ในโทโพโลยีทั่วไปซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ตระกูลของเซตย่อยของเซต หนึ่ง จะเรียกว่ามีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด (FIP) หากตระกูลย่อยจำกัดใดๆ ของเซตนั้น มี การตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า และจะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดที่แข็งแกร่ง (SFIP) หากตระกูลย่อยจำกัดใดๆ ของเซตนั้นมีการตัดกันแบบอนันต์ เซตที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดยังเรียกว่าระบบศูนย์กลางและฐานย่อยตัวกรอง^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดสามารถนำมาใช้ในการกำหนดนิยามใหม่ของความกะทัดรัด เชิงทอพอโลยี ในแง่ของเซตปิดซึ่งนี่คือการประยุกต์ใช้ที่โดดเด่นที่สุด การประยุกต์ใช้อื่นๆ ได้แก่ การพิสูจน์ว่าเซตสมบูรณ์ บางเซต เป็นเซตที่นับไม่ได้ และการสร้างอัลตราฟิลเตอร์

ให้เป็นเซต และเป็นตระกูลของเซตย่อยของ( เซตย่อยของเซตกำลังของ) แล้วกล่าวได้ว่า มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด ถ้าการตัดกันของเซตย่อยจำนวนจำกัดจากไม่ว่างเปล่าเสมอ กล่าวได้ว่า มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดที่เข้มงวด ถ้าการตัดกันนั้นเป็นอนันต์เสมอ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ในการศึกษาตัวกรองจุดตัดของเซตตระกูลหนึ่งเรียกว่าเคอร์เนลซึ่งมาจากรากศัพท์เดียวกันกับดอกทานตะวันตระกูลที่มีเคอร์เนลว่างเรียกว่าตระกูลอิสระ ส่วนตระกูล ที่มีเคอร์เนลไม่ว่างเรียก ว่า ตระกูลคงที่^{[ 2 ]}

เซตว่างไม่สามารถเป็นสมาชิกของกลุ่มใดๆ ที่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดได้

ถ้าเซตย่อยมีแกนกลางที่ไม่ว่างเปล่า เซตย่อยนั้นจะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดอย่างเห็นได้ชัด ส่วนข้อความกลับกันนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นจริง (แม้ว่าจะเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดเมื่อ เซต ย่อยนั้นจำกัด) ตัวอย่างเช่น กลุ่มของเซตย่อยร่วมจำกัด ทั้งหมด ของเซตอนันต์ที่กำหนดไว้ — ตัวกรอง Fréchet — มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด แม้ว่าแกนกลางของมันจะว่างเปล่าก็ตาม โดยทั่วไปแล้วตัวกรองที่เหมาะสม ใดๆ ก็ มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดนั้นเข้มงวดกว่าการกำหนดให้การตัดกันแบบคู่ไม่ว่างเปล่า ตัวอย่างเช่น กลุ่มของเซตมีจุดตัดกันแบบคู่ที่ไม่ว่างเปล่า แต่ไม่มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด โดยทั่วไปแล้ว ให้เป็นจำนวนธรรมชาติ ให้เป็นเซตที่มีสมาชิก และให้ประกอบด้วยเซตย่อยของ ซึ่งมีสมาชิกทั้งหมด ยกเว้นสมาชิกเดียว จากนั้น การตัดกันของเซตย่อยจาก ที่น้อยกว่าจะมีจุดตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า แต่ขาดคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ถ้าเป็นลำดับที่ลดลงของเซตที่ไม่ว่างเปล่า ครอบครัวนี้จะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด (และเป็นระบบπ ด้วย ) ถ้าแต่ละเป็นอนันต์ ก็จะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดที่เข้มงวดเช่นกัน ${\displaystyle A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\cdots }$${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \right\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มของเซตที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่เรียงลำดับโดยสมบูรณ์ด้วยการรวม จะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด และกลุ่มของเซตอนันต์ใดๆ ที่เรียงลำดับโดยสมบูรณ์ด้วยการรวม จะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดที่แข็งแกร่ง ในขณะเดียวกัน เคอร์เนลอาจว่างเปล่าก็ได้ ลองพิจารณากลุ่มของเซตย่อย สำหรับ${\displaystyle [a,+\infty )}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

ครอบครัวของเซตย่อย Borel ทั้งหมด ที่มีการวัด Lebesgueเท่ากับ1 มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด เช่นเดียวกับครอบครัวของเซตcomeagre ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle [0,1]}$

ถ้าและสำหรับจำนวนเต็มบวกแต่ละตัว เซตย่อยคือ สมาชิกทั้งหมดของ ที่มีเลขโดดในตำแหน่งทศนิยม^{ที่ n}แล้ว การตัดกันแบบจำกัดของจะไม่ว่างเปล่า — เพียงแค่เลือกในตำแหน่งจำนวนจำกัดเหล่านั้น และ เลือก ในส่วนที่เหลือ แต่การตัดกันของสำหรับทุกจะว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีสมาชิกใดของ ที่มีเลขโดดเป็นศูนย์ทั้งหมด ${\displaystyle X=(0,1)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle (0,1)}$

ถ้าเป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า ตระกูลนั้นจะมี FIP (First In, First In, First) ตระกูลนี้เรียกว่าตัวกรองหลักบนที่สร้างโดย เซตย่อยมี FIP ด้วยเหตุผลเดียวกัน คือ เคอร์เนลประกอบด้วยเซตที่ไม่ว่างเปล่าถ้า เป็นช่วงเปิด เซต นั้นเท่ากับเคอร์เนลของหรือและดังนั้น จึงเป็นองค์ประกอบของแต่ละตัวกรอง แต่โดยทั่วไปแล้ว เคอร์เนลของตัวกรองไม่จำเป็นต้องเป็นองค์ประกอบของตัวกรอง ${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}$${\textstyle X}$${\textstyle K}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ และ }}I{\text{ ช่วงเปิด}}\}}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {B}}}$

ตัวกรองที่เหมาะสมจะมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด (Finite Intersection Property: FIP) ฐานย่อยของย่านใกล้เคียง ทุกฐาน ณ จุดหนึ่งในปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะมีคุณสมบัติ FIP และเช่นเดียวกันกับฐานของย่านใกล้เคียง และ ตัวกรองของย่านใกล้เคียงทุกตัว ณ จุดนั้น (เนื่องจากแต่ละตัวก็เป็นฐานย่อยของย่านใกล้เคียงด้วยเช่นกัน)

ระบบπ คือตระกูลของเซตที่ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัดของเซตหนึ่งหรือมากกว่านั้นใน ตระกูลนั้น สำหรับตระกูลของเซต⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ตระกูลของเซตที่เป็นผลตัดกันแบบจำกัดทั้งหมดของเซตหนึ่งหรือมากกว่านั้นจากเรียกว่าระบบπที่สร้างขึ้นโดยเพราะเป็นระบบπ ที่เล็กที่สุด ที่มี เป็นเซตย่อย $${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\},}$$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

การปิดขึ้นด้านบนของin คือเซตสำหรับตระกูลใดๆคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดจะเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$${\textstyle X}$$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ สำหรับบาง }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}$$${\textstyle {\mathcal {A}}}$

• ระบบπที่สร้างขึ้นโดยไม่มีเซตว่างเป็นสมาชิก กล่าวคือ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}})}$
• เซตนี้มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• ชุดนี้เป็นพรีฟิลเตอร์ ( ที่เหมาะสม) ^{[ 5 ]}${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• ครอบครัวนี้เป็นกลุ่มย่อยของตัวกรองล่วงหน้า (ที่เหมาะสม) บางตัว ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• การปิดขึ้นด้านบนเป็นตัวกรอง (ที่เหมาะสม) บนในกรณีนี้เรียกว่าตัวกรองบนที่สร้างโดยเนื่องจากเป็นตัวกรองขั้นต่ำ (เมื่อเทียบกับ ) บนที่มีเป็นเซตย่อย${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$เป็นเซตย่อยของตัวกรอง (ที่เหมาะสม) ^{[ 5 ] บางตัว [ 1 ]}

คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดมีประโยชน์ในการกำหนดนิยามทางเลือกของความกะทัดรัด :

การกำหนดนิยามของความกะทัดรัดนี้ถูกนำไปใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์บาง กรณี

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ที่พบได้บ่อยคือการพิสูจน์ว่าจำนวนจริงนั้นนับไม่ได้โปรดทราบว่าเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นเซตสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดและมีคุณสมบัติว่าไม่มีเซตย่อยที่มีจุดเดียวเป็นเซต เปิด

ตัวอย่างของความล้มเหลว:

1. ทฤษฎีบทนี้อาจล้มเหลวได้หากไม่มีเงื่อนไขของเฮาส์ดอร์ฟ เซตที่นับได้ซึ่งมีจุดอย่างน้อยสองจุดและมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องนั้นเป็นเซตสมบูรณ์และกะทัดรัด แต่ไม่ใช่เซตที่นับไม่ได้
2. ทฤษฎีบทนี้อาจใช้ไม่ได้หากไม่มีเงื่อนไขความกะทัดรัด ดังที่เซตของจำนวนตรรกยะแสดงให้เห็น
3. ทฤษฎีบทนี้อาจล้มเหลวได้หากไม่มีเงื่อนไขที่สมบูรณ์แบบ ดังที่แสดงให้เห็นใน ปริภูมิจำกัดใดๆ ที่มี โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่าและ มีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด จากนั้นจะมี อัลตราฟิลเตอร์ (ใน ) อยู่เช่นนั้น ผลลัพธ์นี้เรียกว่าบทพิสูจน์อัลตราฟิลเตอร์^{[ 8 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle F\subseteq U.}$

• กรองตามเซต  – กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่
• ตัวกรองในทางโทโพโลยี  – การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด
• ระบบเพื่อนบ้าน  – แนวคิดในวิชาคณิตศาสตร์
• อัลตร้าฟิลเตอร์ในชุดอุปกรณ์  – ฟิลเตอร์คุณภาพสูงที่เหมาะสมที่สุด
• องค์ประกอบขนาดกะทัดรัด - การขยายไปสู่แลตทิซ

• " คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด" PlanetMath

ครอบครัวของชุดต่างๆ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$มากกว่า${\displaystyle \Omega }$ วี ที อี
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$หรือปิดภายใต้:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	กำกับโดย${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \โอเมก้า \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	เอฟไอพี
ระบบπ
เซมิริ่ง										ไม่เคย
เซมิอัลจีบรา(เซมิฟิลด์)										ไม่เคย
ชั้นเรียนโมโนโทน						เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A_{i}\searrow }$	เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
ระบบ 𝜆 (ระบบไดน์กิน)				เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A\subseteq B}$			เฉพาะในกรณีที่พวกมันแยกจากกัน${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			ไม่เคย
วงแหวน(ทฤษฎีลำดับ)
วงแหวน(ทฤษฎีการวัด)										ไม่เคย
วงแหวน δ										ไม่เคย
𝜎-ring										ไม่เคย
พีชคณิต(สาขา)										ไม่เคย
พีชคณิต 𝜎 (ฟิลด์ 𝜎)										ไม่เคย
กรอง
ตัวกรองที่เหมาะสม				ไม่เคย	ไม่เคย				ไม่เคย
แผ่นกรองขั้นต้น(ฐานกรอง)
กรองฐานย่อย
โครงสร้างแบบเปิด							(แม้จะเป็นไปตามอำเภอใจก็ตาม)${\displaystyle \cup }$			ไม่เคย
โครงสร้างแบบปิด						(แม้จะเป็นไปตามอำเภอใจก็ตาม)${\displaystyle \cap }$				ไม่เคย
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$หรือปิดภายใต้:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	มุ่งลงด้านล่าง	จุดตัดจำกัด	ยูเนียนจำกัด	ส่วนเติม เต็มสัมพัทธ์	ส่วนเติมเต็มใน${\displaystyle \Omega }$	จุดตัดที่นับได้	สหภาพที่นับได้	ประกอบด้วย${\displaystyle \Omega }$	ประกอบด้วย${\displaystyle \varnothing }$	คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด
นอกจากนี้เซมิริงคือระบบπที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดใน เซมิแอลจีบรา เซมิแอลจีบราคือเซมิริงที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดในเซมิแอ ล จีบรา โดยที่ เป็นองค์ประกอบใดๆ ของและถือว่า${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \โอเมก้า \setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$