ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง เซตย่อยAของปริภูมิโทโพโลยีXกล่าวได้ว่ามีความหนาแน่นในXถ้าทุกจุดของXเป็นสมาชิกของAหรืออยู่ "ใกล้" กับสมาชิกของA มากพอสมควร — ตัวอย่างเช่นจำนวนตรรกยะเป็นเซตย่อยที่มีความหนาแน่นของจำนวนจริงเพราะทุกจำนวนจริงเป็นจำนวนตรรกยะหรือมีจำนวนตรรกยะอยู่ใกล้มากพอสมควร (ดูการประมาณไดโอแฟนไทน์ ) ในทางรูปธรรมมีความหนาแน่นในถ้าเซตย่อยปิดที่ เล็กที่สุด ของที่บรรจุเป็นตัวมันเอง^{[ 1 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

เดอะความหนาแน่นของปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือจำนวนสมาชิกของเซตย่อยหนาแน่นของปริภูมิ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่า เซตย่อย${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$เซตย่อยหนาแน่นของ${\displaystyle X}$ถ้าเงื่อนไขเทียบเท่าต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:

1. เซตย่อยปิดที่เล็กที่สุดของ เซต ที่บรรจุเซต นั้น ก็คือตัวมันเอง${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$
2. การปิดของin เท่ากับนั่นคือ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. ภายในของส่วนเติมเต็มของ นั้นว่างเปล่า นั่นคือ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. ทุกจุดในนั้นเป็นส่วนหนึ่งของหรือเป็นจุดลิมิตของ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$
5. สำหรับทุกๆย่านที่มีจุดตัดกัน${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A;}$${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$ตัดกับเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตของ${\displaystyle X.}$

และหากเป็นฐานของเซตเปิดสำหรับโทโพโลยีบนแล้ว รายการนี้สามารถขยายให้รวมถึง: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

7. สำหรับทุกๆย่านพื้นฐานที่มีจุดตัดกัน${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$ตัดกับทุกเส้นที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

นิยามทางเลือกของเซตหนาแน่นในกรณีของปริภูมิเมตริกมีดังต่อไปนี้ เมื่อโทโพโลยีของ ปริภูมิเมตริก กำหนดโดยเมตริกส่วนปิดของเซต หนาแน่นในปริภูมิเมตริก คือการรวมกันของ เซต หนาแน่นและเซตของลิมิตทั้งหมดของลำดับของสมาชิกใน เซตหนาแน่น ( จุดลิมิต ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ สำหรับทุก }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

แล้วความหนาแน่นในถ้า ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

ถ้าเป็นลำดับของ เซต เปิด หนาแน่น ในปริภูมิเมตริกสมบูรณ์แล้ว ก็เป็นเซตหนาแน่นใน ด้วยเช่นกัน ข้อเท็จจริงนี้เป็นหนึ่งในรูปแบบที่เทียบเท่ากับทฤษฎีบทหมวดหมู่ของแบร์ ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$${\displaystyle X.}$

จำนวนจริงที่มีโทโพโลยีปกติจะมีจำนวนตรรกยะเป็น เซตย่อยหนาแน่น ที่นับได้ซึ่งแสดงให้เห็นว่าขนาดของเซตย่อยหนาแน่นในปริภูมิโทโพโลยีอาจน้อยกว่าขนาดของปริภูมิเองอย่างเคร่งครัดจำนวนอตรรกยะเป็นเซตย่อยหนาแน่นอีกเซตหนึ่ง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าปริภูมิโทโพโลยีอาจมี เซตย่อยหนาแน่น ที่ไม่ซ้ำกัน หลาย เซต (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยหนาแน่นสองเซตอาจเป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกัน) และไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากันด้วยซ้ำ ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นคือ ทั้งจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะมีส่วนภายในที่ว่างเปล่า ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเซตหนาแน่นไม่จำเป็นต้องมีเซตเปิดที่ไม่ว่างเปล่า การตัดกันของเซตเปิดหนาแน่นสองเซตในปริภูมิโทโพโลยีก็เป็นเซตหนาแน่นและเซตเปิดเช่นกัน^{[พิสูจน์ 1 ]} เซตว่างเป็นเซตย่อยหนาแน่นของตัวมันเอง แต่เซตย่อยหนาแน่นทุกเซตของปริภูมิที่ไม่ว่างเปล่าจะต้องไม่ว่างเปล่าด้วย

ตามทฤษฎีบทการประมาณค่าของไวเออร์สตรัสฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเชิงซ้อน ใดๆที่กำหนดบนช่วงปิดสามารถประมาณค่าได้อย่างสม่ำเสมอและใกล้เคียงที่สุดตามที่ต้องการด้วยฟังก์ชันพหุนามกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันพหุนามมีความหนาแน่นในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าเชิงซ้อนบนช่วงที่กำหนดด้วยนอร์ม สูงสุด${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b],}$

ปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิ มีความหนาแน่นเมื่อสมบูรณ์

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุก ปริภูมิ เป็นเซตย่อยหนาแน่นของตัวมันเอง สำหรับเซตที่มีทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องปริภูมิทั้งหมดเป็นเซตย่อยหนาแน่นเพียงเซตเดียว เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตของเซตที่มีทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องเป็นเซตหนาแน่น และทอพอโลยีทุกแบบที่เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตเป็นเซตหนาแน่นจะต้องเป็นทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ความหนาแน่นเป็นคุณสมบัติถ่ายทอด : กำหนดให้เซตย่อยสามเซตและของปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่มีความหนาแน่นในและมีความหนาแน่นใน(ในทอพอโลยีของปริภูมิย่อย นั้นๆ ) แล้วก็มีความหนาแน่นใน ด้วยเช่นกัน${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C.}$

ภาพของเซตย่อยหนาแน่นภายใต้ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องแบบทั่วถึงก็ยังคงหนาแน่นอยู่ ความหนาแน่นของปริภูมิเชิงทอพอโลยี (จำนวนสมาชิก น้อยที่สุดของเซตย่อยหนาแน่นใน ปริภูมินั้น) เป็นค่าคงที่เชิงทอพอโลยี

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มี เซตย่อยหนาแน่น ที่เชื่อมต่อกันย่อมเป็นปริภูมิที่เชื่อมต่อกันด้วยเช่นกัน

ฟังก์ชันต่อเนื่องในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟถูกกำหนดโดยค่าของฟังก์ชันเหล่านั้นบนเซตย่อยหนาแน่น: ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟมีค่าตรงกันบนเซตย่อยหนาแน่นเซตหนึ่งของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แล้ว ฟังก์ชันทั้งสองนั้นจะมีค่าตรงกันบน เซตทั้งหมดของปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

สำหรับปริภูมิเมตริกจะมีปริภูมิสากล ซึ่งสามารถฝัง ปริภูมิทั้งหมดที่มีความหนาแน่นที่กำหนด ^ได้ : ปริภูมิเมตริกที่มีความหนาแน่นจะสมมาตรกับปริภูมิย่อยของปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องจริงบนผล คูณ ของสำเนาของช่วงหน่วย [ ^{2 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$${\displaystyle \alpha }$

จุดหนึ่งในเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าจุดลิมิตของ(ใน) ถ้าทุกย่านใกล้เคียงของ จุดลิมิต นั้นมีจุดในเซตอื่นที่ไม่ใช่ตัวมันเองอยู่ด้วย และเรียกว่า จุดโดดเดี่ยว ใน เซต อื่นในกรณีอื่น เซตย่อยที่ไม่มีจุดโดดเดี่ยวเรียกว่าเซตหนาแน่นในตัวเอง ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าเซตที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใด (ใน) ถ้าไม่มีย่านใกล้เคียงในที่เซตนั้นหนาแน่น หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะไม่มีความหนาแน่นที่ใดก็ต่อเมื่อภายในของเซตปิดของมันว่างเปล่า ภายในของเซตเติมเต็มของเซตที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดนั้นหนาแน่นเสมอ เซตเติมเต็มของเซตปิดที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดเป็นเซตเปิดที่หนาแน่น เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีเซตย่อยของที่สามารถแสดงได้เป็นผลรวมของเซตย่อยที่ไม่มีความหนาแน่นที่ใดจำนวนนับได้ของเรียกว่า เซตที่ เบาบางจำนวนตรรกยะถึงแม้จะหนาแน่นในจำนวนจริง แต่ก็เบาบางในฐานะเซตย่อยของจำนวนจริง ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้เรียกว่าปริภูมิที่แยกได้ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิแบร์ก็ต่อเมื่อจุดตัดของเซตเปิดหนาแน่นจำนวนนับได้เป็นเซตหนาแน่นเสมอ ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิที่แก้ได้ถ้าเป็นผลรวมของเซตย่อยหนาแน่นสองเซตที่ไม่ซ้ำกัน โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิที่แก้ได้แบบ κ สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัล κ ถ้ามันประกอบด้วยเซตหนาแน่นที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ จำนวน κ เซต

การฝังตัวของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นเซตย่อยหนาแน่นของปริภูมิกระชับเรียกว่าการทำให้เป็นกระชับ (compactification ) ของปริภูมิเชิงทอ พอโลยี${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี และเรียกว่ามีนิยามหนาแน่นหากโดเมน ของมัน เป็นเซตย่อยหนาแน่นของและหากเรนจ์ ของมัน บรรจุอยู่ภายในดูเพิ่มเติมที่ การขยายเชิงเส้นต่อเนื่อง ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรียกว่าไฮ เปอร์คอนเน็กเต็ดก็ต่อเมื่อเซตเปิดที่ไม่ว่างทุกเซตมีความหนาแน่นในปริภูมินั้น ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าซับแม็กซิมอลก็ต่อเมื่อเซตย่อยที่มีความหนาแน่นทุกเซตเป็นเซตเปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ถ้าเป็นปริภูมิเมตริก เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าจะเรียกว่ามีความหนาแน่นแบบ -dense ถ้า ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

จากนั้นเราสามารถแสดงได้ว่ามีความหนาแน่นในก็ต่อเมื่อมีความหนาแน่นแบบ ε สำหรับทุก ๆ${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0.}$

• ทฤษฎีบทบลัมเบิร์ก  – ฟังก์ชันจริงใดๆ บน R ยอมรับการจำกัดแบบต่อเนื่องบนเซตย่อยหนาแน่นของ R
• ลำดับหนาแน่น  – รูปแบบการจัดเรียงชุดข้อมูลชนิดหนึ่ง
• หนาแน่น (ทฤษฎีแลตติส)