ขอบเขต (โทโพโลยี)

ในวิชาโทโพโลยีและคณิตศาสตร์โดยทั่วไปขอบเขตของเซตย่อย $S$ ในปริภูมิโทโพโลยี $X$ คือเซตของจุดในส่วนปิดของ $S$ ที่ไม่ใช่ส่วนภายในของ $S$ จุดบนขอบเขตของ $S$ เรียกว่าจุดขอบเขตของ $S$ คำว่าการดำเนินการกับขอบเขต หมาย ถึง การหาหรือการหาขอบเขตของเซต สัญลักษณ์ที่ใช้สำหรับขอบเขตของเซต $S$ ได้แก่ และ $\operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),$ $\partial S$

ศัพท์เฉพาะ

ผู้เขียนบางคน (เช่น Willard ในGeneral Topology ) ใช้คำว่าfrontierแทนคำว่า boundary เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันซึ่งใช้ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและทฤษฎีของแมนิโฟลด์แม้ว่าความหมายของคำว่า boundary และ frontier จะได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง แต่บางครั้งก็มีการใช้คำเหล่านี้เพื่ออ้างถึงเซตอื่น ตัวอย่างเช่นMetric Spacesโดย ET Copson ใช้คำว่า boundary เพื่ออ้างถึงborderของHausdorffซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็นจุดตัดของเซตกับขอบเขตของเซตนั้น^[¹^] Hausdorff ยังได้แนะนำคำว่าresidueซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็นจุดตัดของเซตกับการปิดของขอบเขตของเซตส่วนเติมเต็ม^[²^]

คำจำกัดความ

มีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายประการสำหรับขอบเขตของเซตย่อยในปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งจะใช้สัญลักษณ์หรือ แทนด้วยหากเข้าใจความหมาย: $S\subseteq X$ $X,$ $\partial _{X}S,$ $\partial S$ $X$

มันคือส่วนปิดของลบด้วย ส่วนภายในของใน: โดย ที่แทนส่วนปิดของในและแทนส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของใน $S$ $S$ $X$ $\partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S$ ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ $S$ $X$ $\operatorname {int} _{X}S$ $S$ $X.$
มันคือจุดตัดของส่วนปิดของกับส่วนปิดของส่วนเติมเต็ม ของมัน : $S$ $\partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$
เป็นเซตของจุดต่างๆที่ทุกย่านใกล้เคียงของจุดนั้นจะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดอยู่ในเซตของจุดนั้นและมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดที่ไม่อยู่ในเซตของจุดนั้น: $p\in X$ $p$ $S$ $S$ $\partial S~:=~\{p\in X:{\text{ สำหรับทุกย่านใกล้เคียง }}O{\text{ ของ }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ และ }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.$
คือจุดทั้งหมดที่ไม่อยู่ภายในหรือภายนอกของ: โดยที่หมายถึงภายในของและหมายถึงภายนอกของ $X$ $S$ $\partial S~:=~X\setminus \left(\operatorname {int} _{X}S\cup \operatorname {ext} _{X}S\right)$ $\operatorname {int} _{X}S$ $S$ $X$ $\operatorname {ext} _{X}S$ $S$ $X.$

จุดขอบเขตของเซต คือ สมาชิกใดๆ บนขอบเขตของเซตนั้น ขอบเขตที่นิยามไว้ข้างต้น บางครั้งเรียกว่าขอบเขตเชิงโทโพโลยี ของเซต เพื่อแยกแยะออกจากแนวคิดอื่นๆ ที่มีชื่อคล้ายกัน เช่นขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขตหรือขอบเขตของแมนิโฟลด์ที่มีมุมเป็นต้น $\partial _{X}S$

ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของขอบเขตของ $S$ เรียกว่าส่วนประกอบ ขอบเขตของ $S$

ตัวอย่าง

พิจารณาเส้นจำนวนจริง ที่มีโทโพโลยีปกติ (นั่นคือ โทโพโลยีที่มีเซตฐานเป็นช่วงเปิด ) และเซตย่อยของจำนวนตรรกยะ (ซึ่งภายในโทโพโลยีในเป็นเซตว่าง) จากนั้นในเราจะได้ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

$\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}$
$\partial \varnothing =\varnothing$
$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
$\partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$

ตัวอย่างสองข้อสุดท้ายนี้แสดงให้เห็นว่าขอบเขตของเซตหนาแน่นที่มีภายในว่างเปล่าคือเซตปิดของเซตนั้น นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าขอบเขตของเซตย่อยอาจมีเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่าอยู่ภายในได้ กล่าวคือ ภายในของเซตเปิดอาจไม่ว่างเปล่า อย่างไรก็ตาม ขอบเขตของเซต ปิดจะมีภายในว่างเปล่าเสมอ $\partial S$ $S$ $X:=\mathbb {R}$ $\partial S$ $X$

มีการใช้ สัญลักษณ์นี้เนื่องจากขอบเขตของเซตขึ้นอยู่กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยรอบที่พิจารณาอย่างมาก ตัวอย่างเช่น เซตเมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของขอบเขตของมันคือช่วงปิดเมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของ(โดยที่มีทอพอโลยีตามปกติ คือทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจาก) ขอบเขตของคือและเมื่อพิจารณาว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเอง ขอบเขตของมันคือเซตว่าง $\partial _{X}S$ $S$ $X$ $S=\{r\in \mathbb {Q} \mid 0<r<{\sqrt {2}}\}$ $\mathbb {R}$ $[0,{\sqrt {2}}]$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $S$ $\{0\}$ $X=S$

ตามหลักโทโพโลยีปกติขอบของวงกลมปิดคือวงกลมที่ล้อมรอบวงกลมนั้น: หากมองวงกลมเป็นเซตที่มีโทโพโลยีปกติของตัวเอง นั่นคือขอบของวงกลมก็คือตัววงกลมเอง: $\mathbb {R} ^{2},$ $\Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ $\partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$ $\partial \Omega =\Omega .$

คุณสมบัติ

ขอบเขตของเซตปิด ; ^{[ 3 ]}ซึ่งเป็นผลมาจากสูตรที่แสดงถึงการตัดกันของเซตย่อยปิดสองเซตของ $\partial _{X}S~=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},$ $\partial _{X}S$ $X.$

เซตจะเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อมันมีขอบเขตของตัวเองอยู่ภายใน และจะเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อมันไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่งทับซ้อนกับขอบเขตของตัวเอง

การปิดของเซตเท่ากับผลรวมของเซตกับขอบเขตของเซตนั้น("ไตรภาค") $S$ ${\overline {S}}=S\cup \partial S.$ เมื่อกำหนดเซตย่อยใด ๆจุดแต่ละจุดใน เซต นั้นจะอยู่ในเซตใดเซตหนึ่งในสามเซตเท่านั้นและ กล่าวอีกอย่างหนึ่งคือ เซตทั้งสามนี้ไม่มีส่วนร่วมกันเป็นคู่ๆ $S\subseteq X,$ $X$ $\operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,$ $\operatorname {int} _{X}(X\setminus S).$ $X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)$

จุดใดจุดหนึ่งเป็นจุดขอบของเซตก็ต่อเมื่อทุกย่านใกล้เคียงของจุดนั้นมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดอยู่ในเซตและมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดอยู่นอกเซต ทั้งขอบของส่วนภายในของเซตและขอบของส่วนปิดของเซตต่างก็อยู่ในขอบของเซตนั้นด้วย $p\in X$ $p$

เซตและส่วนเติมเต็มของเซตมีขอบเขตเดียวกัน: เซตเป็น เซต ย่อยเปิด หนาแน่นของก็ต่อเมื่อ $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).$ $U$ $X$ $\partial _{X}U=X\setminus U.$

ภายในขอบเขตของเซตปิดนั้นว่างเปล่า^{[ 4 ]} ดังนั้น ภายในขอบเขตของการปิดของเซตจึงว่างเปล่า ภายในขอบเขตของเซตเปิดก็ว่างเปล่าเช่นกัน^{[ 5 ]} ดังนั้น ภายในขอบเขตของภายในของเซตจึงว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นเซตย่อยปิดหรือเปิดของแล้ว จะไม่มีเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าใดๆที่ทำให้เป็นเซตเปิดใน ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญต่อคำจำกัดความและการใช้เซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นเซตย่อยที่เบาบางและปริภูมิ แบร์ $S\subseteq X$ $X$ $U\subseteq \partial _{X}S$ $U$ $X.$

เซตหนึ่งจะเป็นขอบเขตของเซตเปิดบางเซตก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นเซตปิดและไม่มีจุดหนาแน่นที่ใดเลยขอบเขตของเซตหนึ่งจะเป็นเซตว่างก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นทั้งเซตปิดและเซตเปิด (กล่าวคือเซตปิด-เปิด )

แผนภาพเวนน์เชิงแนวคิดแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจุดต่างๆ ในเซตย่อยของ= เซตของจุดสะสมของ(เรียกอีกอย่างว่าจุดลิมิต) เซตของจุดขอบของพื้นที่ที่แรเงาสีเขียว = เซตของจุดภายในของพื้นที่ที่แรเงาสีเหลือง = เซตของจุดโดดเดี่ยวของพื้นที่ที่แรเงาสีดำ = เซตว่าง ทุกจุดของเป็นได้ทั้งจุดภายในหรือจุดขอบ นอกจากนี้ ทุกจุดของเป็นได้ทั้งจุดสะสมหรือจุดโดดเดี่ยว ในทำนองเดียวกัน ทุกจุดขอบของเป็นได้ทั้งจุดสะสมหรือจุดโดดเดี่ยว จุดโดดเดี่ยวเป็นจุดขอบเสมอ $S$ $\mathbb {R} ^{n}.$ $A$ $S$ $B=$ $S,$ $S,$ $S,$ $S$ $S$ $S$

ขอบเขตของขอบเขต

สำหรับเซตใดๆที่หมายถึงเซตย่อยที่มีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อขอบเขตของไม่มีจุดภายใน ซึ่งจะเป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นเซตปิดหรือเซตเปิด เนื่องจากขอบเขตของเซต เป็นเซตปิด ดังนั้นสำหรับเซตใดๆ ตัวดำเนินการขอบเขตจึงมีคุณสมบัติ เอกลักษณ์ แบบอ่อนลง $S,\partial S\supseteq \partial \partial S,$ $\,\supseteq \,$ $S$ $S$ $\partial \partial S=\partial \partial \partial S$ $S.$

ในการอธิบายขอบเขตของแมนิโฟลด์หรือซิมเพล็กซ์และคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ของพวกมัน มักจะพบข้ออ้างที่ว่าขอบเขตของขอบเขตนั้นว่างเปล่าเสมอ อันที่จริง การสร้างโฮโมโลยีเอกฐานนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้อย่างมาก คำอธิบายสำหรับความไม่สอดคล้องกันที่เห็นได้ชัดคือ ขอบเขตทางทอพอโลยี (ซึ่งเป็นหัวข้อของบทความนี้) เป็นแนวคิดที่แตกต่างเล็กน้อยจากขอบเขตของแมนิโฟลด์หรือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ตัวอย่างเช่น ขอบเขตของวงกลมเปิดที่มองว่าเป็นแมนิโฟลด์นั้นว่างเปล่า เช่นเดียวกับขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเอง ในขณะที่ขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของระนาบจริงคือวงกลมที่ล้อมรอบวงกลม ในทางกลับกัน ขอบเขตของวงกลมปิดที่มองว่าเป็นแมนิโฟลด์คือวงกลมที่ล้อมรอบ เช่นเดียวกับขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของระนาบจริง ในขณะที่ขอบเขตทางทอพอโลยีที่มองว่าเป็นเซตย่อยของตัวมันเองนั้นว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขอบเขตทางทอพอโลยีขึ้นอยู่กับปริภูมิแวดล้อม ในขณะที่ขอบเขตของแมนิโฟลด์นั้นไม่เปลี่ยนแปลง

ดูเพิ่มเติม

โปรดดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ในหัวข้อขอบเขตในแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี
ขอบเขตของแมนิโฟลด์ – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลักษณะคล้ายคลึงกับปริภูมิยุคลิดในระดับท้องถิ่น
จุดล้อมรอบ – แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์
การปิด (โทโพโลยี) – จุดทั้งหมดและจุดลิมิตในเซตย่อยของปริภูมิโทโพโลยี
ภายนอก (โทโพโลยี) – เซตเปิดที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ทับซ้อนกับเซตที่กำหนดให้
ภายใน (โทโพโลยี) – เซตย่อยเปิดที่ใหญ่ที่สุดของเซตที่กำหนดให้
เซตที่ไม่มีความหนาแน่น – เซตทางคณิตศาสตร์ที่มีส่วนปิดซึ่งมีภายในว่างเปล่า
ทฤษฎีความหนาแน่นของเลเบส – ทฤษฎีในวิเคราะห์ สำหรับการกำหนดลักษณะเชิงวัดและคุณสมบัติของขอบเขต
พื้นผิว (โทโพโลยี) – แมนิโฟลด์สองมิติ

หมายเหตุ

การอ้างอิง

↑เฮาส์ดอร์ฟ, เฟลิกซ์ (1914) กรุนด์ซูเกอ เดอร์ เมนเกนเลห์เร . ไลป์ซิก: ไวต์ พี 214 . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)จัดพิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์เชลซีในปี 1949
↑เฮาส์ดอร์ฟ, เฟลิกซ์ (1914) กรุนด์ซูเกอ เดอร์ เมนเกนเลห์เร . ไลป์ซิก: ไวต์ พี 281 . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)จัดพิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์เชลซีในปี 1949
^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (ฉบับที่สาม). Dover. หน้า 86. ISBN 0-486-66352-3บทสรุปที่ 4.15 สำหรับแต่ละเซตย่อยนั้นเป็นเซตปิด $A,$ $\operatorname {Bdry} (A)$
ให้เป็นเซตย่อยปิดของโดยที่และดังนั้นด้วยถ้าเป็นเซตย่อยเปิดของโดยที่แล้ว (เพราะ) ดังนั้น(เพราะตามนิยามเป็นเซตย่อยเปิดที่ใหญ่ที่สุดของที่อยู่ใน) แต่หมายความว่าดังนั้น จึงเป็นเซตย่อยของและไม่ทับซ้อนกับซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ QED $S$ $X$ ${\overline {S}}=S$ $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.$ $U$ $X$ $U\subseteq \partial _{X}S$ $U\subseteq S$ $\partial _{X}S\subseteq S$ $U\subseteq \operatorname {int} _{X}S$ $\operatorname {int} _{X}S$ $X$ $S$ $U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S$ $U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .$ $U$ $\operatorname {int} _{X}S$ $\operatorname {int} _{X}S,$ $U=\varnothing .$
ให้เป็นเซตย่อยเปิดของโดยที่ให้โดยที่ซึ่งหมายความว่าถ้าแล้วเลือกโดยที่เนื่องจากเป็นย่านเปิดของในและนิยามของการปิดเชิงทอพอโลยีบ่งชี้ว่าซึ่งเป็นข้อขัดแย้งหรืออีกทางหนึ่ง ถ้าเป็นเซตเปิดในแล้วเป็นเซตปิดในดังนั้นโดยใช้สูตรทั่วไปและข้อเท็จจริงที่ว่าภายในขอบเขตของเซตปิด (เช่น) ว่างเปล่า จึงสรุปได้ว่า $S$ $X$ $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.$ $U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)$ $U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,$ $U\cap S=\varnothing .$ $U\neq \varnothing$ $u\in U,$ $u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.$ $U$ $u$ $X$ $u\in {\overline {S}},$ ${\overline {S}}$ $U\cap S\neq \varnothing ,$ $\blacksquare$ $S$ $X$ $X\setminus S$ $X,$ $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)$ $X\setminus S$ $\operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .$ $\blacksquare$

[1] เฮาส์ดอร์ฟ, เฟลิกซ์ (1914) กรุนด์ซูเกอ เดอร์ เมนเกนเลห์เร . ไลป์ซิก: ไวต์ พี 214 . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)จัดพิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์เชลซีในปี 1949

[2] เฮาส์ดอร์ฟ, เฟลิกซ์ (1914) กรุนด์ซูเกอ เดอร์ เมนเกนเลห์เร . ไลป์ซิก: ไวต์ พี 281 . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8284-0061-9.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)จัดพิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์เชลซีในปี 1949

[3] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (ฉบับที่สาม). Dover. หน้า 86. ISBN 0-486-66352-3บทสรุปที่ 4.15 สำหรับแต่ละเซตย่อยนั้นเป็นเซตปิด $A,$ $\operatorname {Bdry} (A)$

[4] ให้เป็นเซตย่อยปิดของโดยที่และดังนั้นด้วยถ้าเป็นเซตย่อยเปิดของโดยที่แล้ว (เพราะ) ดังนั้น(เพราะตามนิยามเป็นเซตย่อยเปิดที่ใหญ่ที่สุดของที่อยู่ใน) แต่หมายความว่าดังนั้น จึงเป็นเซตย่อยของและไม่ทับซ้อนกับซึ่งเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ QED $S$ $X$ ${\overline {S}}=S$ $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S.$ $U$ $X$ $U\subseteq \partial _{X}S$ $U\subseteq S$ $\partial _{X}S\subseteq S$ $U\subseteq \operatorname {int} _{X}S$ $\operatorname {int} _{X}S$ $X$ $S$ $U\subseteq \partial _{X}S=S\setminus \operatorname {int} _{X}S$ $U\cap \operatorname {int} _{X}S=\varnothing .$ $U$ $\operatorname {int} _{X}S$ $\operatorname {int} _{X}S,$ $U=\varnothing .$

[5] ให้เป็นเซตย่อยเปิดของโดยที่ให้โดยที่ซึ่งหมายความว่าถ้าแล้วเลือกโดยที่เนื่องจากเป็นย่านเปิดของในและนิยามของการปิดเชิงทอพอโลยีบ่งชี้ว่าซึ่งเป็นข้อขัดแย้งหรืออีกทางหนึ่ง ถ้าเป็นเซตเปิดในแล้วเป็นเซตปิดในดังนั้นโดยใช้สูตรทั่วไปและข้อเท็จจริงที่ว่าภายในขอบเขตของเซตปิด (เช่น) ว่างเปล่า จึงสรุปได้ว่า $S$ $X$ $\partial _{X}S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S={\overline {S}}\setminus S.$ $U:=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)$ $U=\operatorname {int} _{X}\left(\partial _{X}S\right)\subseteq \partial _{X}S={\overline {S}}\setminus S,$ $U\cap S=\varnothing .$ $U\neq \varnothing$ $u\in U,$ $u\in U\subseteq \partial _{X}S\subseteq {\overline {S}}.$ $U$ $u$ $X$ $u\in {\overline {S}},$ ${\overline {S}}$ $U\cap S\neq \varnothing ,$ $\blacksquare$ $S$ $X$ $X\setminus S$ $X,$ $\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S)$ $X\setminus S$ $\operatorname {int} _{X}\partial _{X}S=\operatorname {int} _{X}\partial _{X}(X\setminus S)=\varnothing .$ $\blacksquare$

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]