ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิที่แยกได้ (separable space) ถ้ามันประกอบด้วย เซตย่อย หนาแน่นที่นับได้ (countable dense subset) กล่าวคือ มีลำดับของสมาชิกในปริภูมิเช่นนั้น ซึ่งเซตย่อยเปิด ที่ไม่ว่างทุกเซต ในปริภูมิจะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวจากลำดับนั้น ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$

เช่นเดียวกับสัจพจน์อื่นๆของความนับได้ ความสามารถ ในการแยกได้เป็น "ข้อจำกัดด้านขนาด" ไม่จำเป็นต้องเป็นในแง่ของจำนวนสมาชิก (แม้ว่าในกรณีที่มีสัจพจน์ของเฮาส์ดอร์ฟแล้ว จะกลายเป็นเช่นนั้นก็ตาม ดูด้านล่าง) แต่ในความหมายเชิงโทโพโลยีที่ละเอียดอ่อนกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันบนปริภูมิที่แยกได้ ซึ่งภาพของฟังก์ชันนั้นเป็นเซตย่อยของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ จะถูกกำหนดโดยค่าของฟังก์ชันนั้นบนเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้

เปรียบเทียบความสามารถในการแยกออกจากกันได้กับแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างความสามารถในการนับได้แบบที่สองซึ่งโดยทั่วไปแล้วมีความแข็งแกร่งกว่าแต่เทียบเท่ากันในกลุ่มของปริภูมิเมตริกซ์ได้

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ที่เป็นปริภูมิจำกัดหรืออนันต์นับได้นั้น ย่อมเป็นปริภูมิที่แยกได้ เพราะปริภูมิทั้งหมดเป็นเซตย่อยหนาแน่นนับได้ของตัวมันเอง ตัวอย่างที่สำคัญของปริภูมิที่แยกไม่ได้ซึ่งนับไม่ได้คือเส้นจำนวนจริงซึ่งจำนวนตรรกยะประกอบเป็นเซตย่อยหนาแน่นนับได้ ในทำนองเดียวกัน เซตของเวกเตอร์ ความยาว n ทั้งหมด ของจำนวนตรรกยะเป็นเซตย่อยหนาแน่นนับได้ของเซตของเวกเตอร์ความยาว n ทั้งหมดของจำนวนจริงดังนั้นสำหรับทุกปริภูมิยุคลิดมิติจึงเป็นปริภูมิที่แยกได้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างง่ายๆ ของปริภูมิที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้คือ ปริภูมิ แบบไม่ต่อเนื่องที่มีจำนวนสมาชิกนับไม่ได้

ตัวอย่างเพิ่มเติมแสดงไว้ด้านล่าง

ปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สองใดๆ ก็สามารถแยกได้: ถ้าเป็นฐานที่นับได้ การเลือกใดๆจาก ที่ไม่ว่างเปล่า จะได้เซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ ในทางกลับกันปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้จะแยกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิ Lindelöfเท่านั้น ${\displaystyle \{U_{n}\}}$${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$${\displaystyle U_{n}}$

เพื่อเปรียบเทียบคุณสมบัติทั้งสองนี้เพิ่มเติม:

• ปริภูมิย่อยใดๆของปริภูมิที่นับได้แบบลำดับที่สอง ก็สามารถนับได้แบบลำดับที่สองเช่นกัน ปริภูมิย่อยของปริภูมิที่แยกได้ไม่จำเป็นต้องแยกได้ (ดูด้านล่าง)
• ภาพต่อเนื่องใดๆ ของปริภูมิที่แยกได้ก็จะเป็นปริภูมิที่แยกได้เช่นกัน ( Willard 1970 , Th. 16.4a) แม้แต่ผลหารของปริภูมิที่นับได้แบบที่สองก็ไม่จำเป็นต้องนับได้แบบที่สองเสมอไป
• ผลคูณของปริภูมิที่แยกได้จำนวนมากที่สุดเท่ากับจำนวนต่อเนื่องกัน ถือเป็นปริภูมิที่แยกได้ ( Willard 1970 , หน้า 109, Th 16.4c) ผลคูณที่นับได้ของปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง ถือเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง แต่ผลคูณที่นับไม่ได้ของปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับแรกด้วยซ้ำ

เราสามารถสร้างตัวอย่างของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แยกได้แต่ไม่สามารถนับได้แบบที่สอง พิจารณาเซตที่นับไม่ได้ใดๆเลือกบาง เซต และกำหนดทอพอโลยีให้เป็นการรวบรวมเซตทั้งหมดที่บรรจุเซต(หรือเซตว่าง) จากนั้น การปิดของคือปริภูมิทั้งหมด ( คือเซตปิดที่เล็กที่สุดที่บรรจุ) แต่ทุกเซตในรูปแบบเป็นเซตเปิด ดังนั้น ปริภูมิ จึงแยกได้แต่ไม่สามารถมีฐานที่นับได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {x_{0}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \{x_{0},x\}}$

คุณสมบัติของการแยกได้นั้นไม่ได้จำกัดจำนวนสมาชิกของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแต่อย่างใด กล่าวคือ เซตใดๆ ที่มีทอพอโลยีแบบไม่สำคัญนั้นสามารถแยกได้ รวมทั้งสามารถนับได้เป็นอันดับสองกึ่งกระชับและเชื่อมต่อกันได้ ปัญหาของทอพอโลยีแบบไม่สำคัญคือ คุณสมบัติการแยกที่ไม่ดีนัก กล่าวคือ ผลหารของคอลโมโกรอฟของมันคือปริภูมิจุดเดียว

ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ แบบนับได้และแยกได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิเมตริกแบบแยกได้) มีจำนวนสมาชิกอย่างมากที่สุด เท่ากับจำนวนสมาชิก ต่อเนื่อง ในปริภูมิดังกล่าวการปิดจะถูกกำหนดโดยลิมิตของลำดับ และลำดับลู่เข้าใดๆ จะมีลิมิตอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันส่งทั่วถึงจากเซตของลำดับลู่เข้าที่มีค่าอยู่ในเซตย่อยหนาแน่นแบบนับได้ไปยังจุดต่างๆของ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle X}$

ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่แยกส่วนได้จะมีขนาดไม่เกินโดยที่คือขนาดของคอนทิเนียม สำหรับการปิดนี้จะถูกกำหนดลักษณะโดยลิมิตของฐานตัวกรอง : ถ้าและแล้วก็ต่อเมื่อมีฐานตัวกรองที่ประกอบด้วยเซตย่อยของที่ลู่เข้าสู่ขนาดสมาชิกของเซตของฐานตัวกรองดังกล่าวไม่เกิน ยิ่งไปกว่านั้น ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ จะมีลิมิตอย่างมากที่สุดหนึ่งเดียวสำหรับทุกฐานตัวกรอง ดังนั้นจึงมีการส่งทั่วถึงเมื่อ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle S(Y)}$${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

เหตุผลเดียวกันนี้ยังนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ครอบคลุมกว่า กล่าวคือ สมมติว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟประกอบด้วยเซตย่อยหนาแน่นที่มีขนาดสมาชิกเท่ากับ n เซตย่อยนั้นจะมีขนาดสมาชิกไม่เกิน n และมีขนาดสมาชิกไม่เกิน n ถ้าเซตย่อยนั้นเป็นเซตที่นับได้ก่อน ${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$${\displaystyle 2^{\kappa }}$

ผลคูณของปริภูมิแยกส่วนได้จำนวนไม่เกินจำนวนต่อเนื่องกันจะเป็นปริภูมิแยกส่วนได้ ( Willard 1970 , หน้า 109, ทฤษฎีบท 16.4c) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิของฟังก์ชันทั้งหมดจากเส้นจำนวนจริงไปยังตัวมันเอง ซึ่งมีโทโพโลยีผลคูณ จะเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแยกส่วนได้ที่มีขนาดเท่ากับ n โดยทั่วไปแล้ว ถ้า n เป็นจำนวนเชิงอนันต์ใดๆ ผลคูณของ ปริภูมิจำนวนไม่เกิน n ที่มีเซตย่อยหนาแน่น ขนาดไม่เกิน n จะมีเซตย่อยหนาแน่นขนาดไม่เกิน n เช่นกัน( ทฤษฎีบท Hewitt–Marczewski–Pondiczery ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle 2^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

การแยกส่วนได้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์เนื่องจากทฤษฎีบทหลายข้อที่สามารถพิสูจน์ได้สำหรับปริภูมิที่ไม่สามารถแยกส่วนได้นั้น มีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ได้เฉพาะสำหรับปริภูมิที่สามารถแยกส่วนได้เท่านั้น การพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ดังกล่าวสามารถเปลี่ยนเป็นอัลกอริทึมเพื่อใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขได้ และเป็นการพิสูจน์เพียงประเภทเดียวที่ยอมรับได้ในการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของทฤษฎีบทประเภทนี้คือทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค

• ปริภูมิเมตริกกระชับทุกปริภูมิ(หรือปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้) สามารถแยกส่วนได้
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ที่เป็นผลรวมของปริภูมิย่อยที่แยกได้จำนวนนับได้ จะเป็นปริภูมิที่แยกได้ ตัวอย่างสองข้อแรกนี้รวมกันแล้วให้การพิสูจน์ที่แตกต่างออกไปว่าปริภูมิยุคลิดมิติ n เป็นปริภูมิที่แยกได้${\displaystyle n}$
• ปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดจากเซตย่อยกระชับไปยังเส้นจำนวนจริงเป็นปริภูมิที่แยกได้${\displaystyle C(K)}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ปริภูมิเลเบสก์ เหนือปริภูมิการวัด ที่มีพีชคณิต σ ที่สร้างขึ้นโดยนับได้และการวัดเป็น σ-จำกัด สามารถแยกได้สำหรับใดๆ^{[ 1 ]}${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• ปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนช่วงหน่วยที่มีเมตริกการลู่เข้าสม่ำเสมอเป็นปริภูมิที่แยกได้ เนื่องจากทฤษฎีบทการประมาณค่าของไวเออร์สตรัสส์ ระบุ ว่าเซตของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะเป็นเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของปริภูมิ นอกจากนี้ทฤษฎีบทบานาค-มาซูร์ ยังกล่าวว่าปริภูมิ บานาคที่แยกได้ใดๆ จะสมมาตรเชิงไอโซเมตริกกับ ปริภูมิย่อยเชิงเส้นปิดของปริภูมิ${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle C([0,1])}$
• ปริภูมิฮิลเบิร์ตจะแยกได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ ที่นับได้ ดังนั้น ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกได้ที่มีมิติอนันต์ใดๆ จึงสมมาตรกับปริภูมิของลำดับที่หาผลรวมกำลังสองได้${\displaystyle l^{2}}$
• ตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิที่แยกได้ซึ่งไม่สามารถนับได้แบบที่สองคือเส้นซอร์เกนเฟรย์ ซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริงที่มีโทโพโลยีขีดจำกัดล่าง${\displaystyle \mathbb {S} }$
• พีชคณิตσ ที่แยกได้คือพีชคณิต σ ที่เป็นปริภูมิที่แยกได้เมื่อพิจารณาว่าเป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกสำหรับและการวัด จำกัดที่กำหนด (และโดยที่ เป็น ตัวดำเนินการ ผลต่างสมมาตร ) ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \triangle }$

• จำนวนเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรก ซึ่งมีโทโพโลยีลำดับ ตามธรรมชาติของมัน นั้น ไม่สามารถแยกออกจากกันได้${\displaystyle \omega _{1}}$
• ปริภูมิบานาค ของลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตทั้งหมด ซึ่งมีนอร์มสูงสุดไม่สามารถแยกได้ และเช่นเดียวกัน สำหรับ${\displaystyle l^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$
• ปริภูมิบานาคของฟังก์ชันที่มีความแปรผันจำกัดนั้นไม่สามารถแยกส่วนได้

• ปริภูมิย่อยของปริภูมิที่แยกได้ไม่จำเป็นต้องแยกได้เสมอไป (ดูระนาบซอร์เกนเฟรย์และระนาบมัวร์ ) แต่ ปริภูมิย่อย เปิด ทุก ปริภูมิของปริภูมิที่แยกได้นั้นแยกได้ ( วิลลาร์ด 1970 , ทฤษฎีบท 16.4b) นอกจากนี้ ปริภูมิย่อยทุกปริภูมิของปริภูมิเมตริก ที่แยกได้ ก็แยกได้เช่น กัน
• ในความเป็นจริงแล้ว ปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิที่แยกได้ซึ่งมีจำนวนสมาชิก เท่า กัน จำเป็นต้องเพิ่มจุดเพียงจำนวนนับได้เท่านั้น คือ จุดของเซตย่อยหนาแน่นที่นับได้ของปริภูมิที่แยกได้ มีการสร้างไว้ใน ( Sierpiński 1952 , หน้า 49) การสร้างนี้ยังฝังปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟทุกปริภูมิลงในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่แยกได้อีกด้วย
• เซตของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริงทั้งหมดบนปริภูมิที่แยกได้นั้น มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนสมาชิกของคอนติเนียมซึ่งเป็นผลมาจากการที่ฟังก์ชันดังกล่าวถูกกำหนดโดยค่าของฟังก์ชันบนเซตย่อยหนาแน่น${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• จากคุณสมบัติข้างต้น เราสามารถอนุมานได้ดังนี้: ถ้าXเป็นปริภูมิที่แยกได้ซึ่งมีปริภูมิย่อยแบบปิดที่ไม่ต่อเนื่องและนับไม่ได้แล้วXจะไม่สามารถเป็น ปริภูมิ ปกติได้นี่แสดงให้เห็นว่าระนาบซอร์เกนเฟรย์ไม่ใช่ปริภูมิปกติ
• สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับXนั้น สิ่งต่อไปนี้ถือว่าเทียบเท่ากัน:
  1. Xเป็นจำนวนนับลำดับที่สอง
  2. ปริภูมิของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนXที่มีนอร์มสูงสุดเป็นปริภูมิที่แยกได้${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$
  3. Xสามารถวัดได้ด้วยเมตริก

• ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ทุกปริภูมิจะสมมูลกับเซตย่อยของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในบทพิสูจน์ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของอูรีโซห์น
• ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ทุกปริภูมิจะสมมาตร กับเซตย่อยของปริภูมิ บานาค (ที่ไม่สามารถแยกได้) l ^∞ของลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตทั้งหมดที่มีนอร์มสูงสุดซึ่งเรียกว่าการฝังแบบเฟรเชต์ ( Heinonen 2003 )
• ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ทุกปริภูมิจะสมมาตรกับเซตย่อยของ C([0,1]) ซึ่งเป็นปริภูมิบานาคที่แยกได้ของฟังก์ชันต่อเนื่อง [0,1] →  Rโดยมีนอร์มสูงสุดนี่เป็นผลงานของสเตฟาน บานาค ( ไฮโนเนน 2003 )
• ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ทุกปริภูมิจะสมมาตรกับเซตย่อยของปริภูมิสากลอูรีโซห์น

สำหรับช่องว่างที่ไม่สามารถแยกออกจากกันได้ :

• ปริภูมิเมตริกที่มีความหนาแน่นเท่ากับจำนวนคาร์ดินัลอนันต์αนั้นเป็นไอโซเมตริกกับปริภูมิย่อยของC([0,1] ^α , R )ซึ่งเป็นปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องจริงบนผลคูณของ ช่วงเวลาหน่วยจำนวน αชุด ( Kleiber & Pervin 1969 )