยจอร์จ เบิร์กลีย์และคนอื่นๆ ความท้าทายในการพัฒนาทฤษฎีการวิเคราะห์ที่สอดคล้องกันและน่าพอใจโดยใช้เชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไขเป็นครั้งแรกโดยอับราฮัม โรบินสัน^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2491 Curt Schmieden และDetlef Laugwitzได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ^{[ 9 ]} ("การขยายแคลคูลัสเชิงอนันต์") ซึ่งเสนอการสร้างวงแหวนที่มีอนันต์ขนาดเล็ก วงแหวนนี้สร้างขึ้นจากลำดับของจำนวนจริง ลำดับสองลำดับจะถือว่าเทียบเท่ากันหากแตกต่างกันเพียงจำนวนองค์ประกอบที่จำกัดเท่านั้น การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดตามองค์ประกอบ อย่างไรก็ตาม วงแหวนที่สร้างขึ้นในลักษณะนี้มีตัวหารศูนย์ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นฟิลด์ได้

H. Jerome Keisler , David Tallและนักการศึกษาคนอื่นๆ ยืนยันว่าการใช้อินฟินิตี้ซิมอลนั้นเข้าใจง่ายกว่าและนักเรียนเข้าใจได้ง่ายกว่าวิธีการ "เอปซิลอน-เดลต้า"ในแนวคิดเชิงวิเคราะห์^{[ 10 ]}วิธีการนี้บางครั้งอาจให้การพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ง่ายกว่าการกำหนดสูตรเอปซิลอน-เดลต้าที่สอดคล้องกันของการพิสูจน์ การลดความซับซ้อนส่วนใหญ่มาจากการใช้กฎเลขคณิตที่ไม่เป็นมาตรฐานที่ง่ายมาก ดังต่อไปนี้:

เล็กน้อย × จำกัด = เล็กน้อย

เล็กน้อยมาก + เล็กน้อยมาก = เล็กน้อยมาก

พร้อมกับหลักการถ่ายโอน (ซึ่งจะกล่าวถึงเพิ่มเติมในภายหลัง)

การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานในเชิงการสอนอีกประการหนึ่งคือ การปฏิบัติของ เอ็ดเวิร์ด เนลสันเกี่ยวกับทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม^{[ 11 ]}

งานวิจัยล่าสุดบางส่วนได้ดำเนินการวิเคราะห์โดยใช้แนวคิดจากการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการตรวจสอบกระบวนการจำกัดของสถิติและฟิสิกส์คณิตศาสตร์Sergio Albeverioและคณะ^{[ 12 ]}ได้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้บางส่วน

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐานมีสองแนวทางหลักที่แตกต่างกัน คือ แนวทางเชิง ความหมายหรือเชิงแบบจำลองและแนวทางเชิงไวยากรณ์ ทั้งสองแนวทางนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ นอกเหนือจากการวิเคราะห์ได้ เช่น ทฤษฎีจำนวน พีชคณิต และโทโพโลยี

แนวคิดดั้งเดิมของโรบินสันเกี่ยวกับการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานนั้นจัดอยู่ในประเภทของแนวทางเชิงความหมายตามที่เขาพัฒนาขึ้นในบทความของเขา แนวทางนี้อิงจากการศึกษาแบบจำลอง (โดยเฉพาะแบบจำลองอิ่มตัว ) ของทฤษฎีนับตั้งแต่ผลงานของโรบินสันปรากฏขึ้นครั้งแรก แนวทางเชิงความหมายที่ง่ายกว่า (โดยเอเลียส ซาคอน) ได้ถูกพัฒนาขึ้นโดยใช้วัตถุเชิงเซตล้วนๆ ที่เรียกว่าโครงสร้างยิ่งยวดในแนวทางนี้แบบจำลองของทฤษฎีจะถูกแทนที่ด้วยวัตถุที่เรียกว่าโครงสร้างยิ่งยวดV ( S )บนเซตSโดยเริ่มจากโครงสร้างยิ่งยวดV ( S )เราสร้างวัตถุอีกชิ้นหนึ่ง* V ( S )โดยใช้ การสร้าง กำลังยิ่งยวดร่วมกับการแมปV ( S ) → * V ( S )ที่สอดคล้องกับหลักการถ่ายโอน การแมป * เชื่อมโยงคุณสมบัติเชิงรูปธรรมของV ( S )และ* V ( S )ยิ่งไปกว่านั้น ยังสามารถพิจารณารูปแบบที่ง่ายกว่าของการอิ่มตัวที่เรียกว่าการอิ่มตัวแบบนับได้วิธีการที่เรียบง่ายนี้ยังเหมาะสมกว่าสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ไม่เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีแบบจำลองหรือตรรกศาสตร์อีกด้วย

แนวทางเชิงไวยากรณ์ต้องการตรรกะและทฤษฎีแบบจำลองน้อยกว่ามากในการทำความเข้าใจและใช้งาน แนวทางนี้ได้รับการพัฒนาในช่วงกลางทศวรรษ 1970 โดยนักคณิตศาสตร์Edward Nelson Nelson ได้นำเสนอสูตรเชิงสัจพจน์ทั้งหมดของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานซึ่งเขาเรียกว่าทฤษฎีเซตภายใน (IST) ^{[ 13 ]} IST เป็นส่วนขยายของทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel (ZF) โดยที่นอกเหนือจากความสัมพันธ์การเป็นสมาชิกแบบไบนารีพื้นฐาน ∈ แล้ว ยังได้แนะนำมาตรฐาน ภาคแสดงเอกภาคใหม่ ซึ่งสามารถนำไปใช้กับองค์ประกอบของจักรวาลทางคณิตศาสตร์พร้อมกับสัจพจน์บางประการสำหรับการให้เหตุผลด้วยภาคแสดงใหม่นี้

การวิเคราะห์ไวยากรณ์ที่ไม่เป็นมาตรฐานต้องใช้ความระมัดระวังอย่างมากในการใช้หลักการสร้างเซต (ซึ่งเรียกอย่างเป็นทางการว่าสัจพจน์ของการเข้าใจ ) ซึ่งนักคณิตศาสตร์มักจะถือว่าเป็นเรื่องปกติ ดังที่เนลสันชี้ให้เห็น ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลใน IST คือการสร้างเซตที่ไม่ถูกต้องตัวอย่างเช่น ไม่มีเซตใดใน IST ที่มีองค์ประกอบเป็นจำนวนเต็มมาตรฐาน (ในที่นี้มาตรฐานหมายถึงความหมายของภาคแสดงใหม่) เพื่อหลีกเลี่ยงการสร้างเซตที่ไม่ถูกต้อง ต้องใช้เฉพาะภาคแสดงของ ZFC ในการกำหนดเซตย่อยเท่านั้น^{[ 13 ]}

อีกตัวอย่างหนึ่งของแนวทางไวยากรณ์คือทฤษฎีเซตทางเลือกของ Vopěnka [ ^{14 ]}ซึ่งพยายามค้นหาสัจพจน์ของทฤษฎีเซตที่เข้ากันได้กับการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานมากกว่าสัจพจน์ของ ^ZF

หนังสือ Non-standard Analysisของ Abraham Robinson ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1966 หัวข้อบางส่วนที่พัฒนาขึ้นในหนังสือเล่มนี้มีอยู่แล้วในบทความของเขาในปี 1961 ที่มีชื่อเดียวกัน (Robinson 1961) ^{[ 15 ]}นอกจากจะมีเนื้อหาเกี่ยวกับการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานอย่างครบถ้วนเป็นครั้งแรกแล้ว หนังสือเล่มนี้ยังมีส่วนประวัติศาสตร์โดยละเอียด ซึ่ง Robinson ได้ท้าทายความคิดเห็นที่ได้รับการยอมรับบางประการเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์โดยอิงจากการรับรู้ก่อนการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานเกี่ยวกับอนันต์เล็ก ๆ ว่าเป็นสิ่งที่ไม่สอดคล้องกัน ดังนั้น Robinson จึงท้าทายความคิดที่ว่า " ทฤษฎีบทผลรวม " ของAugustin-Louis CauchyในCours d'Analyseเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมของฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นไม่ถูกต้อง และเสนอการตีความสมมติฐานโดยอิงจากอนันต์เล็ก ๆ ซึ่งส่งผลให้ได้ทฤษฎีบทที่ถูกต้อง

Abraham Robinson และ Allen Bernstein ใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบ กระชับพหุนามทุกตัว บนปริภูมิฮิลเบิร์ตมีปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 16 ]}

กำหนดให้ตัวดำเนินการTบนปริภูมิฮิลเบิร์ตHพิจารณาเส้นทางโคจรของจุดvในHภายใต้การวนซ้ำของTการใช้ทฤษฎีบทแกรม-ชมิดต์จะได้ฐานเชิงตั้งฉาก( e _i )สำหรับHให้( H _i )เป็นลำดับซ้อนกันของปริภูมิย่อย "พิกัด" ที่สอดคล้องกันของHเมทริกซ์a _i,jที่แสดงTเทียบกับ( e _i )เกือบจะเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน ในแง่ที่ว่าสัมประสิทธิ์a _{i +1, i}เป็นสัมประสิทธิ์ย่อยแนวทแยงมุมที่ไม่เป็นศูนย์เพียงอย่างเดียว เบิร์นสไตน์และโรบินสันแสดงให้เห็นว่าถ้าTเป็นปริภูมิกระชับพหุนามแล้วจะมีดัชนีไฮเปอร์ไฟไนต์wที่ทำให้สัมประสิทธิ์เมทริกซ์a _{w +1, w}มีค่าเล็กน้อยมาก ต่อไป พิจารณาปริภูมิย่อยH _wของ* Hถ้าyในH _wมีนอร์มจำกัดแล้วT ( y )จะอยู่ใกล้กับH _w อย่างไม่มี ที่ สิ้นสุด

ให้T _wเป็นตัวดำเนินการที่กระทำต่อH _wโดยที่P _wคือการฉายภาพเชิงตั้งฉากไปยังH _wให้q เป็น พหุนามที่q ( T )เป็นพหุนามกระชับ ปริภูมิย่อยH _wเป็นปริภูมิภายในที่มีมิติไฮเปอร์ไฟไนต์ โดยการถ่ายโอนการทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมบนของตัวดำเนินการของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด จะมีฐานปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงตั้งฉากภายใน( e _k )สำหรับH _wโดยที่kมีค่าตั้งแต่1ถึงwซึ่งปริภูมิย่อยE _k ที่มีมิติ k ที่สอดคล้องกันแต่ละปริภูมิ จะเป็นปริภูมิ ที่ไม่เปลี่ยนแปลง ภายใต้ T ให้Π _k เป็นการฉายภาพไปยังปริภูมิย่อย E _kสำหรับเวกเตอร์x ที่ไม่เป็นศูนย์ ที่มีนอร์มจำกัดในHเราสามารถสมมติได้ว่าq ( T )( x )ไม่เป็นศูนย์ หรือ| q ( T )( x )| > 1เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น เนื่องจากq ( T )เป็นตัวดำเนินการกระชับ( q ( Tw ₎ )( x )จึงอยู่ใกล้q ( T )( x ) อย่างไม่มีที่สิ้นสุด และด้วยเหตุนี้จึงมี| q ( Tw )( _x ) | > 1 _ด้วยทีนี้ให้jเป็นดัชนีที่มากที่สุดที่ทำให้แล้วปริภูมิขององค์ประกอบมาตรฐานทั้งหมดที่อยู่ใกล้ Ej อย่างไม่มีที่สิ้นสุดคือปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนที่ต้องการ ${\displaystyle P_{w}\circ T}$${\textstyle \left|q(T_{w})\left(\prod _{j}(x)\right)\right|<{\tfrac {1}{2}}}$

เมื่ออ่านเอกสารฉบับร่างของ Bernstein และ Robinson แล้วPaul Halmosได้ตีความการพิสูจน์ของพวกเขาใหม่โดยใช้เทคนิคมาตรฐาน^{[ 17 ]}เอกสารทั้งสองฉบับปรากฏต่อเนื่องกันในวารสารPacific Journal of Mathematics ฉบับเดียวกัน แนวคิดบางอย่างที่ใช้ในการพิสูจน์ของ Halmos ปรากฏขึ้นอีกครั้งในอีกหลายปีต่อมาในงานของ Halmos เองเกี่ยวกับตัวดำเนินการกึ่งสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์อื่นๆ ได้รับตามแนวทางการตีความใหม่หรือการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ทราบก่อนหน้านี้ ที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทเออร์โกดิกของบุคคลโดย Teturo Kamae ^{[ 18 ]} หรือ การวิเคราะห์ ทฤษฎีบทของ Gromov เกี่ยว กับกลุ่มของการเติบโตพหุนาม โดย L. van den Dries และAlex Wilkie ^{[ 19 ]} Larry Manevitz และ Shmuel Weinbergerใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต^{[ 20 ]}

อย่างไรก็ตาม ผลงานที่แท้จริงของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานนั้นอยู่ที่แนวคิดและทฤษฎีบทที่ใช้ภาษาขยายใหม่ของทฤษฎีเซตที่ไม่เป็นมาตรฐาน ในบรรดารายการการประยุกต์ใช้ใหม่ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีแนวทางใหม่ๆ ในเรื่องความน่าจะเป็น^{[ 11 ]} อุทกพลศาสตร์^{[ 21 ]}ทฤษฎีการวัด^{[ 22 ]}การวิเคราะห์ที่ไม่เรียบและฮาร์มอนิก^{[ 23 ]}เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานกับทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างการเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นการเดินแบบสุ่ม Albeverio et al. ^{[ 12 ]}มีบทนำเกี่ยวกับพื้นที่การวิจัยนี้

ในแง่ของสัจพจน์ สัจพจน์ความเป็นสากลยิ่งของ Boffa ได้ถูกนำไปใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเชิงสัจพจน์^{[ 24 ]}

ในฐานะที่เป็นการประยุกต์ใช้ใน การ ศึกษาคณิตศาสตร์H. Jerome Keislerได้เขียนElementary Calculus: An Infinitesimal Approach [ ^{10 ] ซึ่ง}ครอบคลุมแคลคูลัสที่ไม่เป็นมาตรฐานโดยพัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และเชิงอินทิกรัลโดยใช้จำนวนไฮเปอร์เรียล ซึ่งรวมถึงองค์ประกอบอนันต์ การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการมีอยู่ของส่วนมาตรฐานของไฮเปอร์เรียลจำกัดrส่วนมาตรฐานของrซึ่งแสดงด้วยst( r )คือจำนวนจริงมาตรฐานที่อยู่ใกล้r อย่างไม่มีที่สิ้นสุด หนึ่งในอุปกรณ์การแสดงภาพที่ Keisler ใช้คือกล้องจุลทรรศน์กำลังขยายอนันต์ในจินตนาการเพื่อแยกแยะจุดที่อยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

แม้ว่าการวิเคราะห์นอกกรอบจะมีแง่มุมที่สวยงามและน่าสนใจอยู่บ้าง แต่ก็มีการวิพากษ์วิจารณ์เกิดขึ้นเช่นกัน เช่นจากErrett Bishop , Alain ConnesและPaul Halmos

สำหรับเซตS ใดๆ โครงสร้างเหนือเซตSคือเซตV ( S )ซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไขต่อไป นี้

${\displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${\displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)\cup \wp (V_{n}(S)),}$

${\displaystyle V(S)=\bigcup _{n\in \mathbf {N} }V_{n}(S).}$

ดังนั้นโครงสร้างเหนือSจึงได้มาโดยเริ่มจากSและทำซ้ำการดำเนินการของการต่อเซตกำลังของSและนำลำดับที่ได้มาเป็นหนึ่งเดียว โครงสร้างเหนือจำนวนจริงประกอบด้วยโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างเช่น มันประกอบด้วย สำเนา ที่สมมาตรกันของปริภูมิเมตริกที่แยกได้ ทั้งหมด และปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ที่สามารถ กำหนด เมตริกได้ คณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดที่นักวิเคราะห์สนใจนั้นเกิดขึ้นภายในV ( R )

มุมมองการทำงานของการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานคือเซต* Rและแผนที่* : V ( R ) → V (* R )ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการ เพื่อที่จะกำหนดหลักการเหล่านี้ เราจึงเริ่มต้นด้วยการกล่าวถึงคำจำกัดความบางประการก่อน

สูตรจะมีขอบเขตการกำหนดปริมาณได้ก็ต่อเมื่อตัวกำหนดปริมาณทั้งหมดที่ปรากฏในสูตรนั้นมีขอบเขตจำกัดบนเซต กล่าวคือ ตัวกำหนดปริมาณทั้งหมดต้องอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ :

${\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

${\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$

ตัวอย่างเช่น สูตร

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}$

มีการกำหนดปริมาณแบบจำกัดตัวแปรที่กำหนดปริมาณแบบสากลxครอบคลุมช่วงของA ใน ขณะที่ตัวแปรที่กำหนดปริมาณแบบมีอยู่yครอบคลุมช่วงของเซตกำลังของBในทางกลับกัน

${\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}$

ไม่มีการกำหนดปริมาณแบบมีขอบเขต เนื่องจากปริมาณของyนั้นไม่มีข้อจำกัด

เซตxเป็นเซตภายในก็ต่อเมื่อxเป็นสมาชิกของ * AสำหรับสมาชิกA บางตัว ของV ( R ) * A เองก็เป็นเซตภายในเช่น กัน ถ้าAเป็นสมาชิกของV ( R )

ต่อไปนี้เราจะกำหนดกรอบตรรกะพื้นฐานของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน:

• หลักการขยาย : การแม ป* คือเอกลักษณ์บนR
• หลักการถ่ายโอน : สำหรับสูตรใดๆP ( x ₁ , ..., x _n )ที่มีการกำหนดปริมาณแบบมีขอบเขตและมีตัวแปรอิสระx ₁ , ..., x _nและสำหรับองค์ประกอบใดๆA ₁ , ..., A _nของV ( R )ความสมมูลต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P(*A_{1},\ldots ,*A_{n})}$

• ความอิ่มตัวที่นับได้ : ถ้า { A _k } _{k ∈ N}เป็นลำดับที่ลดลงของเซตภายในที่ไม่ว่างเปล่า โดยที่kอยู่ในช่วงของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

${\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }$

เราสามารถแสดงให้เห็นโดยใช้ผลคูณพิเศษว่าแผนที่ดังกล่าวมีอยู่จริง สมาชิกของV ( R )เรียกว่า จำนวน มาตรฐานสมาชิกของ* Rเรียกว่าจำนวนไฮเปอร์เรียล

สัญลักษณ์* Nแทนจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นมาตรฐาน ตามหลักการขยาย เซตนี้เป็นซับเซตของNเซต* N − Nไม่ว่างเปล่า เพื่อให้เห็นเช่นนั้น ให้ใช้หลักการความอิ่มตัว ที่นับได้ กับลำดับของเซตภายใน

${\displaystyle A_{n}=\{k\in {^{*}\mathbf {N} }:k\geq n\}}$

ลำดับ{ A _n } _{n ∈ N}มีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งพิสูจน์ผลลัพธ์ได้

เราเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความบางประการ: ไฮเปอร์เรียลrและsอยู่ใกล้กันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle r\cong s\iff \forall \theta \in \mathbf {R} ^{+},\ |rs|\leq \theta }$

จำนวนไฮเปอร์เรียลrจะเป็นจำนวนอนันต์เล็กก็ต่อเมื่อมันอยู่ใกล้ 0 อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น ถ้าnเป็นจำนวนไฮเปอร์อินเทเกอร์ กล่าวคือ เป็นสมาชิกของ* N − Nแล้ว1/ nจะเป็นจำนวนอนันต์เล็ก จำนวนไฮเปอร์เรียลrจะเป็นจำนวนจำกัด (หรือจำนวนจำกัด ) ก็ต่อเมื่อค่าสัมบูรณ์ของมันมีค่าน้อยกว่าจำนวนเต็มมาตรฐาน จำนวนไฮเปอร์เรียลที่มีจำนวนจำกัดจะก่อตัวเป็นวงแหวนย่อยของ* Rที่ประกอบด้วยจำนวนจริง ในวงแหวนนี้ จำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์เล็กจะเป็นไอเดียล

เซตของไฮเปอร์เรียลจำกัดหรือเซตของไฮเปอร์เรียลอนันต์เล็กเป็น เซตย่อย ภายนอกของV (* R )ซึ่งหมายความว่าในทางปฏิบัติ การหาปริมาณแบบมีขอบเขต โดยที่ขอบเขตเป็นเซตภายใน จะไม่ครอบคลุมเซตเหล่านี้

ตัวอย่าง : ระนาบ( x , y )โดยที่xและyครอบคลุม* Rเป็นระนาบภายใน และเป็นแบบจำลองของเรขาคณิตแบบยูคลิดบนระนาบ ระนาบโดยที่xและyถูกจำกัดไว้ที่ค่าจำกัด (คล้ายกับระนาบเดห์น ) เป็นระนาบภายนอก และในระนาบที่จำกัดนี้ สัจพจน์เส้นขนานจะถูกละเมิด ตัวอย่างเช่น เส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุด(0, 1)บน แกน yและมีความชันเล็กน้อย จะขนานกับแกน x

ทฤษฎีบทสำหรับไฮเปอร์เรียลจำกัดr ใดๆ จะมีจำนวนจริงมาตรฐานที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งแทน ด้วย st( r )ที่อยู่ใกล้r อย่างไม่มีที่สิ้นสุด การแมปstเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากวงแหวนของไฮเปอร์เรียลจำกัดไปยัง R

การแมปข้อมูลนั้นอยู่ภายนอกเช่นกัน

วิธีคิดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับส่วนมาตรฐานของไฮเปอร์เรียล คือการพิจารณาในแง่ของเดเดคินด์คัทส์ไฮเปอร์เรียลจำกัดใดๆsจะกำหนดคัทโดยพิจารณาคู่ของเซต( L , U )โดยที่Lคือเซตของจำนวนตรรกยะมาตรฐานaที่น้อยกว่าsและUคือเซตของจำนวนตรรกยะมาตรฐานbที่มากกว่าsจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ( L , U )จะเห็นได้ว่าตรงตามเงื่อนไขของการเป็นส่วนมาตรฐานของ s

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของความต่อเนื่องที่เข้าใจง่ายมีดังนี้:

ทฤษฎีบทฟังก์ชันค่าจริงfบนช่วง[ a , b ]จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกไฮเปอร์เรียลxในช่วง*[ a , b ]เรามี: * f ( x ) ≅ * f (st( x ) )

ในทำนองเดียวกัน

ทฤษฎีบทฟังก์ชันค่าจริงfสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ค่าจริงxก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์hค่าของฟังก์ชัน f เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}$

มีอยู่จริงและไม่ขึ้นอยู่กับhในกรณีนี้f ′( x ) เป็นจำนวนจริงและ เป็น อนุพันธ์ของfที่x

เป็นไปได้ที่จะ "ปรับปรุง" ความอิ่มตัวโดยอนุญาตให้กลุ่มที่มีจำนวนสมาชิกมากขึ้นสามารถตัดกันได้ แบบจำลองจะมี ความอิ่มตัว แบบ κก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มของเซตภายในที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดและ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle |I|\leq \kappa }$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\neq \emptyset }$

สิ่งนี้มีประโยชน์ เช่น ในพื้นที่โทโพโลยีXซึ่งเราอาจต้องการ ความอิ่มตัว |2 ^X |เพื่อให้แน่ใจว่าจุดตัดของฐานย่านใกล้เคียง มาตรฐาน ไม่ว่างเปล่า^{[ 25 ]}

สำหรับจำนวนคาร์ดินัลκ ใดๆ สามารถสร้างส่วนขยายที่อิ่มตัวด้วยκ ได้^{[ 26 ]}

• EE Rosinger, [math/0407178]. บทนำสั้นๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน arxiv.org.

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์นอกรูปแบบมาตรฐานใน Wikiquote
• บทความเรื่อง "The Ghosts of Departed Quantities"โดย Lindsay Keeganถูกเก็บถาวรไว้ใน Wayback Machine เมื่อวันที่ 25 เมษายน 2018