ในโทโพโลยี ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ เซตย่อยของปริภูมิโทโพโลยีจะเรียกว่าปิดเฉพาะที่หากเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle E}$คือจุดตัดของเซตเปิดและเซตปิดใน${\displaystyle X.}$
• สำหรับแต่ละจุดจะมีบริเวณใกล้เคียงของจุดนั้น ซึ่งปิดล้อมอยู่ใน${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E\cap U}$${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$เปิดอยู่ในการปิด${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• ฉากถูกปิดล้อม${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$คือผลต่างของเซตปิดสองเซตใน${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$คือผลต่างของเซตเปิดสองเซตใน${\displaystyle X.}$

เงื่อนไขที่สองพิสูจน์ความหมายของคำว่าปิดเฉพาะที่และเป็นคำจำกัดความของ Bourbaki เกี่ยวกับการปิดเฉพาะที่^{[ 1 ]}เพื่อดูว่าเงื่อนไขที่สองบ่งบอกถึงเงื่อนไขที่สามหรือไม่ ให้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับเซตย่อยจะปิดในก็ต่อเมื่อและสำหรับเซตย่อยและเซตย่อยเปิด${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

ช่วงดังกล่าวเป็นเซตย่อยที่ปิดเฉพาะที่ของตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาส่วนภายในสัมพัทธ์ของวงกลมปิดในมันเป็นเซตที่ปิดเฉพาะที่เนื่องจากเป็นจุดตัดระหว่างวงกลมปิดและลูกบอลเปิด ${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

ในทางกลับกันไม่ใช่เซตย่อยที่ปิดในระดับท้องถิ่นของ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

โปรดจำไว้ว่า ตามคำจำกัดความ ซับแมนิโฟลด์ของแมนิโฟลด์ - คือเซตย่อยที่สำหรับแต่ละจุดในจะมีแผนภูมิรอบจุดนั้นซึ่งดังนั้นซับแมนิโฟลด์จึงปิดในระดับท้องถิ่น^{[ 5 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$

นี่คือตัวอย่างในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ให้Uเป็นแผนภูมิเชิงเส้นเปิดบนวาไรตีเชิงโปรเจกทีฟX (ในโทโพโลยีซาริสกี) แล้ววาไรตีย่อยปิดY แต่ละตัว ของUจะปิดเฉพาะที่ในXกล่าวคือ โดยที่หมายถึงการปิดของYในX (ดูเพิ่มเติมที่ วาไรตีเชิงกึ่งโปรเจกทีฟและวาไรตีเชิงเส้นกึ่ง ) ${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\overline {Y}}}$

จุดตัดจำกัดและภาพก่อนหน้าภายใต้แผนที่ต่อเนื่องของเซตปิดเฉพาะที่นั้นเป็นเซตปิดเฉพาะที่^{[ 1 ]}ในทางกลับกัน ยูเนียนและส่วนเติมเต็มของเซตย่อยปิดเฉพาะที่ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิดเฉพาะที่^{[ 6 ]} (สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดแนวคิดของเซตที่สร้างได้ )

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการแบ่งชั้นสำหรับเซตย่อยที่ปิดเฉพาะที่ ส่วน เติมเต็ม เรียกว่าขอบเขตของ(ไม่ควรสับสนกับขอบเขตทางโทโพโลยี ) ^{[ 2 ]}ถ้าเป็นซับแมนิโฟลด์ปิดที่มีขอบเขตของแมนิโฟลด์แล้วภายในสัมพัทธ์ (นั่นคือ ภายในในฐานะแมนิโฟลด์) ของจะปิดเฉพาะที่ในและขอบเขตของมันในฐานะแมนิโฟลด์จะเหมือนกับขอบเขตของมันในฐานะเซตย่อยที่ปิดเฉพาะที่^{[ 2 ]}${\displaystyle E,}$${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี กล่าวได้ว่าคือเรียก ว่าซับแม็กซิมอลถ้าเซตย่อยทุกเซตปิดเฉพาะที่ ดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดนี้ได้ ในอภิธานศัพท์ของโทโพโลยี #S

• พื้นที่ที่สร้างขึ้นนับได้

• ชุดข้อมูลแบบปิดที่n Lab