ในทางคณิตศาสตร์ลูกบอลคือรูปทรงตันที่ล้อมรอบด้วยทรงกลมเรียกอีกอย่างว่าทรงกลมตัน [ ^{1 ] อาจ}เป็นลูกบอลปิด (รวมถึงจุดขอบเขตที่ประกอบเป็นทรงกลม) หรือลูกบอลเปิด (ไม่รวมจุดขอบเขตเหล่านั้น)

แนวคิดเหล่านี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เฉพาะใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติเท่านั้นแต่ยังรวมถึงมิติที่ต่ำกว่าและสูงกว่า และสำหรับปริภูมิเมตริกโดยทั่วไปด้วยลูกบอลในnมิติเรียกว่าไฮเปอร์บอลหรือn-บอลและมีขอบเขตโดยไฮเปอร์สเฟียร์หรือ( n -1 )-สเฟียร์ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ลูกบอลในระนาบยูคลิดก็คือสิ่งเดียวกันกับดิสก์ซึ่ง เป็น บริเวณระนาบที่มีขอบเขตโดยวงกลมในปริภูมิยูคลิด 3 มิติลูกบอลถือเป็นบริเวณของปริภูมิที่มีขอบเขตโดยทรงกลม 2 มิติในปริภูมิหนึ่งมิติ ลูกบอลคือ ส่วนของ เส้น ตรง

ในบริบทอื่นๆ เช่น ในเรขาคณิตแบบยุคลิดและการใช้งานที่ไม่เป็นทางการ บางครั้ง คำว่าทรงกลมก็ถูกใช้เพื่อหมายถึงลูกบอลในสาขาโทโพโลยี ลูกบอล ปิดมิติ n มักจะถูกแทนด้วยหรือในขณะที่ลูกบอลเปิด มิติ n คือหรือ${\displaystyle n}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle D^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {int} B^{n}}$${\displaystyle \operatorname {int} D^{n}}$

ในปริภูมิยูคลิดn มิติ ลูกบอล n มิติ แบบเปิดรัศมีrและจุดศูนย์กลางxคือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ห่างจากx เป็นระยะทางน้อยกว่า r ลูกบอล n มิติ แบบปิดรัศมีr คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ ห่างจากx เป็น ระยะ ทางน้อยกว่าหรือเท่ากับr

ในปริภูมิยูคลิดn มิติ ทรงกลม ทุกรูปถูกล้อมรอบด้วยไฮเปอร์สเฟียร์ทรงกลมนั้นเป็นช่วง ที่มีขอบเขต เมื่อn = 1เป็นดิสก์ที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเมื่อn = 2และถูกล้อมรอบด้วยทรงกลมเมื่อn = 3

ปริมาตรnมิติของลูกบอลยุคลิดรัศมีrใน ปริภูมิยุคลิด nมิติ กำหนดโดย^{[ 2 ]} โดยที่  Γคือฟังก์ชันแกมมาของLeonhard Euler (ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นส่วนขยายของ ฟังก์ชันแฟก ทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์เศษส่วน) การใช้สูตรที่ชัดเจนสำหรับค่าเฉพาะของฟังก์ชันแกมมาที่จำนวนเต็มและครึ่งจำนวนเต็มจะให้สูตรสำหรับปริมาตรของลูกบอลยุคลิดที่ไม่ต้องประเมินฟังก์ชันแกมมา สูตรเหล่านี้คือ: $${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}r^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}}$$

ในสูตรสำหรับปริมาตรมิติคี่ แฟกทอเรียลคู่(2 k + 1)!!ถูกกำหนดสำหรับจำนวนเต็มคี่2 k + 1เป็น(2 k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k − 1) ⋅ (2 k + 1) .

พื้นที่ผิวของทรงกลม n-ball (ทรงกลม (n-1)) คือ: $${\displaystyle A_{n}(r)={\frac {dV_{n}}{dr}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}r^{n-1},}$$

ให้( M , d )เป็นปริภูมิเมตริกกล่าวคือ เซตMที่มีเมตริก (ฟังก์ชันระยะทาง) dและให้⁠ ⁠${\displaystyle r}$เป็นจำนวนจริงบวก ลูกบอลเปิด (เมตริก) _{รัศมี} r ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดpในMซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์Br ( p )หรือB ( p ; r )นั้น นิยามในลักษณะเดียวกับลูกบอลยุคลิด คือ เซตของจุดในM ที่ อยู่ห่างจากpเป็น ระยะทางน้อยกว่าr$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.}$$

ทรง กลม ปิด (เมตริก) ซึ่งบางครั้งแสดงด้วยสัญลักษณ์B r _[ p ]หรือ B [ p ; r ]นั้น นิยามได้เช่นเดียวกันว่าเป็นเซตของจุดที่มีระยะ ห่างจากpน้อยกว่าหรือเท่ากับr$${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทรงกลม (เปิดหรือปิด) จะรวมp ไว้ ด้วยเสมอ เนื่องจากนิยามกำหนดให้r > 0ทรงกลมหน่วย (เปิดหรือปิด) คือทรงกลมที่มีรัศมี 1

ทรงกลมในปริภูมิเมตริกทั่วไปไม่จำเป็นต้องกลมเสมอไป ตัวอย่างเช่น ทรงกลมในปริภูมิพิกัดจริงภายใต้ระยะทางเชบิเชฟคือไฮเปอร์คิวบ์และทรงกลมภายใต้ระยะทางแท็กซี่คือครอสโพลีโทปทรงกลมปิดก็ไม่จำเป็นต้องกะทัดรัดเสมอไป ตัวอย่างเช่น ทรงกลมปิดในปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐาน มิติอนันต์ใดๆ จะไม่กะทัดรัดเลย อย่างไรก็ตาม ทรงกลมในปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานจะเป็นทรงนูน เสมอ อันเป็นผลมาจากอสมการสามเหลี่ยม

เซตย่อยของปริภูมิเมตริกเรียกว่าเซตจำกัดหากเซตนั้นบรรจุอยู่ในทรงกลมบางลูก เซตจำกัดโดยสมบูรณ์ เรียกว่าเซต หากกำหนดรัศมีบวกใดๆ ให้กับเซตนั้น เซตนั้นจะถูกคลุมด้วยทรงกลมที่มีรัศมีนั้นจำนวนจำกัด

ทรงกลมเปิดของปริภูมิเมตริกสามารถใช้เป็นฐานได้ทำให้ปริภูมินี้มีโทโพโลยีซึ่งเซตเปิดของโทโพโลยีนี้เป็นผลรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ทรงกลมเปิด โทโพโลยีนี้บนปริภูมิเมตริกเรียกว่าโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยเมตริกd

ให้แทนการปิดของลูกบอลเปิดในโทโพโลยีนี้ ถึงแม้ว่าจะเป็นความจริงเสมอว่า แต่ก็ไม่ใช่ความจริงเสมอไปว่าตัวอย่างเช่น ในปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะมีแต่สำหรับใดๆ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$${\displaystyle B_{r}(p)}$${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],}$${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$${\displaystyle B_{1}[p]=X}$${\displaystyle p\in X.}$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานVใดๆที่มีบรรทัดฐานก็เป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริก ในปริภูมิดังกล่าว ลูกบอลจุด ใดๆ รอบจุดที่มีระยะห่างน้อยกว่าอาจมองได้ว่าเป็นสำเนาที่ปรับขนาด (โดย) และเลื่อน (โดย) ของลูกบอลหน่วย ลูกบอล "ศูนย์กลาง" ดังกล่าวที่มีจะถูกแทนด้วย${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|.}$${\displaystyle B_{r}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B_{1}(0).}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle B(r).}$

ทรงกลมยุคลิดที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เป็นตัวอย่างของทรงกลมในปริภูมิเวกเตอร์แบบมีบรรทัดฐาน

ในปริภูมิคาร์ทีเซียนR ⁿที่มี นอร์ม p = L ^pนั่นคือ เราเลือกค่า p บางค่าและกำหนดจากนั้น ลูกบอลเปิดรอบจุดกำเนิดที่มีรัศมี p จะกำหนดโดยเซต สำหรับn = 2ในระนาบ 2 มิติ"ลูกบอล" ตาม นอร์ม L ¹ (มักเรียกว่าเมตริกแท็กซี่หรือ เมตริก แมนฮัตตัน ) จะถูกล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมขนานกับแกนพิกัด ส่วนลูกบอลตาม นอร์ม L ^∞หรือที่เรียกว่า เมตริก เชบิเชฟจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านขนานกับแกนพิกัดเป็นขอบเขต นอร์ม L ²หรือที่รู้จักกันในชื่อเมตริกยุคลิด จะสร้างวงกลมภายในวงกลมที่รู้จักกันดี และสำหรับค่าp อื่นๆ ลูกบอลที่สอดคล้องกันจะเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งลาเม (ไฮโปอิลิปส์หรือไฮเปอร์อิลิปส์) ${\displaystyle p\geq 1}$$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},}$$${\displaystyle r}$$${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

สำหรับn = 3ลูกบอลL ¹จะอยู่ภายในทรงแปดเหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมของตัวทรง วางตัวตามแนวแกน ลูกบอลL ^∞จะอยู่ภายในทรงลูกบาศก์ที่มีขอบ วางตัวตามแนวแกน และขอบเขตของลูกบอลสำหรับL ^pโดยที่p > 2จะเป็นทรงรีขนาดใหญ่พิเศษส่วนp = 2จะสร้างส่วนภายในของทรงกลมทั่วไป

บ่อยครั้งที่เราสามารถพิจารณากรณีที่เรากำหนดได้ ด้วยเช่นกัน${\displaystyle p=\infty }$$${\displaystyle \lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}}$$

โดยทั่วไปแล้ว หากกำหนดให้เซตย่อยX ของ R n ที่มีสมมาตรศูนย์กลาง มีขอบเขต เปิด และนูนเราสามารถกำหนด^{นอร์ม}บน R nได้โดยที่ลูกบอลทั้งหมดเป็นสำเนา^ของ X ที่ถูกเลื่อนและปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอ  โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ไม่ได้หากเปลี่ยน "เซตย่อยเปิด" เป็น "เซตย่อยปิด" เพราะจุดกำเนิดมีคุณสมบัติแต่ไม่ได้กำหนดนอร์ม  บน R ⁿ

เราอาจพูดถึงทรงกลมในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ Xซึ่งไม่จำเป็นต้องเกิดจากเมตริกทรงกลมเชิงทอพอโลยีnมิติ (แบบเปิดหรือแบบปิด) ของXคือเซตย่อยใดๆ ของXที่มีลักษณะสมมาตร กับทรงกลมยูคลิด n มิติ (แบบเปิดหรือแบบปิด) ทรง กลมเชิงทอพอโลยีnมิติมีความสำคัญในทอพอโลยีเชิงการจัดเรียงเนื่องจากเป็นหน่วยพื้นฐานของคอมเพล็กซ์ เซลล์

ทรง กลมโทโพโลยีแบบเปิดn มิติใดๆ จะสมมูลกับปริภูมิคาร์ทีเซียนR ⁿและกับ ลูกบาศก์ หน่วยแบบ เปิด nมิติ (ไฮเปอร์คิวบ์) (0, 1) ⁿ ⊆ R ⁿ ทรงกลมโทโพโล ยี แบบปิดnมิติใดๆ จะสมมูลกับลูกบาศก์แบบปิดnมิติ[0, 1] ⁿ

ทรง กลม nมิติจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ทรงกลม mมิติก็ต่อเมื่อn = m เท่านั้น โฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างทรงกลมเปิดnมิติBและR ⁿสามารถจำแนกได้เป็นสองประเภท ซึ่งสามารถระบุได้ด้วยทิศทางเชิงโทโพโลยี ที่เป็นไปได้สอง แบบ ของ  B

ทรงกลม n มิติ เชิงทอพอโลยีไม่จำเป็นต้องเรียบและหากเรียบ ก็ไม่จำเป็นต้องสมมาตรกับทรง กลม nมิติ แบบยุคลิด

สามารถกำหนดพื้นที่พิเศษหลายแห่งสำหรับลูกบอลได้:

• หมวกซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบหนึ่ง
• ภาคส่วนที่ถูกล้อมรอบด้วยขอบเขตทรงกรวยที่มีจุดยอดอยู่ที่ศูนย์กลางของทรงกลม
• ส่วนของเส้นตรงที่ถูกล้อมรอบด้วยระนาบขนานสองระนาบ
• เปลือกหุ้มซึ่งล้อมรอบด้วยทรงกลมสองลูกที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันและมีรัศมีต่างกัน
• ลิ่มซึ่งถูกล้อมรอบด้วยระนาบสองระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงกลมและพื้นผิวของทรงกลม