ในทางคณิตศาสตร์ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต (Hilbert cube ) ซึ่งตั้งชื่อตามเดวิด ฮิลเบิร์ต เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ให้ตัวอย่างที่น่าสนใจของแนวคิดบางอย่างในทอพอโลยียิ่งไปกว่านั้น ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่น่าสนใจหลายแห่งสามารถฝังตัวอยู่ในลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตได้ กล่าวคือ สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิย่อยของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต (ดูด้านล่าง)

ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต (Hilbert cube) นิยามได้ดีที่สุดว่าเป็นผลคูณเชิงโทโพโลยีของช่วงเวลา สำหรับนั่นคือ มันเป็นทรง สี่เหลี่ยม มุมฉากที่มีมิติอนันต์นับได้โดยที่ความยาวของขอบในแต่ละทิศทางตั้งฉากกันจะประกอบเป็นลำดับ${\displaystyle [0,1/n]}$${\displaystyle n=1,2,3,4,\ldots .}$${\displaystyle \left(1/n\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับผลคูณของ จำนวนอนันต์ นับได้ของช่วงหน่วย กล่าว อีกนัยหนึ่งคือไม่สามารถแยกแยะทางโทโพโลยีได้จากลูกบาศก์หน่วยที่มีมิติอนันต์นับได้ ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต" เพื่อหมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียนนี้แทนที่จะเป็นผลคูณของ. ^{[ 1 ]}${\displaystyle [0,1].}$${\displaystyle \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]}$

ถ้าจุดในลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตถูกกำหนดโดยลำดับที่มีแล้วโฮมีโอเมอร์ฟิซึมไปยังลูกบาศก์หน่วยมิติอนันต์จะได้รับโดย${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq 1/n,}$${\displaystyle h(a)_{n}=n\cdot a_{n}.}$

บางครั้ง การคิดว่าลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิเมตริก นั้นสะดวกกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฐานะเซตย่อยเฉพาะของปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่แยกได้ (นั่นคือ ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีฐานฮิลเบิร์ตอนันต์ที่นับได้) สำหรับจุดประสงค์เหล่านี้ ควรคิดว่ามันไม่ใช่ผลคูณของสำเนาของแต่เป็นเหมือน ที่กล่าวไว้ข้างต้น สำหรับคุณสมบัติทางโทโพโลยีแล้ว สิ่งนี้ไม่มีความแตกต่างกัน นั่นคือ สมาชิกของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตคือลำดับอนันต์ ที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle [0,1],}$$${\displaystyle [0,1]\times [0,1/2]\times [0,1/3]\times \cdots ;}$$$${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$$$${\displaystyle 0\leq x_{n}\leq 1/n.}$$

ลำดับดังกล่าวทั้งหมดอยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ตดังนั้นลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตจึงได้รับเมตริกมาจากที่นั่น เราสามารถแสดงได้ว่าโทโพโลยีที่เกิดจากเมตริกนั้นเหมือนกับโทโพโลยีผลคูณในนิยามข้างต้น ${\displaystyle \ell _{2},}$

เนื่องจาก ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตเป็นผลผลิตจาก ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ ตัว มันเองจึงเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับตาม ทฤษฎีบทของไทโคนอ ฟฟ์ ความกระชับของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตยังสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกโดยการสร้างฟังก์ชันต่อเนื่องจากเซตแคนเตอร์ ปกติ ไปยังลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต

ไม่มีจุดใดที่มีบริเวณใกล้เคียง ที่กระชับ (ดังนั้น จึงไม่ใช่เซตกระชับเฉพาะที่ ) เราอาจคาดหวังว่าเซตย่อยที่กระชับทั้งหมดของจะมีมิติจำกัด ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่เช่นนั้น แต่ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตไม่สามารถเป็นบริเวณใกล้เคียงของจุดใด ๆ ได้เพราะด้านของมันเล็กลงเรื่อย ๆ ในแต่ละมิติ ดังนั้นลูกบอลเปิดรอบ ๆที่มีรัศมีคงที่ใด ๆจะต้องอยู่นอกลูกบาศก์ในบางมิติ ${\displaystyle \ell _{2},}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e>0}$

ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตเป็นเซตแบบนูน ซึ่งแผ่ขยายออกไปจนเต็มพื้นที่ แต่ภายในว่างเปล่า สถานการณ์เช่นนี้เป็นไปไม่ได้ในมิติจำกัด กรวยสัมผัสปิดของลูกบาศก์ที่เวกเตอร์ศูนย์คือพื้นที่ทั้งหมด

ให้เป็นเซตย่อยนูนขนาดกะทัดรัดที่มีมิติอนันต์ของหรือโดยทั่วไปแล้ว เซตย่อยดังกล่าวของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ ซึ่งก็เป็นเมตริกซ์ได้เช่นกัน หรือโดยทั่วไปยิ่งกว่านั้น เซตย่อยดังกล่าวของปริภูมิเมตริกซ์ได้ ซึ่งก็เป็นรีแทร็กต์สัมบูรณ์ได้ เช่นกัน ดังนั้นจะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle \ell _{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

เซตย่อยทุกเซตของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตสืบทอดคุณสมบัติจากลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต คือ เป็นทั้งเซตเมตริกซ์ได้ (และดังนั้นจึงเป็นT4 ) และเป็นเซตที่นับได้ลำดับที่สองที่น่าสนใจยิ่งกว่านั้นคือ ข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน: ปริภูมิ T4 ที่นับได้ลำดับที่สอง ทุก ปริภูมิเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตย่อยของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อย G _δ ทุก เซตของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิโปแลนด์ซึ่งเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่สมมูลกับปริภูมิเมตริกที่แยกได้และสมบูรณ์ ในทางกลับกัน ปริภูมิโปแลนด์ทุกปริภูมิจะสมมูลกับ เซตย่อย G _δทุกเซตของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต^{[ 3 ]}

• รายชื่อโทโพโลยี  – รายชื่อโทโพโลยีที่เป็นรูปธรรมและปริภูมิโทโพโลยี

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. ( 1995) [1978]. ตัวอย่างค้านในโทโพโลยี ( พิมพ์ซ้ำโดย Doverฉบับปี 1978) เบอร์ลิน นิวยอร์ก: Springer-Verlag ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​ ​