ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ระบบเพื่อนบ้านระบบเพื่อนบ้านที่สมบูรณ์ [ ^{1 ] หรือ}ตัวกรองเพื่อนบ้าน${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$เพื่อให้ได้คะแนน${\displaystyle x}$ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือกลุ่มของย่านใกล้เคียง ทั้งหมด ของ${\displaystyle x.}$

บริเวณใกล้เคียงของจุดหรือเซต

หนึ่งบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของจุด (หรือเซตย่อย ^{[หมายเหตุ 1 ]} )${\displaystyle x}$ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$คือเซตย่อยเปิด ใดๆ${\displaystyle U}$ของ${\displaystyle X}$ซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle x.}$ เอย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$คือเซตย่อยใดๆ${\displaystyle N\subseteq X}$ซึ่งประกอบด้วยย่านเปิดโล่งบางส่วน${\displaystyle x}$อย่างชัดเจน${\displaystyle N}$เป็นย่านหนึ่งของ${\displaystyle x}$ใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมีเซตย่อยเปิดอยู่ เท่านั้น${\displaystyle U}$กับ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$[ ^{2 ] [ 3 ] ในทำนองเดียวกัน ย่านใกล้ เคียง} ของ${\displaystyle x}$คือเซตใดๆ ที่ประกอบด้วย${\displaystyle x}$ในส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของ มัน

ที่สำคัญคือ "ย่านใกล้เคียง" ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิดเสมอไป ย่านใกล้เคียงที่บังเอิญเป็นเซตเปิดก็เรียกว่า "ย่านใกล้เคียงแบบเปิด" เช่นกัน ^{[หมายเหตุ 2 ]} ในทำนองเดียวกัน ย่านใกล้เคียงที่เป็น เซต ปิด (หรือเซตกระชับ เซตเชื่อมต่อฯลฯ) ก็เรียกว่า...ย่านปิด (ตามลำดับ)ย่าน ที่อยู่อาศัยขนาดกะทัดรัด(เช่น ย่านที่เชื่อมต่อกันเป็นต้น) นอกจากนี้ยังมีย่านประเภทอื่นๆ อีกมากมายที่ใช้ในโทโพโลยีและสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่นการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันกลุ่มของย่านทั้งหมดที่มีคุณสมบัติ "ที่มีประโยชน์" บางอย่างมักจะก่อตัวเป็นฐานของย่านแม้ว่าหลายครั้งย่านเหล่านี้จะไม่จำเป็นต้องเปิดกว้างพื้นที่ที่มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นคือพื้นที่ที่ทุกจุดมีฐานของย่านที่ประกอบด้วยเซตขนาดกะทัดรัดทั้งหมด

ตัวกรองละแวกใกล้เคียง

ระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุด (หรือ เซตย่อย ที่ไม่ว่างเปล่า )${\displaystyle x}$เป็นตัวกรองที่เรียกว่าตัวกรองย่านใกล้เคียงสำหรับ${\displaystyle x.}$ตัวกรองย่านใกล้เคียงสำหรับจุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$เหมือนกับตัวกรองเพื่อนบ้านของเซตเดี่ยว${\displaystyle \{x\}.}$

ถ้า${\displaystyle \mathbb {R} }$มีโทโพโลยีแบบยุคลิด ตามปกติ จากนั้นย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle 0}$เซตย่อยทั้งหมดเหล่านั้น${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ซึ่งมีจำนวนจริง บางจำนวนอยู่${\displaystyle r>0}$โดยที่${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ตัวอย่างเช่น เซตทั้งหมดต่อไปนี้เป็นย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle 0}$ใน${\displaystyle \mathbb {R} }$: $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ แต่ไม่มีเซตใดต่อไปนี้เป็นย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle 0}$: $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {Q} }$หมายถึงจำนวนตรรกยะ

ถ้า${\displaystyle U}$เป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยี${\displaystyle X}$แล้วสำหรับทุกๆ${\displaystyle u\in U,}$${\displaystyle U}$เป็นย่านหนึ่งของ${\displaystyle u}$ใน${\displaystyle X.}$ โดยทั่วไปแล้ว ถ้า${\displaystyle N\subseteq X}$เป็นชุดใด ๆ และ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$แสดงถึงส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของ${\displaystyle N}$ใน${\displaystyle X,}$แล้ว${\displaystyle N}$เป็นย่านหนึ่ง (ใน${\displaystyle X}$) ของทุกจุด${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$และยิ่งไปกว่านั้น${\displaystyle N}$ไม่ใช่ย่านหรือจุดอื่นใด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle N}$เป็นย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่ง${\displaystyle x\in X}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

ฐานชุมชน

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ระบบย่านใกล้เคียงสำหรับจุดหนึ่งๆ ก็คือฐานย่านใกล้เคียงสำหรับจุดนั้นด้วยเช่นกัน เซตของย่านใกล้เคียงแบบเปิดทั้งหมดที่จุดหนึ่งๆ จะก่อให้เกิดฐานย่านใกล้เคียงที่จุดนั้น สำหรับจุดใดๆ${\displaystyle x}$ในปริภูมิเมตริกลำดับของลูกบอลเปิดรอบๆ${\displaystyle x}$ด้วยรัศมี${\displaystyle 1/n}$สร้างฐานพื้นที่ใกล้เคียงที่สามารถนับได้${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$นั่นหมายความว่าปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิสามารถ นับ ได้เป็นอันดับแรก

เมื่อกำหนดพื้นที่แล้ว${\displaystyle X}$ด้วยโทโพโลยีแบบไม่แยกส่วนระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุดใดๆ${\displaystyle x}$มีเพียงพื้นที่ทั้งหมดเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$.

ในโทโพโลยีแบบอ่อนบนปริภูมิของการวัดบนปริภูมิ${\displaystyle E,}$ฐานที่ตั้งในละแวกใกล้เคียงเกี่ยวกับ${\displaystyle \nu }$ได้รับจาก $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ ที่ไหน${\displaystyle f_{i}}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ มีขอบเขตจาก${\displaystyle E}$เทียบกับตัวเลขจริงและ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$เป็นจำนวนจริงบวก

ปริภูมิเซมินอร์มและกลุ่มโทโพโลยี

ในปริภูมิเซมินอร์มซึ่งเป็น ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มีโทโพโลยีที่เกิดจากเซมินอร์มระบบเพื่อนบ้านทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเลื่อนระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุดกำเนิด $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

เนื่องจากตามสมมติฐาน การบวกเวกเตอร์มีความต่อเนื่องแยกกันในโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ ดังนั้น โทโพโลยีจึงถูกกำหนดโดยระบบเพื่อนบ้านที่จุดกำเนิด โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงเสมอเมื่อปริภูมิเป็นกลุ่มโทโพโลยีหรือโทโพโลยีถูกกำหนดโดยซูโดเมตริก

สมมติ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$และปล่อยให้${\displaystyle {\mathcal {N}}}$เป็นฐานที่ตั้งในละแวกบ้านสำหรับ${\displaystyle u}$ใน${\displaystyle X.}$ทำ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$จัดให้อยู่ในเซตที่มีทิศทางโดยเรียงลำดับบางส่วน ตาม การรวมของซูเปอร์เซต${\displaystyle \,\supseteq .}$แล้ว${\displaystyle U}$ไม่ใช่ย่านของ${\displaystyle u}$ใน${\displaystyle X}$ก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงเท่านั้น${\displaystyle {\mathcal {N}}}$เน็ตที่จัดทำดัชนี${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ใน${\displaystyle X\setminus U}$โดยที่${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$(ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ใน${\displaystyle X}$)

• ฐาน (โทโพโลยี) – ชุดของเซตเปิดที่ใช้ในการกำหนดโทโพโลยี 
• กรองตามเซต– กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่ 
• ตัวกรองในทางโทโพโลยี– การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด 
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่– ปริภูมิที่มีทอพอโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตแบบนูน 
• บริเวณใกล้เคียง (คณิตศาสตร์) – เซตเปิดที่ประกอบด้วยจุดที่กำหนด 
• ซับเบส– กลุ่มของเซตย่อยที่สร้างโทโพโลยีขึ้นมา 
• ย่านท่อ– ย่านของท่อย่อย 

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1966] โทโพโลยีทั่วไป: บทที่ 1–4 [ Topologie Générale ] . องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ดอย : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• Dixmier, Jacques (1984). โทโพโลยีทั่วไป . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี. แปลโดย Berberian, SK นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 . 
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .